圆教案(全)-免费

圆

1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用． 3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．

4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用． 5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

6．直线L和⊙O相交dr及其运用．

7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．

8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．

9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．

10．两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离d>r1+r2；外切d=r1+r2；相交│r2-r1│

11．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．

12．n°的圆心角所对的弧长为L=其运用这两个公式进行计算．

13．圆锥的侧面积和全面积的计算．

有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m•是否需要采取紧急措施，•只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R．解：不需要采取紧急措施

设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18 R=30+（R-18） R=900+R-36R+324 解得R=34（m）

连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16

nR180

，n°的圆心角的扇形面积是S

扇形

nR360

及

342=162+（34-x）2

162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合设） ∴DE=4

∴不需采取紧急措施．

2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）

A．4 B．6 C．7 D．8

中点，1．如图4，AB为⊙O直径，E是BCOE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．

(4) (5)

2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．

3．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）三、综合提高题

1．如图24-11，AB为⊙O的直径，

CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、

DM•⊥CD，分别交AB于N、M，

请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．

2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

3．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC的度数．

3．（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示:

∵AB=16，

AC=8，， ∴

AC=

（

AB），∴∠CAB=60°，

同理可得∠DAB=30°， ∴∠DAC=30°．

（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．

例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？

D的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？AB与C（2）如果OE=OF，那么

•为什么？∠AOB与∠COD呢？

分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．

（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt•△COF，

∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到A

B=CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD

∵OE⊥AB，OF⊥CD

∴AE=12AB，CF=1

2CD

∴AE=CF 又∵OA=OC

∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF

（2）如果OE=OF，那么AB=CD，A

B=CD，∠AOB=∠COD 理由是：

∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF

又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=

1AB，CF=12

∴AB=2AE，CD=2CF ∴AB=CD

∴A

B=CD，∠AOB=∠COD 教材P89 练习1 教材P90 练习2．

例2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，APM=∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

•∠

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

(3) (4)

分析：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，•只要说明它们的一半相等．

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．解：（1）AB=CD

理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF

连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F ∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF

连接OA、OB、OC、OD

易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD

2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．

3．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求

证：AE=BF=CD．

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AB三等分点， 3．连结AC、BD，∵C、D是

∴AC=CD=DB，且∠AOC=

³90°=30°，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°，又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°， ∴AE=AC，

同理可证BF=BD，∴AE=BF=CD

第三课时作业设计

一、选择题

1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．

A．140° B．110° C．120° D．130°

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(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）

A．∠4

C．∠4

3．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于

（）．

A．3 B．

．5- 二、填空题

如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•

D．5

(4) (5)

3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．提高

1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．

2．如图，已知AB=AC，∠APC=60° （1）求证：△ABC是等边三角形．

（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．

3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，

4），M是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

答案:

一、1．D 2．B 3．D

二、1．120°或60° 2．

90° 3．

三、1．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，

又ABAC，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，

设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC= 3．（1）略（2）4，（

2）

与圆有关的位置关系

1．点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则 点P在圆外dr;

点P在圆上dr; 

点P在圆内dr.

2．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念． 4．反证法的证明思想． 5．以上内容的应用．

一、选择题．

1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；•③圆有且只有一

个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（• ）

A．1 B．2 C．3 D．4

长为（） A．

B．

3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，则弦AD

C D．3

3．△ABC中，AB=1，AC、BC是关于x的一元二次方程（m+5）x2-（2m-5）x+12=0



两个根，外接圆O的面积为，求m的值．

一、1．B 2．B 3．A

1

3．∵R2=，∴R=，

24∵AB=1，∴AB为⊙O直径，

∴AC2+BC2=1，即（AC+BC）2-2AC²BC=1， ∴（

2m5m5

12m5

）2-•2²=1，m2-18m-40=0，∴m=20或m=-2，

当m=-2时，△

如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=•∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．

（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

分析：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，•因为C点已在圆上．

由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD与⊙O相切理由：①C点在⊙O上（已知） ②∵AB是直径

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90°

综上：CD是⊙O的切线．（2）在Rt△OCD中，∠D=30°

∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10

答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．

1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等概念． 2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有：直线L和⊙O相交dr

第二课时作业设计

一、选择题．

1．如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA

的长是（） A

2．下列说法正确的是（）

A．与圆有公共点的直线是圆的切线．

B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线

3．已知⊙O分别与△ABC的BC边，AB的延长线，AC的延长线相切，则∠BOC等于（）

A．（∠B+∠C） B．90°+∠A

C．90°-∠A D．180°-∠A

2 二、填空题

1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D•点，•若AB=10，AC=8，则DC长为________．

CDA

2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．

3．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=•________，•

∠BOC=________．三、综合提高题

1．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，过点P的任一直线交⊙O于B、C，•

连结AB、AC，连PO交⊙O于D、E．（1）求证：∠PAB=∠C．

（2）如果PA2=PD²PE，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O的半径．

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，

2．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，则内切圆半径r=• 其中P=

（a+b+c）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，则r=

（a+b-c）

3．如图1，平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（-2，0），与y轴交于B、

C两点，O1B的延长线交x轴于点D（（1）求证：∠ABO=∠ABO；

（2）设E为优弧AC的中点，连结AC、BE交于点F，请你探求BE²BF的值．（3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于点M，与BD•的延长线交于

点N，当⊙O2的大小变化时，给出下列两个结论．

，0），连结AB．

①BM-BN的值不变；②BM+BN的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你

判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．（友情提示：如图3，如果DE∥BC，那么

AEAC

ADAB

）

Ewww.czsx.com.cn

(1) (2) (3) 答案:

一、1．A 2．B 3．C

二、1．4

120° 3．130° 160°

三、1．（1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示．

（2）由已知PA2=PD²PE，可得⊙O的半径为．

22．（1）设I为△ABC内心，内切圆半径为r，

则S△ABC=

AB²r+

BC²r+

AC²r，则r=

；

（2）设内切圆与各边切于D、E、F，连结ID、IE，如图，则ID⊥AC，IE⊥BC，又∠C=90°，ID=IE， ∴DIEC为正方形，∴CE=CD=r，

∴AD=AF=b-r，BE=BF=a-r，∴b-r+a-r=c，•∴r=

（a+b-c）．

3．（1）证明：连结O1A，则O1A⊥OA，∴O1A∥OB，∴∠O1AB=∠ABO，

又∵O1A=O1B，∴∠O1AB=•∠O1BA，∴∠ABO1=∠ABO

（2）连结CE，∵O1A∥OB，∴

OBO1D

ODAD

25

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，

设DB=2x，则O1D=5x，∴O1A=O1B=5x-2x=3x，在Rt△DAO1中，（3x）2+（∴O1A=O1B=

103

）2=（5x）2，∴x=

，

，OB=1，

∵OA是⊙O1的切线，∴OA2=OB²OC，∴

OC=4，BC=3， ∵E为优弧AC的中点，∴∠ABF=∠EBC，

ABBF

∵∠BAF=∠E，∴△ABF≌△EBC，∴， 

BEBC∴

BE²BF=AB²

（3）解：①BM-BN的值不变．

证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连结AM、AN、AG、MN， ∵∠ABO=∠ABO，∠ABO=∠AMN，∠ABO=∠ANM， ∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN， ∵∠AMG=∠ANB，MG=BN， ∴△AMG≌△ANB，∴AG=AB， ∵AD⊥BG，∴BG=2BO=2， ∴BM-BN=BG=2其值不变．

1．切线长的概念．

2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

3．三角形的内切圆及三角形内心的概念．例1．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．

求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线． ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB 因此，我们得到切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．

如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．

分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，•因此要转化为面积法来求．就需添加辅助线，如果连结AO、BO、CO，就可把三角形ABC分为三块，•那么就可解决．解：连结AO、BO、CO

∵⊙O是△ABC的内切圆且D、E、F是切点． ∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2 ∴AB=4，BC=5，AC=3 又∵S△ABC=6 ∴

（4+5+3）r=6

∴r=1

例3．如图，⊙O的直径AB=12cm，AM、BN是两条切线，DC切⊙O于E，交AM于D，•交BN于C，设AD=x，BC=y．

（1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？（2）若x、y是方程2t-30t+m=0的两根，求x，y的值．

（3）求△COD的面积．

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分析：（1）要求y与x的函数关系，就是求BC与AD的关系，根据切线长定理：DE=AD=x，CE=CB=y，即DC=x+y，又因为AB=12，所以只要作DF⊥BC垂足为F，根据勾股定理，便可求得．

（2）∵x，y是2t-30t+m=0的两根，那么

x1+x2

30

30

604

，x1x2=

，便可求得x、y的值．

（3）连结OE，便可求得．

解：（1）过点D作DF⊥BC，垂足为F，则四边形ABFD为矩形． ∵⊙O切AM、BN、CD于A、B、E ∴DE=AD，CE=CB ∵AD=x，CB=y ∴CF=y-x，CD=x+y 在Rt△DCF中，DC=DF+CF 即（x+y）=（x-y）+12 ∴xy=36 ∴y=

36x

为反比例函数；

（2）由x、y

是方程2t-30t+m=0的两根，可得：

x+y=

30



304

=15

同理可得：xy=36

∴x=3，y=12或x=12，y=3．（3）连结OE，则OE⊥CD

∴S△COD= =

CD·OE=12

×（AD+BC）AB 22

³15³

³12

=45cm 、8．

2．选用课时作业设计．

第三课时作业设计

一、选择题．

1．如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠

ACB=（）．

A．60° B．75° C．105° D．120°

(1) (2) (3) (4)

2．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，•从这点到圆的最短距离为

（）．

A．

．9-1）

C．9） D．9

3．圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，则∠APB=

（）

A．180°-a B．90°-a C．90°+a D．180°-2a 二、填空题

1．如图2，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，•已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________．

2．如图3，边长为a的正三角形的内切圆半径是_________．

3．如图4，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是_______．三、综合提高题

1．如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，• 如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度数．

2．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，求证∠ABO=

∠

APB.

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3．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB•为半径

的圆与AB交于点E，与AC切于点D．（1）求证：DE∥OC；

（2）若AD=2，DC=3，且AD2=AE²AB，求

OBBC

的值．

答案:

一、1．C 2．C 3．D

二、1．14cm 2

a 3．正方形

三、1．解：∵EB、EC是⊙O的两条切线，

∴EB=EC，∴∠ECB=∠EBC，

又∠E=46°，而∠E+∠EBC+∠ECB=180°，∠ECB=67°，又∠DCF+∠ECB+∠DCB=180°， ∴∠BCD=180°-67°-32°=81°，又∠A+∠BCD=180°， ∴∠A=180°-81°=99°

2．证明：连结OP、OA，OP交AB于C， ∵B是切点，∴∠OBP=90°，∠OAP=90•°，• ∴∠BOP=∠APO，

∵OA=OB，∴∠BOP=∠AOC，∴∠OCB=90°， ∵∠OBA=∠OPB，∴∠OBA=3．（1）证明：连结OD，则∠ODC=Rt∠，∠ODE=∠OED，由切线长定理得：CD=CB，•

∴Rt△ODC≌Rt△OBC，∴∠COB=∠COD， ∵∠DOE+2∠OED=180°，

又∠DOE+2∠COB=180°，•∴∠OED=∠COB，∴DE∥OC （2）由AD=2，DC=3得：BC=3，AB=4，又∵AD2=AE²AB，∴AE=1， ∴BE=3，OB=

1．两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），•两个圆相交等概念． 2．设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．外离d>r1+r2 外切d=r1+r2 相交│r1-r2│

∠APB．

BE=

，∴

OBBC

．

内切d=│r1-r2│

内含0≤d

例3．如图1所示，半径不等的⊙O1、⊙O2外离，线段O1O2分别交⊙O1、⊙O2于点A、B，MN为两圆的内公切线，分别切⊙O1、⊙O2于点M、N，连结MA、NB．（1）试判断∠AMN与∠BNM的数量关系？并证明你的结论．

（2）若将“MN”为两圆的内公切线改为“MN为两圆的外公切线”，•其余条件不变，∠AMN与∠BNM是否一定满足某种等量关系？完成下图并写出你的结论．

(1) (2)

分析：（1）要说明∠AMN与∠BNM的数量关系，只要说明∠MAB和∠NBA的数量关系，只要说明∠O2BN和∠O1AM的数量关系，又因为∠O2BN=∠O1NB，∠O1MA=∠O1AM，因此，只要连结O1M，O2N，再说明∠MO1A=∠NO2B，这两个角相等是显然的．（2）画出图形，从上题的解答我们可以得到一个思路，连结O1M、O2N，•则∠O1MN+•∠O2NM=180°，∴∠MO1A+∠NO2B=180°，∴∠O2NB+∠O1MA=90°，∴∠AMN+∠BNM=90°．解：（1）∠AMN=∠BNM

证明：连结O1M、O2N，如图2所示 ∵MN为两圆的内公切线， ∴O1M⊥MN，O2N⊥MN ∴O1M∥O2N ∴∠MO1A=∠NO2B ∵O1M=O1A，O2N=O2B ∴∠O1MA=∠O2NB ∴∠AMN=∠BNM

（2）∵∠AMN+∠BNM=90° 证明：连结O1M、O2N

∵MN为两圆的外公切线． ∴O1M⊥MN，O2N⊥MN ∴O1M∥O2N

∴∠MO1A+∠NO2B=180° ∵O1M=O1A，O2N=O2B ∴∠O1MA+∠O2NB=

×180°=90°

∴∠AMN+∠BNM=180°-90°=90°

3．如图所示，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，•设⊙O1

的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是（）． A．y=

x2+x B．y=-14

x2+x x2-x

C．y=-

x2-x D．y=

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二、填空题．

的________．

1．如图1所示，两圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，则

所在的直线是公共弦AB

(1) (2) (3) 足_______时，两圆不外离．

2．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足______•时，•两圆相交；•当d•满 3．•如图2•所示，•⊙O1•和⊙O2•内切于T，•则T•在直线________•上，•理由是

_________________；若过O2的弦AB与⊙O2交于C、D两点，若AC：CD：BD=2：4：3，则⊙O2与⊙O1半径之比为________．三、综合提高题．

1．如图3，已知⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，连结AO1并延长交⊙O1于C，连CB并

延长交⊙O2于D，若圆心距O1O2=2，求CD长．

3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．

（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；（2）若⊙B过M（-2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

答案:

一、1．B 2．D 3．B 二、1．垂直平分线

2．2

则AD为⊙O2直径，即O2为AD•中点，则CD=2O1O2=4． 3．（1）AB=5>1+3，外离．

（2）设B（x，0）x≠-2

，则B半径为│x+2│， ①设⊙B与⊙

A│x+2│+1，

当

x>-2，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0），当

x-2（舍）， ②设⊙B与⊙

A│x+2│-1，

当

x>-2，得x=4>-2，∴B（4，0），当

x-2，∴应舍去．

综上所述：B（0，0）或B（4，0）．

24.3 正多边形和圆

教学内容

1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．

2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系． 3．正多边形的画法．教学目标

了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．

复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容．重难点、关键

1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系． 2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．教学过程一、复习引入

请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一

些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形． ∵AB=BC=CD=DE=EF

∴AB=BC=CD=DE=EF

又∴∠A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC

2211

∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD

22 ∴∠A=∠B

同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．

分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中，OA=a，AM= 利用勾股定理，可得边心距

3606

=60°，•△

AB=a

∴所求正六边形的面积=6³

³AB³OM=6³

³a

2 a

现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．

分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．

解：正五边形的中心角∠AOB=如图，∠AOC=30°，OA=

3605

=72°，

AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm）

画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；

（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA．（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA．

则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．三、巩固练习

教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习．四、应用拓展

例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC的边AB上的高h．（2）设DN=x，且

hDNh

NFAB

，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题．

解：（1）由AB²CG=AC²BC得h= （2）∵h= ∴NF=

hDN

NFAB

ACBCAB

8610

=4.8

10(4.8x)

4.8

且DN=x

则S四边形DEFN=x² =- =- =-2512251225

4.8

（4.8-x）=-

2512

x2+10x

（x2-

120256025

x））2-3600625

[（x-]

∵- ∴-

x25x25x

（x-2.4）2+12 （x-2.4）2≤0

（x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号

∴当x=2.4时，SDEFN最大．

（3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3． ∴

 ∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=2.4时，DE=5

∴AD=3.2，

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:

Bwww.czsx.com.c

此时，•AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．

五、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课应掌握：

1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．

2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系． 3．画正多边形的方法．

4．运用以上的知识解决实际问题．六、布置作业

1．教材P117 复习巩固1 综合运用5、7 P118 8．

2．选用课时作业设计．

课时作业设计

一、选择题

1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．

A．60° B．45° C．30° D．22．5°

(1) (2) (3)

2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）． A．36° B．60° C．72° D．108°

3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角

为（）

A．18° B．36° C．72° D．144° 二、填空题

1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB

于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．

3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果

⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．

三、综合提高题

1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．（1）求证：四边形CDEM是菱形；

（2）设MF2=BE²BM，若AB=4，求BE的长．

答案:

一、1．C 2．C 3．D

二、1．a2 2． 3．r 3r 60°

4三、1．设BC与⊙O切于M，连结OM、OB，

则OM⊥BC于M，

OM=

a，

连OE，作OE⊥EF于N，则

a，∠EOM=45°，

a，

∵

，

，∴S正方形=

a2．

2．设正六边形边长为a，则圆O半径为a，

由题意得：2a=6，∴a=3．

如右图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心，过O作OD⊥AB，垂足为D，

Bwww.czsx.com.c

1806

则OD=r6，•则∠DOA==30°，AD=

AB=

，

在Rt△ABC中，OD=r6

cm，

∴S=6²3．略.

ar6=

³3

³6=

cm2．

24.4 弧长和扇形面积(第1课时)

教学内容

1．n°的圆心角所对的弧长L= 2．扇形的概念；

3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=

nR360

nR180

；

4．应用以上内容解决一些具体题目．教学目标

了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．

通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=

nR180

和扇形面

积S扇=

nR360

的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．

重难点、关键

1．重点：n°的圆心角所对的弧长L= 2．难点：两个公式的应用．

3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．教具、学具准备

小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．教学过程一、复习引入

（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题． 1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？

老师点评：（1）圆的周长C=2R

nR180

，扇形面积S扇=

nR360

及其它们的应用．

（2）圆的面积S图=R2 （3）弧长就是圆的一部分．二、探索新知

（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． „„

5．n°的圆心角所对的弧长是_______．

（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：

nR

n°的圆心角所对的弧长为

360

例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示

AB的长（结果精确到0.1mm）

的管道的展直长度，即

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AB的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．分析：要求

解：R=40mm，n=110

nR11040

AB的长= ∴=≈76.8（mm）

180

因此，管道的展直长度约为76.8mm．

问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m•的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:

（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？

学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:

nwww.czsx.com.c

像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（小黑板），请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独立完成下题： 1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积． 2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______． 3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______． 4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______． „„

5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．老师检察学生练习情况并点评 1．360 2．S扇形=

1360

R 3．S扇形=

2360

R 4．S扇形=

5R360

5．S扇形=

nR360

因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形

AB的长（•结果精确到例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求

0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）

分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．

AB的长= 解：

60180

³10=1006

103

≈10.5

S扇形=

60360

³102=

≈52.3

AB的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm．因此，

三、巩固练习课本P122练习．四、应用拓展

例3．（1）操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

（2）尝试与思考：如图a、b所示，•将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．

(a) (b)

（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正n•边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．

解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD•分别交于点M、N，连结OA、OD．

∵四边形ABCD是正方形

∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO≌△DNO ∴AM=DN

∴AM+AN=DN+AN=AD=a

特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．

故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．（2）120°；70° （3）

360n

；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是．

五、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课应掌握：

1．n°的圆心角所对的弧长L= 2．扇形的概念．

3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形= 4．运用以上内容，解决具体问题．六、布置作业

1．教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5、6、7．

2．选用课时作业设计．

nR360

nR180

第一课时作业设计

一、选择题

1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）． A．3 B．4 C．5 D．6

2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向

绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（） A．1 B． C



(1) (2) (3) 都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（） A．12m B．18m C．20m D．24m 二、填空题

1．如果一条弧长等于

4

3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆

R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，

• 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．

的长的_____倍． AD的长是BC2．如图3所示，OA=30B，则

三、综合提高题

AB所在圆的半径为R，AB的长为1．已知如图所示，

3

R，⊙O′和OA、OB分别

相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．

2．如图，若⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O•内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？

3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷

ABCD，AB=1，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D

′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积．

答案:

一、1．B 2．D 3．D

二、1．45° R 2．3

三、1．连结OD、O′C，则O′在OD上



由l=R，解得：∠AOB=60°， AB

由Rt△OO′C•解得⊙O′的半径r=

R，所以⊙O′的周长为2r=

R．

2．⊙O、⊙A、⊙B的周长分别为20cm，4cm，4cm，

可求出它的半径分别为10cm、•2cm、2cm，所以OA=8cm，OB=12cm，

因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，

所以⊙A滚动回原位置经过距离为2³8=16=4³4，而⊙B滚动回原位置经过距离为2³12=24=4³6．因此，与原题意相符． 3．设屏幕被着色面积为S，

则S=S△ABD+S扇形BDD`+S△BC`D`=S矩形ABCD

+S扇形BDD`，连结BD′，

在Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′

∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°， ∴S=

²22+1

．

24.4 弧长和扇形面积(第2课时)

教学内容

1．圆锥母线的概念． 2．圆锥侧面积的计算方法． 3．计算圆锥全面积的计算方法． 4．应用它们解决实际问题．教学目标

了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题．

通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．重难点、关键

1．重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式． 2．难点：探索两个公式的由来． 3．关键：你通过剪母线变成面的过程．教具、学具准备

直尺、圆规、量角器、小黑板．教学过程一、复习引入

1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．

2．问题1：一种太空囊的示意图如图所示，•太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．

老师点评：（1）n°圆心角所对弧长：L=

nR180

，S扇形=

nR360

，公式中没有n°，而

是n；弧长公式中是R，分母是180；而扇形面积公式中是R，分母是360，两者要记清，不能混淆．

（2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，•圆柱的侧面积和底圆的面积．

这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，•但圆锥的侧面积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它．二、探索新知

我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．（学生分组讨论，提问二三位同学）

问题2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L，•底面圆的半径为r，•如图24-115所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，•因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________．

老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S=

360r

nl

360

，其中n可由2r=

nl

180

求

得：n=

360rl

，•∴扇形面积S=

360

l

=rL；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成

的，所以全面积=rL+r2．

例1．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）

分析：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积．

解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为Lcm，则 r=

582

L=22.03

S纸帽侧=rL≈

³58³22.03=638.87（cm）

638.87³20=12777.4（cm2）所以，至少需要12777.4cm2的纸．

例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．（1）求扇形的弧长；

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？分析：（1）由S

扇形

nR360

求出R，再代入L=

nR180

求得．（2）若将此扇形卷成一

个圆锥，•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，•圆锥母线为腰的等腰三角形．

解：（1）如图所示： ∵300= ∴R=30 ∴弧长L=

12030

180120R360

=20（cm）

（2）如图所示： ∵20=20r ∴r=10，R=30

∴S轴截面= =

³BC³AD

³2³10³

（cm2）

因此，扇形的弧长是20cm卷成圆锥的轴截面是

cm2．

三、巩固练习

教材P124 练习1、2．四、应用拓展

例3．如图所示，经过原点O（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）•两点的曲线是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）.

（1）求出图中曲线的解析式；

（2）设抛物线与x轴的另外一个交点为C，以OC为直径作⊙M，•如果抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交点为E，连结MD，已知点E的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积（用含m的代数式表示）．

（3）延长DM交⊙M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD=S△DON请求出此时点P的坐标．

解：（1）∵O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）在曲线y=ax2+bx+c（a≠0）上

0c

∴3abc

5abc

解得a=1，b=-4，c=0 ∴图中曲线的解析式是y=x2-4x

（2）抛物线y=x2-4x与x轴的另一个交点坐标为c（4，0）, 连结EM，

∴⊙M的半径为2，即OM=DM=2 ∵ED、EO都是⊙M的切线 ∴EO=ED ∴△EOM≌△EDM ∴S四边形EOMD=2S△OME=2³

OM²OE=2m

（3）设点D的坐标为（x0，y0）

∵S△DON=2S△DOM=2³OM³y0=2y0

2 ∴S四边形ECMD=S△DON时即2m=2y0，m=y0 ∵m=y0 ∴ED∥x轴又∵ED为切线 ∴D（2，2）

∵点P在直线ED上，故设P（x，2）

∵P在圆中曲线y=x2-4x上

∴2=x2-4x 解得：

2=2

∴P1（

，0），P2（

，2）为所求．

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1．什么叫圆锥的母线．

2．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题．

六、布置作业

1．教材P124 复习巩固4 P125 综合运用8 拓广探索9、10．

2．选用课时作业设计．

第二课时作业设计

一、选择题

1．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm

2．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，•用剩余部分制作成一个底面直

径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（）

A．228° B．144° C．72° D．36°

3．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，•从点A出

发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）

A．

．

二、填空题

1．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______．

2．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，•所得圆柱体的

表面积是__________（用含的代数式表示）

3．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部

铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡．

三、综合提高题 2 C．

D．3

1．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，•需要加工这样的一

个烟囱帽，请你画一画：

（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）

（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至

少应是多少？

2．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，•求圆锥全面积．

3．如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm•的圆柱中挖掉一个圆锥后

得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，•求这个几何体的表面积．

答案:

一、1．D 2．C 3．C

二、1．r2+rL 2．1 30cm2 3．158.4

三、1．（1）2400cm2 （2）

2．48cm2

3．S表=S柱侧+S柱底+S锥侧=2³3³4+³32+³3³5=24+9+15=48cm2．

圆

4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用． 5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

6．直线L和⊙O相交dr及其运用．

7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．

8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．

9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．

10．两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离d>r1+r2；外切d=r1+r2；相交│r2-r1│

11．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．

12．n°的圆心角所对的弧长为L=其运用这两个公式进行计算．

13．圆锥的侧面积和全面积的计算．

设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18 R=30+（R-18） R=900+R-36R+324 解得R=34（m）

连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16

nR180

，n°的圆心角的扇形面积是S

扇形

nR360

及

342=162+（34-x）2

162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合设） ∴DE=4

∴不需采取紧急措施．

2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）

A．4 B．6 C．7 D．8

中点，1．如图4，AB为⊙O直径，E是BCOE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．

(4) (5)

2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．

3．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）三、综合提高题

1．如图24-11，AB为⊙O的直径，

CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、

DM•⊥CD，分别交AB于N、M，

请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．

2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

3．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC的度数．

3．（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示:

∵AB=16，

AC=8，， ∴

AC=

（

AB），∴∠CAB=60°，

同理可得∠DAB=30°， ∴∠DAC=30°．

（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．

例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？

D的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？AB与C（2）如果OE=OF，那么

•为什么？∠AOB与∠COD呢？

分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．

（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt•△COF，

∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到A

B=CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD

∵OE⊥AB，OF⊥CD

∴AE=12AB，CF=1

2CD

∴AE=CF 又∵OA=OC

∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF

（2）如果OE=OF，那么AB=CD，A

B=CD，∠AOB=∠COD 理由是：

∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF

又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=

1AB，CF=12

∴AB=2AE，CD=2CF ∴AB=CD

∴A

B=CD，∠AOB=∠COD 教材P89 练习1 教材P90 练习2．

例2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，APM=∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

•∠

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

(3) (4)

分析：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，•只要说明它们的一半相等．

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．解：（1）AB=CD

理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF

连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F ∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF

连接OA、OB、OC、OD

易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD

2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．

3．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求

证：AE=BF=CD．

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AB三等分点， 3．连结AC、BD，∵C、D是

∴AC=CD=DB，且∠AOC=

³90°=30°，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°，又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°， ∴AE=AC，

同理可证BF=BD，∴AE=BF=CD

第三课时作业设计

一、选择题

1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．

A．140° B．110° C．120° D．130°

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(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）

A．∠4

C．∠4

3．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于

（）．

A．3 B．

．5- 二、填空题

如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•

D．5

(4) (5)

3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．提高

1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．

2．如图，已知AB=AC，∠APC=60° （1）求证：△ABC是等边三角形．

（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．

3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，

4），M是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

答案:

一、1．D 2．B 3．D

二、1．120°或60° 2．

90° 3．

三、1．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，

又ABAC，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，

设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC= 3．（1）略（2）4，（

2）

与圆有关的位置关系

1．点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则 点P在圆外dr;

点P在圆上dr; 

点P在圆内dr.

2．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念． 4．反证法的证明思想． 5．以上内容的应用．

一、选择题．

1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；•③圆有且只有一

A．1 B．2 C．3 D．4

长为（） A．

B．

3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，则弦AD

C D．3

3．△ABC中，AB=1，AC、BC是关于x的一元二次方程（m+5）x2-（2m-5）x+12=0



两个根，外接圆O的面积为，求m的值．

一、1．B 2．B 3．A

1

3．∵R2=，∴R=，

24∵AB=1，∴AB为⊙O直径，

∴AC2+BC2=1，即（AC+BC）2-2AC²BC=1， ∴（

2m5m5

12m5

）2-•2²=1，m2-18m-40=0，∴m=20或m=-2，

当m=-2时，△

如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=•∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．

（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

分析：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，•因为C点已在圆上．

由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD与⊙O相切理由：①C点在⊙O上（已知） ②∵AB是直径

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90°

综上：CD是⊙O的切线．（2）在Rt△OCD中，∠D=30°

∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10

答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．

1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等概念． 2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有：直线L和⊙O相交dr

第二课时作业设计

一、选择题．

1．如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA

的长是（） A

2．下列说法正确的是（）

A．与圆有公共点的直线是圆的切线．

B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线

3．已知⊙O分别与△ABC的BC边，AB的延长线，AC的延长线相切，则∠BOC等于（）

A．（∠B+∠C） B．90°+∠A

C．90°-∠A D．180°-∠A

2 二、填空题

1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D•点，•若AB=10，AC=8，则DC长为________．

CDA

2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．

3．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=•________，•

∠BOC=________．三、综合提高题

1．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，过点P的任一直线交⊙O于B、C，•

连结AB、AC，连PO交⊙O于D、E．（1）求证：∠PAB=∠C．

（2）如果PA2=PD²PE，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O的半径．

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，

2．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，则内切圆半径r=• 其中P=

（a+b+c）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，则r=

（a+b-c）

3．如图1，平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（-2，0），与y轴交于B、

C两点，O1B的延长线交x轴于点D（（1）求证：∠ABO=∠ABO；

（2）设E为优弧AC的中点，连结AC、BE交于点F，请你探求BE²BF的值．（3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于点M，与BD•的延长线交于

点N，当⊙O2的大小变化时，给出下列两个结论．

，0），连结AB．

①BM-BN的值不变；②BM+BN的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你

判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．（友情提示：如图3，如果DE∥BC，那么

AEAC

ADAB

）

Ewww.czsx.com.cn

(1) (2) (3) 答案:

一、1．A 2．B 3．C

二、1．4

120° 3．130° 160°

三、1．（1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示．

（2）由已知PA2=PD²PE，可得⊙O的半径为．

22．（1）设I为△ABC内心，内切圆半径为r，

则S△ABC=

AB²r+

BC²r+

AC²r，则r=

；

（2）设内切圆与各边切于D、E、F，连结ID、IE，如图，则ID⊥AC，IE⊥BC，又∠C=90°，ID=IE， ∴DIEC为正方形，∴CE=CD=r，

∴AD=AF=b-r，BE=BF=a-r，∴b-r+a-r=c，•∴r=

（a+b-c）．

3．（1）证明：连结O1A，则O1A⊥OA，∴O1A∥OB，∴∠O1AB=∠ABO，

又∵O1A=O1B，∴∠O1AB=•∠O1BA，∴∠ABO1=∠ABO

（2）连结CE，∵O1A∥OB，∴

OBO1D

ODAD

25

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，

设DB=2x，则O1D=5x，∴O1A=O1B=5x-2x=3x，在Rt△DAO1中，（3x）2+（∴O1A=O1B=

103

）2=（5x）2，∴x=

，

，OB=1，

∵OA是⊙O1的切线，∴OA2=OB²OC，∴

OC=4，BC=3， ∵E为优弧AC的中点，∴∠ABF=∠EBC，

ABBF

∵∠BAF=∠E，∴△ABF≌△EBC，∴， 

BEBC∴

BE²BF=AB²

（3）解：①BM-BN的值不变．

1．切线长的概念．

2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

3．三角形的内切圆及三角形内心的概念．例1．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．

如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．

∵⊙O是△ABC的内切圆且D、E、F是切点． ∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2 ∴AB=4，BC=5，AC=3 又∵S△ABC=6 ∴

（4+5+3）r=6

∴r=1

例3．如图，⊙O的直径AB=12cm，AM、BN是两条切线，DC切⊙O于E，交AM于D，•交BN于C，设AD=x，BC=y．

（1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？（2）若x、y是方程2t-30t+m=0的两根，求x，y的值．

（3）求△COD的面积．

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（2）∵x，y是2t-30t+m=0的两根，那么

x1+x2

30

30

604

，x1x2=

，便可求得x、y的值．

（3）连结OE，便可求得．

36x

为反比例函数；

（2）由x、y

是方程2t-30t+m=0的两根，可得：

x+y=

30



304

=15

同理可得：xy=36

∴x=3，y=12或x=12，y=3．（3）连结OE，则OE⊥CD

∴S△COD= =

CD·OE=12

×（AD+BC）AB 22

³15³

³12

=45cm 、8．

2．选用课时作业设计．

第三课时作业设计

一、选择题．

1．如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠

ACB=（）．

A．60° B．75° C．105° D．120°

(1) (2) (3) (4)

2．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，•从这点到圆的最短距离为

（）．

A．

．9-1）

C．9） D．9

3．圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，则∠APB=

（）

A．180°-a B．90°-a C．90°+a D．180°-2a 二、填空题

1．如图2，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，•已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________．

2．如图3，边长为a的正三角形的内切圆半径是_________．

3．如图4，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是_______．三、综合提高题

1．如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，• 如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度数．

2．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，求证∠ABO=

∠

APB.

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3．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB•为半径

的圆与AB交于点E，与AC切于点D．（1）求证：DE∥OC；

（2）若AD=2，DC=3，且AD2=AE²AB，求

OBBC

的值．

答案:

一、1．C 2．C 3．D

二、1．14cm 2

a 3．正方形

三、1．解：∵EB、EC是⊙O的两条切线，

∴EB=EC，∴∠ECB=∠EBC，

又∠E=46°，而∠E+∠EBC+∠ECB=180°，∠ECB=67°，又∠DCF+∠ECB+∠DCB=180°， ∴∠BCD=180°-67°-32°=81°，又∠A+∠BCD=180°， ∴∠A=180°-81°=99°

2．证明：连结OP、OA，OP交AB于C， ∵B是切点，∴∠OBP=90°，∠OAP=90•°，• ∴∠BOP=∠APO，

∵OA=OB，∴∠BOP=∠AOC，∴∠OCB=90°， ∵∠OBA=∠OPB，∴∠OBA=3．（1）证明：连结OD，则∠ODC=Rt∠，∠ODE=∠OED，由切线长定理得：CD=CB，•

∴Rt△ODC≌Rt△OBC，∴∠COB=∠COD， ∵∠DOE+2∠OED=180°，

又∠DOE+2∠COB=180°，•∴∠OED=∠COB，∴DE∥OC （2）由AD=2，DC=3得：BC=3，AB=4，又∵AD2=AE²AB，∴AE=1， ∴BE=3，OB=

∠APB．

BE=

，∴

OBBC

．

内切d=│r1-r2│

内含0≤d

（2）若将“MN”为两圆的内公切线改为“MN为两圆的外公切线”，•其余条件不变，∠AMN与∠BNM是否一定满足某种等量关系？完成下图并写出你的结论．

(1) (2)

证明：连结O1M、O2N，如图2所示 ∵MN为两圆的内公切线， ∴O1M⊥MN，O2N⊥MN ∴O1M∥O2N ∴∠MO1A=∠NO2B ∵O1M=O1A，O2N=O2B ∴∠O1MA=∠O2NB ∴∠AMN=∠BNM

（2）∵∠AMN+∠BNM=90° 证明：连结O1M、O2N

∵MN为两圆的外公切线． ∴O1M⊥MN，O2N⊥MN ∴O1M∥O2N

∴∠MO1A+∠NO2B=180° ∵O1M=O1A，O2N=O2B ∴∠O1MA+∠O2NB=

×180°=90°

∴∠AMN+∠BNM=180°-90°=90°

3．如图所示，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，•设⊙O1

的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是（）． A．y=

x2+x B．y=-14

x2+x x2-x

C．y=-

x2-x D．y=

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二、填空题．

的________．

1．如图1所示，两圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，则

所在的直线是公共弦AB

(1) (2) (3) 足_______时，两圆不外离．

_________________；若过O2的弦AB与⊙O2交于C、D两点，若AC：CD：BD=2：4：3，则⊙O2与⊙O1半径之比为________．三、综合提高题．

1．如图3，已知⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，连结AO1并延长交⊙O1于C，连CB并

延长交⊙O2于D，若圆心距O1O2=2，求CD长．

3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．

（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；（2）若⊙B过M（-2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

答案:

一、1．B 2．D 3．B 二、1．垂直平分线

2．2

则AD为⊙O2直径，即O2为AD•中点，则CD=2O1O2=4． 3．（1）AB=5>1+3，外离．

（2）设B（x，0）x≠-2

，则B半径为│x+2│， ①设⊙B与⊙

A│x+2│+1，

当

x>-2，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0），当

x-2（舍）， ②设⊙B与⊙

A│x+2│-1，

当

x>-2，得x=4>-2，∴B（4，0），当

x-2，∴应舍去．

综上所述：B（0，0）或B（4，0）．

24.3 正多边形和圆

教学内容

1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．

2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系． 3．正多边形的画法．教学目标

了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．

复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容．重难点、关键

请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．二、探索新知

些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形． ∵AB=BC=CD=DE=EF

∴AB=BC=CD=DE=EF

又∴∠A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC

2211

∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD

22 ∴∠A=∠B

同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

3606

=60°，•△

AB=a

∴所求正六边形的面积=6³

³AB³OM=6³

³a

2 a

现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．

分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．

解：正五边形的中心角∠AOB=如图，∠AOC=30°，OA=

3605

=72°，

AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm）

画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；

（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA．（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA．

则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．三、巩固练习

教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习．四、应用拓展

hDNh

NFAB

，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

解：（1）由AB²CG=AC²BC得h= （2）∵h= ∴NF=

hDN

NFAB

ACBCAB

8610

=4.8

10(4.8x)

4.8

且DN=x

则S四边形DEFN=x² =- =- =-2512251225

4.8

（4.8-x）=-

2512

x2+10x

（x2-

120256025

x））2-3600625

[（x-]

∵- ∴-

x25x25x

（x-2.4）2+12 （x-2.4）2≤0

（x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号

∴当x=2.4时，SDEFN最大．

（3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3． ∴

 ∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=2.4时，DE=5

∴AD=3.2，

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:

Bwww.czsx.com.c

此时，•AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．

五、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课应掌握：

1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．

2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系． 3．画正多边形的方法．

4．运用以上的知识解决实际问题．六、布置作业

1．教材P117 复习巩固1 综合运用5、7 P118 8．

2．选用课时作业设计．

课时作业设计

一、选择题

1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．

A．60° B．45° C．30° D．22．5°

(1) (2) (3)

2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）． A．36° B．60° C．72° D．108°

3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角

为（）

A．18° B．36° C．72° D．144° 二、填空题

1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB

于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．

3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果

⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．

三、综合提高题

1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．（1）求证：四边形CDEM是菱形；

（2）设MF2=BE²BM，若AB=4，求BE的长．

答案:

一、1．C 2．C 3．D

二、1．a2 2． 3．r 3r 60°

4三、1．设BC与⊙O切于M，连结OM、OB，

则OM⊥BC于M，

OM=

a，

连OE，作OE⊥EF于N，则

a，∠EOM=45°，

a，

∵

，

，∴S正方形=

a2．

2．设正六边形边长为a，则圆O半径为a，

由题意得：2a=6，∴a=3．

如右图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心，过O作OD⊥AB，垂足为D，

Bwww.czsx.com.c

1806

则OD=r6，•则∠DOA==30°，AD=

AB=

，

在Rt△ABC中，OD=r6

cm，

∴S=6²3．略.

ar6=

³3

³6=

cm2．

24.4 弧长和扇形面积(第1课时)

教学内容

1．n°的圆心角所对的弧长L= 2．扇形的概念；

3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=

nR360

nR180

；

4．应用以上内容解决一些具体题目．教学目标

了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．

通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=

nR180

和扇形面

积S扇=

nR360

的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．

重难点、关键

1．重点：n°的圆心角所对的弧长L= 2．难点：两个公式的应用．

3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．教具、学具准备

小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．教学过程一、复习引入

（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题． 1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？

老师点评：（1）圆的周长C=2R

nR180

，扇形面积S扇=

nR360

及其它们的应用．

（2）圆的面积S图=R2 （3）弧长就是圆的一部分．二、探索新知

5．n°的圆心角所对的弧长是_______．

（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：

nR

n°的圆心角所对的弧长为

360

例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示

AB的长（结果精确到0.1mm）

的管道的展直长度，即

www.czsx.com.c

AB的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．分析：要求

解：R=40mm，n=110

nR11040

AB的长= ∴=≈76.8（mm）

180

因此，管道的展直长度约为76.8mm．

问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m•的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:

（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？

学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:

nwww.czsx.com.c

5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．老师检察学生练习情况并点评 1．360 2．S扇形=

1360

R 3．S扇形=

2360

R 4．S扇形=

5R360

5．S扇形=

nR360

因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形

AB的长（•结果精确到例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求

0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）

分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．

AB的长= 解：

60180

³10=1006

103

≈10.5

S扇形=

60360

³102=

≈52.3

AB的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm．因此，

三、巩固练习课本P122练习．四、应用拓展

(a) (b)

解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD•分别交于点M、N，连结OA、OD．

∵四边形ABCD是正方形

∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO≌△DNO ∴AM=DN

∴AM+AN=DN+AN=AD=a

特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．

故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．（2）120°；70° （3）

360n

；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是．

五、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课应掌握：

1．n°的圆心角所对的弧长L= 2．扇形的概念．

3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形= 4．运用以上内容，解决具体问题．六、布置作业

1．教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5、6、7．

2．选用课时作业设计．

nR360

nR180

第一课时作业设计

一、选择题

1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）． A．3 B．4 C．5 D．6

2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向

绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（） A．1 B． C



(1) (2) (3) 都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（） A．12m B．18m C．20m D．24m 二、填空题

1．如果一条弧长等于

4

3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆

R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，

• 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．

的长的_____倍． AD的长是BC2．如图3所示，OA=30B，则

三、综合提高题

AB所在圆的半径为R，AB的长为1．已知如图所示，

3

R，⊙O′和OA、OB分别

相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．

3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷

ABCD，AB=1，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D

′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积．

答案:

一、1．B 2．D 3．D

二、1．45° R 2．3

三、1．连结OD、O′C，则O′在OD上



由l=R，解得：∠AOB=60°， AB

由Rt△OO′C•解得⊙O′的半径r=

R，所以⊙O′的周长为2r=

R．

2．⊙O、⊙A、⊙B的周长分别为20cm，4cm，4cm，

可求出它的半径分别为10cm、•2cm、2cm，所以OA=8cm，OB=12cm，

因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，

所以⊙A滚动回原位置经过距离为2³8=16=4³4，而⊙B滚动回原位置经过距离为2³12=24=4³6．因此，与原题意相符． 3．设屏幕被着色面积为S，

则S=S△ABD+S扇形BDD`+S△BC`D`=S矩形ABCD

+S扇形BDD`，连结BD′，

在Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′

∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°， ∴S=

²22+1

．

24.4 弧长和扇形面积(第2课时)

教学内容

1．圆锥母线的概念． 2．圆锥侧面积的计算方法． 3．计算圆锥全面积的计算方法． 4．应用它们解决实际问题．教学目标

了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题．

通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．重难点、关键

1．重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式． 2．难点：探索两个公式的由来． 3．关键：你通过剪母线变成面的过程．教具、学具准备

直尺、圆规、量角器、小黑板．教学过程一、复习引入

1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．

老师点评：（1）n°圆心角所对弧长：L=

nR180

，S扇形=

nR360

，公式中没有n°，而

是n；弧长公式中是R，分母是180；而扇形面积公式中是R，分母是360，两者要记清，不能混淆．

（2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，•圆柱的侧面积和底圆的面积．

老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S=

360r

nl

360

，其中n可由2r=

nl

180

求

得：n=

360rl

，•∴扇形面积S=

360

l

=rL；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成

的，所以全面积=rL+r2．

分析：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积．

解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为Lcm，则 r=

582

L=22.03

S纸帽侧=rL≈

³58³22.03=638.87（cm）

638.87³20=12777.4（cm2）所以，至少需要12777.4cm2的纸．

例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．（1）求扇形的弧长；

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？分析：（1）由S

扇形

nR360

求出R，再代入L=

nR180

求得．（2）若将此扇形卷成一

个圆锥，•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，•圆锥母线为腰的等腰三角形．

解：（1）如图所示： ∵300= ∴R=30 ∴弧长L=

12030

180120R360

=20（cm）

（2）如图所示： ∵20=20r ∴r=10，R=30

∴S轴截面= =

³BC³AD

³2³10³

（cm2）

因此，扇形的弧长是20cm卷成圆锥的轴截面是

cm2．

三、巩固练习

教材P124 练习1、2．四、应用拓展

例3．如图所示，经过原点O（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）•两点的曲线是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）.

（1）求出图中曲线的解析式；

（3）延长DM交⊙M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD=S△DON请求出此时点P的坐标．

解：（1）∵O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）在曲线y=ax2+bx+c（a≠0）上

0c

∴3abc

5abc

解得a=1，b=-4，c=0 ∴图中曲线的解析式是y=x2-4x

（2）抛物线y=x2-4x与x轴的另一个交点坐标为c（4，0）, 连结EM，

∴⊙M的半径为2，即OM=DM=2 ∵ED、EO都是⊙M的切线 ∴EO=ED ∴△EOM≌△EDM ∴S四边形EOMD=2S△OME=2³

OM²OE=2m

（3）设点D的坐标为（x0，y0）

∵S△DON=2S△DOM=2³OM³y0=2y0

2 ∴S四边形ECMD=S△DON时即2m=2y0，m=y0 ∵m=y0 ∴ED∥x轴又∵ED为切线 ∴D（2，2）

∵点P在直线ED上，故设P（x，2）

∵P在圆中曲线y=x2-4x上

∴2=x2-4x 解得：

2=2

∴P1（

，0），P2（

，2）为所求．

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1．什么叫圆锥的母线．

2．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题．

六、布置作业

1．教材P124 复习巩固4 P125 综合运用8 拓广探索9、10．

2．选用课时作业设计．

第二课时作业设计

一、选择题

1．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm

2．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，•用剩余部分制作成一个底面直

径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（）

A．228° B．144° C．72° D．36°

3．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，•从点A出

发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）

A．

．

二、填空题

1．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______．

2．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，•所得圆柱体的

表面积是__________（用含的代数式表示）

3．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部

铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡．

三、综合提高题 2 C．

D．3

1．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，•需要加工这样的一

个烟囱帽，请你画一画：

（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）

（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至

少应是多少？

2．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，•求圆锥全面积．

3．如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm•的圆柱中挖掉一个圆锥后

得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，•求这个几何体的表面积．

答案:

一、1．D 2．C 3．C

二、1．r2+rL 2．1 30cm2 3．158.4

三、1．（1）2400cm2 （2）

2．48cm2

3．S表=S柱侧+S柱底+S锥侧=2³3³4+³32+³3³5=24+9+15=48cm2．

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