浙教版数学七年级上期末复习讲义

七年级上

第一章 从自然数到有理数

知识点：

1.自然数：注意（1）0是最小的自然数，它表示没有，不要遗漏。（2）表示不同作用的数有不同的性质，表示计数和测量的数可以进行数的运算，而表示标号或排序的数有时有指代作用，即对事物起区别作用，一般不能进行计算，这也是区别数的表示作用的重要性。剖析用于计数和测量的数往往与量词相连，而用于标号和排序的数往往与顺序有关，在阅读是应特别注意体会这一点。

例：世界上最长的跨海大桥——杭州湾大桥于2003年6月8日奠基，这座设计日通车量为8万辆，全长36千米的6车道公路斜拉桥，是中国大陆的第一座跨海大桥，计划在5年后建成通车。 你在这段文字中看到了哪些数？它们都属于哪一类数？ ⑪属于计数如8万辆、5年后、6车道 ⑫表示测量结果如全长36千米

⑬表示标号和排序如2003年6月8日、第一座等

下列语句中用到的数，哪些属于计数？哪些表示测量结果？哪些属于标号和排序？ （1）2002年全国共有高等学校2003所。 （标号和排序 计数） （2）小明哥哥乘1425次列车从北京到天津，然后乘15路公交车到了小明家。（标号和排序 标号和排序） （3）香港特别行政区的中国银行大厦高368米，地上70层，至1993年为止是世界上第5高楼。 （测量结果，计数，标号和排序，标号和排序）

一、有理数的概念：1）正整数、零和负整数统称为整数；

2）正分数、负分数统称为分数；

3）整数和分数统称为有理数。（0既不是正数，也不是负数）

随堂测试一：

1、把下列各数分别填在表示它所属的括号里：

-5.3 ,+31 ,

312

,0 , -7 , ,2005 , -1.39. 413

(1)正有理数：{ „„} (2)负有理数：{ „„} (3)整数：{ „„} (4)分数：{ „„} （5）非负有理数：{ „„} 2、请你任意写出一个自然数；一个负分数．

二、1、数轴的概念：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。

2、相反数的概念：若两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也

称这两个数互为相反数。 注意：零的相反数是零。

3、在数轴上，表示为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

随堂测试二：

1、点A，B，C，D，E在数轴上的位置如图所示，请你把各点所表示的数填入相应的括号内．

A、（ ） B、（ ） C、（ ） D、（ ） E、（ ） 2、画一条数轴，在数轴上表示—2，3，-4.5以及它们的相反数。 3、如果一个数与它的相反数相等，那么这个数是 。

4、数轴上表示一个数的点在“-2.5”的右边，并且距离“-2.5”4个单位长度，求这个数。

三、1、绝对值的概念：我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。 （例如：数轴上表示-5的点到原点的距离是5，所以-5的绝对值是5。记作丨-5丨=5 。）

2、一般地，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零；互为相反数的两个数的绝对值相等。

随堂测试三：

1、如果说一个数与它的绝对值相等，那么这个数是 ． 2、任何数的绝对值都是（ ）

A正数 B负数 C非负数 D非正数 3、绝对值小于2的整数有________。绝对值不大于3的负整数有__________。

4、、大于3.142的负整数有 个；小于2.9的正整数有 个；大于－9.5的负整数有 个. 5、(1)若︱a︱＝3,则a ＝_____

（2）某同学学习编程以后，编了一个关于绝对值的程序，当输入一个数值后，屏幕输出的结果总比该数的绝对值小1，某同学输入-7后，把输出的结果再次输入，则最后屏幕输出的结果是多少？

1,则a为( )

a

A 是正数或负数 B 是正数

（3）若

a

C 是任意有理数 D 是正整数

94111 （3）6 （4）53 6、计算：（1）85 （2）1472102

四、一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

例题：1.在数轴上表示下列各对数，并比较它们的大小:

（1）2和7； （2）-6和-1； （3）-6和-36； （4）-0.5和-1.5

2.求上述各对数的绝对值，比比较大小，问上面各对数的大小与它们的绝对值的大小有什么关系？

结论：两个正数比较大小，绝对值达的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

随堂测试四：

1、比较下列各组数的大小：

（1）-4与+3 （2）0与-2.4 （3）-0.3与-

312

（4）与

433

511335551

2、在数轴上,表示―5，，―2，0，0.125，―(1)，，的点中，在原点右边的点有（ ）

355113336

(A) 4个； (B)3个； (C)2个； (D)1个 3、大于-3.5且小于2的整数是 。

4、画一条数轴，在数轴上表示1，-2.5，-4以及它们的相反数，并比较这些数的大小，按从小到大的顺序用“

边接起来．

第一单元检测练习

一、精心选一选

1. 如果高出海平面20米，记作+20米，那么-30米表示 ( ) (A)不足30米; (B)低于海平面30米; (C)高出海平面30米; (D)低于海平面20米 2.仔细思考以下各对量：

①胜二局与负三局； ②气温上升3 C与气温下降3 C； ③盈利5万元与支出5万元； ④增加10%与减少20%。其中具有相反意义的量有 ( ) ﹙A)1 对 ﹙B﹚2 对 (C)3 对 (D)4对

3.下列说法错误的是 （ ） （A）整数和分数统称有理数； （B）正分数和负分数统称分数； （C）正数和负数统称有理数； （D）正整数、负整数和零统称整数。

4.零是：A.最小的有理数 B.最小的正整数 C.最小的自然数 D.最小的整数 （ ） 5.下列数轴的画法中，正确的是 （ ）

-1

A

BC

D

6.下列各对数中，互为相反数的是 （ ） （A）

1233

和0.2 （B）和 （C）—1.75和1 （D）2和2 2324

7.大于—2.6而小于3的整数共有 （ ） A. 7个 B. 5个 C. 6个 D. 4个

8.下列说法正确的是

A.若两数的绝对值相等，则这两数必相等 B.若两数不相等，则这两数的绝对值一定不相等 C.若两数相等，则这两数的绝对值相等 D.两数比较大小，绝对值大的数大

9.冬季三个城市的最高气温分别是-10°C，1°C，-7°C，把它们从高到低排列是（ ） A、-10°C， -7°C，1°C B、-7°C， -10°C，1°C C、1°C， -7°C， -10°C D、1°C，-10°C，-7°C

10.一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是 （ ） （A）—1 （B）1 （C）0 （D）±1

11.数轴上到数—2所表示的点的距离为4的点所表示的数是 （ ） （A）—6 （B）6 （C）2 （D）—6或2

12.一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是 （ ） （A）0 （B）正数 （C）非正数 （D）非负数

13.若上升15米记作+15米，则－8米表示 ______ 14.写出一个负分数： 。

15.一艘潜艇正在水下–50米处执行任务，距它正上方30米处有一条鲨鱼正好游过，这条鲨鱼所处位置的高度为________.

16.规定了__________、____________、_____________的直线叫数轴. 17.用“”号填空： －9 －11。

18.抽查四个零件的长度，超过为正，不足为负：（1）－0.3；（2）－0.2；（3）0.4；（4）0.05．则其中误差最大 的是 。（填序号）

19.一个点从数轴上的原点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动8个单位长度到达P点，那么P点所表示的数是_________.

20. 比—2.99小的最大整数是__________

21.绝对值大于3而不大于6的整数分别是 ________________________ 。 22.在数轴上,绝对值小于3并且离—2两个单位长度的点所表示的数是_____________.

三、认真做一做

23.0.25312 24. 

25.把下列各数的序号填在相应的数集内：

①1 ②-

1153 102

314

③+3.2 ④0 ⑤ • ⑥-5 ⑦+108 ⑧-6.5 ⑨-6. 537

（1）正整数集{ „}

（2）正分数集{ „} （3）负分数集{ „}

（4）有理数集{ „} 26．将下列各数在数轴上表示出来． －4.5， 5， 0， －3， 1

1

， －1。 2

（单位：千米）如下：

+15， -2， +5， -1， +10， -3， -2， +12， +4， -5， +6． （1）将最后一名乘客送到目的地时，小李一共行了多少千米？

（2）若汽车耗油量为0．2升/千米，这天下午小李共耗油多少升？

努力试一试

1.式子5－x1能取得的最大值是 ，这时x= 。 2.观察下面一列数，探求其规律： 1,,,,,,

(1)请问第7个，第8个，第9个数分别是 ， ， ，

(2)第2012个数是 ？如果这列数无限排列下去，与哪个数 越来越接近？ 3. 如图，图中数轴的单位长度为1。请回答下列问题：

①如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是____________.

②如果点E、B表示的数是互为相反数，那么点D表示的数是___________，图中表示的5个点中，点________表示的数的绝对值最小，是___________.

1

211341156

1．用正负数表示相反意义的量 2．正数和负数

1

，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 2

3

像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。

4

像+

【注】0既不是正数也不是负数。

+15表示加15分，那么扣20分表示 。

30m记做 ，向西行驶20m记做

，原地不动记做 ，—5m表示向 行驶5m，+16m表示向 行驶16m.。 1）收入—2000元，表示 。

（2）如果下降8米记为—8米，那么上升15米记为。 3．有理数

（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。

分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类

1

）按有理数的定义分类

2）按正负分类

正整数 正整数 整数 0 正有理数

有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数

分数 负有理数

负分数 负分数 把

1124, 5, 6.3, 0, 6.9, , 2, 7, 210, 0.031, 43, 10%填在相应的括号内。 2135

 整数集合：

正有理数集合： 非负数集合：

 



234,

 负分数集合：

2 .444,

7.43,0.01,

9,82,174,9

19

1

, -20, 1000.1, 021 ,0, 2001, 260,5%,

36

，负数有 个，正数有 个，整数有 7

个，正分数有 个，非负整数有 个。 。

（1）一个数，如果不是正数，必定就是负数 （2）正有理数是正整数和正分数的统称。

（3）一个有理数不是分数就是正数。 （4）整数不是奇数就是偶数。 （5）0是最小的有理数。 （ ）

A 3.1415926 不是分数 B 正整数和负整数统称为整数。 奇数是正数 D 有理数包括整数和分数

( )

（1）3，—3，3，—3，3，—3， ，，„„

（2）1 ,,,

11

351

,，

7

第199个数分别是。 1）1，—3,5，—7,9，—11， ， ，„„ （2）1 ,

,,,, ，„„ 第100个数分别是 。 4．数轴

（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2 ,3 ,

12

233445

1.5,

13,2

A,B,C,D,E各点表示的数

（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． 4而不大于2的所有的整数，并在数轴上表示出来。 （1）若数轴上的点A向右移动2个单位长度后，又向左移动1个单位长度，此时正好对应—8这个点，那么原来A点对应的数是

。

（2）数轴上与原点距离小于4个单位长度的整数点有个，分别是。

（3）在数轴上，把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位，则与此位置相对应的数是 。 下列结论正确的有（ ）个：

① 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴 ② 最小的整数是0 ③ 正数，负数和零统称有理数 ④ 数轴上的点都表示有理数

A.0 B.1 C.2 D.3

（3）在数轴上比较有理数的大小

1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 在数轴上画出下列各点，它们分别表示：+3， 0， －３起来。

11

， 1， －３，－1.25并把它们用“＜”连接42

（1）下列说法错误的是（ ）

A.没有最大的正数，却有最大的负数 B.数轴上离原点越远，表示数越大 C.0大于一切非负数 D.在原点左边离原点越远，数就越小 （2）写出两个比—2大的负有理数 。

根据有理数a,b,c 在数轴上的位置，比较a,b,c,0的大小。

5．相反数

（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （代数意义）

（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。

7的相反是 。

（1）2的相反数是 （2）下列说法正确的是( )

A 一个数比它的相反数小，那么这个数是正数。 B 符号相反的两个数互为相反数。

C 互为相反数的两个数可能相等。 D 一个数的相反数不可能大于它本身。 写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出来。

3,

13

1

0.5,2,0,4

2

（5）相反数的求法：数a的相反数是—a。

1）0.1与a互为相反数，那么a= 。 （2

）a-1的相反数是 。 （1）若-x的相反数是-7.5，则x= 。

（

2）如果m的相反数是最大的负整数，n的相反数是-2，那么m+n= 。 a-1的相反数是-2，则a= 。

（6）多重符号化简

多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－

”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。

（-3.5）= -（+8）

= （+5）的相反数是 。



2

的相反数与a的相反数相等，则a= 。 3

（

）=-3 -（ ）=5.2

（1）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做数a的绝对值。

（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．

a,a0

a0,a0

a,a0

数轴上表示-2.5的点到原点的距离 1）若|a|=2，则a= 。 （2）|-3

1

|的相反数是。 2

（3

）到原点5个单位长度的点是

4）若|m|=-m,则m是 。若|m|=m,则m是 。

1.5 0 ,

4.2,2

（3）绝对值的主要性质

一个数的绝对值是一个非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． （4）两个相反数的绝对值相等． |x+2|=0,则x= （1）若|x+2|+|y-3|=0，则x= ,y= . （2）若|a|=4,|b|=3,且a

a、b的值。 （3）下列说法正确的是

① 任何一个有理数的绝对值一定是大于0的。 ②一个有理数的绝对值不小于它自身。 ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等。 ④绝对值等于本身的数是非负数。 ⑤绝对值最小的有理数不存在。 ⑥任何数的绝对值都不小于原数。 （4）|x+5|的最小值是 。

（1）写出绝对值不大于3的所有整数 （2） 若|x|=|-4|，则x= .

(5)有理数大小比较原则

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 两个负数，绝对值大的反而小.。

1）比较大小0 -0.001 -5 -|-4| （2）因为|212

，所以， 333

（1）实数a,b在数轴上的位置如图所示，是比较a,-a,b,-b的大小关系。

（2）比较大小 ①

817

和 ②-|-3|和

938

（3）大于-3且不大于5的整数有 个，其中奇数有 个。

（1）将有理数0，-3.14, 2.7， -4， 0.15 按从小到大的顺序排列起来，并用“>”连接。 （2）若x

(1)有理数加法法则

1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3）互为相反数的两个数相加得零。

）一个数与0相加，仍得这个数。

（-4）+（-7）= ()

23

3418

  -9.5+0= 



5258

（1）下列说法正确的是

①若两个数的和为正数，则这两个数都是正数。 ②两个有理数相加，和一定大于每一个加数。 ③两个有理数的和可能为0。 ④两个有理数的和可能等于其中一个加数。 ⑤若a与-2互为相反数，则a+(-2)=0。

（2）如果|x|=2,|y|=3, 则①x,y同号，x+y= ②x,y异号，x+y=

（1）计算

（+6.5）+（-4.1）= （-2.1）+（-3.9）= m+0= m+（-m）= （2）用算式表示：

①温度-10C上升了3C达到 ②0.25的相反数与-0.75的绝对值的和。 ③绝对值不大于-4.3的所有整数的和。 （2）有理数加法的运算律

加法交换律：a＋b

＝b＋a

(a+b)+c=a+(b+c) （1） 计算

o

o

13(12)17(18)

(18.75)6.25(3.25)18.75

4.1

11

()(10.1)724821()933

(2)某校购回面粉

10袋，每袋50千克，入库时又重新称量，结果如下，（超过的千克数记为正数，不足的千克数

记为负数）。+0.8，-0.5，+1.1,0,-0.3,+0.4,-1.2,-0.7,+0.6。

问：①该校共买进面粉多少千克？ ②平均每袋面粉重多少？ ③平均每袋面粉比标准量多还是少？

（1）计算：

351(2)124.1250.75 478

12345620052006

（2）出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程如下（单位：千米）：+15，-3，+14，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18。①将最后一名乘客从到目的地时，小李距最初的出发点多少千米？②若汽车的耗油量为a升每千米，那么这天下午小李的车共耗油多少升？

（1）如果a,b互为相反数，则a+2a+3a+„+99a+100a+b+2b+„+99b+100b= 。 （2）（-1）+3+（-5）+7+„+95+（-97）+99= 。 8. 有理数的减法

a-b=a+(-b) (1)计算：3-（-5） （-5）-|-5|

小4的数是。 （1）室内温度是16C，室外温度是-7C，室内温度比室外温度高 。

（2）下列说法正确的是 。

①在有理数的减法中，被减数不一定比减数或差大。 ②两个相反数想减得零。 ③零减去一个数，仍得这个数。 ④负数减去正数，差为负数。 ⑤较小的数减去较大的数，所得的差一定为负。

（3）①A、B两点间的距离是多少？

②

A、C两点间的距离是多少？ ③探究两点间的距离与表示这两点的数有什么关系？

o

o

（1）计算：

0-（-5）-（-12）-（+9） 0

1111

 2346

（2

9．有理数的加减混合运算

（1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。

例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。

读作“负8，正10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。

（1）把-2-（+3）-(-5)+(-4)+(+3)写成省略括号的形式 。

（2）把-5-3+4-7按“和”的意义读作 。按“运算”意义读作

。 （1）-7，-12，+2的代数和比他们的绝对值的和小 。 （2）已知a= -1,b=2,c= -3,d=4，求a-b-c+d

（3）计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+„+2005+2006-2007-2008 （1）计算： 2004-（2008+|2004-2008|） （2） 用算式表示

①-6的相反数比10的相反数小2的数的和。 ②-0.3的绝对值的相反数与3.5的相反数的差。 10．有理数的乘法

（1）有理数的乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。 （1）计算：

1200901900

1

6

3

12

8

25

（2）如果|a|=2,|b|=3,且ab

（1）下列说法正确的是 。

①一个数与1的积等于它本身。 ②一个数与-1的积是它的相反数。 ③如果ab=0，则一定有a=b=0。 ④一个有理数和它相反数的积一定为负。⑤积比每个因数都大。 （2）如果|x|=0.99,|y|=0.09,且xy>0，则x+y= 。

（3）在-2,3，-4,5中任取两个数相乘，所得的积最大是

。

2+2=2³2。其实这样的数有很多，如：

1

11，请再写出三组这样的式子。 22

（2）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个

数为偶数时，积为正。

113

7

1

9264

-9）³10³0= （1）（10-11）³（11-12）³（12-13）³„³（99-100）=

（2）如果三个数的积为负数，则这几个数中有 个负因数。 （3）乘法运算律

乘法交换律： ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc)

a(b+c)=ab+ac （1）（-7）³（-2）+（-12）³（-7）-（-3）³（-7）= （2）

517

36

 9612

（1）在2³（-6）³5=-6³（2³5）中运用了（ ）

A 乘法交换律 B乘法结合律 C乘法结合律和乘法交换律 D 乘法分配律 （2）用简便方法计算： ①9

8

6  19

11

0.25728.525%

24

②421 ③

1111

 2233

41920

（1）若a,b异号，那么|1-ab|= 。 （2）1

111111111 23459

11．有理数的除法

（1）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

0没有倒数。 求下列各数的倒数。

8，0.5，2,, 1, 1

（1）若一个数的倒数等于它本身，则这个数是 。 （2）下列说法正确的是 。

①只有1的倒数等于它的本身。 ②－3.5的倒数是3.5。 ③零没有倒数。 ④0.1的倒数是10。

⑤任何一个有理数a的倒数都等于

1

338

1

。 ⑥两个数的积等于1，这两个数互为倒数。 a1

(b0) b

（2）有理数除法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 【注】0不能做除数。 aba

（3

）有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

零除以任何一个不等于的数，都得零。

（1）计算：（-32）÷（-8）= 1

23

1 37

273

4512

 211

7623

（2）当x= 时，5

没有意义。

x5

xab

2c2d

的值。 ab

（1）已知：a,b互为倒数，c,d互为相反数，x的绝对值是2，求2xcd

2



（2）当x= 时，

x3x3

的值为0。

（3）某人到保险公司办理火灾保险，保险金为其房屋价值的

2

，按规定，每元保险金里交付1分5厘（即保3

险费率为1.5%）已知这人一年应交付保险费184元，问：其房屋的价值是多少元？

1）计算：

11

13

82

121118362

（2）体育课上，全班男同学进行百米测验，达标成绩为15秒，下面是第一组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒。-0.8.，+1.0，-1.2，-0.7，+0.5，-0.5，+0.1。①这个小组的男生达标率是多少？②这个小组的平均成绩是多少秒？ 12．有理数的乘方

（1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。

aaaaan 个

（2）乘方的结果叫做幂，a叫做底数，

n叫做指数。 （1）在3中，指数是，幂是

4

在－3中，指数是。

（2）把下列各式写成幂的形式 （-6）（-6）（-6）（-6）= －（1）2 表示（ ）

A 5个-2相乘 B 5个2相乘的相反数 C 2个-5相乘 D 2个5相乘的相反数

5

4

222

³³

333

2222

 （2）333

22

（3）有理数乘方法则：

正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非0次幂都是零。

（1）计算：

4

4

21

 1 32

32

33

（2）12n

1

2

2n1

 （ n为正整数）

（1）|x+5|+(y-2) =0,那么x (2)3

2003

y

的末位数字是

（3）一根绳子，第一次减去一半，第二次减去剩下的一半，如果剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为 。 （4）3

20

521722的个位数字是

（1）若x，y为有理数，下列各式成立的是（ ）

xx3 xx4 A. B

3

4

x-yyx D C -xx

3

3

3

3

(2)拉面师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，在捏合，再拉，反复几次，就把很粗的面条拉成了许

多根很细的面条，这样捏合到第 次后拉出128根面条。 13．科学记数法

（1）一般的，10的n次幂，在1的后面有n的0。

（2）一个大于0的数就记成a10的形式。其中1a10,n是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。

10的指数等于原数的整数位数减1。（或等于小数点向右移动的位数。 （1）把下列各数用科学记数法表示

①300000= ②40800000= ③4879.5= ④-369000000= （2）下面是用科学记数法表示的数，则原来的数是什么？

n

(1)2.1103 (2)4.09105(3)1.3910 (4)5.000002

10

4

5

（1）25.8万用科学记数法表示 。

（2）光的传播速度是300000km/s，太阳照射到地球上大约需要500s，则太阳岛地球的距离用科学记数法可表示为 。 14．有理数的混合运算

（1

）先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。 （3）如果有括号，就先算小括号里的，§再算中括号里的，然后算大括号里的。

1135312

计算：①(3)3 ②41

335642

（1）有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，求a

2008

3

a2009的值。

（2）若m,n互为相反数，则5m+5n-5= 。

3，-5,7，-13这四个数，进行加、减、成、除运算，每个数字用一次，使其结果为24 计算：

[1**********]  [1**********]0

15．近似数和有效数字

（1）准确数：完全符合实际的数。

（2）近似数：和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度叫做精确度。

（3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。 （1）按要求对下列各题去近似值

①0.005308 （保留三个有效数字） ②0.49996 （精确到0.001）

③120000 （保留2个有效数字） ④2.99610 （保留3个有效数字） ⑤738600000（精确到百万位） ⑥3.154910 （精确到百位） ⑦78.98万（精确到万位）

（2）下列各数均为近似数，分别精确到哪一位，有几个有效数字。 ①0.0280 ②4.87610 ③550

④0.028 ⑤30万 ⑥48760 (3) 近似数2.30表示的精确度α的范围是（ ）

A 2.295≤α

4

4

5

第三章：实数

本章的知识网络结构：

知识梳理

一．数的开方主要知识点：

【1】平方根：如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当xa(a0)时，我们

称x是a的平方根，记做：xa(a0)。因此：

当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；

当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：xa。 当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。 2、

2

a

2



2

3、

a___ 例1.



（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。

（3）若x的平方根是±2，则x= （4）当x 时，3－2x有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？ （6）已知7.348，若x0.7348，则x=

【算术平方根】：

2

（1）如果一个正数x的平方等于a，即xa，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，

读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 （2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：a0(a0)。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：

例2.

（1）下列说法正确的是 （ ）

A．1的立方根是1； B．42；（C）、的平方根是3； （ D）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）

A、9 B、3.143.14 C、279 D、5（3）(3)的算术平方根是 （4）若x

2

a。

2

x有意义，则x1___________。

2

（5）已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a,b满足a3(b4)0，求c的取值范围。

（6）已知：A=xyxy3是xy3的算术平方根，B=x2yx2y是x2y的立方根。求A－B的平方根。

（7）（提高题）如果x、y分别是4－3 的整数部分和小数部分。求x － y的值.

【立方根】

（1）如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：a，读作，3次根号a。注

意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只

有非负数才能有平方根。

33

（3）a= (a)=

例3.

（1）64的立方根是

（2）若a2.89,ab28.9，则b等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000

3

（3）下列说法中：①3都是27的立方根，②yy，③的立方根是2，④84。

2

其中正确的有 （ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 【无理数】

（1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理

数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:2,5,等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01„（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：

（2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数（2）

所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333„„、③5

、④π、⑤2.25、⑥

2

、⑦0.[1**********]03„„3

（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）

（2）有五个数:0.125125„,0.1010010001„,-,4,2其中无理数有 ( )个

A 2 B 3 C 4 D 5

【实数】

（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，

最大的负整数是-1。

（2）实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

（3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；

正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

（4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有

理数的一致。 例5.

a(a0)1

（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的aa(a0)

（1）下列说法正确的是（ ）；

A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ； C、1和2之间的无理数只有2 ； D、不带根号的数都是有理数。 （2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )

A、ab B、ab C、ab D、ba （3）比较大小(填“>”或“

 76______67， （4）数 2,3 的大小关系是 ( )

A. 32 B. 32 C. 23 D. 32（5）将下列各数：2,8,3,1，用“＜”连接起来；______________________________________。 （6）若a3,2，且（7）计算：

11

， 22

ab0，则：ab= 。

1811

0.521 0.1253 427168

（8）已知：x7121,y10.064，求代数式x2

2

3

2

x10y245y的值。

(9)（提高题）观察下列等式：回答问题： ①

③

1111111111

1111 ②

1112221612222232

11111

11，„„ 22

3311234

11

的结果； 4252

（1）根据上面三个等式的信息，请猜想

（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式。

课后练习:重点考查题型：

一、考查题型：

1．－1的相反数的倒数是

2．已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b）的相反数 3．数－3．14与－Л的大小关系是

4．和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是 5．在实数中Л,－2

53 ,－3．4 无理数有（ ）

（A）1 个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 6．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） （A）非负数 （B）非正数 （C）负数 （D）正数 7．若x＜－3，则｜x＋3｜等于（ ）

（A）x＋3 （B）－x－3 （C）－x＋3 （D）x－3 8．下列说法正确是（ ）

（A） 有理数都是实数 （B）实数都是有理数

（B） 带根号的数都是无理数 （D）无理数都是开方开不尽的数

二、考点训练： *1．判断题：

（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（ ） （2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（ ） （3）两个无理数之和一定是无理数；（ ） （4）两个无理数之积不一定是无理数；（ ）

（5）任何有理数都有倒数；（ ） （6）最小的负数是－1；（ ） （7）a的相反数的绝对值是它本身；（ ） （8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（ ） 2．把下列各数分别填入相应的集合里

－|－3|，21．3，－1．234，－223－1Л7，－9 ,8－2 ctg45°,1.2121121112．．．．．．中

无理数集合｛ ｝ 负分数集合｛ 整数集合｛ ｝ 非负数集合｛ *3．已知1

2 －3 )0，3－2， ｝ ｝

（A）－2x （B）2 （C）2x （D）－2

|a+b|

4.ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，求2。

2m+1（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜

*5．已知＝0，求ａ＋ｂ= 。

a+2三、解题指导： 1．下列语句正确的是（ ）

（A）无尽小数都是无理数 （B）无理数都是无尽小数

（C）带拫号的数都是无理数 （D）不带拫号的数一定不是无理数。 2．和数轴上的点一一对应的数是（ ）

（A）整数 （B）有理数 （C）无理数 （D）实数 3．零是（ ）

（A）最小的有理数 （B）绝对值最小的实数 （C）最小的自然数 （D）最小的整数 4.如果a是实数，下列四种说法：

（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，

1 （3）ａ的倒数是，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（ ）

a

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

*5．比较下列各组数的大小：

343

（1）

(2) 452

11

时, 

ab

|4-a2a+b2a+3b

6．若a,b满足则的值是

a+2a*7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|

（1） 判定a+b,a+c,c-b的符号 （2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|

*8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为 9．已知x0，且

y

10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？

11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？

12．把下列语句译成式子：

（1）a是负数 ；（2）a、b两数异号 ；（3）a、b互为相反数 ； （4）a、b互为倒数 ；(5)x与y的平方和是非负数 ； （6）c、d两数中至少有一个为零 ；（7）a、b两数均不为0 。 四．独立训练：

31．0的相反数是 ，3－л的相反数是 －8 的相反数是 ；－л的绝对值是 ，

0 的绝对值是 ，2 3 的倒数是 2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是 。 3．实数可分为（ ）

（A）正数和零（B）有理数和无理数（C）负数和零 （D）正数和负数 4．当a为实数时，a2 =－a在数轴上对应的点在（ ）

(A)原点右侧 （B）原点左侧 （C）原点或原点的右侧 （D）原点或原点左侧 ａｂａｂ*5．代数式＋＋的所有可能的值有（ ）

｜ａ｜｜ｂ｜｜ａｂ｜ （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个 6．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜ 试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜

＊7．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：（2－ｍ）2 －（ｍ－8）2

第四章 代数式

1．用字母表示数

（1）已知某件衣服原价a元，经调整后，价格降低了60%，则调整后的价格是 元。 （2）已知长方形的周长是C,若它的长是a，则它的宽是 。 （3）全班学生总数是n，其中女生占49%，则男生有 。 2．代数式

（1）由数和字母用运算符号连接起所成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也叫代数式。 【注】运算符号指加、减、乘、除、乘方、开方。代数式中不可含有“>”、“

1) 代数式中出现的乘号，通常写作“”或省略不写。但数字与数字相乘时，要用“”。 2）数字与字母相乘时，数字写在字母的前面。 3）除法运算写成分数形式。

4) 带分数与字母相乘时，要把带分数写成假分数。

5) 在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，若代数式是积或商的形式，则单位直接写在后面，若代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在后面。

下列各式中是代数式的是

①-8 ②x+9y ③x÷7 ④ 5X-1=9 ⑤

ab

ab

⑥a ⑦1ab ⑧a6 ⑨ y3y ⑩x>9 （3）解释简单代数式表示的实际背景

说出下列代数式的意义

①3a+2 ②ab ③2m+3n

（4）列代数式

在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列代数式。

【注】抓住题中表示运算关系的关键词：如和、差、积、商、比、倍、大、小、增加了、增加到、减少、几分之几等。

用代数式表示

① a与b的差的平方的

2

2

12

2

1

。 ②比a与b的积的3倍小25%的数。 3

③有一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数是 。 ④若a人m天可以完成一项工程，那么10人完成这项工作需 。

⑤一根弹簧未挂物体长为10厘米，挂上物体后，弹簧长度与所挂物体质量的关系如下表：

用代数式表示

（1） 奇数

偶数

（2）x

表示一个两位数，y表示一个三位数，如果把x放在y的左边组成一个五位数，那么这个五位数就可以表 示成 。

(3)电影院第一排有a个座位，后面每排比前一排多3个座位，则第x排的座位个数有 (4)观察下图：

① ② ③ ④

观察下列等式：

394140

21 ,485250222,566460242,6575705,8397907

2

2

2

2

请你把发现的规律用字母表示出来：mn= 。

（5）代数式的值

一般的，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中运算计算得出的结果叫做代数式的值。 【注】1)代数式中的值随着代数式中字母取值的变化而变化。所以求代数式值时，在代入前必须写出“当„„时”。

（1）当a=3，b=1时，代数式的（2）已知（1）当x=7时，代数式axbx57,当x=-7时，代数式axbx+5的值为多少？ （2）当a-2b=3时，求代数式a-2b32ba6的值

2

a2b

值是 。 2

bab

的值为 。 2，则

aa

3

3

（

3）按图中的程序计算，若开始输入的值x=3，则最后输出的结果为 。

每户每月用水不超过10吨，每吨收费1元，每户每月用水超过10吨，超过部分每吨2.5元，现知李老师家10月份用水x吨（x>10）,请用代数式表示李老师家10月份应交水费多少元？如果x=16，那么李老师家10月份应交多少元水费？ 3．单项式

（1）如100t、6a、2.5x、vt、-n，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 【注】1）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。 ）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。 （1）在代数式1，a-b，a,

2

2

1x

,,xy中，单项式为 。 n5

（2）指出下列单项式的系数和次数

（1）(m2)xy

2n4

是关于x,y的四次单项式，则,n=

5

（2）已知单项式3xy与0.25ab

22n3

次数相同，那么ｎ。

（3）写出系数是5且含有字母x,y的四次单项式 。 （1）观察下列一串单项式的特点：

2345

2xy4xy8xy16xy ，„ xy ， ， ， ，

①按此规律写出第9个单项式.

②试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？

（2）把代数式2abc和ab的相同点填在横线上。

① ② 4．多项式

（1）几个单项式的和，叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 （2）多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 ( 3 ) 一个多项式含有几项，就叫几项式；例如：x+2x+18是一个二次三项式。

【注】1）多项式的次数不是所有项的次数和。 2）多项式的每一项都包括它前面的正负号。

单项式与多项式统称为整式。 （1）在代数式xy,3,

2

2232

2

1312

中，单项式有，多项式有

x1,xy,m2n,,4x2,ab2,

4xx3

3

（2）多项式2xy4xy的各项为，次数为______，常数项是，它是次

项式。 （1）有一个多项式a（2）多项式6x

n2

10

a9ba8b2a7b3按这个规律写下去，写出第8项。

x2n2是关于x的三次三项式，求代数式n22n1的值。

礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前一排多1个座位，那么第二排有几个座位？第三排呢？如果m为第n排的座位数，那么用a，n表示出m。 6．升幂排列与降幂排

为便于多项式的运算，可以用加法交换律将多项式各项的位置按某个字母的指数的大小顺序重新排列。 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母降幂排列。 若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母升幂排列。 【注】

（1）重新排列的多项式，每一项一定要连同它的正负号一起移动。

（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一个字母升幂排列或降幂排列。

（1）多项式4xyx3y5按x的降幂排列为y的升幂为。 （2）补入多项式1x的缺项，并按字母x的降幂排列：

7．整式的加减

（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。 （2）合并同类项：根据乘法对加法的分配律把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项。

合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。

（1）下列各组中的两项是同类项的是（ ）

3

A．2,3 B.ab,ba C.2ab,

6

2

22

3

3222

2

ab D.x4,24 3

（2）已知2xy与（3）合并同类项

13mn

xy是同类项，则代数式2m-5n= 。 3

2

2

2

① 7ab9ab3ab5ab9 ② x2xy2yz3x52x

（1）在3x

m52

2

y2与x3yn的和是单项式，则m+n= 。

（2）如果关于x的代数式mx+nx合并同类项后为零，则有理数m,n的关系是 。

（1）李大爷从报社以每份0.4元的价格购进a份报纸，然后以每份0.5元的价格售出b份报纸，余下的以每份0.2元的价格退回报社，求李大爷的卖报收入。

（2）已知代数式mxmx2与3xmxm的和是单项式，则m2m1= 。

(3)去括号与添括号

1）去括号法则：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变正负号。

a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c

2）添括号法则：所添括号前面是“十”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括h号前是“一”号，括到括号里的各项都改变正负号。

a-b-c= a-(b+c) （1）① -（a-b)+(-c+d)= ② （2）一个代数式加上2xx，得到x1，那么这个代数式是

（1）已知a-b=-3，c+d=2,则（b+c）-(a-d)= 。 （2）x-[y-2x-(x+y)]= 。

（4）整式的加减 先去括号，再合并同类项。

2

2

222

例题：

（1）3 (2aa1)2(3aa1) 。 （2）当x=2时，xx52x7x3 练习：

（1）已知A=x7x2,B=2x4x3，且A+B+C=0求①2A+B ②3A-2B ③C的值

（2）先化简，再求值

22

2



2



2



2

21131

x2(xy2)(xy2)，其中x=-2,y=.

32323

（3）若多项式2mxx5x8(7x3y5x)的值与x无关，求m[2m(5m4)m]的值。

作业：

一个学生计算整式减去-3xy+5yz-1时，因为粗心，把减去误作加上，得结果是xy-3yz+6,问①这是怎样的一个整式。②正确结果是多少？

2

2

2

2

2

第五章 一元一次方程

一、相关概念

[1]

1、方程：含 的等式叫做方程. ．．

2、方程的解：使方程的等号左右两边相等 ．．．．．．．．．

[2]

的 ，就是方程的解．．．．。

3、解 方 程：求 的过程叫做解方程。 ．．．[3]

4 ，未知数的最高次 ．．．．．．数是 ．．1．

[基础练习]

1☆选项中是方程的是（ ）

A.3+2=5 B. a-1>2 C. a2＋b2－5 D. a2+2a-3=5 2☆下列各数是方程a2+a+3=5的解的是（ ） A.2 B. -2 C.1 D. 1和-2 3☆下列方程是一元一次方程的是（ ）

2

A.+1=5 B. 3(m-1)-1=2 C. x-y=6 D.都不是 x

x

4★若x=4是方程a=4的解，则a等于（ ）

21

A. 0 B. C.-3 D.-2

2

二、【方程变形——解方程的重要依据】

1、▲等式的基本性质

²等式的性质1：等式的两边同时加（或减） （ ），结果仍相等。

即：如果a=b，那么a±c=b 。

²等式的性质2：等式的两边同时乘 ，或除以 数，结果仍相等。 即：如果a=b，那么ac =bc 或 如果a=b（ ），那么a/c =b/c [注：等式的性质（补充）： 等式的两边，

结果仍相等。即：如果a=b，那么b=a ]

2、△分数的基本的性质[4]

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分

数的值不变。

aamam

即：==（其中m≠0）

bbmbm

[基础练习]

1☆ 利用等式的性质解方程：2x+13=12

第一步：在等式的两边同时 ，

第二步：在等式的两边同时 ，

解得：x= 2★ 下列变形中，正确的是（ ）

A、由3x52x,得5x5B、由3x2,得x

2y32

D、由0,得yC、由2(x1)4,得x12

32 3、下列说法中，正确的是 （ ）

A．若a＝b，则

ab

＝ B．若a＝b，则ac＝bd cd

C．若ac＝bc，则a＝b D．若a＝b，则ac＝bc

4★★解方程：

x0.31x0.131 0.20.03

三、【解一元一次方程的一般步骤】图示

．．

说明：

1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤； 2、解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；

3、对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。 [基础练习]1、解下列方程

(1) 4x23x (2) 4x3(20x)4 (3) (4) y

5x17

 84

12yx1x22x1

(5) （6）4q－3(20－q）=6q+7(9－q） 1

23362

2★★已知关于x的一元一次方程ax－bx=m有解，则有（ ）

A. a≠b B.a>b C.a

四、【一元一次方程的应用】

▲依据题目中的信息将问题转化为解方程的问题 〖想想算算填填〗 ▲一元一次方程与应用问题及实际问题 (1) 若 y2(x5)20,则xy 。 （2）若2a3bn1与9amnb3是同类项，

则 m= ，n= 。 （3）若mx3yp与nxm1y2的和为0，

初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系

1、行程问题

²基本量及关系：路程=速度³时间

路程路程

速度

时间 时间=速度

[典型问题]

²相遇问题中的相等关系：

一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离 ²追及问题中的相等关系：

追及者的行程－被追者的行程=相距的路程 ²顺（逆）风（水）行驶问题 顺速=V静＋风（水）速 逆速=V静－风（水）速

则m-n+3p = 。

（4）代数式x+6与3(x+2)的值互为相反数，

则x的值为 。

x46

（5）若与 互为倒数，则。

53

〖列方程解答〗 2、销售问题 1、一架飞机在两城之间飞行，顺风需要4小时，

²基 本 量：

逆风需要4.5小时；测得风速为45千米/时，

成本（进价）、售价（实售价）、

求两城之间的距离。

利润（亏损额）、利润率（亏损率）

²基本关系：

利润=售价－成本、 亏损额=成本－售价、

利润=成本³利润率

亏损额=成本³亏损率 2、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八利润

利润率 亏损率亏损额 折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60成本成本

元，八折出售后，商家所获利润率为40%。3、工程问题 问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多²基本量及关系： 少？ 工作总量=工作效率³工作时间 工作总量 工作总量 工作时间工作效率 工作效率工作时间

4、分配型问题

此问题中一般存在不变量，而不变量

正是列方程必不可少的一种相等关系。 3、某文艺团体组织一场义演为“希望工程”募

捐，共售出1000张门票，已知成人票每张8

元，学生票每张5元，共得票款6950元，成人票和学生票各几张？

4、甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t，乙池又注入8t后，甲池的水比乙池的水少3t，问原来

甲、乙两个水池各有多少吨水？

第六章 图形的初步认识

1．生活中常见的立体图形 （1）球体

（2）柱体：包括圆柱和棱柱。

1）圆柱：有两个底面是圆，侧面是曲面。

2）棱柱：上下两个底面是两个平行且相同的多边形，侧面是平行四边形。 棱柱可按底面多边形边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 （3）椎体：包括圆锥和棱锥。

1）圆锥：有一个底面是圆，侧面是曲面。 2）棱锥：底面是多边形，侧面是三角形。

棱锥可按底面多边形边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 （4）多面体：由平的面围成的立体图形。

（5）欧拉公式：多面体的顶点数、棱数、和面满足下面的公式：顶点数+面数-棱数=2

(1) 请写出下列几何体的名称

(1)

(2)

(3) (4) (5) (6)

其中棱柱包括 ，椎体包括 ，多面体包括 。 （2）下图是由( )图形饶虚线旋转一周形成的

A B C D （3）底面是n边形的棱柱共有 个面， 个顶点， 条棱。 （4）一个多面体有8个顶点，12条棱，该多面体是 。 2．画立体图形

（1）视图：就是从正面、上面、和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，然后描绘三张所看到的图，即视图。

正视图：从正面看到的图形。

俯视图：从上面看到的图形。

侧视图：从侧面看到的图形。依观看方向不同，有左视图、右视图。

三视图：通常把正视图、俯视图、与左（或右）视图称作一个物体的三视图。

（2）球体的三视图都是圆。

正方体的三视图都是正方形

圆柱体的正视图和左视图都是长方体，俯视图是圆。

圆锥体的正视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，中心有一个点。 3．由视图到立体图形

主视图：可分清物体的长与高。 俯视图：可分清物体的长与宽。 左视图：可分清物体的宽与高。

（1）一个直立在水平面上圆柱体的主视图、俯视图、左视图分别是( ) A.长方形、圆、矩形 B.矩形、长方形、圆 C.圆、长方形、矩形 D.长方形、矩形、圆 （2）如图，该物体的俯视图是( )

（3）如图，这是一个由小立方块塔成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数.请你画出它的主视图与左视图.

（4）一个几何体的主视图是三角形，那么它不可能是 （ ） A 三棱锥 B 圆锥 C圆柱 D 正三棱柱 4．立体图形的表面展开图

多面体是由平面图形围成的的立体图形，沿着多面体的一些棱将它剪开，可以把多面体的表面展开成一个平面图形，这个平面图形叫做多面体的表面展开图。

正方体的表面展开图：有“一四一型”、“一三二型”、“二二二型”、“三三型” 口诀：一行不过四，

“田”“凹”应弃之，相间、Z端是对面。 （1）将一个正方体展开成平面图形，需要剪 条棱。 （2）下列平面图中不能围成立方体的是( )

（3）圆锥的侧面展开图是( )

长方形 B.正方形 C.圆 D.扇形

（1）如图所示，用字母M表示与A相对的面，请在下面的正方体展开图中填写相应的字母．

（2）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与点1重合的点是_________．

（3）如图所示，下列四个图形分别是由 、 、 、 展开得到的，

（4）如图所示的是长方体的展开图，若D面在前面，则（ ）面会在上面，若从右面看是面C，而D在后面，则（ ）面会在上面。

5．平面图形

（1）圆是由曲线围成的封闭图形。

（2）多边形：由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做多边形。

按照组成多边形的边的个数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形„„ 在多边形里，三角形是最基本的图形，每个n边形都可以分割成(n-2)个三角形。

（1）以下各平面图形中，不是多边形的是（ ） A 三角形 B正方形 C 八边形 D椭圆

（2）从一个顶点出发，连结这点和各顶点，可将多边形分割成 个三角形。

（3）如图1是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，得到图2，再分别连结图2中的小三角形三边中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数规律完成下列各题。

在第n个图形中有 个三角形。

（1）从n边形内部的一点，连结这点与各顶点，可将一个十边形分割成三角形的个数是 。 （2）在如图所示的多边形中，哪几个可以分割成四个三角形？画出图形。

6．最基本的图形——点和线

（1）点：通常表示一个物体的位置。 （2）线段、射线、直线

线段：有两个端点，不向任何一方延伸，可度量。有两种表示方法线段AB（BA），或线段a。

a

B A

射线：有一个端点，向一方无限延伸，不可度量。有一种表示方法射线OA.。

O A

直线：没有端点，向两方限延伸，不可度量。有两种表示方法直线AB(BA)，直线l。

l

B

（3）两点之间，线段最短。

经过两点有且只有一条直线。

（1）直线有 个端点，射线有 个端点，线段有 个端点. （2）过一点有 条直线，过两点有 条直线。

（3）平面上三条直线两两相交，最少有 个交点，最多有 个交点。 （4）点A，B，C在同一直线上，那么这条直线上共有线段（ ）

A B C

A、3条 B、4条 C、5条 D、6条 (5) 如上图：下列说法正确的是 （ ）

A、射线AB与射线BC是同一条射线 B、射线AB与射线BA是同一条射线

AB与射线AC是同一条射线 D、射线BA与射线BC是同一条射线 （1）要在墙上钉一根木条，只要 只钉子即可，原因是 。 （2）下列说法正确的是（ ）

①三点确定一条直线 ②作直线AB=CD ③ 两条直线相交只有一个交点 ④延长射线AB ⑤ 线段AB与线段BA是两条不同的线段

（3）如图：A,B是公路l旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个仓库P，使P到A,B的距离之和最小，试在l上标注出点P的位置，并说明理由。

（4）线段长短的比较 B

1) 度量法

2）叠合法，就是把其中一条线段移到另一条线段上，使其一个端点重合，然后去加以比较。 （5）画一条线段等于已知线段。 已知：线段MN,

求作：一条线段AC，使AC=MN。 做法：1）画一条射线AB

2)用圆规量出线段MN的长

3）在射线AB上截取AC=MN，则线段AC就是要画的线段。 （6）线段中点 把一条线段分成相等的点，叫做这条线段的中点。

（1）在平坦的草地上有A,B,C三个小球，若已知A球和B球相距3米，A球和C球相距1米，则B球和C球可能相距 米。

（2）已知线段AC和BC在同一条直线上，若AC=6，BC=2,线段AC和BC的中点间的距离是 。

（1）往返于A、B两地的火车，中途经过三个站点，问： ①有多少种不同的票价？ ②要有多少种不同的车票？

（2）如图所示，点C在线段AB上，线段AC＝8cm，BC＝6cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求 ⑪线段MN的长度

⑫根据⑪中的计算过程和结果，设AC＋BC＝m，其它条件不变，你能猜测MN的长度吗？说明理由. ⑬若题中的条件改变为“点C在直线AB上”，其它条件不变，结果会有变化吗？若有变化，请求出结果.

A M C N B 如图所示，已知C点分线段AB为5：3， D点分线段AB于3：5，CD的长为10cm，那么AB的长为 cm.

A D C B

7．角

（1）角是由两条有公共端点的射线组成的图形。

（2）角也可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的中边。

【注】角的大小只与开口大小有关，与角的边的长短无关。 （3）角的表示方法

1）用数字表示单独的一个角。如∠1，∠2等

2）用小写的希腊字母表示单独的一个角。如∠，∠等

3）用一个大写的英文字母表示独立（在一个顶点处只有一个角）的角。如∠O，∠A等。

4）用三个大写的英文字母表示任意一个角，但必须把表示角的顶点的字母写在中间。如∠AOB等。 （4）角的分类

锐角 0

平角 角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角。∠= 180 周角 角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角。360o （5）角的度量

ooo/

1周角=360 1平角=180 160 160。

|

||

oo

o

oo

o

（6）用角表示方向

一般以正北、正南为基准，向东或向西旋转的角度表示方向。例如，北偏东60。 （1）32024 8907

o

o

o

211

周角= 平角= 直角= 342

（2）在图中,确定A、B、C、D的位置: 1)A在O的正北方向,距O点2cm;

2)B在O的北偏东60°方向,距O点3cm; 3)C为O的东南方向,距O点1.5cm;

4)D为O的南偏西40°方向,距O点2cm.

（3）时针从3点到五点半时，分针共转了 度，时针共转了 度。

（1）9点30分时，钟表上时针和分针成角是 度。 （2）下列说法正确的是 （ ）

①直线是平角，射线是周角 ②角是由一条射线旋转而成的 ③1周角=2平角

如图所示,A、B两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体,A艇发现该不明物体在它的东北方向,B艇发现该不明物体在它的南偏东60°的方向上, 请你试着在图中确定这个不明物体的位置.

北B

西东

南

A

（7）角的比较

1）度量法

2）叠合法 把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧。

（8）画一个角等于已知的角 已知：∠AOB

求作：∠CDE=∠AOB 作法：1）画射线DE

2）以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。

3）以点D为圆心，以OM长为半径作弧，交DE于P。

4）以点P为圆心，以MN长为半径作弧，交前一条弧于Q。 5）经过点Q画射线DC。 则∠CDE为所求。 （9）角的平分线

（1）下列语句正确的是（ ）

A 角的两边越长，角越大 B 延长一个角的两边

C 一个钝角减去一个锐角的差一定是锐角 D 凡直角都相等 （2）如图，OB，OC三等分∠AOD

①图中共有个角，它们是

②写出图中所有相等的角 。 ③OB是的平分线，OC是

④画出∠BOC的平分线OM，OM除了是∠BOC的平分线外，还是的平分线。 C

O A

（1）直线AB、CD相交于O,∠BOC=80°,OE平分∠BOC,OF为OE的反向延长线. 画出图形并求出∠BOD和∠DOF的度数.

（2）将一副三角板叠放在一起，使顶点重合与点O，则∠BOD+∠AOC的度数为 。 A

D C

B

（3）在∠AOB的内部取一点C，作射线OC,则一定存在（ ）

∠AOB>∠AOC B ∠AOC>∠COB C ∠COB>∠AOC D ∠AOC=∠COB 在飞机飞行时,飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的.如图,用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角.从A到B的飞行方向角为35°,从A到C的飞行方向角为60°,从A到D 的飞行方向角为145°,试求AB与AC之间夹角为多少度?AD与AC之间夹角为多少度?并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线. N(北) B C A（10

）角的特殊关系

D

1）互为余角：两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。 互为补角：：两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。

2）等角或同角的余角相等。 等角或同角的补角相等。

3）对顶角 两条直线相交得到的，有公共的顶点，没有公共边的两个角。 （1）已知∠1=20度,∠2=30度,∠3=60度,∠4=150度，则∠2是____的余角,_____是∠4的补角。 （2）如果∠α=39°,∠α的余角∠β =_____,∠α的补角∠γ=_____,∠α-∠β=___。 （3）下列说法正确的是 （

）

①对顶角是由两条直线相交而成，有公共顶点且两条边分别互为反向延长线的两个角，

②度数是180度的两个角是邻补角。 ③对顶角的平分线在一条直线上。 ④互余的两个角一定一大一小。 （

1）若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3=______°, 依据是_______。 （2）一个角的余角比它的补角的一半少40°,求这个角的度数。 （1）如果∠α=n°,而∠α既有余角,也有补角,那么n的取值范围是( ) A. 90°

o

oo

o

8．相交线

（1）两条直线相交所构成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

若直线AB、CD互相垂直。记作“ABCD”

（2）垂线的性质

在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简述为“垂线段最短”。

（3）点到直线的距离

（1）画一条线段的垂线，垂足在（ ）

A 线段上 B 线段端点上 C 线段的延长线上 D 以上都有可能

（2）P，Q分别是∠AOB的边OA，OB上的点，画出点P到OB的垂线段PM，点Q到OA的垂线段

QN。 （1）如图所示，P为直线l外一点，A，B，C三点均在l上，并且PB⊥l，有下列说法：①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB的长度叫做点P到直线l的距离；③线段AB的长度是点A到PB的距离；④线段AC的长度是点A到PC的距离。其中正确的有

（2）如图

①画出从点A到河边l的最短距离。

②画出从点A经过点B到河边的最短距离。

A B

（1）如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，OF⊥AB于O，∠1=65° ，求∠BOE的度数．

（2）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，∠EOC=35°，则∠BOD=___________．

D A

O

EB9．相交线中的角

直线l截直线a、b得到八个角。

l

a 4 3

b 8 7

同位角：在截线la、b的同一方，这样位置的一对角叫做同位角。

如∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。

内错角：在截线l的两侧，被截直线a、b的内部，这样位置的一对角叫做内错角。如∠5与∠3，∠6与∠4。 同旁内角：在截线l的同一侧，被截直线a、b的内部，这样位置的一对角叫同旁内角。如∠3与∠6，∠4与∠5。

（1）如图所示，图中有( )对同旁内角．

A 3对 B 4对 C 5对 D 6对．

（1题） （2题）

（2）∠1的同位角是 ，∠2的内错角是 。∠3的对顶角 ，

七年级上

第一章 从自然数到有理数

知识点：

1.自然数：注意（1）0是最小的自然数，它表示没有，不要遗漏。（2）表示不同作用的数有不同的性质，表示计数和测量的数可以进行数的运算，而表示标号或排序的数有时有指代作用，即对事物起区别作用，一般不能进行计算，这也是区别数的表示作用的重要性。剖析用于计数和测量的数往往与量词相连，而用于标号和排序的数往往与顺序有关，在阅读是应特别注意体会这一点。

例：世界上最长的跨海大桥——杭州湾大桥于2003年6月8日奠基，这座设计日通车量为8万辆，全长36千米的6车道公路斜拉桥，是中国大陆的第一座跨海大桥，计划在5年后建成通车。 你在这段文字中看到了哪些数？它们都属于哪一类数？ ⑪属于计数如8万辆、5年后、6车道 ⑫表示测量结果如全长36千米

⑬表示标号和排序如2003年6月8日、第一座等

下列语句中用到的数，哪些属于计数？哪些表示测量结果？哪些属于标号和排序？ （1）2002年全国共有高等学校2003所。 （标号和排序 计数） （2）小明哥哥乘1425次列车从北京到天津，然后乘15路公交车到了小明家。（标号和排序 标号和排序） （3）香港特别行政区的中国银行大厦高368米，地上70层，至1993年为止是世界上第5高楼。 （测量结果，计数，标号和排序，标号和排序）

一、有理数的概念：1）正整数、零和负整数统称为整数；

2）正分数、负分数统称为分数；

3）整数和分数统称为有理数。（0既不是正数，也不是负数）

随堂测试一：

1、把下列各数分别填在表示它所属的括号里：

-5.3 ,+31 ,

312

,0 , -7 , ,2005 , -1.39. 413

(1)正有理数：{ „„} (2)负有理数：{ „„} (3)整数：{ „„} (4)分数：{ „„} （5）非负有理数：{ „„} 2、请你任意写出一个自然数；一个负分数．

二、1、数轴的概念：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。

2、相反数的概念：若两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也

称这两个数互为相反数。 注意：零的相反数是零。

3、在数轴上，表示为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

随堂测试二：

1、点A，B，C，D，E在数轴上的位置如图所示，请你把各点所表示的数填入相应的括号内．

A、（ ） B、（ ） C、（ ） D、（ ） E、（ ） 2、画一条数轴，在数轴上表示—2，3，-4.5以及它们的相反数。 3、如果一个数与它的相反数相等，那么这个数是 。

4、数轴上表示一个数的点在“-2.5”的右边，并且距离“-2.5”4个单位长度，求这个数。

三、1、绝对值的概念：我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。 （例如：数轴上表示-5的点到原点的距离是5，所以-5的绝对值是5。记作丨-5丨=5 。）

2、一般地，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零；互为相反数的两个数的绝对值相等。

随堂测试三：

1、如果说一个数与它的绝对值相等，那么这个数是 ． 2、任何数的绝对值都是（ ）

A正数 B负数 C非负数 D非正数 3、绝对值小于2的整数有________。绝对值不大于3的负整数有__________。

4、、大于3.142的负整数有 个；小于2.9的正整数有 个；大于－9.5的负整数有 个. 5、(1)若︱a︱＝3,则a ＝_____

（2）某同学学习编程以后，编了一个关于绝对值的程序，当输入一个数值后，屏幕输出的结果总比该数的绝对值小1，某同学输入-7后，把输出的结果再次输入，则最后屏幕输出的结果是多少？

1,则a为( )

a

A 是正数或负数 B 是正数

（3）若

a

C 是任意有理数 D 是正整数

94111 （3）6 （4）53 6、计算：（1）85 （2）1472102

四、一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

例题：1.在数轴上表示下列各对数，并比较它们的大小:

（1）2和7； （2）-6和-1； （3）-6和-36； （4）-0.5和-1.5

2.求上述各对数的绝对值，比比较大小，问上面各对数的大小与它们的绝对值的大小有什么关系？

结论：两个正数比较大小，绝对值达的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

随堂测试四：

1、比较下列各组数的大小：

（1）-4与+3 （2）0与-2.4 （3）-0.3与-

312

（4）与

433

511335551

2、在数轴上,表示―5，，―2，0，0.125，―(1)，，的点中，在原点右边的点有（ ）

355113336

(A) 4个； (B)3个； (C)2个； (D)1个 3、大于-3.5且小于2的整数是 。

4、画一条数轴，在数轴上表示1，-2.5，-4以及它们的相反数，并比较这些数的大小，按从小到大的顺序用“

边接起来．

第一单元检测练习

一、精心选一选

1. 如果高出海平面20米，记作+20米，那么-30米表示 ( ) (A)不足30米; (B)低于海平面30米; (C)高出海平面30米; (D)低于海平面20米 2.仔细思考以下各对量：

①胜二局与负三局； ②气温上升3 C与气温下降3 C； ③盈利5万元与支出5万元； ④增加10%与减少20%。其中具有相反意义的量有 ( ) ﹙A)1 对 ﹙B﹚2 对 (C)3 对 (D)4对

3.下列说法错误的是 （ ） （A）整数和分数统称有理数； （B）正分数和负分数统称分数； （C）正数和负数统称有理数； （D）正整数、负整数和零统称整数。

4.零是：A.最小的有理数 B.最小的正整数 C.最小的自然数 D.最小的整数 （ ） 5.下列数轴的画法中，正确的是 （ ）

-1

A

BC

D

6.下列各对数中，互为相反数的是 （ ） （A）

1233

和0.2 （B）和 （C）—1.75和1 （D）2和2 2324

7.大于—2.6而小于3的整数共有 （ ） A. 7个 B. 5个 C. 6个 D. 4个

8.下列说法正确的是

A.若两数的绝对值相等，则这两数必相等 B.若两数不相等，则这两数的绝对值一定不相等 C.若两数相等，则这两数的绝对值相等 D.两数比较大小，绝对值大的数大

9.冬季三个城市的最高气温分别是-10°C，1°C，-7°C，把它们从高到低排列是（ ） A、-10°C， -7°C，1°C B、-7°C， -10°C，1°C C、1°C， -7°C， -10°C D、1°C，-10°C，-7°C

10.一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是 （ ） （A）—1 （B）1 （C）0 （D）±1

11.数轴上到数—2所表示的点的距离为4的点所表示的数是 （ ） （A）—6 （B）6 （C）2 （D）—6或2

12.一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是 （ ） （A）0 （B）正数 （C）非正数 （D）非负数

13.若上升15米记作+15米，则－8米表示 ______ 14.写出一个负分数： 。

15.一艘潜艇正在水下–50米处执行任务，距它正上方30米处有一条鲨鱼正好游过，这条鲨鱼所处位置的高度为________.

16.规定了__________、____________、_____________的直线叫数轴. 17.用“”号填空： －9 －11。

18.抽查四个零件的长度，超过为正，不足为负：（1）－0.3；（2）－0.2；（3）0.4；（4）0.05．则其中误差最大 的是 。（填序号）

19.一个点从数轴上的原点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动8个单位长度到达P点，那么P点所表示的数是_________.

20. 比—2.99小的最大整数是__________

21.绝对值大于3而不大于6的整数分别是 ________________________ 。 22.在数轴上,绝对值小于3并且离—2两个单位长度的点所表示的数是_____________.

三、认真做一做

23.0.25312 24. 

25.把下列各数的序号填在相应的数集内：

①1 ②-

1153 102

314

③+3.2 ④0 ⑤ • ⑥-5 ⑦+108 ⑧-6.5 ⑨-6. 537

（1）正整数集{ „}

（2）正分数集{ „} （3）负分数集{ „}

（4）有理数集{ „} 26．将下列各数在数轴上表示出来． －4.5， 5， 0， －3， 1

1

， －1。 2

（单位：千米）如下：

+15， -2， +5， -1， +10， -3， -2， +12， +4， -5， +6． （1）将最后一名乘客送到目的地时，小李一共行了多少千米？

（2）若汽车耗油量为0．2升/千米，这天下午小李共耗油多少升？

努力试一试

1.式子5－x1能取得的最大值是 ，这时x= 。 2.观察下面一列数，探求其规律： 1,,,,,,

(1)请问第7个，第8个，第9个数分别是 ， ， ，

(2)第2012个数是 ？如果这列数无限排列下去，与哪个数 越来越接近？ 3. 如图，图中数轴的单位长度为1。请回答下列问题：

①如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是____________.

②如果点E、B表示的数是互为相反数，那么点D表示的数是___________，图中表示的5个点中，点________表示的数的绝对值最小，是___________.

1

211341156

1．用正负数表示相反意义的量 2．正数和负数

1

，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 2

3

像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。

4

像+

【注】0既不是正数也不是负数。

+15表示加15分，那么扣20分表示 。

30m记做 ，向西行驶20m记做

，原地不动记做 ，—5m表示向 行驶5m，+16m表示向 行驶16m.。 1）收入—2000元，表示 。

（2）如果下降8米记为—8米，那么上升15米记为。 3．有理数

（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。

分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类

1

）按有理数的定义分类

2）按正负分类

正整数 正整数 整数 0 正有理数

有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数

分数 负有理数

负分数 负分数 把

1124, 5, 6.3, 0, 6.9, , 2, 7, 210, 0.031, 43, 10%填在相应的括号内。 2135

 整数集合：

正有理数集合： 非负数集合：

 



234,

 负分数集合：

2 .444,

7.43,0.01,

9,82,174,9

19

1

, -20, 1000.1, 021 ,0, 2001, 260,5%,

36

，负数有 个，正数有 个，整数有 7

个，正分数有 个，非负整数有 个。 。

（1）一个数，如果不是正数，必定就是负数 （2）正有理数是正整数和正分数的统称。

（3）一个有理数不是分数就是正数。 （4）整数不是奇数就是偶数。 （5）0是最小的有理数。 （ ）

A 3.1415926 不是分数 B 正整数和负整数统称为整数。 奇数是正数 D 有理数包括整数和分数

( )

（1）3，—3，3，—3，3，—3， ，，„„

（2）1 ,,,

11

351

,，

7

第199个数分别是。 1）1，—3,5，—7,9，—11， ， ，„„ （2）1 ,

,,,, ，„„ 第100个数分别是 。 4．数轴

（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2 ,3 ,

12

233445

1.5,

13,2

A,B,C,D,E各点表示的数

（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． 4而不大于2的所有的整数，并在数轴上表示出来。 （1）若数轴上的点A向右移动2个单位长度后，又向左移动1个单位长度，此时正好对应—8这个点，那么原来A点对应的数是

。

（2）数轴上与原点距离小于4个单位长度的整数点有个，分别是。

（3）在数轴上，把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位，则与此位置相对应的数是 。 下列结论正确的有（ ）个：

① 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴 ② 最小的整数是0 ③ 正数，负数和零统称有理数 ④ 数轴上的点都表示有理数

A.0 B.1 C.2 D.3

（3）在数轴上比较有理数的大小

1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 在数轴上画出下列各点，它们分别表示：+3， 0， －３起来。

11

， 1， －３，－1.25并把它们用“＜”连接42

（1）下列说法错误的是（ ）

A.没有最大的正数，却有最大的负数 B.数轴上离原点越远，表示数越大 C.0大于一切非负数 D.在原点左边离原点越远，数就越小 （2）写出两个比—2大的负有理数 。

根据有理数a,b,c 在数轴上的位置，比较a,b,c,0的大小。

5．相反数

（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （代数意义）

（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。

7的相反是 。

（1）2的相反数是 （2）下列说法正确的是( )

A 一个数比它的相反数小，那么这个数是正数。 B 符号相反的两个数互为相反数。

C 互为相反数的两个数可能相等。 D 一个数的相反数不可能大于它本身。 写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出来。

3,

13

1

0.5,2,0,4

2

（5）相反数的求法：数a的相反数是—a。

1）0.1与a互为相反数，那么a= 。 （2

）a-1的相反数是 。 （1）若-x的相反数是-7.5，则x= 。

（

2）如果m的相反数是最大的负整数，n的相反数是-2，那么m+n= 。 a-1的相反数是-2，则a= 。

（6）多重符号化简

多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－

”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。

（-3.5）= -（+8）

= （+5）的相反数是 。



2

的相反数与a的相反数相等，则a= 。 3

（

）=-3 -（ ）=5.2

（1）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做数a的绝对值。

（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．

a,a0

a0,a0

a,a0

数轴上表示-2.5的点到原点的距离 1）若|a|=2，则a= 。 （2）|-3

1

|的相反数是。 2

（3

）到原点5个单位长度的点是

4）若|m|=-m,则m是 。若|m|=m,则m是 。

1.5 0 ,

4.2,2

（3）绝对值的主要性质

一个数的绝对值是一个非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． （4）两个相反数的绝对值相等． |x+2|=0,则x= （1）若|x+2|+|y-3|=0，则x= ,y= . （2）若|a|=4,|b|=3,且a

a、b的值。 （3）下列说法正确的是

① 任何一个有理数的绝对值一定是大于0的。 ②一个有理数的绝对值不小于它自身。 ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等。 ④绝对值等于本身的数是非负数。 ⑤绝对值最小的有理数不存在。 ⑥任何数的绝对值都不小于原数。 （4）|x+5|的最小值是 。

（1）写出绝对值不大于3的所有整数 （2） 若|x|=|-4|，则x= .

(5)有理数大小比较原则

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 两个负数，绝对值大的反而小.。

1）比较大小0 -0.001 -5 -|-4| （2）因为|212

，所以， 333

（1）实数a,b在数轴上的位置如图所示，是比较a,-a,b,-b的大小关系。

（2）比较大小 ①

817

和 ②-|-3|和

938

（3）大于-3且不大于5的整数有 个，其中奇数有 个。

（1）将有理数0，-3.14, 2.7， -4， 0.15 按从小到大的顺序排列起来，并用“>”连接。 （2）若x

(1)有理数加法法则

1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3）互为相反数的两个数相加得零。

）一个数与0相加，仍得这个数。

（-4）+（-7）= ()

23

3418

  -9.5+0= 



5258

（1）下列说法正确的是

①若两个数的和为正数，则这两个数都是正数。 ②两个有理数相加，和一定大于每一个加数。 ③两个有理数的和可能为0。 ④两个有理数的和可能等于其中一个加数。 ⑤若a与-2互为相反数，则a+(-2)=0。

（2）如果|x|=2,|y|=3, 则①x,y同号，x+y= ②x,y异号，x+y=

（1）计算

（+6.5）+（-4.1）= （-2.1）+（-3.9）= m+0= m+（-m）= （2）用算式表示：

①温度-10C上升了3C达到 ②0.25的相反数与-0.75的绝对值的和。 ③绝对值不大于-4.3的所有整数的和。 （2）有理数加法的运算律

加法交换律：a＋b

＝b＋a

(a+b)+c=a+(b+c) （1） 计算

o

o

13(12)17(18)

(18.75)6.25(3.25)18.75

4.1

11

()(10.1)724821()933

(2)某校购回面粉

10袋，每袋50千克，入库时又重新称量，结果如下，（超过的千克数记为正数，不足的千克数

记为负数）。+0.8，-0.5，+1.1,0,-0.3,+0.4,-1.2,-0.7,+0.6。

问：①该校共买进面粉多少千克？ ②平均每袋面粉重多少？ ③平均每袋面粉比标准量多还是少？

（1）计算：

351(2)124.1250.75 478

12345620052006

（2）出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程如下（单位：千米）：+15，-3，+14，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18。①将最后一名乘客从到目的地时，小李距最初的出发点多少千米？②若汽车的耗油量为a升每千米，那么这天下午小李的车共耗油多少升？

（1）如果a,b互为相反数，则a+2a+3a+„+99a+100a+b+2b+„+99b+100b= 。 （2）（-1）+3+（-5）+7+„+95+（-97）+99= 。 8. 有理数的减法

a-b=a+(-b) (1)计算：3-（-5） （-5）-|-5|

小4的数是。 （1）室内温度是16C，室外温度是-7C，室内温度比室外温度高 。

（2）下列说法正确的是 。

①在有理数的减法中，被减数不一定比减数或差大。 ②两个相反数想减得零。 ③零减去一个数，仍得这个数。 ④负数减去正数，差为负数。 ⑤较小的数减去较大的数，所得的差一定为负。

（3）①A、B两点间的距离是多少？

②

A、C两点间的距离是多少？ ③探究两点间的距离与表示这两点的数有什么关系？

o

o

（1）计算：

0-（-5）-（-12）-（+9） 0

1111

 2346

（2

9．有理数的加减混合运算

（1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。

例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。

读作“负8，正10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。

（1）把-2-（+3）-(-5)+(-4)+(+3)写成省略括号的形式 。

（2）把-5-3+4-7按“和”的意义读作 。按“运算”意义读作

。 （1）-7，-12，+2的代数和比他们的绝对值的和小 。 （2）已知a= -1,b=2,c= -3,d=4，求a-b-c+d

（3）计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+„+2005+2006-2007-2008 （1）计算： 2004-（2008+|2004-2008|） （2） 用算式表示

①-6的相反数比10的相反数小2的数的和。 ②-0.3的绝对值的相反数与3.5的相反数的差。 10．有理数的乘法

（1）有理数的乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。 （1）计算：

1200901900

1

6

3

12

8

25

（2）如果|a|=2,|b|=3,且ab

（1）下列说法正确的是 。

①一个数与1的积等于它本身。 ②一个数与-1的积是它的相反数。 ③如果ab=0，则一定有a=b=0。 ④一个有理数和它相反数的积一定为负。⑤积比每个因数都大。 （2）如果|x|=0.99,|y|=0.09,且xy>0，则x+y= 。

（3）在-2,3，-4,5中任取两个数相乘，所得的积最大是

。

2+2=2³2。其实这样的数有很多，如：

1

11，请再写出三组这样的式子。 22

（2）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个

数为偶数时，积为正。

113

7

1

9264

-9）³10³0= （1）（10-11）³（11-12）³（12-13）³„³（99-100）=

（2）如果三个数的积为负数，则这几个数中有 个负因数。 （3）乘法运算律

乘法交换律： ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc)

a(b+c)=ab+ac （1）（-7）³（-2）+（-12）³（-7）-（-3）³（-7）= （2）

517

36

 9612

（1）在2³（-6）³5=-6³（2³5）中运用了（ ）

A 乘法交换律 B乘法结合律 C乘法结合律和乘法交换律 D 乘法分配律 （2）用简便方法计算： ①9

8

6  19

11

0.25728.525%

24

②421 ③

1111

 2233

41920

（1）若a,b异号，那么|1-ab|= 。 （2）1

111111111 23459

11．有理数的除法

（1）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

0没有倒数。 求下列各数的倒数。

8，0.5，2,, 1, 1

（1）若一个数的倒数等于它本身，则这个数是 。 （2）下列说法正确的是 。

①只有1的倒数等于它的本身。 ②－3.5的倒数是3.5。 ③零没有倒数。 ④0.1的倒数是10。

⑤任何一个有理数a的倒数都等于

1

338

1

。 ⑥两个数的积等于1，这两个数互为倒数。 a1

(b0) b

（2）有理数除法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 【注】0不能做除数。 aba

（3

）有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

零除以任何一个不等于的数，都得零。

（1）计算：（-32）÷（-8）= 1

23

1 37

273

4512

 211

7623

（2）当x= 时，5

没有意义。

x5

xab

2c2d

的值。 ab

（1）已知：a,b互为倒数，c,d互为相反数，x的绝对值是2，求2xcd

2



（2）当x= 时，

x3x3

的值为0。

（3）某人到保险公司办理火灾保险，保险金为其房屋价值的

2

，按规定，每元保险金里交付1分5厘（即保3

险费率为1.5%）已知这人一年应交付保险费184元，问：其房屋的价值是多少元？

1）计算：

11

13

82

121118362

（2）体育课上，全班男同学进行百米测验，达标成绩为15秒，下面是第一组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒。-0.8.，+1.0，-1.2，-0.7，+0.5，-0.5，+0.1。①这个小组的男生达标率是多少？②这个小组的平均成绩是多少秒？ 12．有理数的乘方

（1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。

aaaaan 个

（2）乘方的结果叫做幂，a叫做底数，

n叫做指数。 （1）在3中，指数是，幂是

4

在－3中，指数是。

（2）把下列各式写成幂的形式 （-6）（-6）（-6）（-6）= －（1）2 表示（ ）

A 5个-2相乘 B 5个2相乘的相反数 C 2个-5相乘 D 2个5相乘的相反数

5

4

222

³³

333

2222

 （2）333

22

（3）有理数乘方法则：

正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非0次幂都是零。

（1）计算：

4

4

21

 1 32

32

33

（2）12n

1

2

2n1

 （ n为正整数）

（1）|x+5|+(y-2) =0,那么x (2)3

2003

y

的末位数字是

（3）一根绳子，第一次减去一半，第二次减去剩下的一半，如果剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为 。 （4）3

20

521722的个位数字是

（1）若x，y为有理数，下列各式成立的是（ ）

xx3 xx4 A. B

3

4

x-yyx D C -xx

3

3

3

3

(2)拉面师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，在捏合，再拉，反复几次，就把很粗的面条拉成了许

多根很细的面条，这样捏合到第 次后拉出128根面条。 13．科学记数法

（1）一般的，10的n次幂，在1的后面有n的0。

（2）一个大于0的数就记成a10的形式。其中1a10,n是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。

10的指数等于原数的整数位数减1。（或等于小数点向右移动的位数。 （1）把下列各数用科学记数法表示

①300000= ②40800000= ③4879.5= ④-369000000= （2）下面是用科学记数法表示的数，则原来的数是什么？

n

(1)2.1103 (2)4.09105(3)1.3910 (4)5.000002

10

4

5

（1）25.8万用科学记数法表示 。

（2）光的传播速度是300000km/s，太阳照射到地球上大约需要500s，则太阳岛地球的距离用科学记数法可表示为 。 14．有理数的混合运算

（1

）先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。 （3）如果有括号，就先算小括号里的，§再算中括号里的，然后算大括号里的。

1135312

计算：①(3)3 ②41

335642

（1）有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，求a

2008

3

a2009的值。

（2）若m,n互为相反数，则5m+5n-5= 。

3，-5,7，-13这四个数，进行加、减、成、除运算，每个数字用一次，使其结果为24 计算：

[1**********]  [1**********]0

15．近似数和有效数字

（1）准确数：完全符合实际的数。

（2）近似数：和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度叫做精确度。

（3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。 （1）按要求对下列各题去近似值

①0.005308 （保留三个有效数字） ②0.49996 （精确到0.001）

③120000 （保留2个有效数字） ④2.99610 （保留3个有效数字） ⑤738600000（精确到百万位） ⑥3.154910 （精确到百位） ⑦78.98万（精确到万位）

（2）下列各数均为近似数，分别精确到哪一位，有几个有效数字。 ①0.0280 ②4.87610 ③550

④0.028 ⑤30万 ⑥48760 (3) 近似数2.30表示的精确度α的范围是（ ）

A 2.295≤α

4

4

5

第三章：实数

本章的知识网络结构：

知识梳理

一．数的开方主要知识点：

【1】平方根：如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当xa(a0)时，我们

称x是a的平方根，记做：xa(a0)。因此：

当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；

当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：xa。 当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。 2、

2

a

2



2

3、

a___ 例1.



（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。

（3）若x的平方根是±2，则x= （4）当x 时，3－2x有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？ （6）已知7.348，若x0.7348，则x=

【算术平方根】：

2

（1）如果一个正数x的平方等于a，即xa，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，

读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 （2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：a0(a0)。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：

例2.

（1）下列说法正确的是 （ ）

A．1的立方根是1； B．42；（C）、的平方根是3； （ D）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）

A、9 B、3.143.14 C、279 D、5（3）(3)的算术平方根是 （4）若x

2

a。

2

x有意义，则x1___________。

2

（5）已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a,b满足a3(b4)0，求c的取值范围。

（6）已知：A=xyxy3是xy3的算术平方根，B=x2yx2y是x2y的立方根。求A－B的平方根。

（7）（提高题）如果x、y分别是4－3 的整数部分和小数部分。求x － y的值.

【立方根】

（1）如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：a，读作，3次根号a。注

意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只

有非负数才能有平方根。

33

（3）a= (a)=

例3.

（1）64的立方根是

（2）若a2.89,ab28.9，则b等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000

3

（3）下列说法中：①3都是27的立方根，②yy，③的立方根是2，④84。

2

其中正确的有 （ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 【无理数】

（1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理

数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:2,5,等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01„（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：

（2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数（2）

所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333„„、③5

、④π、⑤2.25、⑥

2

、⑦0.[1**********]03„„3

（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）

（2）有五个数:0.125125„,0.1010010001„,-,4,2其中无理数有 ( )个

A 2 B 3 C 4 D 5

【实数】

（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，

最大的负整数是-1。

（2）实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

（3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；

正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

（4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有

理数的一致。 例5.

a(a0)1

（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的aa(a0)

（1）下列说法正确的是（ ）；

A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ； C、1和2之间的无理数只有2 ； D、不带根号的数都是有理数。 （2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )

A、ab B、ab C、ab D、ba （3）比较大小(填“>”或“

 76______67， （4）数 2,3 的大小关系是 ( )

A. 32 B. 32 C. 23 D. 32（5）将下列各数：2,8,3,1，用“＜”连接起来；______________________________________。 （6）若a3,2，且（7）计算：

11

， 22

ab0，则：ab= 。

1811

0.521 0.1253 427168

（8）已知：x7121,y10.064，求代数式x2

2

3

2

x10y245y的值。

(9)（提高题）观察下列等式：回答问题： ①

③

1111111111

1111 ②

1112221612222232

11111

11，„„ 22

3311234

11

的结果； 4252

（1）根据上面三个等式的信息，请猜想

（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式。

课后练习:重点考查题型：

一、考查题型：

1．－1的相反数的倒数是

2．已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b）的相反数 3．数－3．14与－Л的大小关系是

4．和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是 5．在实数中Л,－2

53 ,－3．4 无理数有（ ）

（A）1 个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 6．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） （A）非负数 （B）非正数 （C）负数 （D）正数 7．若x＜－3，则｜x＋3｜等于（ ）

（A）x＋3 （B）－x－3 （C）－x＋3 （D）x－3 8．下列说法正确是（ ）

（A） 有理数都是实数 （B）实数都是有理数

（B） 带根号的数都是无理数 （D）无理数都是开方开不尽的数

二、考点训练： *1．判断题：

（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（ ） （2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（ ） （3）两个无理数之和一定是无理数；（ ） （4）两个无理数之积不一定是无理数；（ ）

（5）任何有理数都有倒数；（ ） （6）最小的负数是－1；（ ） （7）a的相反数的绝对值是它本身；（ ） （8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（ ） 2．把下列各数分别填入相应的集合里

－|－3|，21．3，－1．234，－223－1Л7，－9 ,8－2 ctg45°,1.2121121112．．．．．．中

无理数集合｛ ｝ 负分数集合｛ 整数集合｛ ｝ 非负数集合｛ *3．已知1

2 －3 )0，3－2， ｝ ｝

（A）－2x （B）2 （C）2x （D）－2

|a+b|

4.ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，求2。

2m+1（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜

*5．已知＝0，求ａ＋ｂ= 。

a+2三、解题指导： 1．下列语句正确的是（ ）

（A）无尽小数都是无理数 （B）无理数都是无尽小数

（C）带拫号的数都是无理数 （D）不带拫号的数一定不是无理数。 2．和数轴上的点一一对应的数是（ ）

（A）整数 （B）有理数 （C）无理数 （D）实数 3．零是（ ）

（A）最小的有理数 （B）绝对值最小的实数 （C）最小的自然数 （D）最小的整数 4.如果a是实数，下列四种说法：

（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，

1 （3）ａ的倒数是，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（ ）

a

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

*5．比较下列各组数的大小：

343

（1）

(2) 452

11

时, 

ab

|4-a2a+b2a+3b

6．若a,b满足则的值是

a+2a*7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|

（1） 判定a+b,a+c,c-b的符号 （2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|

*8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为 9．已知x0，且

y

10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？

11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？

12．把下列语句译成式子：

（1）a是负数 ；（2）a、b两数异号 ；（3）a、b互为相反数 ； （4）a、b互为倒数 ；(5)x与y的平方和是非负数 ； （6）c、d两数中至少有一个为零 ；（7）a、b两数均不为0 。 四．独立训练：

31．0的相反数是 ，3－л的相反数是 －8 的相反数是 ；－л的绝对值是 ，

0 的绝对值是 ，2 3 的倒数是 2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是 。 3．实数可分为（ ）

（A）正数和零（B）有理数和无理数（C）负数和零 （D）正数和负数 4．当a为实数时，a2 =－a在数轴上对应的点在（ ）

(A)原点右侧 （B）原点左侧 （C）原点或原点的右侧 （D）原点或原点左侧 ａｂａｂ*5．代数式＋＋的所有可能的值有（ ）

｜ａ｜｜ｂ｜｜ａｂ｜ （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个 6．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜ 试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜

＊7．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：（2－ｍ）2 －（ｍ－8）2

第四章 代数式

1．用字母表示数

（1）已知某件衣服原价a元，经调整后，价格降低了60%，则调整后的价格是 元。 （2）已知长方形的周长是C,若它的长是a，则它的宽是 。 （3）全班学生总数是n，其中女生占49%，则男生有 。 2．代数式

（1）由数和字母用运算符号连接起所成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也叫代数式。 【注】运算符号指加、减、乘、除、乘方、开方。代数式中不可含有“>”、“

1) 代数式中出现的乘号，通常写作“”或省略不写。但数字与数字相乘时，要用“”。 2）数字与字母相乘时，数字写在字母的前面。 3）除法运算写成分数形式。

4) 带分数与字母相乘时，要把带分数写成假分数。

5) 在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，若代数式是积或商的形式，则单位直接写在后面，若代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在后面。

下列各式中是代数式的是

①-8 ②x+9y ③x÷7 ④ 5X-1=9 ⑤

ab

ab

⑥a ⑦1ab ⑧a6 ⑨ y3y ⑩x>9 （3）解释简单代数式表示的实际背景

说出下列代数式的意义

①3a+2 ②ab ③2m+3n

（4）列代数式

在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列代数式。

【注】抓住题中表示运算关系的关键词：如和、差、积、商、比、倍、大、小、增加了、增加到、减少、几分之几等。

用代数式表示

① a与b的差的平方的

2

2

12

2

1

。 ②比a与b的积的3倍小25%的数。 3

③有一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数是 。 ④若a人m天可以完成一项工程，那么10人完成这项工作需 。

⑤一根弹簧未挂物体长为10厘米，挂上物体后，弹簧长度与所挂物体质量的关系如下表：

用代数式表示

（1） 奇数

偶数

（2）x

表示一个两位数，y表示一个三位数，如果把x放在y的左边组成一个五位数，那么这个五位数就可以表 示成 。

(3)电影院第一排有a个座位，后面每排比前一排多3个座位，则第x排的座位个数有 (4)观察下图：

① ② ③ ④

观察下列等式：

394140

21 ,485250222,566460242,6575705,8397907

2

2

2

2

请你把发现的规律用字母表示出来：mn= 。

（5）代数式的值

一般的，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中运算计算得出的结果叫做代数式的值。 【注】1)代数式中的值随着代数式中字母取值的变化而变化。所以求代数式值时，在代入前必须写出“当„„时”。

（1）当a=3，b=1时，代数式的（2）已知（1）当x=7时，代数式axbx57,当x=-7时，代数式axbx+5的值为多少？ （2）当a-2b=3时，求代数式a-2b32ba6的值

2

a2b

值是 。 2

bab

的值为 。 2，则

aa

3

3

（

3）按图中的程序计算，若开始输入的值x=3，则最后输出的结果为 。

每户每月用水不超过10吨，每吨收费1元，每户每月用水超过10吨，超过部分每吨2.5元，现知李老师家10月份用水x吨（x>10）,请用代数式表示李老师家10月份应交水费多少元？如果x=16，那么李老师家10月份应交多少元水费？ 3．单项式

（1）如100t、6a、2.5x、vt、-n，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 【注】1）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。 ）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。 （1）在代数式1，a-b，a,

2

2

1x

,,xy中，单项式为 。 n5

（2）指出下列单项式的系数和次数

（1）(m2)xy

2n4

是关于x,y的四次单项式，则,n=

5

（2）已知单项式3xy与0.25ab

22n3

次数相同，那么ｎ。

（3）写出系数是5且含有字母x,y的四次单项式 。 （1）观察下列一串单项式的特点：

2345

2xy4xy8xy16xy ，„ xy ， ， ， ，

①按此规律写出第9个单项式.

②试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？

（2）把代数式2abc和ab的相同点填在横线上。

① ② 4．多项式

（1）几个单项式的和，叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 （2）多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 ( 3 ) 一个多项式含有几项，就叫几项式；例如：x+2x+18是一个二次三项式。

【注】1）多项式的次数不是所有项的次数和。 2）多项式的每一项都包括它前面的正负号。

单项式与多项式统称为整式。 （1）在代数式xy,3,

2

2232

2

1312

中，单项式有，多项式有

x1,xy,m2n,,4x2,ab2,

4xx3

3

（2）多项式2xy4xy的各项为，次数为______，常数项是，它是次

项式。 （1）有一个多项式a（2）多项式6x

n2

10

a9ba8b2a7b3按这个规律写下去，写出第8项。

x2n2是关于x的三次三项式，求代数式n22n1的值。

礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前一排多1个座位，那么第二排有几个座位？第三排呢？如果m为第n排的座位数，那么用a，n表示出m。 6．升幂排列与降幂排

为便于多项式的运算，可以用加法交换律将多项式各项的位置按某个字母的指数的大小顺序重新排列。 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母降幂排列。 若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母升幂排列。 【注】

（1）重新排列的多项式，每一项一定要连同它的正负号一起移动。

（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一个字母升幂排列或降幂排列。

（1）多项式4xyx3y5按x的降幂排列为y的升幂为。 （2）补入多项式1x的缺项，并按字母x的降幂排列：

7．整式的加减

（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。 （2）合并同类项：根据乘法对加法的分配律把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项。

合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。

（1）下列各组中的两项是同类项的是（ ）

3

A．2,3 B.ab,ba C.2ab,

6

2

22

3

3222

2

ab D.x4,24 3

（2）已知2xy与（3）合并同类项

13mn

xy是同类项，则代数式2m-5n= 。 3

2

2

2

① 7ab9ab3ab5ab9 ② x2xy2yz3x52x

（1）在3x

m52

2

y2与x3yn的和是单项式，则m+n= 。

（2）如果关于x的代数式mx+nx合并同类项后为零，则有理数m,n的关系是 。

（1）李大爷从报社以每份0.4元的价格购进a份报纸，然后以每份0.5元的价格售出b份报纸，余下的以每份0.2元的价格退回报社，求李大爷的卖报收入。

（2）已知代数式mxmx2与3xmxm的和是单项式，则m2m1= 。

(3)去括号与添括号

1）去括号法则：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变正负号。

a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c

2）添括号法则：所添括号前面是“十”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括h号前是“一”号，括到括号里的各项都改变正负号。

a-b-c= a-(b+c) （1）① -（a-b)+(-c+d)= ② （2）一个代数式加上2xx，得到x1，那么这个代数式是

（1）已知a-b=-3，c+d=2,则（b+c）-(a-d)= 。 （2）x-[y-2x-(x+y)]= 。

（4）整式的加减 先去括号，再合并同类项。

2

2

222

例题：

（1）3 (2aa1)2(3aa1) 。 （2）当x=2时，xx52x7x3 练习：

（1）已知A=x7x2,B=2x4x3，且A+B+C=0求①2A+B ②3A-2B ③C的值

（2）先化简，再求值

22

2



2



2



2

21131

x2(xy2)(xy2)，其中x=-2,y=.

32323

（3）若多项式2mxx5x8(7x3y5x)的值与x无关，求m[2m(5m4)m]的值。

作业：

一个学生计算整式减去-3xy+5yz-1时，因为粗心，把减去误作加上，得结果是xy-3yz+6,问①这是怎样的一个整式。②正确结果是多少？

2

2

2

2

2

第五章 一元一次方程

一、相关概念

[1]

1、方程：含 的等式叫做方程. ．．

2、方程的解：使方程的等号左右两边相等 ．．．．．．．．．

[2]

的 ，就是方程的解．．．．。

3、解 方 程：求 的过程叫做解方程。 ．．．[3]

4 ，未知数的最高次 ．．．．．．数是 ．．1．

[基础练习]

1☆选项中是方程的是（ ）

A.3+2=5 B. a-1>2 C. a2＋b2－5 D. a2+2a-3=5 2☆下列各数是方程a2+a+3=5的解的是（ ） A.2 B. -2 C.1 D. 1和-2 3☆下列方程是一元一次方程的是（ ）

2

A.+1=5 B. 3(m-1)-1=2 C. x-y=6 D.都不是 x

x

4★若x=4是方程a=4的解，则a等于（ ）

21

A. 0 B. C.-3 D.-2

2

二、【方程变形——解方程的重要依据】

1、▲等式的基本性质

²等式的性质1：等式的两边同时加（或减） （ ），结果仍相等。

即：如果a=b，那么a±c=b 。

²等式的性质2：等式的两边同时乘 ，或除以 数，结果仍相等。 即：如果a=b，那么ac =bc 或 如果a=b（ ），那么a/c =b/c [注：等式的性质（补充）： 等式的两边，

结果仍相等。即：如果a=b，那么b=a ]

2、△分数的基本的性质[4]

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分

数的值不变。

aamam

即：==（其中m≠0）

bbmbm

[基础练习]

1☆ 利用等式的性质解方程：2x+13=12

第一步：在等式的两边同时 ，

第二步：在等式的两边同时 ，

解得：x= 2★ 下列变形中，正确的是（ ）

A、由3x52x,得5x5B、由3x2,得x

2y32

D、由0,得yC、由2(x1)4,得x12

32 3、下列说法中，正确的是 （ ）

A．若a＝b，则

ab

＝ B．若a＝b，则ac＝bd cd

C．若ac＝bc，则a＝b D．若a＝b，则ac＝bc

4★★解方程：

x0.31x0.131 0.20.03

三、【解一元一次方程的一般步骤】图示

．．

说明：

1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤； 2、解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；

3、对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。 [基础练习]1、解下列方程

(1) 4x23x (2) 4x3(20x)4 (3) (4) y

5x17

 84

12yx1x22x1

(5) （6）4q－3(20－q）=6q+7(9－q） 1

23362

2★★已知关于x的一元一次方程ax－bx=m有解，则有（ ）

A. a≠b B.a>b C.a

四、【一元一次方程的应用】

▲依据题目中的信息将问题转化为解方程的问题 〖想想算算填填〗 ▲一元一次方程与应用问题及实际问题 (1) 若 y2(x5)20,则xy 。 （2）若2a3bn1与9amnb3是同类项，

则 m= ，n= 。 （3）若mx3yp与nxm1y2的和为0，

初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系

1、行程问题

²基本量及关系：路程=速度³时间

路程路程

速度

时间 时间=速度

[典型问题]

²相遇问题中的相等关系：

一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离 ²追及问题中的相等关系：

追及者的行程－被追者的行程=相距的路程 ²顺（逆）风（水）行驶问题 顺速=V静＋风（水）速 逆速=V静－风（水）速

则m-n+3p = 。

（4）代数式x+6与3(x+2)的值互为相反数，

则x的值为 。

x46

（5）若与 互为倒数，则。

53

〖列方程解答〗 2、销售问题 1、一架飞机在两城之间飞行，顺风需要4小时，

²基 本 量：

逆风需要4.5小时；测得风速为45千米/时，

成本（进价）、售价（实售价）、

求两城之间的距离。

利润（亏损额）、利润率（亏损率）

²基本关系：

利润=售价－成本、 亏损额=成本－售价、

利润=成本³利润率

亏损额=成本³亏损率 2、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八利润

利润率 亏损率亏损额 折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60成本成本

元，八折出售后，商家所获利润率为40%。3、工程问题 问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多²基本量及关系： 少？ 工作总量=工作效率³工作时间 工作总量 工作总量 工作时间工作效率 工作效率工作时间

4、分配型问题

此问题中一般存在不变量，而不变量

正是列方程必不可少的一种相等关系。 3、某文艺团体组织一场义演为“希望工程”募

捐，共售出1000张门票，已知成人票每张8

元，学生票每张5元，共得票款6950元，成人票和学生票各几张？

4、甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t，乙池又注入8t后，甲池的水比乙池的水少3t，问原来

甲、乙两个水池各有多少吨水？

第六章 图形的初步认识

1．生活中常见的立体图形 （1）球体

（2）柱体：包括圆柱和棱柱。

1）圆柱：有两个底面是圆，侧面是曲面。

2）棱柱：上下两个底面是两个平行且相同的多边形，侧面是平行四边形。 棱柱可按底面多边形边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 （3）椎体：包括圆锥和棱锥。

1）圆锥：有一个底面是圆，侧面是曲面。 2）棱锥：底面是多边形，侧面是三角形。

棱锥可按底面多边形边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 （4）多面体：由平的面围成的立体图形。

（5）欧拉公式：多面体的顶点数、棱数、和面满足下面的公式：顶点数+面数-棱数=2

(1) 请写出下列几何体的名称

(1)

(2)

(3) (4) (5) (6)

其中棱柱包括 ，椎体包括 ，多面体包括 。 （2）下图是由( )图形饶虚线旋转一周形成的

A B C D （3）底面是n边形的棱柱共有 个面， 个顶点， 条棱。 （4）一个多面体有8个顶点，12条棱，该多面体是 。 2．画立体图形

（1）视图：就是从正面、上面、和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，然后描绘三张所看到的图，即视图。

正视图：从正面看到的图形。

俯视图：从上面看到的图形。

侧视图：从侧面看到的图形。依观看方向不同，有左视图、右视图。

三视图：通常把正视图、俯视图、与左（或右）视图称作一个物体的三视图。

（2）球体的三视图都是圆。

正方体的三视图都是正方形

圆柱体的正视图和左视图都是长方体，俯视图是圆。

圆锥体的正视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，中心有一个点。 3．由视图到立体图形

主视图：可分清物体的长与高。 俯视图：可分清物体的长与宽。 左视图：可分清物体的宽与高。

（1）一个直立在水平面上圆柱体的主视图、俯视图、左视图分别是( ) A.长方形、圆、矩形 B.矩形、长方形、圆 C.圆、长方形、矩形 D.长方形、矩形、圆 （2）如图，该物体的俯视图是( )

（3）如图，这是一个由小立方块塔成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数.请你画出它的主视图与左视图.

（4）一个几何体的主视图是三角形，那么它不可能是 （ ） A 三棱锥 B 圆锥 C圆柱 D 正三棱柱 4．立体图形的表面展开图

多面体是由平面图形围成的的立体图形，沿着多面体的一些棱将它剪开，可以把多面体的表面展开成一个平面图形，这个平面图形叫做多面体的表面展开图。

正方体的表面展开图：有“一四一型”、“一三二型”、“二二二型”、“三三型” 口诀：一行不过四，

“田”“凹”应弃之，相间、Z端是对面。 （1）将一个正方体展开成平面图形，需要剪 条棱。 （2）下列平面图中不能围成立方体的是( )

（3）圆锥的侧面展开图是( )

长方形 B.正方形 C.圆 D.扇形

（1）如图所示，用字母M表示与A相对的面，请在下面的正方体展开图中填写相应的字母．

（2）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与点1重合的点是_________．

（3）如图所示，下列四个图形分别是由 、 、 、 展开得到的，

（4）如图所示的是长方体的展开图，若D面在前面，则（ ）面会在上面，若从右面看是面C，而D在后面，则（ ）面会在上面。

5．平面图形

（1）圆是由曲线围成的封闭图形。

（2）多边形：由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做多边形。

按照组成多边形的边的个数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形„„ 在多边形里，三角形是最基本的图形，每个n边形都可以分割成(n-2)个三角形。

（1）以下各平面图形中，不是多边形的是（ ） A 三角形 B正方形 C 八边形 D椭圆

（2）从一个顶点出发，连结这点和各顶点，可将多边形分割成 个三角形。

（3）如图1是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，得到图2，再分别连结图2中的小三角形三边中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数规律完成下列各题。

在第n个图形中有 个三角形。

（1）从n边形内部的一点，连结这点与各顶点，可将一个十边形分割成三角形的个数是 。 （2）在如图所示的多边形中，哪几个可以分割成四个三角形？画出图形。

6．最基本的图形——点和线

（1）点：通常表示一个物体的位置。 （2）线段、射线、直线

线段：有两个端点，不向任何一方延伸，可度量。有两种表示方法线段AB（BA），或线段a。

a

B A

射线：有一个端点，向一方无限延伸，不可度量。有一种表示方法射线OA.。

O A

直线：没有端点，向两方限延伸，不可度量。有两种表示方法直线AB(BA)，直线l。

l

B

（3）两点之间，线段最短。

经过两点有且只有一条直线。

（1）直线有 个端点，射线有 个端点，线段有 个端点. （2）过一点有 条直线，过两点有 条直线。

（3）平面上三条直线两两相交，最少有 个交点，最多有 个交点。 （4）点A，B，C在同一直线上，那么这条直线上共有线段（ ）

A B C

A、3条 B、4条 C、5条 D、6条 (5) 如上图：下列说法正确的是 （ ）

A、射线AB与射线BC是同一条射线 B、射线AB与射线BA是同一条射线

AB与射线AC是同一条射线 D、射线BA与射线BC是同一条射线 （1）要在墙上钉一根木条，只要 只钉子即可，原因是 。 （2）下列说法正确的是（ ）

①三点确定一条直线 ②作直线AB=CD ③ 两条直线相交只有一个交点 ④延长射线AB ⑤ 线段AB与线段BA是两条不同的线段

（3）如图：A,B是公路l旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个仓库P，使P到A,B的距离之和最小，试在l上标注出点P的位置，并说明理由。

（4）线段长短的比较 B

1) 度量法

2）叠合法，就是把其中一条线段移到另一条线段上，使其一个端点重合，然后去加以比较。 （5）画一条线段等于已知线段。 已知：线段MN,

求作：一条线段AC，使AC=MN。 做法：1）画一条射线AB

2)用圆规量出线段MN的长

3）在射线AB上截取AC=MN，则线段AC就是要画的线段。 （6）线段中点 把一条线段分成相等的点，叫做这条线段的中点。

（1）在平坦的草地上有A,B,C三个小球，若已知A球和B球相距3米，A球和C球相距1米，则B球和C球可能相距 米。

（2）已知线段AC和BC在同一条直线上，若AC=6，BC=2,线段AC和BC的中点间的距离是 。

（1）往返于A、B两地的火车，中途经过三个站点，问： ①有多少种不同的票价？ ②要有多少种不同的车票？

（2）如图所示，点C在线段AB上，线段AC＝8cm，BC＝6cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求 ⑪线段MN的长度

⑫根据⑪中的计算过程和结果，设AC＋BC＝m，其它条件不变，你能猜测MN的长度吗？说明理由. ⑬若题中的条件改变为“点C在直线AB上”，其它条件不变，结果会有变化吗？若有变化，请求出结果.

A M C N B 如图所示，已知C点分线段AB为5：3， D点分线段AB于3：5，CD的长为10cm，那么AB的长为 cm.

A D C B

7．角

（1）角是由两条有公共端点的射线组成的图形。

（2）角也可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的中边。

【注】角的大小只与开口大小有关，与角的边的长短无关。 （3）角的表示方法

1）用数字表示单独的一个角。如∠1，∠2等

2）用小写的希腊字母表示单独的一个角。如∠，∠等

3）用一个大写的英文字母表示独立（在一个顶点处只有一个角）的角。如∠O，∠A等。

4）用三个大写的英文字母表示任意一个角，但必须把表示角的顶点的字母写在中间。如∠AOB等。 （4）角的分类

锐角 0

平角 角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角。∠= 180 周角 角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角。360o （5）角的度量

ooo/

1周角=360 1平角=180 160 160。

|

||

oo

o

oo

o

（6）用角表示方向

一般以正北、正南为基准，向东或向西旋转的角度表示方向。例如，北偏东60。 （1）32024 8907

o

o

o

211

周角= 平角= 直角= 342

（2）在图中,确定A、B、C、D的位置: 1)A在O的正北方向,距O点2cm;

2)B在O的北偏东60°方向,距O点3cm; 3)C为O的东南方向,距O点1.5cm;

4)D为O的南偏西40°方向,距O点2cm.

（3）时针从3点到五点半时，分针共转了 度，时针共转了 度。

（1）9点30分时，钟表上时针和分针成角是 度。 （2）下列说法正确的是 （ ）

①直线是平角，射线是周角 ②角是由一条射线旋转而成的 ③1周角=2平角

如图所示,A、B两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体,A艇发现该不明物体在它的东北方向,B艇发现该不明物体在它的南偏东60°的方向上, 请你试着在图中确定这个不明物体的位置.

北B

西东

南

A

（7）角的比较

1）度量法

2）叠合法 把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧。

（8）画一个角等于已知的角 已知：∠AOB

求作：∠CDE=∠AOB 作法：1）画射线DE

2）以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。

3）以点D为圆心，以OM长为半径作弧，交DE于P。

4）以点P为圆心，以MN长为半径作弧，交前一条弧于Q。 5）经过点Q画射线DC。 则∠CDE为所求。 （9）角的平分线

（1）下列语句正确的是（ ）

A 角的两边越长，角越大 B 延长一个角的两边

C 一个钝角减去一个锐角的差一定是锐角 D 凡直角都相等 （2）如图，OB，OC三等分∠AOD

①图中共有个角，它们是

②写出图中所有相等的角 。 ③OB是的平分线，OC是

④画出∠BOC的平分线OM，OM除了是∠BOC的平分线外，还是的平分线。 C

O A

（1）直线AB、CD相交于O,∠BOC=80°,OE平分∠BOC,OF为OE的反向延长线. 画出图形并求出∠BOD和∠DOF的度数.

（2）将一副三角板叠放在一起，使顶点重合与点O，则∠BOD+∠AOC的度数为 。 A

D C

B

（3）在∠AOB的内部取一点C，作射线OC,则一定存在（ ）

∠AOB>∠AOC B ∠AOC>∠COB C ∠COB>∠AOC D ∠AOC=∠COB 在飞机飞行时,飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的.如图,用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角.从A到B的飞行方向角为35°,从A到C的飞行方向角为60°,从A到D 的飞行方向角为145°,试求AB与AC之间夹角为多少度?AD与AC之间夹角为多少度?并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线. N(北) B C A（10

）角的特殊关系

D

1）互为余角：两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。 互为补角：：两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。

2）等角或同角的余角相等。 等角或同角的补角相等。

3）对顶角 两条直线相交得到的，有公共的顶点，没有公共边的两个角。 （1）已知∠1=20度,∠2=30度,∠3=60度,∠4=150度，则∠2是____的余角,_____是∠4的补角。 （2）如果∠α=39°,∠α的余角∠β =_____,∠α的补角∠γ=_____,∠α-∠β=___。 （3）下列说法正确的是 （

）

①对顶角是由两条直线相交而成，有公共顶点且两条边分别互为反向延长线的两个角，

②度数是180度的两个角是邻补角。 ③对顶角的平分线在一条直线上。 ④互余的两个角一定一大一小。 （

1）若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3=______°, 依据是_______。 （2）一个角的余角比它的补角的一半少40°,求这个角的度数。 （1）如果∠α=n°,而∠α既有余角,也有补角,那么n的取值范围是( ) A. 90°

o

oo

o

8．相交线

（1）两条直线相交所构成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

若直线AB、CD互相垂直。记作“ABCD”

（2）垂线的性质

在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简述为“垂线段最短”。

（3）点到直线的距离

（1）画一条线段的垂线，垂足在（ ）

A 线段上 B 线段端点上 C 线段的延长线上 D 以上都有可能

（2）P，Q分别是∠AOB的边OA，OB上的点，画出点P到OB的垂线段PM，点Q到OA的垂线段

QN。 （1）如图所示，P为直线l外一点，A，B，C三点均在l上，并且PB⊥l，有下列说法：①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB的长度叫做点P到直线l的距离；③线段AB的长度是点A到PB的距离；④线段AC的长度是点A到PC的距离。其中正确的有

（2）如图

①画出从点A到河边l的最短距离。

②画出从点A经过点B到河边的最短距离。

A B

（1）如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，OF⊥AB于O，∠1=65° ，求∠BOE的度数．

（2）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，∠EOC=35°，则∠BOD=___________．

D A

O

EB9．相交线中的角

直线l截直线a、b得到八个角。

l

a 4 3

b 8 7

同位角：在截线la、b的同一方，这样位置的一对角叫做同位角。

如∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。

内错角：在截线l的两侧，被截直线a、b的内部，这样位置的一对角叫做内错角。如∠5与∠3，∠6与∠4。 同旁内角：在截线l的同一侧，被截直线a、b的内部，这样位置的一对角叫同旁内角。如∠3与∠6，∠4与∠5。

（1）如图所示，图中有( )对同旁内角．

A 3对 B 4对 C 5对 D 6对．

（1题） （2题）

（2）∠1的同位角是 ，∠2的内错角是 。∠3的对顶角 ，