例1．用数学归纳法证明：
1111n
． +++ +=
2n -12n +12n +11⨯33⨯55⨯7
证明：①n =1时，左边=
等式成立．
1111
=，=，右边=左边=右边，1⨯332+13
②假设n =k 时，等式成立，即：
1111k
+++ +=．
2k -12k +12k +11⨯33⨯55⨯7
当n =k +1时．
11111
+++ ++
2k -12k +12k +12k +31⨯33⨯55⨯7=
k 1
+ 2k +12k +12k +3(2k +1)(k +1) 2k 2+3k +1
==
2k +12k +32k +12k +3=
k +1k +1
= 2k +32k +1+1
这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 综合上述，等式成立.
例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．
解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．
⎧a 1=6⎪
， ⎨a 1+2a 2=24
⎪a +2a +3a =60
23⎩1
解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．
故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤．
假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1
= k(k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]
这就是说，当n =k +1时，也存在．
综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．
例3．证明不等式1+
12+13+ +
1n
证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边
②假设n =k 时，不等式成立，即1+那么当n =k +1时，1+
12+1+ +
1k 12++1k +11+ +
1k
1k +1
=
2k k +1+1
k +1
2(k +1)k +1
k +(k +1)+1
k +1
=
=2k +1
这就是说，当n =k +1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．
例4.
解析：（1）当（2）假设当
时，左边时命题成立，即
，右边
。
，命题成立。
，
那么当
时，
左边
。
上式表明当
时命题也成立。
由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。
例5. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式
成立。
解析：①当②假设
时，左=
，右
，左>右，∴不等式成立。
时，不等式成立，即
，
那么当时，
，
∴
时，不等式也成立。
由①，②知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立。
例6. 若不等式对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论。 解析：取令所以取
，
，而
。 ，
，得
，下面用数学归纳法证明，
，
（1）
时，已证结论正确
时，
（2）假设
则当
时，有
，
因为，
所以，
所以即
时，结论也成立，
， ，
，
由（1）（2）可知，对一切都有
故a 的最大值为25。
*例7．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ． 求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N ) 能被3整除． 证明：①当m =1时，
a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．
②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时， a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3 =a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1 =a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1 =3a 4k +2+2a 4k +1
由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1
能被3整除．
因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．
由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．
例1．用数学归纳法证明：
1111n
． +++ +=
2n -12n +12n +11⨯33⨯55⨯7
证明：①n =1时，左边=
等式成立．
1111
=，=，右边=左边=右边，1⨯332+13
②假设n =k 时，等式成立，即：
1111k
+++ +=．
2k -12k +12k +11⨯33⨯55⨯7
当n =k +1时．
11111
+++ ++
2k -12k +12k +12k +31⨯33⨯55⨯7=
k 1
+ 2k +12k +12k +3(2k +1)(k +1) 2k 2+3k +1
==
2k +12k +32k +12k +3=
k +1k +1
= 2k +32k +1+1
这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 综合上述，等式成立.
例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．
解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．
⎧a 1=6⎪
， ⎨a 1+2a 2=24
⎪a +2a +3a =60
23⎩1
解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．
故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤．
假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1
= k(k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]
这就是说，当n =k +1时，也存在．
综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．
例3．证明不等式1+
12+13+ +
1n
证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边
②假设n =k 时，不等式成立，即1+那么当n =k +1时，1+
12+1+ +
1k 12++1k +11+ +
1k
1k +1
=
2k k +1+1
k +1
2(k +1)k +1
k +(k +1)+1
k +1
=
=2k +1
这就是说，当n =k +1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．
例4.
解析：（1）当（2）假设当
时，左边时命题成立，即
，右边
。
，命题成立。
，
那么当
时，
左边
。
上式表明当
时命题也成立。
由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。
例5. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式
成立。
解析：①当②假设
时，左=
，右
，左>右，∴不等式成立。
时，不等式成立，即
，
那么当时，
，
∴
时，不等式也成立。
由①，②知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立。
例6. 若不等式对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论。 解析：取令所以取
，
，而
。 ，
，得
，下面用数学归纳法证明，
，
（1）
时，已证结论正确
时，
（2）假设
则当
时，有
，
因为，
所以，
所以即
时，结论也成立，
， ，
，
由（1）（2）可知，对一切都有
故a 的最大值为25。
*例7．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ． 求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N ) 能被3整除． 证明：①当m =1时，
a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．
②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时， a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3 =a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1 =a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1 =3a 4k +2+2a 4k +1
由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1
能被3整除．
因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．
由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．