谱方法解偏微分方程

学生：石幸媛，数学与计算机科学学院

指导老师：陈慧琴，江汉大学数学与计算机科学学院学号：[1**********]5

摘要

本论文分析的是偏微分方程的谱方法解。在此，我借用向新民编的《谱方法的数值分析》中第67页例2.1方程进行计算。根据例2.1的谱方法计算方式，给该方程具体的函数进行计算，求解其值，并绘图。最后研究比较一阶波动方程的Fourier 谱方法与Fourier 配点逼近有什么不同与相近之处，做出结论。

关键词：Fourier 配点逼近，截断函数，插值函数,Fourier 谱方法

Abstract

This paper analyses the partial differential equations of the spectral method. Here, I use the Xiang Xinmin series" numerical analysis of spectral method" on page sixty-seventh example 2.1equation. According to the case of 2.1spectral methods for computing method, give the specific function for calculating equation, solving its value, and drawing. The final study comparing a first-order wave equation in Fourier spectral method and Fourier collocation approximation of what is the difference and similarities, make a conclusion.

Key words: Fourier collocation approximation, truncated function,

interpolation function, Fourier spectral method

绪论 .................................................................................................................................................. 4 论文主题........................................................................................................................................... 5

§1定义引用： .................................................................................................................... 5 §2论文内容： .................................................................................................................... 5 2.1：Fourier 配点法 . ............................................................................................................. 5 结论 ................................................................................................................................................ 13 致谢 ................................................................................................................................................ 14 参考文献 ....................................................................................................................................... 15

绪论

谱方法是70年代发展起来的一种数值求解偏微分方程的方法，它具有“无

穷阶”收敛性，可采用快速算法，这以后。尤其到了80年代，Quarteroni 、Canuto 、Pasciak 、Funaro 、郭本瑜、Maday 等人对谱方法从理论上作了系统研究，对各类投影算子、插值算子等导出了在各种范数意义下的误差估计，并把这些理论运用于一系列重要的线性和非线性偏微分方程上，取得了令人满意的结果，与此同时，大量的实际计算也证明了谱方法确是一种有效的数值方法。现已被广泛用于气象、物理、力学等诸多领域，成为继差分法和有限元法之后又一种重要的数值方法。

目前，国内外专门介绍谱方法思想及其理论的书籍甚少。且虽然谱方法在在理论研究方面已取得了一些重要进展，但与差分法和有限元法相比还差很远。因此，在研究偏微分方程的谱方法解时可运用资源有限。在导师的指导下，我借助所学习的书籍种的知识，对偏微分方程的某个方程即摘要中提到的《谱方法的数值解》一书中的第第67页例2.1方程进行具体化计算分析。对结果进行画图，研究其形状特征。

论文主题

§1定义引用：

当用谱方法来求解偏微分方程时，经常需要用到截断函数或者插值函数

的微分，以下就来讨论此问题。

s u =

ˆϕ(x )∑ik u

+∞

设

k =-∞

是u '的Fourier 级数，因而可得

P N u '=(P N u ),

'22S '即截断和求导是可交换的，如果u ∈L ，那么u 也在L 意义下收敛于u '。

§2论文内容：

2.1：Fourier 配点法

引用例2.1 考虑方程

d x

du ⎤⎡()a x -λu =f (x ), 0

的Fourier 配点逼近。

du n ⎫N -1ilx ⎛

I N a (x )⎪=∑b l e , u N (x )∈S N

dx ⎭l =-N

设⎝为方程的近似解，那么

du N d ⎛⎛

() I a x N

d x dx ⎝⎝

x =x p

-ilx p

N -1

⎫⎫ilx j

=ilb e , ⎪⎪∑l ⎪

⎭⎭x =x j l =N

du N 12N -1()b j =a x ∑p dx

2N p =0

其

N -1

中.

令这样

su N (x )=∑αξe , N

dx ξ=-N

i ξx

x =x p

i ξαξe ∑ξ

=-N

N -1

i ξx p

, 而αξ=

2N -1s =0

∑u (x )e

-i ξx s

，

du N dx

x =x p

i ξ2N -1i ξx

=∑u (x s )e -i ξx s e p , ∑ξ=-N 2N s =0

N -12N -1

最后

1b l =

i ξ2N -1-i ξx s i ξx p -ilx p

()()a x u x e e e ∑∑p ∑s

2N p =0ξ=-N S =0

N -1

，

du N d ⎛⎛

() I a x N

dx dx ⎝⎝

N -1

⎫⎫

⎪⎪⎪⎭⎭x =x j

N -1

il 2N -1i ξ2N -1-i ξx s i ξx p -i ξx p -i ξx j

()()=∑a x u x ∙e e e e , ∑∑p ∑s

2N 2N l =-N p =0ξ=-N s =0

写成矩正形式即为：

i ξ2N -1⎛N -1il ilx j -ilx p ⎫i ξx p -i ξx s

=∑∑a (x p ) ∑e e ⎪e e u (x s ), ∑2N 2N s =0ξ=-N P =0⎝l =-N ⎭

2N -1N -1

(DVD -λI ) U =F ,

其中D =C -1KC , C =(c kj ), c kj =j =0,..., 2N -1, K =diag {i k '}, ⎧k , k =-N +1,..., N -1,

k '=⎨

0, k =-N , ⎩

A =diag (a (x 0),..., a (x 2N -1)),

F =(f (x 0),..., f (x 2N -1)).

1-ikx j

e , k =-N ,..., N -1, 2N

我们取边界值.u(0)=u(2π)=o,改变a(x),f(x)或u(x)函数，然后在计算机中运用Matlab 程序进行计算。Matlab 程序设置或步骤如下： lamal=0;%可以对应修改的常数 N=100;

h=2*pi/(2*N); for k=-N:N-1 for j=1:2*N x=j*h;

C(k+N+1,j)=1/(2*N)*exp(-i*k*x); end end

k1(1)=0;

for k=-N+1:N-1 k1(k+N+1)=k*i; end K=diag(k1);

for j=1:2*N x=j*h;

a(j)=1; %可以对应修改的函数 %a(j)=x;

f(j)=-sin(x);%可以对应修改的函数 %f(j)=x; end A=diag(a); F=f';

I=ones(2*N,2*N); D=inv(C)*K*C; AA=D*A*D-lamal*I;

for j=1:2*N-2 AA1(:,j)=AA(:,j+1); end

U=inv(AA1'*AA1)*AA1'*F;

for j=1:2*N x(j)=j*h; end UU(1)=0; UU(2*N)=0;

for j=1:2*N-2 UU(j+1)=U(j); end % plot(x,UU)

for j=1:2*N x(j)=j*h;

y(j)=sin(x(j)); %可以对应修改的函数 % y(j)=1/6*x(j)^3+(-1/6*(2*pi)^2)*x(j); end

plot(x,UU,'r',x,y,'b')

①设λ=0，a(x)=1,u(x)=sinx那么根据公式（2.1.1）带入得f (x ) =-sin x 运行程序

最后获得结果为下图：

01234567

如图红线为谱方法的解，蓝色为精确解。所示谱方法所求解与精确解基本吻合。

②设λ=0, a(x)=1，u (x ) =sin 2x , 则根据公式（2. 1.1）算得f (x ) =-4sin 2x , 运行程序最后得到结果图为：

0123456

如图所示，谱方法解与精确解基本吻合。

③设λ=0, a(x)=x,u(x)=sinx.则根据公式（2.1.1）计算f (x ) =sin x -x cos x 运行程序得到最后结果如下图：

43.5

32.521.510.50-0.5-10

由图片观察红线与蓝线相差很大，此时得到结果脱离了我们的要求。当我们尝试调节λ=8时，我们就可以得到一个相对精确的值，图如下：1.5

0.5

-0.5

-1

-1.5

01234567

④设λ=0, a(x）=1,f(x)=x那么由给定初始值u (0) =u (2π) =0，

解得

y =

131

x -(2π) 2x 66, 再次通过Matlab 进行运行得到最后结果为下图：

结果分析的误差依然很大。

然后在下面操作时，无论λ改变为何值，都存在上图的误差。例当λ=1000时，得到图形为：

420-2-4-6-8-10-12-14-160

2.2有限差分法： 1

由上面我们可以得到③④用Fourier 配点法算得的解与精确解有较大的误

差。因此，我们尝试用差分法对③④进行继续分析. 对原方程进行变形得

a (x ) 'u (x ) '+a (x ) u (x ) ''-λu (x ) =f (x ) (2.2.1)

Matlab 程序编程如下：

clear

format long

lamal=1000; %可以修改的常量

N=100;

h=2*pi/(N);

for i=1:N-1

x(i)=i*h;

y(i)=sin(x(i));

%y(i)=1/6*x(i)^3+(-1/6*(2*pi)^2)*x(i);%精确值

a(i)=1; %可以修改的常量

a1(i)=0; %可以修改的常量

l1(i)=a1(i)/(2*h)+a(i)/(h^2);

end

for i=1:N-1

A(i,i)=-lamal;

end

for i=1:N-2

A(i,i+1)= l1(i);

end

for i=2:N-1

A(i,i-1)= -l1(i);

end

for i=1:N-1

x(i)=i*h;

% f(i)=x(i)-lamal*(1/6*x(i)^3+(-1/6*(2*pi)^2)*x(i));

f(i)=cos(x(i))-x(i)*sin(x(i))-lamal*sin(x(i));%可以修改的常量

end

UU=inv(A)*f';

plot(x,UU,'r',x,y,'b')

根据③中我们可以得到a(x)=x,u(x)=sinx,此时我们取λ=1000，由公式（2.2.1）可以得到f(x)=cosx-xsinx-1000sinx,最后获得结果为下图:

1.5

0.5

-0.5

-1

-1.501234567

得到的是一个十分精确地结果。

根据④同样可以到一个相对精确地解，如下图：

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-1601234567

也可以得到一个十分精确地解。

结论

1、总体分析可得，Fourier 配点法是具有可行性的。并且可以得到比较精确地结果。如图①②分析结果所示

当u 是无穷可微且具有周期性时，则可以得到所谓的“谱精度”。但是把谱方法

2、运用于偏微分方程求解时，u 一般只具有有限正则性，这时上面得到的估计就不是最优，如③④所示。此时用差分法，精度会比谱方法高。

致谢

感谢学校，给了我舒适的学习环境和学习资源，让我学习和制作论文能顺利进行。感谢数计学院的老师们在大学四年传授给我这么多的数学知识储备，给我论文的研究奠定了一定的基础。感谢我的指导老师陈慧琴老师，数月以来，从论文方向的确定，制作步骤的进行，以及制作过程遇到的困难顺利解决，都离不开陈老师给予的耐心细致的讲解和指导，在论文制作中，不仅收获了新知识即谱方法求解偏微分方程，还学会如何制作一篇合格优秀的论文作品。论文在此顺利完成，谢谢你们。

参考文献

[1]向新民. 谱方法的数值分析. 北京，科学出版社，2000

[2]Wang J P.Non-periodic fourier transform and limite spectral method.

[3]任宗修. SRLW方程的Chebyshev 拟谱方法. 工程数学学报，1995，12(2)：34-40

[4]余德浩. 汤华中. 微分方程数值解法. 科学出版社

[5]张理论. 李晓梅. 谱方法数值计算研究进展. 指挥技术学院学报, 2001

[6]H.O.Kreiss&J.Oliger,(1972),Comparison of accurate methods for the

integration of hyperbolic equations,Tellus,24,199~215.

[7]Y.Maday&A.Quarteroni,(1981),Legendre and Chebyshev spectral approximations of Burgers'equation,Numer.Math.,37,321~332 .

[8]郭本瑜，（1985），Navier-Strokes 方程的谱解法，中国科学，A 辑，NO.8， 353~362.

[9]郭本瑜，（1988），偏微分方程的差分方法，科学出版社。

[10]刘播，黄明游，（1987），一些非线性发展方程的Fourier 方法，高等学校计算数学学报，Vol.9,No.2,119~133.

[11]F.john,(1986),偏微分方程。朱汝金译，科学出版社。

[12]郭本瑜，（1985），KDV-Burgers 方程谱方法的误差估计，数学学报，No.1, 1~15.

[13] D .Funaro,(1983),Error estimates for spectral approximation of linear

advection equation over an ipercube, Calcolo,Vol.20,No.3,337~353.

[14]L.Carleson,(1966),On convergence and growth of partial sums of fourier Series,Acta Math.,116,135~157.

[15]夏道行等，（1978），实变函数与泛函分析（下册），人民教育出版社。

谱方法解偏微分方程

学生：石幸媛，数学与计算机科学学院

指导老师：陈慧琴，江汉大学数学与计算机科学学院学号：[1**********]5

摘要

关键词：Fourier 配点逼近，截断函数，插值函数,Fourier 谱方法

Abstract

Key words: Fourier collocation approximation, truncated function,

interpolation function, Fourier spectral method

绪论

谱方法是70年代发展起来的一种数值求解偏微分方程的方法，它具有“无

论文主题

§1定义引用：

当用谱方法来求解偏微分方程时，经常需要用到截断函数或者插值函数

的微分，以下就来讨论此问题。

s u =

ˆϕ(x )∑ik u

+∞

设

k =-∞

是u '的Fourier 级数，因而可得

P N u '=(P N u ),

'22S '即截断和求导是可交换的，如果u ∈L ，那么u 也在L 意义下收敛于u '。

§2论文内容：

2.1：Fourier 配点法

引用例2.1 考虑方程

d x

du ⎤⎡()a x -λu =f (x ), 0

的Fourier 配点逼近。

du n ⎫N -1ilx ⎛

I N a (x )⎪=∑b l e , u N (x )∈S N

dx ⎭l =-N

设⎝为方程的近似解，那么

du N d ⎛⎛

() I a x N

d x dx ⎝⎝

x =x p

-ilx p

N -1

⎫⎫ilx j

=ilb e , ⎪⎪∑l ⎪

⎭⎭x =x j l =N

du N 12N -1()b j =a x ∑p dx

2N p =0

其

N -1

中.

令这样

su N (x )=∑αξe , N

dx ξ=-N

i ξx

x =x p

i ξαξe ∑ξ

=-N

N -1

i ξx p

, 而αξ=

2N -1s =0

∑u (x )e

-i ξx s

，

du N dx

x =x p

i ξ2N -1i ξx

=∑u (x s )e -i ξx s e p , ∑ξ=-N 2N s =0

N -12N -1

最后

1b l =

i ξ2N -1-i ξx s i ξx p -ilx p

()()a x u x e e e ∑∑p ∑s

2N p =0ξ=-N S =0

N -1

，

du N d ⎛⎛

() I a x N

dx dx ⎝⎝

N -1

⎫⎫

⎪⎪⎪⎭⎭x =x j

N -1

il 2N -1i ξ2N -1-i ξx s i ξx p -i ξx p -i ξx j

()()=∑a x u x ∙e e e e , ∑∑p ∑s

2N 2N l =-N p =0ξ=-N s =0

写成矩正形式即为：

i ξ2N -1⎛N -1il ilx j -ilx p ⎫i ξx p -i ξx s

=∑∑a (x p ) ∑e e ⎪e e u (x s ), ∑2N 2N s =0ξ=-N P =0⎝l =-N ⎭

2N -1N -1

(DVD -λI ) U =F ,

其中D =C -1KC , C =(c kj ), c kj =j =0,..., 2N -1, K =diag {i k '}, ⎧k , k =-N +1,..., N -1,

k '=⎨

0, k =-N , ⎩

A =diag (a (x 0),..., a (x 2N -1)),

F =(f (x 0),..., f (x 2N -1)).

1-ikx j

e , k =-N ,..., N -1, 2N

h=2*pi/(2*N); for k=-N:N-1 for j=1:2*N x=j*h;

C(k+N+1,j)=1/(2*N)*exp(-i*k*x); end end

k1(1)=0;

for k=-N+1:N-1 k1(k+N+1)=k*i; end K=diag(k1);

for j=1:2*N x=j*h;

a(j)=1; %可以对应修改的函数 %a(j)=x;

f(j)=-sin(x);%可以对应修改的函数 %f(j)=x; end A=diag(a); F=f';

I=ones(2*N,2*N); D=inv(C)*K*C; AA=D*A*D-lamal*I;

for j=1:2*N-2 AA1(:,j)=AA(:,j+1); end

U=inv(AA1'*AA1)*AA1'*F;

for j=1:2*N x(j)=j*h; end UU(1)=0; UU(2*N)=0;

for j=1:2*N-2 UU(j+1)=U(j); end % plot(x,UU)

for j=1:2*N x(j)=j*h;

y(j)=sin(x(j)); %可以对应修改的函数 % y(j)=1/6*x(j)^3+(-1/6*(2*pi)^2)*x(j); end

plot(x,UU,'r',x,y,'b')

①设λ=0，a(x)=1,u(x)=sinx那么根据公式（2.1.1）带入得f (x ) =-sin x 运行程序

最后获得结果为下图：

01234567

如图红线为谱方法的解，蓝色为精确解。所示谱方法所求解与精确解基本吻合。

②设λ=0, a(x)=1，u (x ) =sin 2x , 则根据公式（2. 1.1）算得f (x ) =-4sin 2x , 运行程序最后得到结果图为：

0123456

如图所示，谱方法解与精确解基本吻合。

③设λ=0, a(x)=x,u(x)=sinx.则根据公式（2.1.1）计算f (x ) =sin x -x cos x 运行程序得到最后结果如下图：

43.5

32.521.510.50-0.5-10

由图片观察红线与蓝线相差很大，此时得到结果脱离了我们的要求。当我们尝试调节λ=8时，我们就可以得到一个相对精确的值，图如下：1.5

0.5

-0.5

-1

-1.5

01234567

④设λ=0, a(x）=1,f(x)=x那么由给定初始值u (0) =u (2π) =0，

解得

y =

131

x -(2π) 2x 66, 再次通过Matlab 进行运行得到最后结果为下图：

结果分析的误差依然很大。

然后在下面操作时，无论λ改变为何值，都存在上图的误差。例当λ=1000时，得到图形为：

420-2-4-6-8-10-12-14-160

2.2有限差分法： 1

由上面我们可以得到③④用Fourier 配点法算得的解与精确解有较大的误

差。因此，我们尝试用差分法对③④进行继续分析. 对原方程进行变形得

a (x ) 'u (x ) '+a (x ) u (x ) ''-λu (x ) =f (x ) (2.2.1)

Matlab 程序编程如下：

clear

format long

lamal=1000; %可以修改的常量

N=100;

h=2*pi/(N);

for i=1:N-1

x(i)=i*h;

y(i)=sin(x(i));

%y(i)=1/6*x(i)^3+(-1/6*(2*pi)^2)*x(i);%精确值

a(i)=1; %可以修改的常量

a1(i)=0; %可以修改的常量

l1(i)=a1(i)/(2*h)+a(i)/(h^2);

end

for i=1:N-1

A(i,i)=-lamal;

end

for i=1:N-2

A(i,i+1)= l1(i);

end

for i=2:N-1

A(i,i-1)= -l1(i);

end

for i=1:N-1

x(i)=i*h;

% f(i)=x(i)-lamal*(1/6*x(i)^3+(-1/6*(2*pi)^2)*x(i));

f(i)=cos(x(i))-x(i)*sin(x(i))-lamal*sin(x(i));%可以修改的常量

end

UU=inv(A)*f';

plot(x,UU,'r',x,y,'b')

根据③中我们可以得到a(x)=x,u(x)=sinx,此时我们取λ=1000，由公式（2.2.1）可以得到f(x)=cosx-xsinx-1000sinx,最后获得结果为下图:

1.5

0.5

-0.5

-1

-1.501234567

得到的是一个十分精确地结果。

根据④同样可以到一个相对精确地解，如下图：

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-1601234567

也可以得到一个十分精确地解。

结论

1、总体分析可得，Fourier 配点法是具有可行性的。并且可以得到比较精确地结果。如图①②分析结果所示

当u 是无穷可微且具有周期性时，则可以得到所谓的“谱精度”。但是把谱方法

2、运用于偏微分方程求解时，u 一般只具有有限正则性，这时上面得到的估计就不是最优，如③④所示。此时用差分法，精度会比谱方法高。

致谢

参考文献

[1]向新民. 谱方法的数值分析. 北京，科学出版社，2000

[2]Wang J P.Non-periodic fourier transform and limite spectral method.

[3]任宗修. SRLW方程的Chebyshev 拟谱方法. 工程数学学报，1995，12(2)：34-40

[4]余德浩. 汤华中. 微分方程数值解法. 科学出版社

[5]张理论. 李晓梅. 谱方法数值计算研究进展. 指挥技术学院学报, 2001

[6]H.O.Kreiss&J.Oliger,(1972),Comparison of accurate methods for the

integration of hyperbolic equations,Tellus,24,199~215.

[7]Y.Maday&A.Quarteroni,(1981),Legendre and Chebyshev spectral approximations of Burgers'equation,Numer.Math.,37,321~332 .

[8]郭本瑜，（1985），Navier-Strokes 方程的谱解法，中国科学，A 辑，NO.8， 353~362.

[9]郭本瑜，（1988），偏微分方程的差分方法，科学出版社。

[10]刘播，黄明游，（1987），一些非线性发展方程的Fourier 方法，高等学校计算数学学报，Vol.9,No.2,119~133.

[11]F.john,(1986),偏微分方程。朱汝金译，科学出版社。

[12]郭本瑜，（1985），KDV-Burgers 方程谱方法的误差估计，数学学报，No.1, 1~15.

[13] D .Funaro,(1983),Error estimates for spectral approximation of linear

advection equation over an ipercube, Calcolo,Vol.20,No.3,337~353.

[14]L.Carleson,(1966),On convergence and growth of partial sums of fourier Series,Acta Math.,116,135~157.

[15]夏道行等，（1978），实变函数与泛函分析（下册），人民教育出版社。

谱方法解偏微分方程

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