山西师范大学本科毕业论文
δ函数的物理性质分析
姓 名 院 系 专 业 班 级 学 号 指导教师 答辩日期 成 绩
陈晓林
物理与信息工程学院
物理学 0901 0952010142
杨虎
δ函数的物理性质分析
内容摘要
研究δ函数在物理学中的作用是应用用数学方式处理问题的一个典型。这个函数作为奇函数之中的一种，其所特有的优越性也在解决物理方面问题的同时显示了出来。这篇文章在介绍δ函数的定义及其性质的同时，同样也分析了δ函数的物理意义，而且主要分析了δ函数在物理学中的作用。并且也举例δ函数在物理的各个学科中的不同的应用，从而对δ函数有了特别全面的了解，同时能够对用数学的方法处理物理问题时有更高层次的理解和认识。
【关键词】δ函数 安培环路定理 δ势阱
Analysis of physical properties of Dirac function
Abstract
Delta function is a typical example solving physical problems by mathematical method. As a singular function, in solving physics problems it demonstrated unique advantages. This paper introduces the definition and properties of Delta function, based on analyzed the physical meaning of Delta function, focusing on the Delta function in the application of physical. It cited the application of different physical disciplines, and thus Delta function has a more comprehensive understanding to the mathematical treatment of physical problems have a higher level of understanding and awareness.
【key words】: δ function Ampere’s cycle law δPotential well
目录
引言 ............................................. （1） 一、δ函数的定义（definition of Delta Function） . . （1）
1.1类似于初等函数形式的定义 ............................... （1） 1.2普通函数序列极限形式的定义式 ............................ （2） 1.3广义函数形式的定义 .................................... （3） 1.4comb(x)—梳状函数 . ..................................... （4）
二、δ函数的物理性质及其解释 . ..................... （4）
2.1δ函数的筛选性 . ....................................... （4） 2.2δ函数的积分性 . ....................................... （5） 2.3δ函数坐标的缩放性 .................................... （5） 2.4δ函数的乘积性质 ...................................... （6） 2.5δ函数的傅里叶变换 .................................... （8）
三、δ函数在物理学中的应用 . ....................... （8）
3.1δ函数在电磁学中两大定理证明中的应用 ..................... （8） 3.2δ函数在力学中的应用 . ................................. （11） 3.3δ函数在光学中的应用 . ................................. （11） 3.4δ势在势阱中的穿透作用 ................................ （12）
参考文献 ......................................... （14） 致谢 ............................................. （15）
δ
函数的物理性质分析
学生姓名：陈晓林 指导教师：杨虎
引言
δ函数作为一个为了描述一些宽度极为窄小，而幅度趋于无穷大的物理量而被引入到物理中[1]，例如：质点、点电荷、点光源或者其他一些高度集中的物理量，所以δ函数又叫做脉冲函数。近现代的物理学中对δ函数有着很广泛的应用，而且δ函数是作为一个描述物理学中物理模型的数学工具，因此，我们学习物理的过程中就不可避免的要用到数学方面的知识，所以δ函数对于我们学习物理学有很大的帮助。在国内外的物理学家里面对δ函数也有很多的研究，并且还在不断的探寻它对于物理学的应用。本篇文章主要研究了δ函数的一些基础性的应用，δ函数的几种定义方法，δ函数的性质，δ函数在物理学中的应用等等。其他的文章虽然也是研究的这几个方面的知识，但是这篇文章主要研究了δ函数性质中的物理性质的解释以及它在物理学的各个学科中有着怎样的应用，并且给举出了一些例子。
一、δ函数的定义（definition of Delta Function）
1.1类似于初等函数形式的定义
对于自变量一维的狄拉克δ函数-δ（x ）来说，它满足于下面的条件：
⎧0, x ≠0
δ(x)=⎨ （1）
⎩∞, x =0
并且
错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
δ
（2）
这说明，错误！未找到引用源。函数在错误！未找到引用源。处全部为零，且在x=0处出现无穷大的极值，因此x=0处的点又称为奇异点。
但是不管
是否趋近于无穷大，对于它的积分却总是等于1. 即对应的δ函数的
又称为单位脉冲函数。
(x)dx=1
“面积”或“强度”是1，所以
上述δ函数是一维的δ函数表达式（见图一（a ）），也是经典定义下的传统表达式，
即函数必须同时满足（1）和（2）式。
函数δ(x , μ) =-μ2x 2
，对于μ=1,2,4， 每一条曲线下方总面积为1
δ函数除了一维的形式，还有二维（见图一（b ））、三维等多维的形式，如下是二维δ函数表达式：
或
（2）
对于δ函数给出了类似普通函数形式的定义，然而定义式所描述的图象并不普通，这个函数是一个在原点以外处处为零，而在原点出现无穷型跳跃的函数。表面上看（2）式避开了“δ(0)=∞”这个问题，但δ函数在整个数轴积分上等于1的规定，同样包含了它在原点处存在无穷型跳跃这一奇异性态。因此，对于δ函数的定义式（1）和（2）实质相同。它们都为δ函数建立了一个“非正统的普通函数”图象，如一所示，一维δ(x )函数是一个高度无限、宽度为零而“面积”为1的“脉冲”（见图一（a ））。
（1）
（a ）一维δ函数 （b ）二维δ函数
图一 δ函数
1.2普通函数序列极限形式的定义式
如果有一个序列，g n (x , y )，n=1，2，3„，那么这个序列中的任何一个函数g n (x , y )
都满足：
⎧+∞+∞
⎪⎰⎰g n (x , y )dxdy =1
⎨-∞-∞
⎪lim g (x , y )=0, x ≠0, y ≠0⎩n →∞n
则
δ(x , y )=lim g n (x , y )
n →∞
常用的函数有gaus 函数、sinc 函数以及rect 函数等，即： δ(x , y )=lim n 2exp ⎡-n 2π(x 2+y 2)⎤
⎣⎦n →∞ δ(x , y )=lim n 2sin c (nx )⋅sin c (ny )
n →∞
δ(x , y )=lim n 2rect (nx )⋅rect (ny )
n →∞
例如：δ(x , y )=lim n exp (-n 2πx 2)，当n 逐渐增大时的图形为：（b ）
n →∞
又例如：δ(x )=lim n ⋅rect (nx )，当n 逐渐增大时的图形为：（a ）
n →∞
（a ）矩形脉冲序列 （b ）高斯脉冲序列
1.3广义函数形式的定义
+∞+∞
-∞-∞
⎰⎰δ(x , y )f (x , y )dxdy =f (0.0)
⎰⎰δ(x -x , y -y )f (x , y )dxdy =f (x , y )
或者
+∞+∞
-∞-∞
其中：f (x , y )是一个在（0,0）或(x 0, y 0)处连续的任一函数。
有一个函数只要这个函数在积分中的作用与上式一样，那么就可以认为它是δ函
数。
总之，δ函数不是一般的函数，它不像普通函数一样完全由数值对应关系来确定的。它是一个广义函数，它的属性完全由它在积分中的作用体现出来的。 1.4comb(x)—梳状函数
+∞-∞
定义:comb (x ) =∑δ(x -n )是间隔为1的无穷多个δ函数的和（图如下）。
梳状函数图象
⎛x -x 0⎫+∞⎛x -x 0⎫
comb =δ-n ⎪∑ ⎪
a a ⎝⎭-∞⎝⎭
= a
n =-∞
∑δ(x -x
+∞
-na )
=a
n =-∞
∑δ(x -(x
+∞
+na ))
二、δ函数的物理性质及其解释
2.1δ函数的筛选性
δ函数的筛选性质，根据一般的广义的形式的定义就可以得到。
筛选性单位脉冲函数与一个在t=0处连续且有界的信号f(t)相乘，它的乘积只有在x=0处得到f （0），其余各点的乘积都为零。
⎰
+∞
-∞
δ(t )f (t )dt =⎰δ(t )f (0)dt
-∞
+∞
=f (0)⎰δ(t )dt
-∞
+∞
=f (0)
⎰
+∞
-∞
δ(t -t 0)f (t )dt =⎰δ(t -t 0)f (t 0)dt
-∞
+∞
+∞
=f (t 0)⎰δ(t )dt
-∞
=f (t 0)
比如，在f (x ) =x 时，得到：
∞
-∞∞
⎰x δ(x )dx =0
-∞
⎰x δ(x -a )dx =a
2.2δ函数的积分性
研究积分F (x )=
⎰δ(t )dt . 且由δ函数的定义可得, 当积分上限x
-∞
x
是0；当x >0，积分值是1.
F (x )=
⎰-∞δ(t )dt =⎨
x
⎧⎪0, ⎪⎩1.
(x
(x >0)
F (x )称为阶跃函数。即F (x )是δ(x )的原函数，δ(x )是F (x )的导数，
δ(x )=
dF (x )dx
2.3δ函数坐标的缩放性
设n 维常熟，且不为0，则有：
=
（n 0）
根据δ函数的坐标缩放性质，还得到了两个推论，推论如下：
推论1：
=
说明函数具有对称的性质，它为偶函数，在几何上表示δ
函数图形前后左右是对称的，且它的导数是奇函数。
推论2：
例如：
222
（x, y ）=lim N 2exp ⎡-N π(x +y ) ⎤证明：由δ函数定义δ⎣⎦式可得：
N →∞
222
δ（x, y ）=lim N 2exp ⎡-N π(x +y ) ⎤⎣⎦
N →∞
=lim N exp(-N 2πx 2) lim N exp(-N 2πy 2)
N →∞
N →∞
=(x)(y) (1)
同理可得 δ(ax , by )=δ(ax )δ(by ) (2)
22
（ax)=lim N exp ⎡根据δ⎣-N π(ax ) ⎤⎦
N →∞
使=, 那么上式可以变为：
22
⎤δ（ax)=lim N exp ⎡-N π(ax ) ⎣⎦
N →∞
=
= (3)
同理可得， (4)
把（3），（4）式的结果带入到（2）式，能够得出：
=
2.4δ函数的乘积性质
δ函数的这个特性也叫做δ函数的抽样特性。它表示任何一个连续的函数和δ函数相乘，它的结果只能抽取此函数在δ函数所在点的函数值，这个离散点为f (x )δ(x -x 0)，这样就把一个连续函数与离散点联系起来，可以对离散点进行分析运算[2]
若f(x)在点处连续，就有：
f(x)
f(x)
由此得出推论：
x
=0和x
=0
例如：comb （ax ）comb （by ）=
1
⎛ab
x -n , y -
m ⎫n ∑∞=-∞m ∑
∞
δ=-∞
⎝
a
b ⎪⎭
证明如下：
由梳状函数定义式comb （x ）= (1)
则有comb （ax ）comb(by) =
= (2)
利用以及=
（2）式变为comb （ax ）comb （by ） =
=
梳状函数图象
2.5δ函数的傅里叶变换
F . T F . T
F (μ)；δ(x )−−→∆设 f（x ）−−→(μ)
由卷积定理可知：
f (x )*δ(x )=f (x )
给等号两边同时作傅里叶变换，并利用卷积的性质，
若
ξ⎡⎣f 1(x )⎤⎦=F 1(μ)，ξ⎡⎣f 2(x )⎤⎦=F 2(μ)
则 ξ⎡⎣f 2(x )*f 2(x )⎤⎦=F 1(μ)⋅F 2(μ) 式， 可得：
F (μ)⋅∆(μ)=F (μ) （1） 所以 ∆(μ)=1 （2） 也就是 ξ⎡⎣δ(x )⎤⎦=1 推论：
ξ(1)=δ(x ) （3） （3）式表明了：常量的傅里叶变换（频谱）是脉冲。
三、δ函数在物理学中的应用
在物理学中经常用Delta 函数来描述某种极限状态和高度集中的物理量。比如在电
学里面经常要用δ函数来表示点电荷、电脉冲；而在光学里面，δ函数则表示的是点光源或一个单位面积的空间脉冲。
3.1δ函数在电磁学中两大定理证明中的应用[3]
电磁学里面的两个重要的定理：（1）Gauss 定理；（2）安培环路定理。 3.1.1用δ函数证明安培环路定理
如下面图中所示，在有电流I 的闭合回路中任一点处的电流密度为j (r ')，则由毕奥-萨伐尔定律[5]知，这条回路中的电流在空间r 点产生的磁感应强度B 为
B =
μ04π
⎰
'j (r )⨯R R
3
V '
dV ' （1）
B沿回路L 的积分曲线示意图
式中r '是源点位矢; R =r -r ', 为源点到场点的位矢, 把B 对任意一闭合回路L 求线积分, 可得 ⎰
L
B ⋅dL
=
⎰(
s
∇⨯B ⋅dS （2）
)
根据（1）式可只
μ
∇⨯B =∇⨯0
4π
⎰
j (r ')⨯R R 3
V '
dV '=-
μ04π
1⎤⎡'∇⨯j r ⨯∇dV ' （3） ()⎰V '⎢⎥R ⎦⎣
又因为
1⎤1⎫ 1⎡ '⎛1⎫ '⎛'⎤∇⨯⎢j (r )⨯∇⎥= ∇⋅∇⎪j (r )+ ∇⋅∇⎪j (r ')-⎡j r ⋅∇∇()⎣⎦R R ⎦R ⎭⎣⎝R ⎭⎝
1
'⎤-⎡∇⋅j r ∇()⎣⎦R
由于算符∇是对r 的微分算符, 和r '没关系, 所以上式右面第一、四项是0, 所以
∇⨯B =
μ04π 1'⎡⎤j r ⋅∇∇⎰V '⎣()⎦R dV '-μ0
4π
⎛21⎫''j r ⋅∇⎪dV ⎰V '() R ⎭⎝
上式右边第一项是0，因为
1
'⎡⎤j r ⋅∇∇()⎰V '⎣⎦R dV '=
⎛1⎫ '
∇⎪j (r )dS ⎰S
⎝R ⎭
1⎡-⎰⎣∇⋅j (r ')⎤∇⎦R dV ' V '
上面式子中，因为积分区域V '包括所有的电流在内，没有电流流过的区域的界面S ，所以上面式子中面积分是0；因为算符∇不作用于r '，所以上式右面的体积分也是0. 故，
μ∇⨯B =-0
4π
⎛21⎫''j r () ∇⎪dV =⎰V '
R ⎭⎝
μ0
4π
⎰
V '
j (r ')⋅4πδR dV '=μ0⎰j (r ')⋅δ(r -r ')dV '
()
V '
= μ0j (r )
根据上面综合得出：
⎰B ⋅dL =
L
当电流I 通过L 回路围成的面S 时⎧μ0I
μj ⋅dS =μj ⋅dS = ⎨00⎰⎰⎩0当电流I 不通过L 回路围成的面S 时S
这正是安培环路定理。 3.1.2用δ函数证明高斯定理。
如下图2所表示的，q 是空间位置中r '处的点电荷，假设S 是空间任意一个闭合曲面，dS 为S 上面的定向面元，以外法线方向为正向，通过闭合曲面S 的电通量则是
⎰E ⋅dS ，那么得出
ΦE
=
⎰
S
E ⋅dS =
⎰4πε
S
q (r ')R
R
⋅dS 3
=
q (r ')
⎛1⎫
-∇ ⎪⋅dS =4πε0⎰S R ⎝⎭
-q (r ')4πε0
⎰
V
∇2
1
dV R
=
q (r ')4πε0
⎰
V
4πδ(r '-r )dV
⎧q (r ')'⎪0当r ∈V =⎨⎪当r '∉V ⎩0
（注意：如果r '为空间中某一点处的位矢，R 是r '到空间上任意一点r 处的距离，知道∇2
1
R
=-4πδ(r '-r )）
在此可以得到，若是空间上分布有许多个电荷，则电场通过任意一个闭合的曲面的电通
∑q i
量等于面内的总电荷数除以ε0，是 E ⋅dS =(q i 在S 内)这个就是高斯定理，证⎰
S
明结束。
图2电通量图
3.2δ函数在力学中的应用 例如：表示某质点的密度[4]
某一个位于y 处于y 0处的质点，它的质量为m ，则该质点的线分布密度可视为ρ(y ) =m δ(y -y 0) 。 证明：
∞(y ≠y 0)，且⎰m ρm (y
-∞(y =y 0)
ρm (y )=m δ(y -y 0)=⎨
⎧⎪0
⎪⎩∞
-y d y )0
m =
3.3δ函数在光学中的应用
例子：试用δ函数来描述线光源。
解：用二维δ函数δ(x , y )和δ(x -x 0, y -y 0)分别表示在点x=0、y=0处和点
x =x 0、y =y 0处的点官员；而s (x , y )=δ(x )或s (x , y )=δ(x -x 0)可以分别表示
与y 轴重合或者与y 轴平行的线光源。
s (x , y )=δ(x -x 0)式x 轴方向上的一维δ函数，对每一个y 值s （x ，y ）都
是一个位于点x =x 0的、面积为1的δ函数。它在x 方向高度集中，在y 方向均匀分布，所以，s (x , y )=δ(x -x 0)式一个位于直线x =x 0上、具有强度dI
=1的
线光源。
当然，实际线光源不一定沿坐标轴方向放置，在xoy 坐标轴面上可呈任意方位，此时就能够用更为普通的δ函数表式为
s (x , y )=δ(ax +by +c ) （1） 其中a 、b 、c 式常数只有ax+by+c=0，即平面上的点（x ，y ）位于该方位直线上时，才能有δ(ax +by +c )≠0。式（1）可以表示成一个线光源的光强度。由δ函数的性质，得
δ(ax +by +c )=
1⎛by c ⎫
δ x ++⎪ a ⎝a a ⎭
1⎛ax c ⎫
δ x ++⎪ （2） b ⎝b b ⎭
=
该线光源在x 轴方向和在y 轴方向上分别有不同的强度密度
dI 1dI 1= 和 = （3） dx a dy b
由此可见，沿着该条直线的强度密度是
dI （4） =dl 更一般的情况是，线光源不是平面上的直线，而是一个曲线ρ=ω(x , y )。这
δ⎡时，若沿曲线ω(x , y )=0⎣ω(x , y )⎤⎦是一个位于曲线ρ=ω(x , y )=0上的线强度。的弧长增量为
dl =
和 ωy =
∂ω(x , y )∂y
ωx =于是
从而
∂ω(x , y )∂x
（5）
dI =dl δ⎡⎣ω(x , y )⎤⎦=
(ρ) （6）
若对x 解ω(x , y )=0，并且用x n 表示第n 个根，则有
δ⎡⎣ω(x , y )⎤⎦=∑
n
1
ωn
δ(y -y n )
3.4δ势在势阱中的穿透作用
设与质量为m 的粒子（能量E ＞0）从左射入，撞到δ势垒（见下图1） V (x )=γδ(x )，（常数γ
＞0） （1）
δ势的穿透
定态薛定谔方程表为：
2d 2
-=⎡E -γδ(x )⎤⎦ψ(x ) （2）2m dx 2⎣
x=0是方程的奇点，在此点ψ'' 不存在，表示为x=0点ψ' 为不连续，对于方程（2）
ε
积分lim +
ε→0
-
⎰εdx 可得
ψ' (ο+)-ψ' (ο-)=
2m γ
（3） ψ(ο) 2
所以在x=0点处，ψ' 一般是不连续的（除了ψ(0)=0）。（3）式称作δ式中ψ' 的跃变条件。
在x ≠0处，方程（2）化为
ψ'' (x )+k 2ψ(x )=
0，k =
（4）
它的两个线性独立的解的形式是e ±ikx ，并且考虑到从左面射入的假设，和方势垒的穿透相似，这道题的解依旧可表示为
ikx ' ikx ⎧⎪Ae +A e , x 0
ψ(x )=⎨ikx （5）
⎪⎩Ce , x 0
但是边界的条件有所不一样，由x=0点ψ连续和ψ' 跃变条件（3），得：
（6） A +A ' =C
A -A ' =C -消去A ' ，得
C =
A
（8） ⎛im γ⎫ 2⎪⎝i k ⎭
2m γC
（7） 2
i k
而
im γ2
' （9） A =C -A =-
A +2
k
因为入射波e i
k
的波幅已区是1，可以得知透射系数
C D ==
A
2
⎛m γ⎫ 1+42⎪
k ⎭⎝
22
=
⎛m γ2⎫
1+2⎪⎝2 E ⎭
（10）
反射系数
A '
R =
A
显然
2
m γ2=2 E
m γ21+2
2 E
（11）
C A '
+ A A
2
2
=1 （12）
讨论：
（一）假设δ势垒变成为δ势阱（γ→-γ），透射和反射系数的数值不会改变，依然像（10）和（11）所示；
2m γ2C
（二）δ势的特征长度是L =，特征能量是2。透射波的振幅（见
m γ A
[5]
⎛1⎫
⎪m γ k ⎝8式）只依赖于2=2，就是入射粒子波长与δ势的特征长度的比。而 k
m γC m γ2
≈1，即高能极限下粒子将全部穿透势垒。 透射系数只依靠在2时，A E
2
四、总结
通过这篇文章我们更加了解了δ函数在物理学中的重要性，也知道了数学工
具对于学习物理的重要，数学与物理相辅相成，相互发展。随着δ函数的日益完善，它在物理学中的应用也会不断扩大，那么它可以解决的问题也会随之增加。
参考文献
[1]王仕璠，朱自强，现代光学原理，电子科技大学出版社，7 [2]卞松玲，傅里叶光学（第一版），兵器工业出版社，1989，50 [3]刘金世，赵志杰，利用δ函数证明电磁学的两个基本定理，大庆高等专科学校学报，1997
年12月第17卷第4期。
[4]赵凯华，陈熙谋，电磁学上册（第二版），北京：高等教育出版社，1985，377-380
[5]陈秀武，关于“ 函数”的教学讨论，甘肃联合大学学报，2005年1月第19卷第1期。 [6]曾进言，量子力学导论（第二版），北京：北京大学出版社，1998。 [7]吕乃光，傅里叶光学，北京：机械工程出版社，1998，374-375
致谢：历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作
过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师—杨虎老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最中心的感谢! 感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版过程中提供热情的帮助。由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！
山西师范大学本科毕业论文
δ函数的物理性质分析
姓 名 院 系 专 业 班 级 学 号 指导教师 答辩日期 成 绩
陈晓林
物理与信息工程学院
物理学 0901 0952010142
杨虎
δ函数的物理性质分析
内容摘要
研究δ函数在物理学中的作用是应用用数学方式处理问题的一个典型。这个函数作为奇函数之中的一种，其所特有的优越性也在解决物理方面问题的同时显示了出来。这篇文章在介绍δ函数的定义及其性质的同时，同样也分析了δ函数的物理意义，而且主要分析了δ函数在物理学中的作用。并且也举例δ函数在物理的各个学科中的不同的应用，从而对δ函数有了特别全面的了解，同时能够对用数学的方法处理物理问题时有更高层次的理解和认识。
【关键词】δ函数 安培环路定理 δ势阱
Analysis of physical properties of Dirac function
Abstract
Delta function is a typical example solving physical problems by mathematical method. As a singular function, in solving physics problems it demonstrated unique advantages. This paper introduces the definition and properties of Delta function, based on analyzed the physical meaning of Delta function, focusing on the Delta function in the application of physical. It cited the application of different physical disciplines, and thus Delta function has a more comprehensive understanding to the mathematical treatment of physical problems have a higher level of understanding and awareness.
【key words】: δ function Ampere’s cycle law δPotential well
目录
引言 ............................................. （1） 一、δ函数的定义（definition of Delta Function） . . （1）
1.1类似于初等函数形式的定义 ............................... （1） 1.2普通函数序列极限形式的定义式 ............................ （2） 1.3广义函数形式的定义 .................................... （3） 1.4comb(x)—梳状函数 . ..................................... （4）
二、δ函数的物理性质及其解释 . ..................... （4）
2.1δ函数的筛选性 . ....................................... （4） 2.2δ函数的积分性 . ....................................... （5） 2.3δ函数坐标的缩放性 .................................... （5） 2.4δ函数的乘积性质 ...................................... （6） 2.5δ函数的傅里叶变换 .................................... （8）
三、δ函数在物理学中的应用 . ....................... （8）
3.1δ函数在电磁学中两大定理证明中的应用 ..................... （8） 3.2δ函数在力学中的应用 . ................................. （11） 3.3δ函数在光学中的应用 . ................................. （11） 3.4δ势在势阱中的穿透作用 ................................ （12）
参考文献 ......................................... （14） 致谢 ............................................. （15）
δ
函数的物理性质分析
学生姓名：陈晓林 指导教师：杨虎
引言
δ函数作为一个为了描述一些宽度极为窄小，而幅度趋于无穷大的物理量而被引入到物理中[1]，例如：质点、点电荷、点光源或者其他一些高度集中的物理量，所以δ函数又叫做脉冲函数。近现代的物理学中对δ函数有着很广泛的应用，而且δ函数是作为一个描述物理学中物理模型的数学工具，因此，我们学习物理的过程中就不可避免的要用到数学方面的知识，所以δ函数对于我们学习物理学有很大的帮助。在国内外的物理学家里面对δ函数也有很多的研究，并且还在不断的探寻它对于物理学的应用。本篇文章主要研究了δ函数的一些基础性的应用，δ函数的几种定义方法，δ函数的性质，δ函数在物理学中的应用等等。其他的文章虽然也是研究的这几个方面的知识，但是这篇文章主要研究了δ函数性质中的物理性质的解释以及它在物理学的各个学科中有着怎样的应用，并且给举出了一些例子。
一、δ函数的定义（definition of Delta Function）
1.1类似于初等函数形式的定义
对于自变量一维的狄拉克δ函数-δ（x ）来说，它满足于下面的条件：
⎧0, x ≠0
δ(x)=⎨ （1）
⎩∞, x =0
并且
错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
δ
（2）
这说明，错误！未找到引用源。函数在错误！未找到引用源。处全部为零，且在x=0处出现无穷大的极值，因此x=0处的点又称为奇异点。
但是不管
是否趋近于无穷大，对于它的积分却总是等于1. 即对应的δ函数的
又称为单位脉冲函数。
(x)dx=1
“面积”或“强度”是1，所以
上述δ函数是一维的δ函数表达式（见图一（a ）），也是经典定义下的传统表达式，
即函数必须同时满足（1）和（2）式。
函数δ(x , μ) =-μ2x 2
，对于μ=1,2,4， 每一条曲线下方总面积为1
δ函数除了一维的形式，还有二维（见图一（b ））、三维等多维的形式，如下是二维δ函数表达式：
或
（2）
对于δ函数给出了类似普通函数形式的定义，然而定义式所描述的图象并不普通，这个函数是一个在原点以外处处为零，而在原点出现无穷型跳跃的函数。表面上看（2）式避开了“δ(0)=∞”这个问题，但δ函数在整个数轴积分上等于1的规定，同样包含了它在原点处存在无穷型跳跃这一奇异性态。因此，对于δ函数的定义式（1）和（2）实质相同。它们都为δ函数建立了一个“非正统的普通函数”图象，如一所示，一维δ(x )函数是一个高度无限、宽度为零而“面积”为1的“脉冲”（见图一（a ））。
（1）
（a ）一维δ函数 （b ）二维δ函数
图一 δ函数
1.2普通函数序列极限形式的定义式
如果有一个序列，g n (x , y )，n=1，2，3„，那么这个序列中的任何一个函数g n (x , y )
都满足：
⎧+∞+∞
⎪⎰⎰g n (x , y )dxdy =1
⎨-∞-∞
⎪lim g (x , y )=0, x ≠0, y ≠0⎩n →∞n
则
δ(x , y )=lim g n (x , y )
n →∞
常用的函数有gaus 函数、sinc 函数以及rect 函数等，即： δ(x , y )=lim n 2exp ⎡-n 2π(x 2+y 2)⎤
⎣⎦n →∞ δ(x , y )=lim n 2sin c (nx )⋅sin c (ny )
n →∞
δ(x , y )=lim n 2rect (nx )⋅rect (ny )
n →∞
例如：δ(x , y )=lim n exp (-n 2πx 2)，当n 逐渐增大时的图形为：（b ）
n →∞
又例如：δ(x )=lim n ⋅rect (nx )，当n 逐渐增大时的图形为：（a ）
n →∞
（a ）矩形脉冲序列 （b ）高斯脉冲序列
1.3广义函数形式的定义
+∞+∞
-∞-∞
⎰⎰δ(x , y )f (x , y )dxdy =f (0.0)
⎰⎰δ(x -x , y -y )f (x , y )dxdy =f (x , y )
或者
+∞+∞
-∞-∞
其中：f (x , y )是一个在（0,0）或(x 0, y 0)处连续的任一函数。
有一个函数只要这个函数在积分中的作用与上式一样，那么就可以认为它是δ函
数。
总之，δ函数不是一般的函数，它不像普通函数一样完全由数值对应关系来确定的。它是一个广义函数，它的属性完全由它在积分中的作用体现出来的。 1.4comb(x)—梳状函数
+∞-∞
定义:comb (x ) =∑δ(x -n )是间隔为1的无穷多个δ函数的和（图如下）。
梳状函数图象
⎛x -x 0⎫+∞⎛x -x 0⎫
comb =δ-n ⎪∑ ⎪
a a ⎝⎭-∞⎝⎭
= a
n =-∞
∑δ(x -x
+∞
-na )
=a
n =-∞
∑δ(x -(x
+∞
+na ))
二、δ函数的物理性质及其解释
2.1δ函数的筛选性
δ函数的筛选性质，根据一般的广义的形式的定义就可以得到。
筛选性单位脉冲函数与一个在t=0处连续且有界的信号f(t)相乘，它的乘积只有在x=0处得到f （0），其余各点的乘积都为零。
⎰
+∞
-∞
δ(t )f (t )dt =⎰δ(t )f (0)dt
-∞
+∞
=f (0)⎰δ(t )dt
-∞
+∞
=f (0)
⎰
+∞
-∞
δ(t -t 0)f (t )dt =⎰δ(t -t 0)f (t 0)dt
-∞
+∞
+∞
=f (t 0)⎰δ(t )dt
-∞
=f (t 0)
比如，在f (x ) =x 时，得到：
∞
-∞∞
⎰x δ(x )dx =0
-∞
⎰x δ(x -a )dx =a
2.2δ函数的积分性
研究积分F (x )=
⎰δ(t )dt . 且由δ函数的定义可得, 当积分上限x
-∞
x
是0；当x >0，积分值是1.
F (x )=
⎰-∞δ(t )dt =⎨
x
⎧⎪0, ⎪⎩1.
(x
(x >0)
F (x )称为阶跃函数。即F (x )是δ(x )的原函数，δ(x )是F (x )的导数，
δ(x )=
dF (x )dx
2.3δ函数坐标的缩放性
设n 维常熟，且不为0，则有：
=
（n 0）
根据δ函数的坐标缩放性质，还得到了两个推论，推论如下：
推论1：
=
说明函数具有对称的性质，它为偶函数，在几何上表示δ
函数图形前后左右是对称的，且它的导数是奇函数。
推论2：
例如：
222
（x, y ）=lim N 2exp ⎡-N π(x +y ) ⎤证明：由δ函数定义δ⎣⎦式可得：
N →∞
222
δ（x, y ）=lim N 2exp ⎡-N π(x +y ) ⎤⎣⎦
N →∞
=lim N exp(-N 2πx 2) lim N exp(-N 2πy 2)
N →∞
N →∞
=(x)(y) (1)
同理可得 δ(ax , by )=δ(ax )δ(by ) (2)
22
（ax)=lim N exp ⎡根据δ⎣-N π(ax ) ⎤⎦
N →∞
使=, 那么上式可以变为：
22
⎤δ（ax)=lim N exp ⎡-N π(ax ) ⎣⎦
N →∞
=
= (3)
同理可得， (4)
把（3），（4）式的结果带入到（2）式，能够得出：
=
2.4δ函数的乘积性质
δ函数的这个特性也叫做δ函数的抽样特性。它表示任何一个连续的函数和δ函数相乘，它的结果只能抽取此函数在δ函数所在点的函数值，这个离散点为f (x )δ(x -x 0)，这样就把一个连续函数与离散点联系起来，可以对离散点进行分析运算[2]
若f(x)在点处连续，就有：
f(x)
f(x)
由此得出推论：
x
=0和x
=0
例如：comb （ax ）comb （by ）=
1
⎛ab
x -n , y -
m ⎫n ∑∞=-∞m ∑
∞
δ=-∞
⎝
a
b ⎪⎭
证明如下：
由梳状函数定义式comb （x ）= (1)
则有comb （ax ）comb(by) =
= (2)
利用以及=
（2）式变为comb （ax ）comb （by ） =
=
梳状函数图象
2.5δ函数的傅里叶变换
F . T F . T
F (μ)；δ(x )−−→∆设 f（x ）−−→(μ)
由卷积定理可知：
f (x )*δ(x )=f (x )
给等号两边同时作傅里叶变换，并利用卷积的性质，
若
ξ⎡⎣f 1(x )⎤⎦=F 1(μ)，ξ⎡⎣f 2(x )⎤⎦=F 2(μ)
则 ξ⎡⎣f 2(x )*f 2(x )⎤⎦=F 1(μ)⋅F 2(μ) 式， 可得：
F (μ)⋅∆(μ)=F (μ) （1） 所以 ∆(μ)=1 （2） 也就是 ξ⎡⎣δ(x )⎤⎦=1 推论：
ξ(1)=δ(x ) （3） （3）式表明了：常量的傅里叶变换（频谱）是脉冲。
三、δ函数在物理学中的应用
在物理学中经常用Delta 函数来描述某种极限状态和高度集中的物理量。比如在电
学里面经常要用δ函数来表示点电荷、电脉冲；而在光学里面，δ函数则表示的是点光源或一个单位面积的空间脉冲。
3.1δ函数在电磁学中两大定理证明中的应用[3]
电磁学里面的两个重要的定理：（1）Gauss 定理；（2）安培环路定理。 3.1.1用δ函数证明安培环路定理
如下面图中所示，在有电流I 的闭合回路中任一点处的电流密度为j (r ')，则由毕奥-萨伐尔定律[5]知，这条回路中的电流在空间r 点产生的磁感应强度B 为
B =
μ04π
⎰
'j (r )⨯R R
3
V '
dV ' （1）
B沿回路L 的积分曲线示意图
式中r '是源点位矢; R =r -r ', 为源点到场点的位矢, 把B 对任意一闭合回路L 求线积分, 可得 ⎰
L
B ⋅dL
=
⎰(
s
∇⨯B ⋅dS （2）
)
根据（1）式可只
μ
∇⨯B =∇⨯0
4π
⎰
j (r ')⨯R R 3
V '
dV '=-
μ04π
1⎤⎡'∇⨯j r ⨯∇dV ' （3） ()⎰V '⎢⎥R ⎦⎣
又因为
1⎤1⎫ 1⎡ '⎛1⎫ '⎛'⎤∇⨯⎢j (r )⨯∇⎥= ∇⋅∇⎪j (r )+ ∇⋅∇⎪j (r ')-⎡j r ⋅∇∇()⎣⎦R R ⎦R ⎭⎣⎝R ⎭⎝
1
'⎤-⎡∇⋅j r ∇()⎣⎦R
由于算符∇是对r 的微分算符, 和r '没关系, 所以上式右面第一、四项是0, 所以
∇⨯B =
μ04π 1'⎡⎤j r ⋅∇∇⎰V '⎣()⎦R dV '-μ0
4π
⎛21⎫''j r ⋅∇⎪dV ⎰V '() R ⎭⎝
上式右边第一项是0，因为
1
'⎡⎤j r ⋅∇∇()⎰V '⎣⎦R dV '=
⎛1⎫ '
∇⎪j (r )dS ⎰S
⎝R ⎭
1⎡-⎰⎣∇⋅j (r ')⎤∇⎦R dV ' V '
上面式子中，因为积分区域V '包括所有的电流在内，没有电流流过的区域的界面S ，所以上面式子中面积分是0；因为算符∇不作用于r '，所以上式右面的体积分也是0. 故，
μ∇⨯B =-0
4π
⎛21⎫''j r () ∇⎪dV =⎰V '
R ⎭⎝
μ0
4π
⎰
V '
j (r ')⋅4πδR dV '=μ0⎰j (r ')⋅δ(r -r ')dV '
()
V '
= μ0j (r )
根据上面综合得出：
⎰B ⋅dL =
L
当电流I 通过L 回路围成的面S 时⎧μ0I
μj ⋅dS =μj ⋅dS = ⎨00⎰⎰⎩0当电流I 不通过L 回路围成的面S 时S
这正是安培环路定理。 3.1.2用δ函数证明高斯定理。
如下图2所表示的，q 是空间位置中r '处的点电荷，假设S 是空间任意一个闭合曲面，dS 为S 上面的定向面元，以外法线方向为正向，通过闭合曲面S 的电通量则是
⎰E ⋅dS ，那么得出
ΦE
=
⎰
S
E ⋅dS =
⎰4πε
S
q (r ')R
R
⋅dS 3
=
q (r ')
⎛1⎫
-∇ ⎪⋅dS =4πε0⎰S R ⎝⎭
-q (r ')4πε0
⎰
V
∇2
1
dV R
=
q (r ')4πε0
⎰
V
4πδ(r '-r )dV
⎧q (r ')'⎪0当r ∈V =⎨⎪当r '∉V ⎩0
（注意：如果r '为空间中某一点处的位矢，R 是r '到空间上任意一点r 处的距离，知道∇2
1
R
=-4πδ(r '-r )）
在此可以得到，若是空间上分布有许多个电荷，则电场通过任意一个闭合的曲面的电通
∑q i
量等于面内的总电荷数除以ε0，是 E ⋅dS =(q i 在S 内)这个就是高斯定理，证⎰
S
明结束。
图2电通量图
3.2δ函数在力学中的应用 例如：表示某质点的密度[4]
某一个位于y 处于y 0处的质点，它的质量为m ，则该质点的线分布密度可视为ρ(y ) =m δ(y -y 0) 。 证明：
∞(y ≠y 0)，且⎰m ρm (y
-∞(y =y 0)
ρm (y )=m δ(y -y 0)=⎨
⎧⎪0
⎪⎩∞
-y d y )0
m =
3.3δ函数在光学中的应用
例子：试用δ函数来描述线光源。
解：用二维δ函数δ(x , y )和δ(x -x 0, y -y 0)分别表示在点x=0、y=0处和点
x =x 0、y =y 0处的点官员；而s (x , y )=δ(x )或s (x , y )=δ(x -x 0)可以分别表示
与y 轴重合或者与y 轴平行的线光源。
s (x , y )=δ(x -x 0)式x 轴方向上的一维δ函数，对每一个y 值s （x ，y ）都
是一个位于点x =x 0的、面积为1的δ函数。它在x 方向高度集中，在y 方向均匀分布，所以，s (x , y )=δ(x -x 0)式一个位于直线x =x 0上、具有强度dI
=1的
线光源。
当然，实际线光源不一定沿坐标轴方向放置，在xoy 坐标轴面上可呈任意方位，此时就能够用更为普通的δ函数表式为
s (x , y )=δ(ax +by +c ) （1） 其中a 、b 、c 式常数只有ax+by+c=0，即平面上的点（x ，y ）位于该方位直线上时，才能有δ(ax +by +c )≠0。式（1）可以表示成一个线光源的光强度。由δ函数的性质，得
δ(ax +by +c )=
1⎛by c ⎫
δ x ++⎪ a ⎝a a ⎭
1⎛ax c ⎫
δ x ++⎪ （2） b ⎝b b ⎭
=
该线光源在x 轴方向和在y 轴方向上分别有不同的强度密度
dI 1dI 1= 和 = （3） dx a dy b
由此可见，沿着该条直线的强度密度是
dI （4） =dl 更一般的情况是，线光源不是平面上的直线，而是一个曲线ρ=ω(x , y )。这
δ⎡时，若沿曲线ω(x , y )=0⎣ω(x , y )⎤⎦是一个位于曲线ρ=ω(x , y )=0上的线强度。的弧长增量为
dl =
和 ωy =
∂ω(x , y )∂y
ωx =于是
从而
∂ω(x , y )∂x
（5）
dI =dl δ⎡⎣ω(x , y )⎤⎦=
(ρ) （6）
若对x 解ω(x , y )=0，并且用x n 表示第n 个根，则有
δ⎡⎣ω(x , y )⎤⎦=∑
n
1
ωn
δ(y -y n )
3.4δ势在势阱中的穿透作用
设与质量为m 的粒子（能量E ＞0）从左射入，撞到δ势垒（见下图1） V (x )=γδ(x )，（常数γ
＞0） （1）
δ势的穿透
定态薛定谔方程表为：
2d 2
-=⎡E -γδ(x )⎤⎦ψ(x ) （2）2m dx 2⎣
x=0是方程的奇点，在此点ψ'' 不存在，表示为x=0点ψ' 为不连续，对于方程（2）
ε
积分lim +
ε→0
-
⎰εdx 可得
ψ' (ο+)-ψ' (ο-)=
2m γ
（3） ψ(ο) 2
所以在x=0点处，ψ' 一般是不连续的（除了ψ(0)=0）。（3）式称作δ式中ψ' 的跃变条件。
在x ≠0处，方程（2）化为
ψ'' (x )+k 2ψ(x )=
0，k =
（4）
它的两个线性独立的解的形式是e ±ikx ，并且考虑到从左面射入的假设，和方势垒的穿透相似，这道题的解依旧可表示为
ikx ' ikx ⎧⎪Ae +A e , x 0
ψ(x )=⎨ikx （5）
⎪⎩Ce , x 0
但是边界的条件有所不一样，由x=0点ψ连续和ψ' 跃变条件（3），得：
（6） A +A ' =C
A -A ' =C -消去A ' ，得
C =
A
（8） ⎛im γ⎫ 2⎪⎝i k ⎭
2m γC
（7） 2
i k
而
im γ2
' （9） A =C -A =-
A +2
k
因为入射波e i
k
的波幅已区是1，可以得知透射系数
C D ==
A
2
⎛m γ⎫ 1+42⎪
k ⎭⎝
22
=
⎛m γ2⎫
1+2⎪⎝2 E ⎭
（10）
反射系数
A '
R =
A
显然
2
m γ2=2 E
m γ21+2
2 E
（11）
C A '
+ A A
2
2
=1 （12）
讨论：
（一）假设δ势垒变成为δ势阱（γ→-γ），透射和反射系数的数值不会改变，依然像（10）和（11）所示；
2m γ2C
（二）δ势的特征长度是L =，特征能量是2。透射波的振幅（见
m γ A
[5]
⎛1⎫
⎪m γ k ⎝8式）只依赖于2=2，就是入射粒子波长与δ势的特征长度的比。而 k
m γC m γ2
≈1，即高能极限下粒子将全部穿透势垒。 透射系数只依靠在2时，A E
2
四、总结
通过这篇文章我们更加了解了δ函数在物理学中的重要性，也知道了数学工
具对于学习物理的重要，数学与物理相辅相成，相互发展。随着δ函数的日益完善，它在物理学中的应用也会不断扩大，那么它可以解决的问题也会随之增加。
参考文献
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年12月第17卷第4期。
[4]赵凯华，陈熙谋，电磁学上册（第二版），北京：高等教育出版社，1985，377-380
[5]陈秀武，关于“ 函数”的教学讨论，甘肃联合大学学报，2005年1月第19卷第1期。 [6]曾进言，量子力学导论（第二版），北京：北京大学出版社，1998。 [7]吕乃光，傅里叶光学，北京：机械工程出版社，1998，374-375
致谢：历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作
过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师—杨虎老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最中心的感谢! 感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版过程中提供热情的帮助。由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！