28课 平面图形的计算
【知识体系】
计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。解答这类问题要涉及以下几个方面的知识：面积公式、比和比例的应用、三角形的等积变形、方程等。现介绍几种常用的方法。
一、转化法
此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的
规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
例1. 如图1，点C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC 、AD 和CD 围成的阴影部分图形的面积为_________。
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【同步练习】
有一个梯形，它的面积是390平方厘米。从这个梯形的对角剪开，使这个梯形分成两个三角形，已知较大三角形的面积比较小三角形的面积多30平方厘米。求：这两个三角形各是多少平方厘米?
例 2. 已知等腰直角三角形ABC ，D 为斜边的中点，BC ＝8厘米，求阴影部分的面积。 分析 阴影部分是一个不规则的形状，不能用公式直接求出来，因而我们可以采用图形分割的方法解答。
同步练习： 求图中阴影部分的面积。(单位：厘米)
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二、和差法
有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。 例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，ADE 为
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圆，求阴影部分面积。 4
【同步练习】
ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径, 已知: AB =BC =10, 那么阴影部分的面积是多少?(圆周率π=3. 14)
三、重叠法
就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
例3. 如图4，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
【同步练习】
右图是一个直角等腰三角形, 直角边长2厘米, 图中阴影部分面积是 平方厘米.
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四、补形法
将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。
例4. 如图5，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A =60︒，∠B =∠D =90︒，求四边形ABCD 所在阴影部分的面积。
同步练习：. 求阴影部分的面积。(单位:厘米)
五、拼接法
例5. 如图6，在一块长为a 、宽为b 的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c 个单位），求阴影部分草地的面积。
六、蝴蝶模型
例6 梯形ABCD 被两条对角线分成了四个三角形S 1、S 2、S 3、S 4。已知S 1=2厘米2，S 2=6厘米2。求梯形ABCD 的面积。
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【同步练习】
如图5.61，ABCD 是一个梯形，已知三角形ABD 的面积是12平方厘米，三角形AOD 的面积比三角形BOC 的面积少12平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是______平方厘米。
技法总结
从解答的过程来看，阴影乙的面积就等于求阴影甲的面积时减去的扇形面积，加上一个、减去一个实际上就等于未加减，因而也可以设想成把阴影乙割下来，填到△ADB 中，那么阴影部分的面积就和△ADB 的面积相等了，直接求出△ADB 的面积即可。 【课堂训练】
1. 下图是一个正方形，正方形的周长是48厘米，点A ，B 分别把所在的边分成两段，这两段长度的比是1:2。求阴影部分的面积。
2 .上图中三角形三条边长分别为3厘米、4厘米、5厘米，求阴影部分的面积。(结果保留两位小数)
3.在右图中(单位:厘米), 两个阴影部分面积的和是 平方厘米.
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4.如图, 半圆S 1的面积是14.13平方厘米, 圆S 2的面积是19.625平方厘米. 那么长方形(阴影部分的面积) 是多少平方厘米?
【课后作业】
1. 如图，正方形的边长为a ，分别以两个对角顶点为圆心、以a 为半径画弧，求图中阴影部分的面积。
2. 如图11，正方形的边长为1，以CD 为直径在正方形内画半圆，再以点C 为圆心、1为半径画弧BD ，则图中阴影部分的面积为___________。
3. 如图5.56，长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是______。
4. 如图5．58，在等边三角形ABC 中，AF=3FB，FH 垂直于BC ，已知阴影部分的面积为1平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米？
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28课 平面图形的计算
【知识体系】
计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。解答这类问题要涉及以下几个方面的知识：面积公式、比和比例的应用、三角形的等积变形、方程等。现介绍几种常用的方法。
一、转化法
此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的
规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
例1. 如图1，点C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC 、AD 和CD 围成的阴影部分图形的面积为_________。
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【同步练习】
有一个梯形，它的面积是390平方厘米。从这个梯形的对角剪开，使这个梯形分成两个三角形，已知较大三角形的面积比较小三角形的面积多30平方厘米。求：这两个三角形各是多少平方厘米?
例 2. 已知等腰直角三角形ABC ，D 为斜边的中点，BC ＝8厘米，求阴影部分的面积。 分析 阴影部分是一个不规则的形状，不能用公式直接求出来，因而我们可以采用图形分割的方法解答。
同步练习： 求图中阴影部分的面积。(单位：厘米)
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二、和差法
有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。 例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，ADE 为
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圆，求阴影部分面积。 4
【同步练习】
ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径, 已知: AB =BC =10, 那么阴影部分的面积是多少?(圆周率π=3. 14)
三、重叠法
就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
例3. 如图4，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
【同步练习】
右图是一个直角等腰三角形, 直角边长2厘米, 图中阴影部分面积是 平方厘米.
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四、补形法
将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。
例4. 如图5，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A =60︒，∠B =∠D =90︒，求四边形ABCD 所在阴影部分的面积。
同步练习：. 求阴影部分的面积。(单位:厘米)
五、拼接法
例5. 如图6，在一块长为a 、宽为b 的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c 个单位），求阴影部分草地的面积。
六、蝴蝶模型
例6 梯形ABCD 被两条对角线分成了四个三角形S 1、S 2、S 3、S 4。已知S 1=2厘米2，S 2=6厘米2。求梯形ABCD 的面积。
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【同步练习】
如图5.61，ABCD 是一个梯形，已知三角形ABD 的面积是12平方厘米，三角形AOD 的面积比三角形BOC 的面积少12平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是______平方厘米。
技法总结
从解答的过程来看，阴影乙的面积就等于求阴影甲的面积时减去的扇形面积，加上一个、减去一个实际上就等于未加减，因而也可以设想成把阴影乙割下来，填到△ADB 中，那么阴影部分的面积就和△ADB 的面积相等了，直接求出△ADB 的面积即可。 【课堂训练】
1. 下图是一个正方形，正方形的周长是48厘米，点A ，B 分别把所在的边分成两段，这两段长度的比是1:2。求阴影部分的面积。
2 .上图中三角形三条边长分别为3厘米、4厘米、5厘米，求阴影部分的面积。(结果保留两位小数)
3.在右图中(单位:厘米), 两个阴影部分面积的和是 平方厘米.
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4.如图, 半圆S 1的面积是14.13平方厘米, 圆S 2的面积是19.625平方厘米. 那么长方形(阴影部分的面积) 是多少平方厘米?
【课后作业】
1. 如图，正方形的边长为a ，分别以两个对角顶点为圆心、以a 为半径画弧，求图中阴影部分的面积。
2. 如图11，正方形的边长为1，以CD 为直径在正方形内画半圆，再以点C 为圆心、1为半径画弧BD ，则图中阴影部分的面积为___________。
3. 如图5.56，长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是______。
4. 如图5．58，在等边三角形ABC 中，AF=3FB，FH 垂直于BC ，已知阴影部分的面积为1平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米？
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