1. 半径为R 的均匀磁化介质球，磁化强度为，则介质球的总磁矩为
A ． B. C. D. 0
答案:B
2. 下列函数中能描述静电场电场强度的是
A ．数） 答案: D
3. 充满电容率为的介质平行板电容器，当两极板上的电量（很小），若电容器的电容为C ，两极板间距离为d ，忽略边缘效应，两极板间的位移电流密度为：
B.
C.
D.
（为非零常
A ．答案:A
B. C. D.
4. 下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度? 式中的为非零常数
A ．答案:A
5. 变化磁场激发的感应电场是
A. 有旋场, 电场线不闭和 B.无旋场, 电场线闭和 C.有旋场, 电场线闭和 D.无旋场, 电场线不闭和 答案: C
6. 在非稳恒电流的电流线的起点. 终点处, 电荷密度满足
(柱坐标) B.
C.
D.
A. 答案: D
B. C. D.
7. 处于静电平衡状态下的导体, 关于表面电场说法正确的是:
A. 只有法向分量; B.只有切向分量 ; C.表面外无电场 ; D.既有法向分量, 又有切向分量 答案:A
8. 介质中静电场满足的微分方程是
A.D. 答案:B
B.; C.
9. 对于铁磁质成立的关系是 A.
答案:C
10. 线性介质中, 电场的能量密度可表示为
B.
C.
D.
A. ; B.; C. D.
答案:B
11. 已知介质中的极化强度
，其中A
为常数，介质外为真空，介质中的极化电荷体密度
分别等于
；与垂直的表面处的极化电荷面密度
和 。答案: 0, A, -A
=（5xy
+
）cos500t ，空间的自由电荷体密度为 答案:
12. 已知真空中的的电位移矢量
13. 变化磁场激发的感应电场的旋度等于 。答案:
14. 介电常数为
的均匀介质球，极化强度面极化电荷密度等于 答案0,
A 为常数，则球内的极化电荷密度为 ，表
15. 一个半径为R 的电介质球, 极化强度为为 ,介质中的电场强度等于 .
, 则介质中的自由电荷体密度
答案:
22.
解: （1）由于电荷体系的电场具有球对称性，作半径为
的同心球面为高斯面，利用高斯定理
当 0＜r ＜
时，
＜r ＜时，
r ＞时，
（2）介质内的极化电荷体密度
解: （1）由于磁场具有轴对称性，在半径为r 的同轴圆环上，磁场的切线方向，并与电流方向服从右手螺旋关系，应用
大小处处相等，方向沿环
当r ＞时，有
当＜r ＜时，
当r ＜时，
（＜r
＜
27．
图
1-41
图
1-43
第二章 静 电 场
1、泊松方程适用于
A. 任何电场 B. 静电场; C. 静电场而且介质分区均匀; D.高频电场 答案： C
2、下列标量函数中能描述无电荷区域静电势的是 A ．
答案： B
B.
和
C.
D.
3、真空中有两个静止的点电荷，相距为a ，它们之间的相互作用能是
D.
A ．
B. C. 答案：A
4、线性介质中, 电场的能量密度可表示为 A. ; B.答案：B
; C.
D.
), 将他们
5.
两个半径为
,
带电量分别是,
且接触后又放回原处, 系统的相互作用能变为原来的
导体球相距为
a(a>>
A. B. 答案： A
C. D.
6. 电导率分别为, 电容率为势的法向微商满足的关系是 A ．
C.
答案：C 7、电偶极子A.
B.
的均匀导电介质中有稳恒电流, 则在两导电介质分界面上电
D. 在外电场
中的相互作用能量是
C.
B. D.
8、若一半径为R 的导体球外电势为
为 。 答案：
为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度
9. 若一半径为R 的导体球外电势为
面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 .
,a 为非零常数，球外为真空，则球
答案： ,
10、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。 答案：
11、设某一静电场的电势可以表示为
, 该电场的电场强度是_______。
答案：
12．真空中静场中的导体表面电荷密度_______。
答案：
总是等于体自由电荷密度
_____的倍。
13．均匀介质内部的体极化电荷密度答案： -（1-）
14. 电荷分布激发的电场总能量答案：全空间充满均匀介质
15．无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。
的适用于 情形.
答案：
16. 接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等
于
.
答案：
17．无电荷分布的空间电势 极值
.(填写“有”或“无”)
答案：无
18．镜象法的理论依据是_______
，象电荷只能放在_______区域。 答案：唯一性定理
, 求解区以外空间
19．当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。 答案：零
20. 一个内外半径分别为R 1、R2的接地导体球壳, 球壳内距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。 答案：
21．一个半径为R 的电质介球，极化强度为P=，电容率为 ，
（1） 计算束缚电荷的体密度和面密度； （2） 计算自由电荷体密度； （3） 计算球内和球外的电势；
（4） 求该带电介质球产生的静电场总能量。 解：（1）根据
球面上的极化电荷面密度
（2）在球内自由电荷密度 得
（3）球内的总电荷为
与
的关系为
由于介质上极化电荷的代数和为零，上式中后两项之和等于零。
球外电势相当于将Q 集中于球心时的电势
球内电势
根据
将②代入①式，得
得
（r>R）
①
②
= (4)求该带电介质球产生的静电场总能量：
22. 真空中静电场的电势为解: 由静电势的方程
，得
，求产生该电场的电荷分布
值关系
28．在均匀外场中置入半径为
, 因此电荷只能分布在x=0面上，设电荷面密度为 ，根据边
的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：
；
（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差（2）导体球上带总电荷Q 。
解： （1）选导体球球心为坐标原点，E 方向为极轴Z ，建立球坐标系，并设 未放入导体前原点电势为
，球外电势为，则满足
①
=
②
= -E Rcos ③ 由于电势具有轴对称性，通解为
④
将④代入②﹑③式比较P 的系数，得
所以
（R 〉R ）
的第一﹑二项是均匀外电场的电势，第三项是导体接上电源后使球均匀带电而产生的球对称电势，最后一项是导体球上的感应电荷在球外产生的点势。 （2）若使导体球带电荷Q ，则球外电势满足
=
①
（待定常量） ②
=
-E Rcos ③
④
同时满足要求
由于前三个关系与①中相同，故
将⑤式代入④式中，得
⑤
解得
于是，得
⑥
和
，球中心置一偶极子P ，球壳上带电Q ，求空间各点电
之
31．空心导体球壳的内外半径为
势和电荷分布。 解：选球心为原点，令和，即壳内外电势
，电势等于球心电偶极子的电势与球壳内外表面上电荷的电势
①
电势满足的方程边界条件为
②
③
④
有限 ⑤
⑥
（待定） ⑦
⑧
由于电势具有轴对称性，并考虑5，6两式，所以设
将上式代入①，②两式后再利用⑦式解得
于是，得
将
代入⑧式可确定导体壳的电势
最后得到
，
球壳内外表面的电荷面密度分别为
球外电势仅是球壳外表面上的电荷Q 产生，这是由于球心的电偶极子及内表面的在壳外产生的电场相互抵消，其实球外电场也可直接用高斯定理求得：
的导体球外充满均匀绝缘介质，导体球接地，离球心为a 处（a>
34．半径为）置一点电荷
，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与镜像法结果相同。 解：（1）分离变量法：选球心为坐标原点，球心到满足
的连线方向为z 轴，设球外电势为，它
①
由于电势具有轴对称性，考虑③式，①式的解为
④
其中 是 到场点P 的距离，将④代入②式，得
⑤
利用公式
，将
用
展开，由于
，故有
代入⑤式确定出系数
于是，得
⑥
（2）镜像法
在球内球心与 的连线上放一像电荷代替球面上感应电荷在球外的电场，设 距球心为B ，则 的电势满足①～③式，于是
利用边界条件②式可得
⑦
式中 代入⑦式结果与⑥式完全相同。
35．接地的空心导体球的内外半径为 和，在球内离球心为a （a
镜像法求电势。导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？
解：取球心为原点，原点与Q 连线为z 轴建立坐标系，并设球内电势为，它满足
①
②
③
由于电势具有轴对称性，故在z 轴上z=b(b>R) 处放一像电荷Q 代替球面感应电荷在球壳内的电势，则
④
式中r ﹑r 分别是Q ﹑Q 到场点的距离
将④代入③，两边平方，比较系数，得
于是，球壳内电势
此解显然满足②式。
设导体球壳表面感应电荷总量为q , 由于导体内D=0,作一半径为r(R
根据高斯定理， ，所以
37．在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部（如图2-37）半球的球心在导体平面上，点电
荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （b>a），试用电象法求空间电势。
解：如图2.1，以球心为原点，对称轴为Z 轴，设上半空间电势为，
它满 足
①
，位于
为了使边界条件1，2满足，在导体界面下半部分空间Z 轴放置三个像电荷：
处；
势为
，位于
处；
，位于z=-b处. 于是, 导体上半空间界面电
38．有一点电荷Q 位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a 和b ，求空间电势。
解：设Q 位于xOy 平面内，设x>0且y>0
的直角区域为
，其它区域电势为0，满足
为使以上边界条件全部满足，需要三个像电荷，他们是于是
空间电势为
，位于（-a,-b,0）
; .
]
46. 不带电无穷长圆柱导体，置于均匀外电场中，轴取为z 方向，外电场垂直于z 轴，沿x 方向，圆柱半径为a ，求电势分布及导体上的电荷分布。 解：选圆柱轴线处电势为零，则柱内电势
=0，在柱坐标系中柱外电势
（1）
其中法得
为场点的柱坐标，
方向为x 周，如图2.14，
是极化电荷的电势，与上题同样的方
代入（1）式得，
根据边值关系，在r=a处，
，即
代入（2）式，得导体柱面上电荷密度
47. 半径为的导体球置于均匀外电场中，求空间的电势分布，导体的电偶极矩及表面电荷分布，导体的电偶极矩及表面电荷分布。
解: 一球心为坐标原点，并设 得方向为 周，建立球坐标系，则导体球的电偶极矩P 应与 方向一致，设导体球电势 ，球外电势
在R=R球面上，电势满足
解得
球面上电荷密度
48. （1）两等量点电荷+q间相距为2d ，在他们中间放置一接地导体球，如图2-48所示，证明点电荷不受力的条件与q 大小无关，而只与球的半径有关，给出不受力时半径
满足的方程；（2）
设导体球半径为
，但球不再接地，而其电势为 ，求此时导体球所带电量Q 及这是每一个点
电荷所受的力。
解: （1）选取球心为原点，两点电荷连线为Z 轴，求外空间电势为 ， 满足的边界条件为
处放置两个像电荷
，空间任意一点
为了使上述条件满足，在球内电场就是两个点电荷及 由题意知，当
时，上式变为
共同产生的，所以q 受的力为
显而易知，上式与无关，只与
有关，进一步整理得不受力时
满足的方程为
（2
）若导体球不接地，边界条件变为
置
的
只能使球的电势为零
，
，设此时导体球带电量为，由（1）知，放
所受的力为零，因此还要在球心O 放一电荷
则导体球的电势
解得
此时点电荷所受的力为
根据（2）式，前三项之和等于零，于是
49.
一导体球壳不接地也不带电，内半径为
腔内离
为a 处有一点电荷
（
，外半径为
，内外球心
与不重合，球形空
），壳外离为b 处有一点电荷，如图2-49，且壳内外
分别充满电容率为
力。
和的介质，球壳内外电势及，壳外电势为
，它们满足边界条件
（待定）
壳外电荷所受的
解：设球壳内外电势为 先来计算球外电势；在式中
处放分别是
，在区域，可使
连线上放像电荷
于是
距球心
到场点的距离，R 为球心到场点的距离。球壳电势
球内空腔中的电势
可表示为
其中其中
可视为球壳接地时的电势，由镜像法知是
关于内球面（半径为
）的像电荷
距
为
，于是
式中
分别是
到腔内场点的距离。
对它的矢量和。即
所受的力等于
50. 一无限长圆柱形导体，半径为，将圆柱导体接地，离圆柱轴线d 处（）有一与它平行的无限长带电直线，线电荷密度为，求电势分布和作用在带电直线单位长度上的力。 解： 设距离圆柱轴线为处（此处为像电荷与原电荷垂线的中点）的电势为零，则带电直线
在空间的电势
，则像电荷与原电荷共同产生的电势为
式中分别为场点到线电荷λ及象电荷
的垂直距离, 下面确定
和b.
由于电势在圆柱面上满足(已选处电势为零, 则导体圆柱电势
), 即
将上式对求微商, 得
解得
于是, 任意一点电势
象电荷在周围空间的电势, 电场强度为
于是, 带电直线λ单位长度受的力为
上式中“-”号表示力为引力
51. 一导体球半径为a ，球内有一不同心的球形的半径为b ，整个导体球的球心位于两介质交界面上，介质的电容率分别为和，在球洞内距离洞心为c 处有一点电荷（1）求洞中点电荷受到的作用力；（2）求导体外和洞中的电势分布。
，导体球带电为。
解：（1）球洞中点电荷所受的力等于球洞内表面上不均匀分布的 给它的作用力（其它电荷对它的作用力为零），而内表面上的感应电荷在球洞中的场可用一位
于洞外且在
连线上像电荷
代替，位于距洞心
处。于是作用在
上的静电力
为
（2
）先计算球外电势，根据前面分析，设球外电势具有球对称性，，此解在介质分界面满足边值关系，根据唯一性定理，此解是正确的，作一与导体球同心的球面，，应用高斯定理
将
代入，解得
于是得：
式中R 是场点到导体球心的距离。
导体球的电势球洞内的电势根据（1）中的分析于是
。为r 与
连线的夹角。
式中r 为球洞内场点到洞中心的距离，
1. 线性介质中磁场的能量密度为
A. 答案：A
B. C. D.
2. 稳恒磁场的泊松方程成立的条件是
A ．介质分区均匀 B.任意介质 C. 各向同性线性介质 D.介质分区均匀且答案：D
3. 引入磁场的矢势的依据是 A.
答案：D 4. 电流处于电流
产生的外磁场中, 外磁场的矢势为
, 则它们的相互作用能为
; B.
; C.
; D.
A. 答案：A
B. C. D.
5. 对于一个稳恒磁场A. C.
，矢势有多种选择性是因为
时只确定了其旋度而没有定义
散度;
的旋度的散度始终为零; B.在定义的散度始终为零;
答案： B 6. 磁偶极子的矢势
和标势
分别等于
A. B.
C. 答案：C
D.
7答案：、用磁标势解决静磁场问题的前提是
A. 该区域没有自由电流分布 B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域 C. 该区域每一点满足答案：B
D. 该区域每一点满足
.
8. 已知半径为
圆柱形空间的磁矢势为 .
(柱坐标), 该区域的磁感应强度
答案：
9. 稳恒磁场的能量可用矢势表示为 .
答案：
10. 分析稳恒磁场时, 能够中引如磁标势的条件是 .在经典物理中矢势的环流示 .
表
答案：或求解区是无电流的单连通区域
, 空间矢势
的解析表达
11. 无界空间充满均匀介质, 该区域分布有电流, 密度为式 .
答案：
12. 磁偶极子的矢势
等于 ；标势
等于 .
答案：
13. 在量子物理中, 矢势场物理量的 . 答案：相因子,
具有更加明确的地位, 其中是能够完全恰当地描述磁
14. 磁偶极子在外磁场中受的力为 ,受的力矩 .
答案：15. 电流体系
,
的磁矩等于 .
答案：
均匀介质, 该区域分布有电流, 密度为
, 空间矢势
的解析表
16. 无界空间充满磁导率为达式 .
答案：
第四章 电磁波的传播
1. 电磁波波动方程, 只有在下列那种情况下成立 A ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 2. 电磁波在金属中的穿透深度
A ．电磁波频率越高, 穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 C. 电磁波频率越高, 穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案： C
3. 能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征
A ．有一个由波导尺寸决定的最低频率, 且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案：A
4. 绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为 A ． B. C.0 D. 答案：C
5. 下列那种波不能在矩形波导中存在 A ．
B. 答案：C 6. 平面电磁波
A ．
、
C.
D.
、三个矢量的方向关系是
沿矢量方向
的方向
沿矢量方向 B.
C. 的方向垂直于 D. 的方向沿矢量答案：A
7. 矩形波导管尺寸为 ,若, 则最低截止频率为
A ．答案：A
B. C. D.
8．亥姆霍兹方程对下列那种情况成立
A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波 C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波 D. 介质中的一般电磁波 答案：C
9. 矩形波导管尺寸为 ,若, 则最低截止频率为
A ． B. C. 答案：A
10. 色散现象是指介质的———————是频率的函数.
答案：
D.
11. 平面电磁波能流密度和能量密度w 的关系为—————。
答案：
12. 平面电磁波在导体中传播时, 其振幅为—————。
答案：
13. 电磁波只所以能够在空间传播, 依靠的是—————。 答案：变化的电场和磁场相互激发
14.. 满足条件———————导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于—————。
答案：, 0,
15. 波导管尺寸为0.7cm ×0.4cm ，频率为30×109HZ 的微波在该波导中能以————波模传播。 答案：
波
表示）为———，它对时间的平均值为
16.. 线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电场—————。
答案：,
17. 平面电磁波的磁场与电场振幅关系为—————。它们的相位————。
答案：, 相等
18.
在研究导体中的电磁波传播时，引入复介电常数————，其中虚部是 ————的贡献。导体中平面电磁波的解析表达式为————。 答案：
，传导电流，
,
满足———时，
19. 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率——————，当电磁波的频率该波不能在其中传播。若b ＞a ，则最低截止频率为————，该波的模式为————。
答案：
，＜，20. 全反射现象发生时, 折射波沿 方向传播. 答案：平行于界面 21. 自然光从介质1(
) 入射至介质2(
，
), 当入射角等于 时, 反射波是完全偏振波.
答案：
22. 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是————.
答案：
24. 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为沿轴方向传播.
（1）求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波； （2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度. 解 电磁波沿z 方向传播，并设初相相同，即
和的线偏振平面波，他们都
＝其中所以
，
；
，
）受到了低频波（
）调制。
用复数表示
显然合成波的振幅不是常数，而是一个波，高频波（相速由＝常数确定
群速即波包的传播速度，由等振幅面方程
＝常数确定，求导，得
26. 有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°. 证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度. 设该波在空气的波长为为. 解 设入射角为xOz 平面，界面为所以当平面光波以
折射波电场为
所以，相速度透入空气得深度
得平面。由折射定律得，临界角
，水的折射率
，
入射时，将会发生全反射。此时折射波沿x 方向传播，波矢量的z 分量
28. 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿轴传播，一个波沿方向偏振，另一个沿y 方向偏振，但相位比前者超前，求合成波的偏振. 反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？ 解 偏振方向在x 轴上的波可记为
在y 轴上的波可记为
合成波为
所以合成波振幅为，是一个圆频率为
的沿z 轴方向传播的右旋圆偏振波。反之，一个
的线偏振的合成。
圆偏振可以分解为两个偏振方向垂直，同振幅，同频率，相位差为30. 已知海水的入深度.
，试计算频率为50，106和109H Z 的三种电磁波在海水中的投
，106
，10
9
的电磁波，满足条
解: 取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，对于50件
故海水对上述频率的电磁波可视为良导体，（注意在高频电磁场作用下，
海水的电情形下海水的透射深度
）
（1）（2）（3）
时，时，时，
满足的方程及边界条件。
，而在静
34. 写出矩形波导管内磁场解 对于定态波，磁场为由麦克斯韦方程组
得
又由于
将②式代入①中，得
①
②
即为矩形波导管内磁场满足的方程。 由
，得
利用
和电场的边界条件
③ ，可得
对x=0，面，对x=0，b 面，
，由上式得
，同理得
④ ⑤
④、⑤式可写成
35. 有理想导体制成的矩形波导管，横截面宽为a, 高为b ，设管轴与z 轴平行。 （1）证明波导管内不能传播单色波（2）求
波的管壁电流和传输功率
（1）
解：（1）单色波的电场为：该波的磁场为
（2）
37. 频率为的微波，在0.7cm ×0.4cm 的矩形波导管中能以什么波模传播？在0.7cm ×0.6cm 的矩形波导管中能以什么波模传播？ 解: （1）根据截至频率
，波导为0.7cm ×0.4cm
当
时，
时，
时，
此波可以以
和
时
两种波模传播。
38. 一个波导管横截面是以等腰直角三角形，直角边长为a ，管壁为理想导体，管中为真空，试
求波导管内允许传播的电磁波波型，截止频率。
解答：如图，建立直角坐标系，波导管中电场满足方程
边界条件为：
（1）
（2）
（3） （1），（2）两式和矩形波导的边界条件相同，通解为：
其中
（4）
此解同时满足
即
同时由边界条件（3）中，
由（5）式得：
，再由（3）中在
于是得出：
（5） 得
得：
其中
截止频率 由
波型为
波。
得：
由上式看出，若令，则必须有A=0,, 于是，故不存在波。
39. 一对无限大的平行理想导体板，相距为b ，电磁波沿平行于板面的z 方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波模和每种波模的截至频率。 解 在导体板之间传播的电磁波满足亥姆霍兹方程
令是的任意一个直角分量，由于
在x 方向上是均匀的，所以
在y 方向由于有金属板作为边界，是取驻波解；在z 方向是无界空间，取行波解。 通解：由边界条件
和
确定常数，得出
其中
又由
得
独立，与
令
无关。
，得截至频率
1. 电磁势的达朗贝尔方程成立的规范换条件是 A ．
B.
C.
D.
答案：B
2. 真空中做匀速直线运动的电荷不能产生
A．电场 B.磁场 C.电磁辐射 D.位移电流 答案：C 3.B 4.B
3. 关于电磁场源激发的电磁场，以下描述不正确的是 A ． 电磁作用的传递不是瞬时的，需要时间； B ． 电磁场在传播时需要介质；
C ． 场源的变化要推迟一段时间才能传递至场点； D ． 场点某一时刻的场是由所有电荷电流在较早的时刻不同时刻激发的. 4. 一个天线辐射角分布具有偶极辐射的特性, 其满足的条件是 A．波长与天线相比很短 B. 波长与天线相比很长 C. 波长与天线近似相等 D. 天线具有适当的形状 答案：B
5. 严格的讲, 电偶极辐射场的
A ．磁场、电场都是横向的 B. 磁场是横向的, 电场不是横向的 C. 电场是横向的, 磁场不是横向的 D. 磁场、电场都不是横向的 答案：B
6. 对电偶极子辐射的能流, 若设θ为电偶极矩与场点到偶极子中心连线的夹角, 则平均能流为零的方向是
A. ; B. ; C. D. 答案：D
7. 电偶极辐射场的平均功率
A ．正比于场点到偶极子距离的平方 B. 反比于场点到偶极子距离的平方 C. 与场点到偶极子距离的无关 D. 反比于场点到偶极子距离 答案：C
8. 若一电流=40t ，则它激发的矢势的一般表示式为=——————。
答案：
9. 变化电磁场的场量答案：
和 ,
与势（
、）的关系是
不变，当辐射频
=—————，
=—————。
10. 真空中电荷只有做—————运动时才能产生电磁辐射；若体系电偶极矩振幅
率有由时变为3，则偶极辐射总功率由原来的p 变为—————。 答案：加速，81P 0 11. 势的规范变换为
————
，
————
；
答案：，
12. 洛仑兹规范辅助条件是————
；在此规范下，真空中迅变电磁场的势——————. 答案：
13. 真空中一点电荷电量
，
，
满足的微分方程是
，它在空间激发的电磁标势为______________.
答案：
14. 一均匀带电圆环, 半径为R,
电荷线密度为, 绕圆环的轴线以角速度辐射场的电场强度为 . 答案： 零
15. 真空中某处有点电荷答案：
，波矢为
，则电磁场的标势
匀速转动, 它产生的
那么决定离场源r 处t 时刻的电磁场的电荷电量等于 .
16. 已知自由空间中电磁场矢势为答案：
,
17. 真空中电荷距场点, 则场点0.2秒时刻的电磁场是该电荷在 秒时刻激发的. 答案： 0.17s
18. 电偶极子在 方向辐射的能流最强. 答案：过偶极子中心垂直于偶极距的平面
19. 稳恒的电流 (填写“会”或“不会”) 产生电磁辐射. 答案：不会
20. 已知体系的电流密度
, 则它的电偶极矩对时间的一阶微商为 .
答案：
21. 短天线的辐射能力是由 来表征的, 它正比于 答案：辐射电阻 ,
的高次项) 之间的关系是 .
22. 真空中, 电偶极辐射场的电场与磁场(忽略了
答案：
23. 电磁场具有动量, 因此当电磁波照射到物体表面时, 对物体表面就有 . 答案： 辐射压力
32. 设有一球对称的电荷分布，以频率沿径向作简谐振动，求辐射场， 并对结果给以物理解释．
解: 题设中并未说明体系的线度是否满足
作偶极辐射，故以推断迟势公式求出矢势
，因此不能看
和
．取
，再讨论
电荷的对称中心为原点，场点位矢的方向为轴，如图5.1
由于电荷分布是球对称，且沿径向做简谐运动，因此电流
场点P 处的矢势
①
对于辐射区，
，故①式分母中的
②式中指数部分能否用布的对称性，
②
代替，显然取决于与的比较，此处不能忽略，考虑电流分
只有方向的分量．将近似条件代入①式，得
③
③式中
因而辐射场
是一与无关的常数．
33. 一飞轮半径为R ，并有电荷均匀分布在其边缘上, 总电量为Q ．设此飞轮以恒定角速度旋转，求辐射场．
解:
题中并未已知飞轮的几何线度与的关系，故也不能看作偶极辐射，应作一般讨论，由于电荷匀速转动，因此等效为一稳恒电流． 由于飞轮以恒定角速度转动，形成的电流
式中为电荷线密度与时间无关，形成的电流也是稳恒的．稳恒的电荷分布和电流分布只能产生稳恒的电场和磁场，而不会发生辐射，故辐射场35. 如图5-2, 一电偶极矩为与平均能流密度. 解
:
将
电
偶
极
的偶极子与Z 轴夹角为矩
分
解
为
，，以角频率互
写成复数形式为
将
用球坐标表示
相
垂
．
绕Z 轴旋转，计算辐射场直
的
电
偶
极
子
于是辐射场
36. 半径为旋转，设
的均匀永磁体，磁化强度为
，求辐射场和能流．
，球以恒定角速度
绕通过球心而垂直于
的铀
解: 由于
，即，辐射可认为是偶极辐射，此题实际上是求解旋转的磁偶极矩
的辐射场，只要将此体系的磁矩表示两个互相垂直的振荡磁偶极子磁矩之和，求出及，便可得到和．
如图5-3所示，以球心为原点，以转轴为轴，建立球坐标系，旋转的磁矩可分解为两个互相垂直，相差为
的线振动．
图5-
3
①
式中
，是磁体的总磁矩．
由附录中直角坐标系矢量与球坐标系矢量的变换
代入①中，得
②
③
利用电偶极辐射公式，，作以下代换
即得磁偶极辐射
④
⑤
平均能流
⑥．
37. 带电粒子作半径为的非相对论性圆周运动，回旋频率为，求远处的辐射电磁场和辐射能流．
解: 由于粒子作非相对论性圆周运动，，即，可看作电偶极辐射，带电粒子做圆周运动，相当于一个旋转电偶极子，电偶极矩振幅偶极矩
分解为两个振动互相垂直，相位差为
将时刻电偶极矩分解为
，与上一题方法相似，将电
，便可得
，
.
的振荡电偶极子，求解出
①
由于
图
5.3
代入①式，得
②
③
将③代入到电偶极子辐射场公式
得
式中
．
照射到一个绝缘介质球上
(
在方向) ，引起介质球极
远大于球半径
，求
39.
设有线偏振平面波
化，极化矢量是随时间变化的，因而产生辐射．设平面波的波长介质球所产生的辐射场和能流． 解:
题中给出的条件
，意味着在介质球中各处，电场
中的指数因子
可以忽略，即忽略来球内不同点电场的相位差，某一时刻相当于处于一
均匀电场中，该时刻的场为似稳场，类似于静场的方法求解极化电荷的电偶极矩，另一方面，辐射可近似为偶极辐射．
设外场第二项
极化电荷的极化强度
沿极轴方向, 由第二章例题2(郭硕鸿, 电动力学. 第二版P68.) 球外电势
中的
，即放在均匀外场中的介质球极化后，极化电荷在球外的电势，
，得到
总电偶极矩
将上式的
换成
，于是，系统的电偶极矩
因此，偶极辐射场及平均能流密度
1. 一高速运动的粒子，速度为0.6，观察者测得它的寿命与静止时的寿命之比为 A ． 0．8 B. 1.25 C. 0.64 D. 1.0 答案：B
2
．某一粒子以速度
（c 为真空中的光速）相对于观察者A 运动，另一观察者B 以速度
相对于A 运动，则B 观测到粒子的速度为
A ．答案：B
B.
C.
D.
3．相对于观察者运动的直杆，测的其长度是静止长度的倍，它的运动速率是
A ． B. C. D. 答案：B
4．在惯性系中有一个静止的等边三角形薄片P, 现令P
相对于系以速度v 作匀速直线运动, 且v 的方向在三角形薄片P 确定的平面上, 若因相对论效应而使在系测量薄片P 恰为一等腰直角三角形，则可判定v 的方向是
A ．沿等边三角形任意一条高的方向 B. 沿等边三角形任意一条边 C. 沿等边三角形任意一个角的平分线 答案： A
5
．飞船静止时体积为, 平均密度为能是 A. B. 答案：C
6．两个质子以质子的静止质量） A.
C.
, 相对于地面以
高速飞行时, 地面参考系测得它的动
D.
为
的速率从一共同点反向运动，那么每个质子相对共同点的动量和能量（ B.
C. D. 答案：A
7．把静止的电子加速到动能为，则它增加的质量约为原有质量的 A. B. 答案： D
C.
D.
8．两个质量都是的小球，其中一个静止，另一个以则碰撞后合成小球的静止质量为 A. B. 答案：B
C.
D.
运动，它们做对心碰撞后粘在一起，
9. 静止长度为杆，沿其长度方向以速度为30o , 观察者测得的杆长是—————。
匀速运动，与观察者所在的参考系的x 轴的夹角
答案：
,
10. 如果把一个电子加速，使它的质量变为静止质量的2倍，这电子的速度将是————. 相对论动能是
9. 静止长度为杆，沿其长度方向以速度轴的夹角为30o , 观察者测得的杆长是—————。 答案：
,
匀速运动，与观察者所在的参考系的x
10. 如果把一个电子加速，使它的质量变为静止质量的2倍，这电子的速度将是————. 相对论动能是————。
答案： , 电子获得得动能T=
11. 相对论的两个基本原理为________,______。 答案：光速不变原理, 狭义相对性原理.
12. 静止质量为m 0的粒子，以速度0.8c 运动，则粒子的相对论动能为 .
答案：
13. 一运动员进行100米比赛, 由起点到终点用了10秒, 在与运动员同方向运动, 飞行速度为0.6c 的飞船上观测, 运动员跑过的距离是 经历的时间是 ,速度大小等于 . 答案：
, 12.5秒, 0.6c
14. 物体所带的电荷量为，在相对于该带电体以速度运动的参考系中观察，它的电量是_______. 答案：
15. 在惯性系中作匀速圆周运动, 其轨迹方程为, 惯性系相对于v 沿x 方向运动, 则在中观察, 质点的运动, 轨迹为_______.
以速度
答案：
, 当它以速度运动时 , 体积为_______.
16. 物体静止时的体积为
答案： 17. 尺与
系的
轴成
角, 如果该米尺与系的轴成
角, 则
系相对与系的速
度v 的大小是_______. 答案：0.816c
18. 某高速运动的粒子的动能等于其静止质量的n 倍, 则该粒子运动速率为真空光速
的_______倍, 其动量为的_______倍, 其中为粒子的静止质量, C为真空光速.
答案： ,
19. 某宇宙飞船以0.8c 的速度离开地球, 若地球上接收它发出的两个信号之间的时间间隔为10S, 则宇航员测出的相应时间间隔为_______秒. 答案：3.33S
20. 一宇航员要到离地球5光年的星球去旅行, 如果宇航员希望把这路程缩短为3光年, 则他所乘的火箭相对于地球的速度应为_______. 答案： 0.8c
22. 设两根互相平行的尺, 在各自静止的参考系中的长度均为 ,它们以相同速率v 相对于某一参照系运动, 但运动方向相反, 且平行于尺子, 求站在一根尺上测量另一根尺的长度. 解:设尺子A 的静止系为的速度为u ，相对于
，尺子B 的静止系为
, 如图6.1所示, 并设尺子B 相对于系
(尺子A) 的速度为，由已知条件可知
故由洛伦兹速度变换, 有
因此, 在
系中得到尺子B 的长度为 图6.1
由相对性原理，站在B 上(
系) 观测尺子A 的长度也是
23. 静止长度为的车厢, 以速度v 相对于地面s 运行, 车厢的后壁以速度小球, 求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间. 解: 设地面参考系为，固定在车厢上的参考系为6.2, 并设小球相对于地面, 车厢速度为
, 则
向前推出一个
，系沿系的x 轴正向运动，如图
图6.2
而车厢又以速度v 相对于地面运动，因此在系中，小球相对于车厢的速度为
并且在系中测得车厢的长度, 故系中的观察者测得小球运动时间为
或利用计算，此式中是地面观察者测得的小球运动过的距离, 到同样的结果.
也可得
另解： 在系中，小球处于车厢后壁的时空坐标为在车厢参考系洛伦兹变换为
中，两事件的时空坐标分别为
，
, 到达前壁的时空坐标为
.
；
在系中测得车厢长度，小球运动时间为
于是由变换中的第二式, 得地面上测得小球的运动时间为
24. 一辆以速度v 运动的列车上的观察者, 在经过某一高大建筑物时, 看见某避雷针上跳起一脉冲电火花, 电光迅速传播, 先后照亮了铁路线上的两铁塔. 求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差. 设建筑物及两铁塔都在一直线上, 与列车前进方向一致, 铁塔到建筑物的地面距离都是.
解: 设地面参考系为系, 建筑物位于坐标原点。铁塔位于其两边，列车静止于参考系中，系沿系的x 轴正向运动，并且在时刻，列车中观察者经过系原点，此
时发出电火花，并设系中照亮的铁塔的事件为和, 由题设知
在
系中，两事件发生的时间
故
26. 在坐标系中, 有两个物体都以速度u 沿x 轴运动, 在系看来, 它们一直保持距离l 不变. 今有一观察者以速度v 沿x 轴运动, 他看到这两个物体的距离是多少?
解: 设观察者静止于系中，两物体在相对其静止的参考系中之间的距离为，如图6.3在系中，两物体相距为，但它们均以速度u 沿系的x 轴运动，故有
图6.3
则
并且, 物体相对观察者系的运动速度为
故中观察者认为两物体间距离应是
27. 一把直尺相对于坐标系静止, 直尺与x 轴交角, 今有一观察者以速度v 沿x 轴运动, 他看到直尺与x 轴交角有何变化?
解: 设直尺在静止的参考系中的长度为，故有
当观察者以速度v 沿x 轴运动，在观察者看来，直尺的长度在x,y 两个方向的投影为
因此，观察者看到的直尺与x 轴夹角
为
28. 两个惯性系和
中各放置若干时钟, 同一惯性系中的诸时钟同步,
相对于以速
度v 沿x 轴方向运动. 设两系原点相遇时, ,问处于系中某点(x,y,z)处的时钟与系中何处的时钟相遇时, 指示的时刻相同? 读数是多少? 解: 由洛伦兹变换
①
当系位于的时钟与系位于同，即时, 从①式的第四式, 得
的时钟相遇, 而且两时钟指示的时刻相
将此式代入①式中的第一式, 得这两个时钟的位置关系以及它们的读数
1. 半径为R 的均匀磁化介质球，磁化强度为，则介质球的总磁矩为
A ． B. C. D. 0
答案:B
2. 下列函数中能描述静电场电场强度的是
A ．数） 答案: D
3. 充满电容率为的介质平行板电容器，当两极板上的电量（很小），若电容器的电容为C ，两极板间距离为d ，忽略边缘效应，两极板间的位移电流密度为：
B.
C.
D.
（为非零常
A ．答案:A
B. C. D.
4. 下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度? 式中的为非零常数
A ．答案:A
5. 变化磁场激发的感应电场是
A. 有旋场, 电场线不闭和 B.无旋场, 电场线闭和 C.有旋场, 电场线闭和 D.无旋场, 电场线不闭和 答案: C
6. 在非稳恒电流的电流线的起点. 终点处, 电荷密度满足
(柱坐标) B.
C.
D.
A. 答案: D
B. C. D.
7. 处于静电平衡状态下的导体, 关于表面电场说法正确的是:
A. 只有法向分量; B.只有切向分量 ; C.表面外无电场 ; D.既有法向分量, 又有切向分量 答案:A
8. 介质中静电场满足的微分方程是
A.D. 答案:B
B.; C.
9. 对于铁磁质成立的关系是 A.
答案:C
10. 线性介质中, 电场的能量密度可表示为
B.
C.
D.
A. ; B.; C. D.
答案:B
11. 已知介质中的极化强度
，其中A
为常数，介质外为真空，介质中的极化电荷体密度
分别等于
；与垂直的表面处的极化电荷面密度
和 。答案: 0, A, -A
=（5xy
+
）cos500t ，空间的自由电荷体密度为 答案:
12. 已知真空中的的电位移矢量
13. 变化磁场激发的感应电场的旋度等于 。答案:
14. 介电常数为
的均匀介质球，极化强度面极化电荷密度等于 答案0,
A 为常数，则球内的极化电荷密度为 ，表
15. 一个半径为R 的电介质球, 极化强度为为 ,介质中的电场强度等于 .
, 则介质中的自由电荷体密度
答案:
22.
解: （1）由于电荷体系的电场具有球对称性，作半径为
的同心球面为高斯面，利用高斯定理
当 0＜r ＜
时，
＜r ＜时，
r ＞时，
（2）介质内的极化电荷体密度
解: （1）由于磁场具有轴对称性，在半径为r 的同轴圆环上，磁场的切线方向，并与电流方向服从右手螺旋关系，应用
大小处处相等，方向沿环
当r ＞时，有
当＜r ＜时，
当r ＜时，
（＜r
＜
27．
图
1-41
图
1-43
第二章 静 电 场
1、泊松方程适用于
A. 任何电场 B. 静电场; C. 静电场而且介质分区均匀; D.高频电场 答案： C
2、下列标量函数中能描述无电荷区域静电势的是 A ．
答案： B
B.
和
C.
D.
3、真空中有两个静止的点电荷，相距为a ，它们之间的相互作用能是
D.
A ．
B. C. 答案：A
4、线性介质中, 电场的能量密度可表示为 A. ; B.答案：B
; C.
D.
), 将他们
5.
两个半径为
,
带电量分别是,
且接触后又放回原处, 系统的相互作用能变为原来的
导体球相距为
a(a>>
A. B. 答案： A
C. D.
6. 电导率分别为, 电容率为势的法向微商满足的关系是 A ．
C.
答案：C 7、电偶极子A.
B.
的均匀导电介质中有稳恒电流, 则在两导电介质分界面上电
D. 在外电场
中的相互作用能量是
C.
B. D.
8、若一半径为R 的导体球外电势为
为 。 答案：
为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度
9. 若一半径为R 的导体球外电势为
面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 .
,a 为非零常数，球外为真空，则球
答案： ,
10、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。 答案：
11、设某一静电场的电势可以表示为
, 该电场的电场强度是_______。
答案：
12．真空中静场中的导体表面电荷密度_______。
答案：
总是等于体自由电荷密度
_____的倍。
13．均匀介质内部的体极化电荷密度答案： -（1-）
14. 电荷分布激发的电场总能量答案：全空间充满均匀介质
15．无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。
的适用于 情形.
答案：
16. 接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等
于
.
答案：
17．无电荷分布的空间电势 极值
.(填写“有”或“无”)
答案：无
18．镜象法的理论依据是_______
，象电荷只能放在_______区域。 答案：唯一性定理
, 求解区以外空间
19．当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。 答案：零
20. 一个内外半径分别为R 1、R2的接地导体球壳, 球壳内距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。 答案：
21．一个半径为R 的电质介球，极化强度为P=，电容率为 ，
（1） 计算束缚电荷的体密度和面密度； （2） 计算自由电荷体密度； （3） 计算球内和球外的电势；
（4） 求该带电介质球产生的静电场总能量。 解：（1）根据
球面上的极化电荷面密度
（2）在球内自由电荷密度 得
（3）球内的总电荷为
与
的关系为
由于介质上极化电荷的代数和为零，上式中后两项之和等于零。
球外电势相当于将Q 集中于球心时的电势
球内电势
根据
将②代入①式，得
得
（r>R）
①
②
= (4)求该带电介质球产生的静电场总能量：
22. 真空中静电场的电势为解: 由静电势的方程
，得
，求产生该电场的电荷分布
值关系
28．在均匀外场中置入半径为
, 因此电荷只能分布在x=0面上，设电荷面密度为 ，根据边
的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：
；
（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差（2）导体球上带总电荷Q 。
解： （1）选导体球球心为坐标原点，E 方向为极轴Z ，建立球坐标系，并设 未放入导体前原点电势为
，球外电势为，则满足
①
=
②
= -E Rcos ③ 由于电势具有轴对称性，通解为
④
将④代入②﹑③式比较P 的系数，得
所以
（R 〉R ）
的第一﹑二项是均匀外电场的电势，第三项是导体接上电源后使球均匀带电而产生的球对称电势，最后一项是导体球上的感应电荷在球外产生的点势。 （2）若使导体球带电荷Q ，则球外电势满足
=
①
（待定常量） ②
=
-E Rcos ③
④
同时满足要求
由于前三个关系与①中相同，故
将⑤式代入④式中，得
⑤
解得
于是，得
⑥
和
，球中心置一偶极子P ，球壳上带电Q ，求空间各点电
之
31．空心导体球壳的内外半径为
势和电荷分布。 解：选球心为原点，令和，即壳内外电势
，电势等于球心电偶极子的电势与球壳内外表面上电荷的电势
①
电势满足的方程边界条件为
②
③
④
有限 ⑤
⑥
（待定） ⑦
⑧
由于电势具有轴对称性，并考虑5，6两式，所以设
将上式代入①，②两式后再利用⑦式解得
于是，得
将
代入⑧式可确定导体壳的电势
最后得到
，
球壳内外表面的电荷面密度分别为
球外电势仅是球壳外表面上的电荷Q 产生，这是由于球心的电偶极子及内表面的在壳外产生的电场相互抵消，其实球外电场也可直接用高斯定理求得：
的导体球外充满均匀绝缘介质，导体球接地，离球心为a 处（a>
34．半径为）置一点电荷
，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与镜像法结果相同。 解：（1）分离变量法：选球心为坐标原点，球心到满足
的连线方向为z 轴，设球外电势为，它
①
由于电势具有轴对称性，考虑③式，①式的解为
④
其中 是 到场点P 的距离，将④代入②式，得
⑤
利用公式
，将
用
展开，由于
，故有
代入⑤式确定出系数
于是，得
⑥
（2）镜像法
在球内球心与 的连线上放一像电荷代替球面上感应电荷在球外的电场，设 距球心为B ，则 的电势满足①～③式，于是
利用边界条件②式可得
⑦
式中 代入⑦式结果与⑥式完全相同。
35．接地的空心导体球的内外半径为 和，在球内离球心为a （a
镜像法求电势。导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？
解：取球心为原点，原点与Q 连线为z 轴建立坐标系，并设球内电势为，它满足
①
②
③
由于电势具有轴对称性，故在z 轴上z=b(b>R) 处放一像电荷Q 代替球面感应电荷在球壳内的电势，则
④
式中r ﹑r 分别是Q ﹑Q 到场点的距离
将④代入③，两边平方，比较系数，得
于是，球壳内电势
此解显然满足②式。
设导体球壳表面感应电荷总量为q , 由于导体内D=0,作一半径为r(R
根据高斯定理， ，所以
37．在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部（如图2-37）半球的球心在导体平面上，点电
荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （b>a），试用电象法求空间电势。
解：如图2.1，以球心为原点，对称轴为Z 轴，设上半空间电势为，
它满 足
①
，位于
为了使边界条件1，2满足，在导体界面下半部分空间Z 轴放置三个像电荷：
处；
势为
，位于
处；
，位于z=-b处. 于是, 导体上半空间界面电
38．有一点电荷Q 位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a 和b ，求空间电势。
解：设Q 位于xOy 平面内，设x>0且y>0
的直角区域为
，其它区域电势为0，满足
为使以上边界条件全部满足，需要三个像电荷，他们是于是
空间电势为
，位于（-a,-b,0）
; .
]
46. 不带电无穷长圆柱导体，置于均匀外电场中，轴取为z 方向，外电场垂直于z 轴，沿x 方向，圆柱半径为a ，求电势分布及导体上的电荷分布。 解：选圆柱轴线处电势为零，则柱内电势
=0，在柱坐标系中柱外电势
（1）
其中法得
为场点的柱坐标，
方向为x 周，如图2.14，
是极化电荷的电势，与上题同样的方
代入（1）式得，
根据边值关系，在r=a处，
，即
代入（2）式，得导体柱面上电荷密度
47. 半径为的导体球置于均匀外电场中，求空间的电势分布，导体的电偶极矩及表面电荷分布，导体的电偶极矩及表面电荷分布。
解: 一球心为坐标原点，并设 得方向为 周，建立球坐标系，则导体球的电偶极矩P 应与 方向一致，设导体球电势 ，球外电势
在R=R球面上，电势满足
解得
球面上电荷密度
48. （1）两等量点电荷+q间相距为2d ，在他们中间放置一接地导体球，如图2-48所示，证明点电荷不受力的条件与q 大小无关，而只与球的半径有关，给出不受力时半径
满足的方程；（2）
设导体球半径为
，但球不再接地，而其电势为 ，求此时导体球所带电量Q 及这是每一个点
电荷所受的力。
解: （1）选取球心为原点，两点电荷连线为Z 轴，求外空间电势为 ， 满足的边界条件为
处放置两个像电荷
，空间任意一点
为了使上述条件满足，在球内电场就是两个点电荷及 由题意知，当
时，上式变为
共同产生的，所以q 受的力为
显而易知，上式与无关，只与
有关，进一步整理得不受力时
满足的方程为
（2
）若导体球不接地，边界条件变为
置
的
只能使球的电势为零
，
，设此时导体球带电量为，由（1）知，放
所受的力为零，因此还要在球心O 放一电荷
则导体球的电势
解得
此时点电荷所受的力为
根据（2）式，前三项之和等于零，于是
49.
一导体球壳不接地也不带电，内半径为
腔内离
为a 处有一点电荷
（
，外半径为
，内外球心
与不重合，球形空
），壳外离为b 处有一点电荷，如图2-49，且壳内外
分别充满电容率为
力。
和的介质，球壳内外电势及，壳外电势为
，它们满足边界条件
（待定）
壳外电荷所受的
解：设球壳内外电势为 先来计算球外电势；在式中
处放分别是
，在区域，可使
连线上放像电荷
于是
距球心
到场点的距离，R 为球心到场点的距离。球壳电势
球内空腔中的电势
可表示为
其中其中
可视为球壳接地时的电势，由镜像法知是
关于内球面（半径为
）的像电荷
距
为
，于是
式中
分别是
到腔内场点的距离。
对它的矢量和。即
所受的力等于
50. 一无限长圆柱形导体，半径为，将圆柱导体接地，离圆柱轴线d 处（）有一与它平行的无限长带电直线，线电荷密度为，求电势分布和作用在带电直线单位长度上的力。 解： 设距离圆柱轴线为处（此处为像电荷与原电荷垂线的中点）的电势为零，则带电直线
在空间的电势
，则像电荷与原电荷共同产生的电势为
式中分别为场点到线电荷λ及象电荷
的垂直距离, 下面确定
和b.
由于电势在圆柱面上满足(已选处电势为零, 则导体圆柱电势
), 即
将上式对求微商, 得
解得
于是, 任意一点电势
象电荷在周围空间的电势, 电场强度为
于是, 带电直线λ单位长度受的力为
上式中“-”号表示力为引力
51. 一导体球半径为a ，球内有一不同心的球形的半径为b ，整个导体球的球心位于两介质交界面上，介质的电容率分别为和，在球洞内距离洞心为c 处有一点电荷（1）求洞中点电荷受到的作用力；（2）求导体外和洞中的电势分布。
，导体球带电为。
解：（1）球洞中点电荷所受的力等于球洞内表面上不均匀分布的 给它的作用力（其它电荷对它的作用力为零），而内表面上的感应电荷在球洞中的场可用一位
于洞外且在
连线上像电荷
代替，位于距洞心
处。于是作用在
上的静电力
为
（2
）先计算球外电势，根据前面分析，设球外电势具有球对称性，，此解在介质分界面满足边值关系，根据唯一性定理，此解是正确的，作一与导体球同心的球面，，应用高斯定理
将
代入，解得
于是得：
式中R 是场点到导体球心的距离。
导体球的电势球洞内的电势根据（1）中的分析于是
。为r 与
连线的夹角。
式中r 为球洞内场点到洞中心的距离，
1. 线性介质中磁场的能量密度为
A. 答案：A
B. C. D.
2. 稳恒磁场的泊松方程成立的条件是
A ．介质分区均匀 B.任意介质 C. 各向同性线性介质 D.介质分区均匀且答案：D
3. 引入磁场的矢势的依据是 A.
答案：D 4. 电流处于电流
产生的外磁场中, 外磁场的矢势为
, 则它们的相互作用能为
; B.
; C.
; D.
A. 答案：A
B. C. D.
5. 对于一个稳恒磁场A. C.
，矢势有多种选择性是因为
时只确定了其旋度而没有定义
散度;
的旋度的散度始终为零; B.在定义的散度始终为零;
答案： B 6. 磁偶极子的矢势
和标势
分别等于
A. B.
C. 答案：C
D.
7答案：、用磁标势解决静磁场问题的前提是
A. 该区域没有自由电流分布 B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域 C. 该区域每一点满足答案：B
D. 该区域每一点满足
.
8. 已知半径为
圆柱形空间的磁矢势为 .
(柱坐标), 该区域的磁感应强度
答案：
9. 稳恒磁场的能量可用矢势表示为 .
答案：
10. 分析稳恒磁场时, 能够中引如磁标势的条件是 .在经典物理中矢势的环流示 .
表
答案：或求解区是无电流的单连通区域
, 空间矢势
的解析表达
11. 无界空间充满均匀介质, 该区域分布有电流, 密度为式 .
答案：
12. 磁偶极子的矢势
等于 ；标势
等于 .
答案：
13. 在量子物理中, 矢势场物理量的 . 答案：相因子,
具有更加明确的地位, 其中是能够完全恰当地描述磁
14. 磁偶极子在外磁场中受的力为 ,受的力矩 .
答案：15. 电流体系
,
的磁矩等于 .
答案：
均匀介质, 该区域分布有电流, 密度为
, 空间矢势
的解析表
16. 无界空间充满磁导率为达式 .
答案：
第四章 电磁波的传播
1. 电磁波波动方程, 只有在下列那种情况下成立 A ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 2. 电磁波在金属中的穿透深度
A ．电磁波频率越高, 穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 C. 电磁波频率越高, 穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案： C
3. 能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征
A ．有一个由波导尺寸决定的最低频率, 且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案：A
4. 绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为 A ． B. C.0 D. 答案：C
5. 下列那种波不能在矩形波导中存在 A ．
B. 答案：C 6. 平面电磁波
A ．
、
C.
D.
、三个矢量的方向关系是
沿矢量方向
的方向
沿矢量方向 B.
C. 的方向垂直于 D. 的方向沿矢量答案：A
7. 矩形波导管尺寸为 ,若, 则最低截止频率为
A ．答案：A
B. C. D.
8．亥姆霍兹方程对下列那种情况成立
A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波 C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波 D. 介质中的一般电磁波 答案：C
9. 矩形波导管尺寸为 ,若, 则最低截止频率为
A ． B. C. 答案：A
10. 色散现象是指介质的———————是频率的函数.
答案：
D.
11. 平面电磁波能流密度和能量密度w 的关系为—————。
答案：
12. 平面电磁波在导体中传播时, 其振幅为—————。
答案：
13. 电磁波只所以能够在空间传播, 依靠的是—————。 答案：变化的电场和磁场相互激发
14.. 满足条件———————导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于—————。
答案：, 0,
15. 波导管尺寸为0.7cm ×0.4cm ，频率为30×109HZ 的微波在该波导中能以————波模传播。 答案：
波
表示）为———，它对时间的平均值为
16.. 线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电场—————。
答案：,
17. 平面电磁波的磁场与电场振幅关系为—————。它们的相位————。
答案：, 相等
18.
在研究导体中的电磁波传播时，引入复介电常数————，其中虚部是 ————的贡献。导体中平面电磁波的解析表达式为————。 答案：
，传导电流，
,
满足———时，
19. 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率——————，当电磁波的频率该波不能在其中传播。若b ＞a ，则最低截止频率为————，该波的模式为————。
答案：
，＜，20. 全反射现象发生时, 折射波沿 方向传播. 答案：平行于界面 21. 自然光从介质1(
) 入射至介质2(
，
), 当入射角等于 时, 反射波是完全偏振波.
答案：
22. 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是————.
答案：
24. 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为沿轴方向传播.
（1）求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波； （2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度. 解 电磁波沿z 方向传播，并设初相相同，即
和的线偏振平面波，他们都
＝其中所以
，
；
，
）受到了低频波（
）调制。
用复数表示
显然合成波的振幅不是常数，而是一个波，高频波（相速由＝常数确定
群速即波包的传播速度，由等振幅面方程
＝常数确定，求导，得
26. 有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°. 证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度. 设该波在空气的波长为为. 解 设入射角为xOz 平面，界面为所以当平面光波以
折射波电场为
所以，相速度透入空气得深度
得平面。由折射定律得，临界角
，水的折射率
，
入射时，将会发生全反射。此时折射波沿x 方向传播，波矢量的z 分量
28. 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿轴传播，一个波沿方向偏振，另一个沿y 方向偏振，但相位比前者超前，求合成波的偏振. 反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？ 解 偏振方向在x 轴上的波可记为
在y 轴上的波可记为
合成波为
所以合成波振幅为，是一个圆频率为
的沿z 轴方向传播的右旋圆偏振波。反之，一个
的线偏振的合成。
圆偏振可以分解为两个偏振方向垂直，同振幅，同频率，相位差为30. 已知海水的入深度.
，试计算频率为50，106和109H Z 的三种电磁波在海水中的投
，106
，10
9
的电磁波，满足条
解: 取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，对于50件
故海水对上述频率的电磁波可视为良导体，（注意在高频电磁场作用下，
海水的电情形下海水的透射深度
）
（1）（2）（3）
时，时，时，
满足的方程及边界条件。
，而在静
34. 写出矩形波导管内磁场解 对于定态波，磁场为由麦克斯韦方程组
得
又由于
将②式代入①中，得
①
②
即为矩形波导管内磁场满足的方程。 由
，得
利用
和电场的边界条件
③ ，可得
对x=0，面，对x=0，b 面，
，由上式得
，同理得
④ ⑤
④、⑤式可写成
35. 有理想导体制成的矩形波导管，横截面宽为a, 高为b ，设管轴与z 轴平行。 （1）证明波导管内不能传播单色波（2）求
波的管壁电流和传输功率
（1）
解：（1）单色波的电场为：该波的磁场为
（2）
37. 频率为的微波，在0.7cm ×0.4cm 的矩形波导管中能以什么波模传播？在0.7cm ×0.6cm 的矩形波导管中能以什么波模传播？ 解: （1）根据截至频率
，波导为0.7cm ×0.4cm
当
时，
时，
时，
此波可以以
和
时
两种波模传播。
38. 一个波导管横截面是以等腰直角三角形，直角边长为a ，管壁为理想导体，管中为真空，试
求波导管内允许传播的电磁波波型，截止频率。
解答：如图，建立直角坐标系，波导管中电场满足方程
边界条件为：
（1）
（2）
（3） （1），（2）两式和矩形波导的边界条件相同，通解为：
其中
（4）
此解同时满足
即
同时由边界条件（3）中，
由（5）式得：
，再由（3）中在
于是得出：
（5） 得
得：
其中
截止频率 由
波型为
波。
得：
由上式看出，若令，则必须有A=0,, 于是，故不存在波。
39. 一对无限大的平行理想导体板，相距为b ，电磁波沿平行于板面的z 方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波模和每种波模的截至频率。 解 在导体板之间传播的电磁波满足亥姆霍兹方程
令是的任意一个直角分量，由于
在x 方向上是均匀的，所以
在y 方向由于有金属板作为边界，是取驻波解；在z 方向是无界空间，取行波解。 通解：由边界条件
和
确定常数，得出
其中
又由
得
独立，与
令
无关。
，得截至频率
1. 电磁势的达朗贝尔方程成立的规范换条件是 A ．
B.
C.
D.
答案：B
2. 真空中做匀速直线运动的电荷不能产生
A．电场 B.磁场 C.电磁辐射 D.位移电流 答案：C 3.B 4.B
3. 关于电磁场源激发的电磁场，以下描述不正确的是 A ． 电磁作用的传递不是瞬时的，需要时间； B ． 电磁场在传播时需要介质；
C ． 场源的变化要推迟一段时间才能传递至场点； D ． 场点某一时刻的场是由所有电荷电流在较早的时刻不同时刻激发的. 4. 一个天线辐射角分布具有偶极辐射的特性, 其满足的条件是 A．波长与天线相比很短 B. 波长与天线相比很长 C. 波长与天线近似相等 D. 天线具有适当的形状 答案：B
5. 严格的讲, 电偶极辐射场的
A ．磁场、电场都是横向的 B. 磁场是横向的, 电场不是横向的 C. 电场是横向的, 磁场不是横向的 D. 磁场、电场都不是横向的 答案：B
6. 对电偶极子辐射的能流, 若设θ为电偶极矩与场点到偶极子中心连线的夹角, 则平均能流为零的方向是
A. ; B. ; C. D. 答案：D
7. 电偶极辐射场的平均功率
A ．正比于场点到偶极子距离的平方 B. 反比于场点到偶极子距离的平方 C. 与场点到偶极子距离的无关 D. 反比于场点到偶极子距离 答案：C
8. 若一电流=40t ，则它激发的矢势的一般表示式为=——————。
答案：
9. 变化电磁场的场量答案：
和 ,
与势（
、）的关系是
不变，当辐射频
=—————，
=—————。
10. 真空中电荷只有做—————运动时才能产生电磁辐射；若体系电偶极矩振幅
率有由时变为3，则偶极辐射总功率由原来的p 变为—————。 答案：加速，81P 0 11. 势的规范变换为
————
，
————
；
答案：，
12. 洛仑兹规范辅助条件是————
；在此规范下，真空中迅变电磁场的势——————. 答案：
13. 真空中一点电荷电量
，
，
满足的微分方程是
，它在空间激发的电磁标势为______________.
答案：
14. 一均匀带电圆环, 半径为R,
电荷线密度为, 绕圆环的轴线以角速度辐射场的电场强度为 . 答案： 零
15. 真空中某处有点电荷答案：
，波矢为
，则电磁场的标势
匀速转动, 它产生的
那么决定离场源r 处t 时刻的电磁场的电荷电量等于 .
16. 已知自由空间中电磁场矢势为答案：
,
17. 真空中电荷距场点, 则场点0.2秒时刻的电磁场是该电荷在 秒时刻激发的. 答案： 0.17s
18. 电偶极子在 方向辐射的能流最强. 答案：过偶极子中心垂直于偶极距的平面
19. 稳恒的电流 (填写“会”或“不会”) 产生电磁辐射. 答案：不会
20. 已知体系的电流密度
, 则它的电偶极矩对时间的一阶微商为 .
答案：
21. 短天线的辐射能力是由 来表征的, 它正比于 答案：辐射电阻 ,
的高次项) 之间的关系是 .
22. 真空中, 电偶极辐射场的电场与磁场(忽略了
答案：
23. 电磁场具有动量, 因此当电磁波照射到物体表面时, 对物体表面就有 . 答案： 辐射压力
32. 设有一球对称的电荷分布，以频率沿径向作简谐振动，求辐射场， 并对结果给以物理解释．
解: 题设中并未说明体系的线度是否满足
作偶极辐射，故以推断迟势公式求出矢势
，因此不能看
和
．取
，再讨论
电荷的对称中心为原点，场点位矢的方向为轴，如图5.1
由于电荷分布是球对称，且沿径向做简谐运动，因此电流
场点P 处的矢势
①
对于辐射区，
，故①式分母中的
②式中指数部分能否用布的对称性，
②
代替，显然取决于与的比较，此处不能忽略，考虑电流分
只有方向的分量．将近似条件代入①式，得
③
③式中
因而辐射场
是一与无关的常数．
33. 一飞轮半径为R ，并有电荷均匀分布在其边缘上, 总电量为Q ．设此飞轮以恒定角速度旋转，求辐射场．
解:
题中并未已知飞轮的几何线度与的关系，故也不能看作偶极辐射，应作一般讨论，由于电荷匀速转动，因此等效为一稳恒电流． 由于飞轮以恒定角速度转动，形成的电流
式中为电荷线密度与时间无关，形成的电流也是稳恒的．稳恒的电荷分布和电流分布只能产生稳恒的电场和磁场，而不会发生辐射，故辐射场35. 如图5-2, 一电偶极矩为与平均能流密度. 解
:
将
电
偶
极
的偶极子与Z 轴夹角为矩
分
解
为
，，以角频率互
写成复数形式为
将
用球坐标表示
相
垂
．
绕Z 轴旋转，计算辐射场直
的
电
偶
极
子
于是辐射场
36. 半径为旋转，设
的均匀永磁体，磁化强度为
，求辐射场和能流．
，球以恒定角速度
绕通过球心而垂直于
的铀
解: 由于
，即，辐射可认为是偶极辐射，此题实际上是求解旋转的磁偶极矩
的辐射场，只要将此体系的磁矩表示两个互相垂直的振荡磁偶极子磁矩之和，求出及，便可得到和．
如图5-3所示，以球心为原点，以转轴为轴，建立球坐标系，旋转的磁矩可分解为两个互相垂直，相差为
的线振动．
图5-
3
①
式中
，是磁体的总磁矩．
由附录中直角坐标系矢量与球坐标系矢量的变换
代入①中，得
②
③
利用电偶极辐射公式，，作以下代换
即得磁偶极辐射
④
⑤
平均能流
⑥．
37. 带电粒子作半径为的非相对论性圆周运动，回旋频率为，求远处的辐射电磁场和辐射能流．
解: 由于粒子作非相对论性圆周运动，，即，可看作电偶极辐射，带电粒子做圆周运动，相当于一个旋转电偶极子，电偶极矩振幅偶极矩
分解为两个振动互相垂直，相位差为
将时刻电偶极矩分解为
，与上一题方法相似，将电
，便可得
，
.
的振荡电偶极子，求解出
①
由于
图
5.3
代入①式，得
②
③
将③代入到电偶极子辐射场公式
得
式中
．
照射到一个绝缘介质球上
(
在方向) ，引起介质球极
远大于球半径
，求
39.
设有线偏振平面波
化，极化矢量是随时间变化的，因而产生辐射．设平面波的波长介质球所产生的辐射场和能流． 解:
题中给出的条件
，意味着在介质球中各处，电场
中的指数因子
可以忽略，即忽略来球内不同点电场的相位差，某一时刻相当于处于一
均匀电场中，该时刻的场为似稳场，类似于静场的方法求解极化电荷的电偶极矩，另一方面，辐射可近似为偶极辐射．
设外场第二项
极化电荷的极化强度
沿极轴方向, 由第二章例题2(郭硕鸿, 电动力学. 第二版P68.) 球外电势
中的
，即放在均匀外场中的介质球极化后，极化电荷在球外的电势，
，得到
总电偶极矩
将上式的
换成
，于是，系统的电偶极矩
因此，偶极辐射场及平均能流密度
1. 一高速运动的粒子，速度为0.6，观察者测得它的寿命与静止时的寿命之比为 A ． 0．8 B. 1.25 C. 0.64 D. 1.0 答案：B
2
．某一粒子以速度
（c 为真空中的光速）相对于观察者A 运动，另一观察者B 以速度
相对于A 运动，则B 观测到粒子的速度为
A ．答案：B
B.
C.
D.
3．相对于观察者运动的直杆，测的其长度是静止长度的倍，它的运动速率是
A ． B. C. D. 答案：B
4．在惯性系中有一个静止的等边三角形薄片P, 现令P
相对于系以速度v 作匀速直线运动, 且v 的方向在三角形薄片P 确定的平面上, 若因相对论效应而使在系测量薄片P 恰为一等腰直角三角形，则可判定v 的方向是
A ．沿等边三角形任意一条高的方向 B. 沿等边三角形任意一条边 C. 沿等边三角形任意一个角的平分线 答案： A
5
．飞船静止时体积为, 平均密度为能是 A. B. 答案：C
6．两个质子以质子的静止质量） A.
C.
, 相对于地面以
高速飞行时, 地面参考系测得它的动
D.
为
的速率从一共同点反向运动，那么每个质子相对共同点的动量和能量（ B.
C. D. 答案：A
7．把静止的电子加速到动能为，则它增加的质量约为原有质量的 A. B. 答案： D
C.
D.
8．两个质量都是的小球，其中一个静止，另一个以则碰撞后合成小球的静止质量为 A. B. 答案：B
C.
D.
运动，它们做对心碰撞后粘在一起，
9. 静止长度为杆，沿其长度方向以速度为30o , 观察者测得的杆长是—————。
匀速运动，与观察者所在的参考系的x 轴的夹角
答案：
,
10. 如果把一个电子加速，使它的质量变为静止质量的2倍，这电子的速度将是————. 相对论动能是
9. 静止长度为杆，沿其长度方向以速度轴的夹角为30o , 观察者测得的杆长是—————。 答案：
,
匀速运动，与观察者所在的参考系的x
10. 如果把一个电子加速，使它的质量变为静止质量的2倍，这电子的速度将是————. 相对论动能是————。
答案： , 电子获得得动能T=
11. 相对论的两个基本原理为________,______。 答案：光速不变原理, 狭义相对性原理.
12. 静止质量为m 0的粒子，以速度0.8c 运动，则粒子的相对论动能为 .
答案：
13. 一运动员进行100米比赛, 由起点到终点用了10秒, 在与运动员同方向运动, 飞行速度为0.6c 的飞船上观测, 运动员跑过的距离是 经历的时间是 ,速度大小等于 . 答案：
, 12.5秒, 0.6c
14. 物体所带的电荷量为，在相对于该带电体以速度运动的参考系中观察，它的电量是_______. 答案：
15. 在惯性系中作匀速圆周运动, 其轨迹方程为, 惯性系相对于v 沿x 方向运动, 则在中观察, 质点的运动, 轨迹为_______.
以速度
答案：
, 当它以速度运动时 , 体积为_______.
16. 物体静止时的体积为
答案： 17. 尺与
系的
轴成
角, 如果该米尺与系的轴成
角, 则
系相对与系的速
度v 的大小是_______. 答案：0.816c
18. 某高速运动的粒子的动能等于其静止质量的n 倍, 则该粒子运动速率为真空光速
的_______倍, 其动量为的_______倍, 其中为粒子的静止质量, C为真空光速.
答案： ,
19. 某宇宙飞船以0.8c 的速度离开地球, 若地球上接收它发出的两个信号之间的时间间隔为10S, 则宇航员测出的相应时间间隔为_______秒. 答案：3.33S
20. 一宇航员要到离地球5光年的星球去旅行, 如果宇航员希望把这路程缩短为3光年, 则他所乘的火箭相对于地球的速度应为_______. 答案： 0.8c
22. 设两根互相平行的尺, 在各自静止的参考系中的长度均为 ,它们以相同速率v 相对于某一参照系运动, 但运动方向相反, 且平行于尺子, 求站在一根尺上测量另一根尺的长度. 解:设尺子A 的静止系为的速度为u ，相对于
，尺子B 的静止系为
, 如图6.1所示, 并设尺子B 相对于系
(尺子A) 的速度为，由已知条件可知
故由洛伦兹速度变换, 有
因此, 在
系中得到尺子B 的长度为 图6.1
由相对性原理，站在B 上(
系) 观测尺子A 的长度也是
23. 静止长度为的车厢, 以速度v 相对于地面s 运行, 车厢的后壁以速度小球, 求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间. 解: 设地面参考系为，固定在车厢上的参考系为6.2, 并设小球相对于地面, 车厢速度为
, 则
向前推出一个
，系沿系的x 轴正向运动，如图
图6.2
而车厢又以速度v 相对于地面运动，因此在系中，小球相对于车厢的速度为
并且在系中测得车厢的长度, 故系中的观察者测得小球运动时间为
或利用计算，此式中是地面观察者测得的小球运动过的距离, 到同样的结果.
也可得
另解： 在系中，小球处于车厢后壁的时空坐标为在车厢参考系洛伦兹变换为
中，两事件的时空坐标分别为
，
, 到达前壁的时空坐标为
.
；
在系中测得车厢长度，小球运动时间为
于是由变换中的第二式, 得地面上测得小球的运动时间为
24. 一辆以速度v 运动的列车上的观察者, 在经过某一高大建筑物时, 看见某避雷针上跳起一脉冲电火花, 电光迅速传播, 先后照亮了铁路线上的两铁塔. 求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差. 设建筑物及两铁塔都在一直线上, 与列车前进方向一致, 铁塔到建筑物的地面距离都是.
解: 设地面参考系为系, 建筑物位于坐标原点。铁塔位于其两边，列车静止于参考系中，系沿系的x 轴正向运动，并且在时刻，列车中观察者经过系原点，此
时发出电火花，并设系中照亮的铁塔的事件为和, 由题设知
在
系中，两事件发生的时间
故
26. 在坐标系中, 有两个物体都以速度u 沿x 轴运动, 在系看来, 它们一直保持距离l 不变. 今有一观察者以速度v 沿x 轴运动, 他看到这两个物体的距离是多少?
解: 设观察者静止于系中，两物体在相对其静止的参考系中之间的距离为，如图6.3在系中，两物体相距为，但它们均以速度u 沿系的x 轴运动，故有
图6.3
则
并且, 物体相对观察者系的运动速度为
故中观察者认为两物体间距离应是
27. 一把直尺相对于坐标系静止, 直尺与x 轴交角, 今有一观察者以速度v 沿x 轴运动, 他看到直尺与x 轴交角有何变化?
解: 设直尺在静止的参考系中的长度为，故有
当观察者以速度v 沿x 轴运动，在观察者看来，直尺的长度在x,y 两个方向的投影为
因此，观察者看到的直尺与x 轴夹角
为
28. 两个惯性系和
中各放置若干时钟, 同一惯性系中的诸时钟同步,
相对于以速
度v 沿x 轴方向运动. 设两系原点相遇时, ,问处于系中某点(x,y,z)处的时钟与系中何处的时钟相遇时, 指示的时刻相同? 读数是多少? 解: 由洛伦兹变换
①
当系位于的时钟与系位于同，即时, 从①式的第四式, 得
的时钟相遇, 而且两时钟指示的时刻相
将此式代入①式中的第一式, 得这两个时钟的位置关系以及它们的读数