构造法之构造几何图形
构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面摘一些典型例题，分成几个专题，方便大家学习。 例1：已知，则x 的取值范围是（） A 1≤x≤5 B x≤1 C1＜x ＜5 D x≥5
分析：根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3，只要表示数 的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1≤ x≤5，故选A 。
例2. 求+x 2+4+(4-x ) 2(0≤x ≤4) 的最小值.
分析：本题单纯用代数方法处理，简直无从下手，注意式中的特征，构造直角三角形，转化为在直线上求一点，使它到两定点的距离之和最小 . D D B P
B C ′ 图4
图3 解：如图3，作AB=4，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，且AC=1，BD=2，P 为AB 上一点， 设AP=x ，则PC =+x , PD =4+(4-x ) ，问题转化为找出P 点的位置，使PC+PD最小. 如图4，作C 关于AB 的对称点C ′，连结C ′D 交AB 于P ，由⊿PAC ′
x 14
=，求得x =，所以+x 2+4+(4-x ) 2的最小值是5. ∽⊿PBD ，得
4-x 23
例3： 已知x,y,z ∈（0，1），求证： x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1 证：构造边长为1的正△ABC ，D ，E ，F 为边上三点，
2
2
并设BD=x，CE=y， AF=z，如图1 显然有S △BDE +S△CEF +S△ADF
4
即
3333 x(1-y)+ ＜4444
例4正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足条件a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA
证明一：由求证的不等式联想到面积关系，由所设条件联想到构造以边长为k 的正三角形，如下图所示：
P C N c Q
b M B A L a
由S △LRM+S△MPN+S△NQL
证明二：由求证的不等式联想到面积关系，由题设条件式联想到以边长为k 的正方形。如下图所示。
a B b
bC B
C b aB
cA
c A
由图即证。
证明三：以上两种证法是联想到面积，那么联想到体积可以吗？ 不妨构造棱长为k 的正方形，则有
k3=(a+A)·(b+B)·(c+C)ss=abc+ABC+k(aB+bC+cA) 显然k3>k(aB+bC+cA) 得证。
证明四：还可联想函数式，构造以c （或a 或b ）为变量字母的一次函数式： f(c)=(k-a-b)c+k(a+b)-ab-k2 (0
此函数式的图象是无端点的线段，且f(0)
例5： 试证：对任何
，都有
，当有仅当
观察题目特点，从
时等号成立。
联想到余弦定理，可以构造
三角形，同理，另两个根式也可构造三角形，利用几何图形进行证明。
根据题意构造图形（如上图），其中AB=a，BC=c，BD=b，由余弦定理得：
在
中，
，则
。但当，
即
，
A 、D 、C 三点共线时等号成立，此时
，
。
，即
例6：已知x 、y 、z 为正数，且xyz （x+y+z）=1，求（x+y）（y+z）的最小值 分析：该题看似无从下手，但（x+y）（y+z）得形式类似与AB 形式，与面积公式有相似之处，我们可以构造一个边长为a=x+y，b=y+z，c=z+x的三角形ABC ，那么此三角形的面积可以用两种方法来求： （1）海伦公式：不再大纲范围（略）
因此当sinC 最大等于1时，（x+y）（y+z）有最小值为2。
例7如图5，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5-，CD=6，则AD=________. 解：如图构造矩形EFDG.
A 图7
B
C
G
∠ABC =135︒, AB =6, ∴AE=BE=， ∠BCD =120︒, CD =6, ∴CG =3, GD =33. ∴DF =EB +BC +CG =+5-+3=8, AF =EF -AE =3-=2. ∴AD =
AF 2+DF 2=(2) 2+82=2.
例8：如图6，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a , 求BD 的长. 分析：求线段的长一般是把线段放到比例式或直角三角形中，根据题意构造⊙A ，根据直径所对的圆周角是直角得到Rt ⊿BDE. C 解：以A 为圆心，AB 为半径构造⊙A ，由于AB=AC=AD， 则C ，D 在⊙A 上，延长BA 交⊙A 于E ，连结DE ，得 B Rt ⊿BDE. 由于AB ∥DC BC=b ，所以ED=BC=b ，又 EB=2AB=2a ，所以
BD =(2a ) 2-b 2=4a 2-b 2
A
.
图8
练习：
1、已知a ，b ，c ，d 为正数，且a^2+b^2=c^2+d^2,ac=bd,求证：a=d,b=c
2、已知0＜a ＜1，0＜b ＜1， 求证：√（a^2+b^2）+√(a-1)^2+b^2+√a^2+(b-1)^2+√(a-1)^2+(b-1)^2>=2√2
3、求证：ac+bd≤√(a^2+b^2) *√(c^2+d^2)
构造法之构造几何图形
构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面摘一些典型例题，分成几个专题，方便大家学习。 例1：已知，则x 的取值范围是（） A 1≤x≤5 B x≤1 C1＜x ＜5 D x≥5
分析：根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3，只要表示数 的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1≤ x≤5，故选A 。
例2. 求+x 2+4+(4-x ) 2(0≤x ≤4) 的最小值.
分析：本题单纯用代数方法处理，简直无从下手，注意式中的特征，构造直角三角形，转化为在直线上求一点，使它到两定点的距离之和最小 . D D B P
B C ′ 图4
图3 解：如图3，作AB=4，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，且AC=1，BD=2，P 为AB 上一点， 设AP=x ，则PC =+x , PD =4+(4-x ) ，问题转化为找出P 点的位置，使PC+PD最小. 如图4，作C 关于AB 的对称点C ′，连结C ′D 交AB 于P ，由⊿PAC ′
x 14
=，求得x =，所以+x 2+4+(4-x ) 2的最小值是5. ∽⊿PBD ，得
4-x 23
例3： 已知x,y,z ∈（0，1），求证： x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1 证：构造边长为1的正△ABC ，D ，E ，F 为边上三点，
2
2
并设BD=x，CE=y， AF=z，如图1 显然有S △BDE +S△CEF +S△ADF
4
即
3333 x(1-y)+ ＜4444
例4正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足条件a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA
证明一：由求证的不等式联想到面积关系，由所设条件联想到构造以边长为k 的正三角形，如下图所示：
P C N c Q
b M B A L a
由S △LRM+S△MPN+S△NQL
证明二：由求证的不等式联想到面积关系，由题设条件式联想到以边长为k 的正方形。如下图所示。
a B b
bC B
C b aB
cA
c A
由图即证。
证明三：以上两种证法是联想到面积，那么联想到体积可以吗？ 不妨构造棱长为k 的正方形，则有
k3=(a+A)·(b+B)·(c+C)ss=abc+ABC+k(aB+bC+cA) 显然k3>k(aB+bC+cA) 得证。
证明四：还可联想函数式，构造以c （或a 或b ）为变量字母的一次函数式： f(c)=(k-a-b)c+k(a+b)-ab-k2 (0
此函数式的图象是无端点的线段，且f(0)
例5： 试证：对任何
，都有
，当有仅当
观察题目特点，从
时等号成立。
联想到余弦定理，可以构造
三角形，同理，另两个根式也可构造三角形，利用几何图形进行证明。
根据题意构造图形（如上图），其中AB=a，BC=c，BD=b，由余弦定理得：
在
中，
，则
。但当，
即
，
A 、D 、C 三点共线时等号成立，此时
，
。
，即
例6：已知x 、y 、z 为正数，且xyz （x+y+z）=1，求（x+y）（y+z）的最小值 分析：该题看似无从下手，但（x+y）（y+z）得形式类似与AB 形式，与面积公式有相似之处，我们可以构造一个边长为a=x+y，b=y+z，c=z+x的三角形ABC ，那么此三角形的面积可以用两种方法来求： （1）海伦公式：不再大纲范围（略）
因此当sinC 最大等于1时，（x+y）（y+z）有最小值为2。
例7如图5，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5-，CD=6，则AD=________. 解：如图构造矩形EFDG.
A 图7
B
C
G
∠ABC =135︒, AB =6, ∴AE=BE=， ∠BCD =120︒, CD =6, ∴CG =3, GD =33. ∴DF =EB +BC +CG =+5-+3=8, AF =EF -AE =3-=2. ∴AD =
AF 2+DF 2=(2) 2+82=2.
例8：如图6，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a , 求BD 的长. 分析：求线段的长一般是把线段放到比例式或直角三角形中，根据题意构造⊙A ，根据直径所对的圆周角是直角得到Rt ⊿BDE. C 解：以A 为圆心，AB 为半径构造⊙A ，由于AB=AC=AD， 则C ，D 在⊙A 上，延长BA 交⊙A 于E ，连结DE ，得 B Rt ⊿BDE. 由于AB ∥DC BC=b ，所以ED=BC=b ，又 EB=2AB=2a ，所以
BD =(2a ) 2-b 2=4a 2-b 2
A
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图8
练习：
1、已知a ，b ，c ，d 为正数，且a^2+b^2=c^2+d^2,ac=bd,求证：a=d,b=c
2、已知0＜a ＜1，0＜b ＜1， 求证：√（a^2+b^2）+√(a-1)^2+b^2+√a^2+(b-1)^2+√(a-1)^2+(b-1)^2>=2√2
3、求证：ac+bd≤√(a^2+b^2) *√(c^2+d^2)