公路测量中缓和曲线的详细测设
摘要：偏角法、切线支距法在公路缓和曲线中的坐标计算及现场详细测设。 关键词：缓和曲线，偏角法，切线支距法、
一、缓和曲线的性质
道路建设中，由于受地形或地质影响，经常需要改变线路方向，为满足行车要求，往往要用曲线把两条直线连接起来。曲线的构成形式无外乎圆曲线和缓和曲线，缓和曲线是直线与圆曲线间的一种过渡曲线。它与直线分界处半径为∞，与圆曲线相接处半径与圆曲线半径R 相等。缓和曲线上任一点的曲率半径ρ与该点到曲线点的长度成反比，如图1： ρ∝ 或ρl=C
式中，C 是一个常数，称缓和曲线半径
变更率。
当l=l0 时，ρ=R，所以
1l
Rl0=C
式中，l0为缓和曲线总长。
ρl=C是缓和曲线的必要条件，实用中能满足这一条件的曲线可以作为缓和曲线，如辐射螺旋线、三次抛物线等。
二、在直线和圆曲线间加入缓和曲线的方法：
在直线和圆曲线间加入缓和曲线的方法是：原来的圆曲线半径保持不变，而向内侧移动，在垂直于切线方向上移动的距离为p；整个曲线的起点和终点沿切线方向在圆曲线外延伸一段距离m；原来圆曲线的两端长各为l0/2的一段（圆心角为β0）均为缓和曲线所代替。故缓和曲线大约有一半在原圆曲线范围内，而另一半在原直线范围内，缓和曲线终点的倾角β0圆曲线内移量p和切线延伸量m是确定缓和曲线的主要参数，称为缓和曲线的常数。其计算公式为：
β0=90 l0/πR；p= l02/24R；m= l0/2- l03/240R2；其中R和l0为已知数据。
三、偏角法测设缓和曲线
用偏角法测设缓和曲线时，将缓和曲线分为N等份，如图所示，每段曲线长k=l0/N。一般线路设计中，缓和曲线长度为10m的整倍数，为测设方便，一般取k=10m，即每10m测设一点。计算出各曲线点的偏角，然后在测站上安置经纬仪，依次拨角；同时用钢尺测设点间距离，定出缓和曲线上各分段点。 图中δ1、δ2、δ3、δ4、δ5、δn（=δ0），表示自ZH点出发的相应各点的偏角。
1、计算偏角的基本公式
如图所示，设δ为从ZH（或HZ）点测设缓和曲线上任一点A的偏角；b为从A点观测ZH（或HZ）点的反偏角；δ0为缓和曲线的总偏角，即从ZH（或HZ点观测HY（或YH）点的偏角；b0为从HY（或YH）点观测ZH（或HZ）点的反偏角。由图可知：sinδ=y/l而因δ很小，则δ≈sinδ。
已知y=l3/6Rl0故：δ= l2/6Rl0或δ= l2/6Rl0*1800/π 已知任一点A的切线角：β= l2/2Rl0*1800/π 故δ=β/3；
从图中几何关系知： b=β-δ=2/3β=2δ; 当i= l0时，β=β0，δ=δn，即
δ0=β0/3
b0*2/3β0=2δ0；
因此：δ0 ：b0：β0=1：2：3。
δ2：δ1= l22/6Rl0*1800/π：l12/6Rl0*1800/π
δ2：δ1= l22：l12
以上说明偏角与测点到缓和曲线起点的曲线长的平方成正比。 在等分段情况下，l2=2l1，l3=3l1,…….l0=N*l1故： δ2=22*δ1 δ3=32*δ1
依次类推，所以 δ1=δ0/N2 式中N为分段数。
若N已知，再算出δ0，即可按上列公式算出δ1，然后用任一点的点号平方乘δ1就可算出该点的偏角。
计算步骤：⑴根据β0=l0/2R*1800/π求出β0 ⑵δ0=β0/3 ⑶δ1=δ0/N2
⑷δ2=22*δ1，δ3=32*δ1,……δy(=δ0) 2、测设方法
如图将经纬仪安置在ZH点上，水平度盘置00，后视JD或直线转点ZD，即切线方向，先拨角δ0，核对HY点点位，如在视线上，即可开始工作，仍以切线为00方向，依次拨角 δ1、δ2、δ3、……δy(=δ0)；同时从点到点量10m弦长与相应视线对准，定出曲线1、2、3、……点。测设至HY点，检核是否落在主点上。 3、偏角法计算各点坐标：
如右图，缓和曲线上任一点i 的偏角为： δ≈sinδ≈
y
（∵δ很小 l
l3
∵ y=
6Rl0l2180
∴δ= 6Rl0πl2
180
又∵β=2Rl
0π
∴δ=
b
β 3
ZH
故 b=β－δ=2δ （12）
式中，δ为缓和曲线上任一点的正偏角，b为该点的反偏角。
然后我们利用坐标增量计算公式可以推导出缓和曲线任意点坐标计算公式： X=XA+S*cos （ θA+a ）
Y=YA+S*sin （ θA+a ）
式中 θA为总切线角。可得该点转角 a 。（曲线左转时 a 代负值）。
四、切线支距法测设缓和曲线
1、切线支距法即直角坐标法，支距即垂距，相当于直角坐标中的y值，此方法以ZH和HZ为原点，过ZH和HZ的切线（即定测的直线段）为x轴，和垂直于x轴的y轴组成直角坐标，计算出缓和切线和圆曲线上各曲线桩的坐标x、y值，根据平面直角坐标法定出各曲线桩点坐标。 公式如下：求x0、y0
任取一微小变量 dl, 则所对应的x、y增量为，dx、dy, 其对应的关系为 dx= dlcosβ dy=dlsinβ
(9)
β2β4
s=1－ coβ+－…
2！4！
β3β5
sinβ=β－＋－…
3！5！
l2
β=2Rl (10)
将（10）代入（9）式进行积分，并略去高次项得：
l5
X’=l－ 22
40Rl0l7l3
Y’=－
6Rl0336R3l03
当l=l0 时
3
l0
X’0=l0－ 2
40Rl0l0
Y’0=－
6R336R3
2
4
2、切线支距法的具体测设步骤为： （1）、将L=0，10，20，……，代入上列公式，求得各桩点坐标（x,y）； （2）、将仪器安置在ZH点，瞄准JD，沿此方向量取x,得到各曲线桩在切线上的垂足； （3）、在各垂足处测设直角，并在垂线方向上量出相应的y值，即得各切线桩的位置； （4）、将仪器搬到HZ点，用同样方法测设切线的另一半。 3、切线坐标与整体坐标系的转换公式：
要计算缓和曲线上任意点的中桩坐标X、Y，需要将该点在局部坐标系之中的切线支距坐标（x,y），利用坐标的平移和旋转公式，换算至以平面控制网为基础建立的平面直角坐标系之中，坐标的平移和旋转公式如下： X=X0+X’cosA-Y’sinA Y=Y0+X’sinA-Y’cosA
式中：X，Y——任意点在平面直角坐标系中的坐标；
X0，Y0——局部坐标系的原点在平面直角坐标系中的坐标； X‘，Y’——任意点在局部坐标系中的支距坐标； A——局部坐标系中x轴正向的方位角。 此坐标转换公式在第一缓和曲线时应注意，当平曲线为右偏时用上述公式，如平曲线为左偏时应用上式计算，Y’应反符号以-Y’代入。
结语：
偏角法是我们常用的方法，优点是有校核，适用于山区，缺点是误差积累，所以测设时注意经常校核。
切线支距法受场地限制，适用于地势平坦地区。
偏角法及切线支距法测设缓和曲线时，通常需要多次搬动仪器和设置转镜点，工作量较大。用全站仪，则可在任意点设置，采用极坐标法测设曲线，这种方法灵活，效率高，应广泛应用。
主要参考文献：
[1]. 杨德麟、高飞编著，建筑测量学 北京 测绘出版社 1999 [2] 章书寿、陈福山主编，测量学教程 北京 测绘出版社 1991 [3] 卜艳萍,施工中测量放样作业指导书，[J]1998.
公路测量中缓和曲线的详细测设
摘要：偏角法、切线支距法在公路缓和曲线中的坐标计算及现场详细测设。 关键词：缓和曲线，偏角法，切线支距法、
一、缓和曲线的性质
道路建设中，由于受地形或地质影响，经常需要改变线路方向，为满足行车要求，往往要用曲线把两条直线连接起来。曲线的构成形式无外乎圆曲线和缓和曲线，缓和曲线是直线与圆曲线间的一种过渡曲线。它与直线分界处半径为∞，与圆曲线相接处半径与圆曲线半径R 相等。缓和曲线上任一点的曲率半径ρ与该点到曲线点的长度成反比，如图1： ρ∝ 或ρl=C
式中，C 是一个常数，称缓和曲线半径
变更率。
当l=l0 时，ρ=R，所以
1l
Rl0=C
式中，l0为缓和曲线总长。
ρl=C是缓和曲线的必要条件，实用中能满足这一条件的曲线可以作为缓和曲线，如辐射螺旋线、三次抛物线等。
二、在直线和圆曲线间加入缓和曲线的方法：
在直线和圆曲线间加入缓和曲线的方法是：原来的圆曲线半径保持不变，而向内侧移动，在垂直于切线方向上移动的距离为p；整个曲线的起点和终点沿切线方向在圆曲线外延伸一段距离m；原来圆曲线的两端长各为l0/2的一段（圆心角为β0）均为缓和曲线所代替。故缓和曲线大约有一半在原圆曲线范围内，而另一半在原直线范围内，缓和曲线终点的倾角β0圆曲线内移量p和切线延伸量m是确定缓和曲线的主要参数，称为缓和曲线的常数。其计算公式为：
β0=90 l0/πR；p= l02/24R；m= l0/2- l03/240R2；其中R和l0为已知数据。
三、偏角法测设缓和曲线
用偏角法测设缓和曲线时，将缓和曲线分为N等份，如图所示，每段曲线长k=l0/N。一般线路设计中，缓和曲线长度为10m的整倍数，为测设方便，一般取k=10m，即每10m测设一点。计算出各曲线点的偏角，然后在测站上安置经纬仪，依次拨角；同时用钢尺测设点间距离，定出缓和曲线上各分段点。 图中δ1、δ2、δ3、δ4、δ5、δn（=δ0），表示自ZH点出发的相应各点的偏角。
1、计算偏角的基本公式
如图所示，设δ为从ZH（或HZ）点测设缓和曲线上任一点A的偏角；b为从A点观测ZH（或HZ）点的反偏角；δ0为缓和曲线的总偏角，即从ZH（或HZ点观测HY（或YH）点的偏角；b0为从HY（或YH）点观测ZH（或HZ）点的反偏角。由图可知：sinδ=y/l而因δ很小，则δ≈sinδ。
已知y=l3/6Rl0故：δ= l2/6Rl0或δ= l2/6Rl0*1800/π 已知任一点A的切线角：β= l2/2Rl0*1800/π 故δ=β/3；
从图中几何关系知： b=β-δ=2/3β=2δ; 当i= l0时，β=β0，δ=δn，即
δ0=β0/3
b0*2/3β0=2δ0；
因此：δ0 ：b0：β0=1：2：3。
δ2：δ1= l22/6Rl0*1800/π：l12/6Rl0*1800/π
δ2：δ1= l22：l12
以上说明偏角与测点到缓和曲线起点的曲线长的平方成正比。 在等分段情况下，l2=2l1，l3=3l1,…….l0=N*l1故： δ2=22*δ1 δ3=32*δ1
依次类推，所以 δ1=δ0/N2 式中N为分段数。
若N已知，再算出δ0，即可按上列公式算出δ1，然后用任一点的点号平方乘δ1就可算出该点的偏角。
计算步骤：⑴根据β0=l0/2R*1800/π求出β0 ⑵δ0=β0/3 ⑶δ1=δ0/N2
⑷δ2=22*δ1，δ3=32*δ1,……δy(=δ0) 2、测设方法
如图将经纬仪安置在ZH点上，水平度盘置00，后视JD或直线转点ZD，即切线方向，先拨角δ0，核对HY点点位，如在视线上，即可开始工作，仍以切线为00方向，依次拨角 δ1、δ2、δ3、……δy(=δ0)；同时从点到点量10m弦长与相应视线对准，定出曲线1、2、3、……点。测设至HY点，检核是否落在主点上。 3、偏角法计算各点坐标：
如右图，缓和曲线上任一点i 的偏角为： δ≈sinδ≈
y
（∵δ很小 l
l3
∵ y=
6Rl0l2180
∴δ= 6Rl0πl2
180
又∵β=2Rl
0π
∴δ=
b
β 3
ZH
故 b=β－δ=2δ （12）
式中，δ为缓和曲线上任一点的正偏角，b为该点的反偏角。
然后我们利用坐标增量计算公式可以推导出缓和曲线任意点坐标计算公式： X=XA+S*cos （ θA+a ）
Y=YA+S*sin （ θA+a ）
式中 θA为总切线角。可得该点转角 a 。（曲线左转时 a 代负值）。
四、切线支距法测设缓和曲线
1、切线支距法即直角坐标法，支距即垂距，相当于直角坐标中的y值，此方法以ZH和HZ为原点，过ZH和HZ的切线（即定测的直线段）为x轴，和垂直于x轴的y轴组成直角坐标，计算出缓和切线和圆曲线上各曲线桩的坐标x、y值，根据平面直角坐标法定出各曲线桩点坐标。 公式如下：求x0、y0
任取一微小变量 dl, 则所对应的x、y增量为，dx、dy, 其对应的关系为 dx= dlcosβ dy=dlsinβ
(9)
β2β4
s=1－ coβ+－…
2！4！
β3β5
sinβ=β－＋－…
3！5！
l2
β=2Rl (10)
将（10）代入（9）式进行积分，并略去高次项得：
l5
X’=l－ 22
40Rl0l7l3
Y’=－
6Rl0336R3l03
当l=l0 时
3
l0
X’0=l0－ 2
40Rl0l0
Y’0=－
6R336R3
2
4
2、切线支距法的具体测设步骤为： （1）、将L=0，10，20，……，代入上列公式，求得各桩点坐标（x,y）； （2）、将仪器安置在ZH点，瞄准JD，沿此方向量取x,得到各曲线桩在切线上的垂足； （3）、在各垂足处测设直角，并在垂线方向上量出相应的y值，即得各切线桩的位置； （4）、将仪器搬到HZ点，用同样方法测设切线的另一半。 3、切线坐标与整体坐标系的转换公式：
要计算缓和曲线上任意点的中桩坐标X、Y，需要将该点在局部坐标系之中的切线支距坐标（x,y），利用坐标的平移和旋转公式，换算至以平面控制网为基础建立的平面直角坐标系之中，坐标的平移和旋转公式如下： X=X0+X’cosA-Y’sinA Y=Y0+X’sinA-Y’cosA
式中：X，Y——任意点在平面直角坐标系中的坐标；
X0，Y0——局部坐标系的原点在平面直角坐标系中的坐标； X‘，Y’——任意点在局部坐标系中的支距坐标； A——局部坐标系中x轴正向的方位角。 此坐标转换公式在第一缓和曲线时应注意，当平曲线为右偏时用上述公式，如平曲线为左偏时应用上式计算，Y’应反符号以-Y’代入。
结语：
偏角法是我们常用的方法，优点是有校核，适用于山区，缺点是误差积累，所以测设时注意经常校核。
切线支距法受场地限制，适用于地势平坦地区。
偏角法及切线支距法测设缓和曲线时，通常需要多次搬动仪器和设置转镜点，工作量较大。用全站仪，则可在任意点设置，采用极坐标法测设曲线，这种方法灵活，效率高，应广泛应用。
主要参考文献：
[1]. 杨德麟、高飞编著，建筑测量学 北京 测绘出版社 1999 [2] 章书寿、陈福山主编，测量学教程 北京 测绘出版社 1991 [3] 卜艳萍,施工中测量放样作业指导书，[J]1998.