2017年高中数学必修3考试题
满分150分， 考试时间120分钟
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式b =
∑x y -n x y
i i
i =1n
n
∑x
i =1
2i
-n x
2
, a =y -b x
样本数据x 1, x 2,…,x n 的方差s =
2
1
(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2, 其中x 是平均值 n
[]
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只
有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中。 1. 101110(2)转化为等值的十进制数是( A )
A ．46 B ．56 C ．67 D ．78
2．高二年级有14个班，每个班的同学从1到50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下来进行交流，这里运用的是（ D ） A ．分层抽样 B ．抽签抽样 C ．随机抽样 D ．系统抽样 3. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别 （ B ）.
Ａ．23与26 B ．31与25 C ．24与30
1
2 3 4 2 0 0 1
4 7 3 4 6 1 1 2
D ．26与30
4. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ D ） A 、
1999
B.
11000
C.
9991000
D.
12
5. 如下四个游戏盘, 现在投镖, 投中阴影部分概率最大的是 ( A
)
6. 把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ B ）
A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件 D ．必然事件 7． 甲, 乙两人随意入住两间空房, 则甲乙两人各住一间房的概率是 ( C )
A.
111
B. C. D. 无法确定 342
8. 右边程序，如果输入的x 值是20，则输出的y 值是（ D ） A ．100 B ．50 C ．25 D ．150 9. 如果数据x 1, x 2, x 3 x n 的平均值为，方差为S ，则
2
3x 1+5, 3x 2+5, 3x 3+5 3x n +5的平均值和方差分
别为（ B ）
2
2
2
A ．x 和S B ．3x +5和9S C ．3x +5和S
D ．3x +5 和 9S +30S +25
10. 统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（ A ）
A ． 80% B ．25%
C ．6% D ．20% 11. 左图给出的是计算
2
1111+++ +的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条24620
件是( B )
A 、i
、
i ≤10 C 、i
80 90 100
12. , 先由甲心中想一个数字, 记为a , 再由乙猜甲刚才所想的数字, 把乙猜的数字记为b , 其中a , b ∈{1,2,3,4,5,6}, 若a -b ≤1, 就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏, 则他们“心有灵犀”的概率为 ( C ) A.
1 9
B.
2
9
C.
47 D. 918
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案写在答题卡中横线上。 13. 用辗转相除法求两个数102、238的最大公约数是__________.
答案:34
14. 为了解某社区居民有无收看“2008北京奥运会开幕式”，某记者分别从某社区60～70岁，
40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160人，240人，x 人中，采用分层抽样的方法共抽查了30人进行调查，若在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x 为____200______ 15. 从写上0,1,2,…,9 十张卡片中, 有放回地每次抽一张, 连抽两次, 则两张卡片数字各不相同的概率是____9/10______
16．某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：由
资料显示y 对x 呈线性相关关系。
ˆ=bx +a 中的b =6.5，预测销售额根据上表提供的数据得到回归方程y
为100万元时约需 682.5 万元广告费。
17. 为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正
方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是___9____
．
18. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密) 方由密文→明文(解密) ，已知加密规则如图所示，例如，明文1, 2,3, 4对应密文5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9,23,28时，则
三. 解答题（本题共6小题，共60证明过程或演算步骤）
19. （本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1能性相等．
（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率.
(Ⅲ) 若规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由。
解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x 、y ， 用(x , y ) 表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ， 则A =(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)．
事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P (A )=答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为
{}
41
=． 164
1
． 4
（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ， 则B =(1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (3,3), (3,4), (4,3)．
{}
7． 167
答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．
16
事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P (B )=
(Ⅲ) 设“甲获胜”为事件C, 则C ={(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
P (C ）=
3
8,
33
乙获胜的概率也是所以这样规定公平 88,
因为甲获胜的概率是
20．（本小题12分）
（1）在长16cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于25cm 2与81cm 2之间的概率．
（2）如图所示，在一个边长为5cm 的正方形内部画一个边长为3cm 的小正方形，现在向大正方形随机投点，假设所投的点都落在大正方形内，求所投的点落入大正方形内小正方形外的概率． 解：（1）由题意可知，以线段AM 为边长的正方形面积要
介于25cm 2与81cm 2之间，即要求AM 介于5cm 与9cm 之间，
记“以线段AM 为边长的正方形面积介于25c m 2与81cm 2之间”为事件A ， 则由几何概型的求概率的公式得P （A ）＝
9-51
＝ …………5 164
（2）记“所投的点落入大正方形内小正方形外”为事件A ，
则“所投的点落入小正方形内”为事件A 的对立事件A ，
-
3216
所以P （A ）＝1－P(A )=1－2＝ …………5
255
-
21．（本题满分12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨) 与相应的生
产能耗y (吨标准煤) 的几组对照数据
ˆ+a ˆ； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =bx (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 解： (1)
如下图
……………4分
(2)
n
i =1
∑x i y i =3⨯2.5+4⨯3+5⨯4+6⨯4.5=66.5
x =
3+4+5+6
=4.5
4
2. 5+3+4+4. 5
=3.5 y =
4
n
2
i =1
∑x i 3456
=
+
+
+
2222
=86………6分
ˆ=66.5-4⨯4.5⨯3.5=66.5-63=0.7 b
86-4⨯4.5286-81
ˆ=3.5-0.7⨯4.5=0.35 ˆ=-a
故线性回归方程为y=0.7x+0.35……………10分
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7⨯100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)…………12分 22、（12分）某校数学兴趣班将10名成员平均分为甲、乙两组进行参赛选拔，在单位时间
（I ）分别求出甲、乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差，并由此分析
这两组的数学水平；
（II ）学校教务部门从该兴趣班的甲、乙两组中各随机抽取1名学生，对其进行考查，
若两人做对题目的个数之和超过12个，则称该兴趣班为“优秀兴趣班”，求该兴趣班获“优秀兴趣班”的概率
解：（I ）依题中的数据可得：
11
(4+5+7+9+10) =7, x 乙=(6+7+8+9) =7, …………2分 551262
s 甲=[(4-7) 2+(5-7) 2+(7-7) 2+(9-7) 2+(10-7) 2]==5. 2
5512
s 乙=[(5-7) 2+(6-7) 2+(7-7) 2+(8-7) 2+(9-7) 2]=2…………4分
5x 甲=
22
x 甲=x 乙, s 甲>s 乙,
∴两组学生的总体水平相同，甲组中学生的技术水平差异比乙组大。…………6分 （II ）设事件A 表示：该兴趣班获“优秀”，
则从甲、乙两组中各抽取1名学生做对题目个数的基本事件为： （4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9） （5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9） （7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9） （9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9） （10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种 …………9分 事件A 包含的基本事件为： （4，9） （5，8），（5，9） （7，6），（7，7），（7，8），（7，9） （9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9） （10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共17种 …………11分
∴P (A ) =
17
. 25
17
. …………12分 25
答：即该兴趣班获“优秀”的概率为
23、（12分）某学校在2010年的招聘教师考试合格的成绩中随机抽取100名考生的笔试成
绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.
（Ⅰ）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的老师，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名考生进入第二轮面试？ （Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名考生中随机抽取2名考生接受校长面试，求：第4组至少有一名学生被校长面试的概率？
23 (1)
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(2) 第3、4、5组分别抽取3 人、2人、1人； (3)3/5
2017年高中数学必修3考试题
满分150分， 考试时间120分钟
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式b =
∑x y -n x y
i i
i =1n
n
∑x
i =1
2i
-n x
2
, a =y -b x
样本数据x 1, x 2,…,x n 的方差s =
2
1
(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2, 其中x 是平均值 n
[]
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只
有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中。 1. 101110(2)转化为等值的十进制数是( A )
A ．46 B ．56 C ．67 D ．78
2．高二年级有14个班，每个班的同学从1到50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下来进行交流，这里运用的是（ D ） A ．分层抽样 B ．抽签抽样 C ．随机抽样 D ．系统抽样 3. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别 （ B ）.
Ａ．23与26 B ．31与25 C ．24与30
1
2 3 4 2 0 0 1
4 7 3 4 6 1 1 2
D ．26与30
4. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ D ） A 、
1999
B.
11000
C.
9991000
D.
12
5. 如下四个游戏盘, 现在投镖, 投中阴影部分概率最大的是 ( A
)
6. 把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ B ）
A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件 D ．必然事件 7． 甲, 乙两人随意入住两间空房, 则甲乙两人各住一间房的概率是 ( C )
A.
111
B. C. D. 无法确定 342
8. 右边程序，如果输入的x 值是20，则输出的y 值是（ D ） A ．100 B ．50 C ．25 D ．150 9. 如果数据x 1, x 2, x 3 x n 的平均值为，方差为S ，则
2
3x 1+5, 3x 2+5, 3x 3+5 3x n +5的平均值和方差分
别为（ B ）
2
2
2
A ．x 和S B ．3x +5和9S C ．3x +5和S
D ．3x +5 和 9S +30S +25
10. 统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（ A ）
A ． 80% B ．25%
C ．6% D ．20% 11. 左图给出的是计算
2
1111+++ +的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条24620
件是( B )
A 、i
、
i ≤10 C 、i
80 90 100
12. , 先由甲心中想一个数字, 记为a , 再由乙猜甲刚才所想的数字, 把乙猜的数字记为b , 其中a , b ∈{1,2,3,4,5,6}, 若a -b ≤1, 就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏, 则他们“心有灵犀”的概率为 ( C ) A.
1 9
B.
2
9
C.
47 D. 918
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案写在答题卡中横线上。 13. 用辗转相除法求两个数102、238的最大公约数是__________.
答案:34
14. 为了解某社区居民有无收看“2008北京奥运会开幕式”，某记者分别从某社区60～70岁，
40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160人，240人，x 人中，采用分层抽样的方法共抽查了30人进行调查，若在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x 为____200______ 15. 从写上0,1,2,…,9 十张卡片中, 有放回地每次抽一张, 连抽两次, 则两张卡片数字各不相同的概率是____9/10______
16．某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：由
资料显示y 对x 呈线性相关关系。
ˆ=bx +a 中的b =6.5，预测销售额根据上表提供的数据得到回归方程y
为100万元时约需 682.5 万元广告费。
17. 为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正
方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是___9____
．
18. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密) 方由密文→明文(解密) ，已知加密规则如图所示，例如，明文1, 2,3, 4对应密文5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9,23,28时，则
三. 解答题（本题共6小题，共60证明过程或演算步骤）
19. （本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1能性相等．
（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率.
(Ⅲ) 若规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由。
解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x 、y ， 用(x , y ) 表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ， 则A =(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)．
事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P (A )=答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为
{}
41
=． 164
1
． 4
（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ， 则B =(1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (3,3), (3,4), (4,3)．
{}
7． 167
答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．
16
事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P (B )=
(Ⅲ) 设“甲获胜”为事件C, 则C ={(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
P (C ）=
3
8,
33
乙获胜的概率也是所以这样规定公平 88,
因为甲获胜的概率是
20．（本小题12分）
（1）在长16cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于25cm 2与81cm 2之间的概率．
（2）如图所示，在一个边长为5cm 的正方形内部画一个边长为3cm 的小正方形，现在向大正方形随机投点，假设所投的点都落在大正方形内，求所投的点落入大正方形内小正方形外的概率． 解：（1）由题意可知，以线段AM 为边长的正方形面积要
介于25cm 2与81cm 2之间，即要求AM 介于5cm 与9cm 之间，
记“以线段AM 为边长的正方形面积介于25c m 2与81cm 2之间”为事件A ， 则由几何概型的求概率的公式得P （A ）＝
9-51
＝ …………5 164
（2）记“所投的点落入大正方形内小正方形外”为事件A ，
则“所投的点落入小正方形内”为事件A 的对立事件A ，
-
3216
所以P （A ）＝1－P(A )=1－2＝ …………5
255
-
21．（本题满分12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨) 与相应的生
产能耗y (吨标准煤) 的几组对照数据
ˆ+a ˆ； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =bx (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 解： (1)
如下图
……………4分
(2)
n
i =1
∑x i y i =3⨯2.5+4⨯3+5⨯4+6⨯4.5=66.5
x =
3+4+5+6
=4.5
4
2. 5+3+4+4. 5
=3.5 y =
4
n
2
i =1
∑x i 3456
=
+
+
+
2222
=86………6分
ˆ=66.5-4⨯4.5⨯3.5=66.5-63=0.7 b
86-4⨯4.5286-81
ˆ=3.5-0.7⨯4.5=0.35 ˆ=-a
故线性回归方程为y=0.7x+0.35……………10分
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7⨯100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)…………12分 22、（12分）某校数学兴趣班将10名成员平均分为甲、乙两组进行参赛选拔，在单位时间
（I ）分别求出甲、乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差，并由此分析
这两组的数学水平；
（II ）学校教务部门从该兴趣班的甲、乙两组中各随机抽取1名学生，对其进行考查，
若两人做对题目的个数之和超过12个，则称该兴趣班为“优秀兴趣班”，求该兴趣班获“优秀兴趣班”的概率
解：（I ）依题中的数据可得：
11
(4+5+7+9+10) =7, x 乙=(6+7+8+9) =7, …………2分 551262
s 甲=[(4-7) 2+(5-7) 2+(7-7) 2+(9-7) 2+(10-7) 2]==5. 2
5512
s 乙=[(5-7) 2+(6-7) 2+(7-7) 2+(8-7) 2+(9-7) 2]=2…………4分
5x 甲=
22
x 甲=x 乙, s 甲>s 乙,
∴两组学生的总体水平相同，甲组中学生的技术水平差异比乙组大。…………6分 （II ）设事件A 表示：该兴趣班获“优秀”，
则从甲、乙两组中各抽取1名学生做对题目个数的基本事件为： （4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9） （5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9） （7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9） （9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9） （10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种 …………9分 事件A 包含的基本事件为： （4，9） （5，8），（5，9） （7，6），（7，7），（7，8），（7，9） （9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9） （10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共17种 …………11分
∴P (A ) =
17
. 25
17
. …………12分 25
答：即该兴趣班获“优秀”的概率为
23、（12分）某学校在2010年的招聘教师考试合格的成绩中随机抽取100名考生的笔试成
绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.
（Ⅰ）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的老师，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名考生进入第二轮面试？ （Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名考生中随机抽取2名考生接受校长面试，求：第4组至少有一名学生被校长面试的概率？
23 (1)
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(2) 第3、4、5组分别抽取3 人、2人、1人； (3)3/5