非球面光学设计技术综述
勾志勇
1
摘 要 非球面光学在工业、国防和商业等领域的应用中具有十分重要的意义。当用非球面设计光学系统
时,非球面方程的选用十分重要,决定着系统最佳优化结果。文章介绍了非球面光学技术的发展过程,分析了常用非球面的应用方程,并对非球面应用方程的特点及非球面系数的关系进行了概述,较详细地分析了各类非球面应用方程的适用范围,最后概述了非球面光学在军事、工业等领域的应用以及发展趋势。
关键词 非球面光学；非球面透镜；非球面系数；光学设计
The summary of aspheric optical design technology
Abstract Aspheric optics is important in national defence, industry and other fields of application. While using
aspheric surfaces in the design of optical system, it is quite important to decide which aspheric equations to choose. And it can also make the optics system perfect. This paper mainly introduces the development of aspheric optics and analyzes some kinds of aspheric equations. It also summarizes the characteristics of aspheric equations and their relationship with aspheric coefficient. And it details the areas of applications on some kinds of aspheric equations. In the end, the paper presents the typical applications and development tendency of aspheric optics in military, industry field, and so on.
Keyword aspheric optics; aspheric lens; aspheric coefficient; optical design
引言
16世纪，人们逐渐开始对非球面光学感兴趣，在古代和中世纪，人们就知道用抛物镜通过反射对远距离物体成像。1611年，Johannn Kepler打算把双曲面应用在透镜表面上。可在折射定律为人们所不知的年代，就透镜而言，他不能用科学证明来支持他的观点。直到1618年，Snell确立了折射定律。基于此发现，1638年，Johannn Kepler把非球面面型在透镜上进行实验，使在近、远距离获得无球差像面，从而逐渐奠定了非球面光学基础，此面
[1]
型也被命名为笛卡儿面 (Cartesian surfaces) 。自从加工工艺和光学检测水平提高，非球面光学得到了广泛的应用,在美国AN/AVS-6型飞行员微光夜视眼镜中就采用了9块非球面塑料透镜，另外，在AN/PVS-7步兵微光夜视眼镜、HOT夜视眼镜、“铜斑蛇”激光制导炮弹导引头和其他激光测距机、军用望远镜及各种照相机的取景器中都采用了非球面透镜。 1.非球面之定义
非球面光学元件，是指面形由多项高次方程决定、面形上各点的半径均不相同的光学元件。一般应用在光学系统中的透镜及反射镜，曲面型式多数为平面和球面，原因是这些简单型式的曲面加工、检验容易，但是用在某些高度精密成像系统有一定的限度。虽然非球面的复杂曲面制造困难，但在某些光学系统中依然是需要的。采用非球面技术设计的光学系统，可消除球差、慧差、像散、场曲，减少光能损失，从而获得高质量的图像效果和高品质的光学特性(如图1)。
作者简介：勾志勇(1979－),男,重庆人,土家族,硕士研究生,主要从事光学系统设计工作。 作者e-mail:[email protected]
(a)残存有球面透镜的像差 (b)利用非球面消像差
图1:球面和非球面的比较
2.非球面曲面方程
[2]-[4]
首先我们考虑二次曲线方程，设光轴为x轴，即非球面的对称轴，坐标原点取在顶点。
y2=2R0x+(1＋k)x2 （1）
式中R0为曲面近轴曲率半径，k为曲面的圆锥系数； 扩展方程（1）到多项式
y2=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （2）
式中的a1,a2,a3,a4......为方程系数,其中a1=2R0，a2=e2-1。 对方程（2）求解x得： 其中方程(2)和方程(3)系数
[2][4]
x=A1y2+A2y4+A3y6+A4y8+⋅⋅⋅⋅⋅ （3）
的关系
14A24-21A22A3A1+6A12A2A4+3A12A32-A13A51
，a5， A1=
A192R0
A2=-
a25A2A3A1-5A23-A12A4
，a4=， 8R03A17
a22-a3R02A22-A3A1
A3=-，a3=，
16R05A15
3
-5a2+10a3R0a2-4a4R02A2
a=A4，， 2
A13128R07
7a24-21a3R0a22+12a4R02a2+6a32R02-4R03a51
A5=， a=1
256R09A1
方程（1）和（3）经过系列数值变换可转化为常用的非球面型式 Z(r)=
cr2
1+-(1+k)cr
2
2
[5][6]
(如图2)，其数学示为
+Ar4+Br6+Cr8+Dr10+Er12+⋅⋅⋅ （4）
图2:镜面的凹陷度与半径r之示意图
其中r2=x2+y2,Z为镜面的凹陷度；r为镜面的孔径半径；c为曲率半径的倒数;A、B、C、D、E为r的各阶系数；此方程在欧美国家成为标准的加工方程，在国内，云南爱克瑞、成都奥晶等光学厂家和一些研究所都以此方程为加工标准方程。其中方程(4)与(3)的非球面
[2][4]
系数关系为：
(K+1)2C3
A=A1-
8(K+1)2C5
B=A2-
16
5(K+1)2C7
C=A3-
128
7(K+1)2C9
D=A4-
256
当A、B、C、D、E为0时,方程变为二次曲面方程 Z(r)=
[5][6]
(5)
cr2
1+-(1+k)cr
2
2
当k=0时,为一般圆；当-1﹤k﹤0,为椭圆方程；k=-1,为抛物线方程；k﹤-1 为双曲线方程；k >1,为横扁椭圆方程。
[5][6]
(1)椭圆面
(z
-a)2r2
+2=1 a2b
图3：椭圆面示意图
曲率半径R=b2a,圆锥系数k=-(b2-a2)a2,两焦点距离2F,F2=a2-b2。
该非球面用途较广泛，当其结合高阶非球面系数成为高次椭圆非球面透镜时，可用于半导体激光准直和大的数值孔径的光纤激光准直，对于NA=0.20的光纤的准直系统和
NA=0.50
0.20 NA Collimator 0.50 NA Collimator
图4 0.20 NA和0.50 NA的准直镜
的半导体激光准直系统，人们常用三片球面透镜。而当采用非球面透镜，一般一片就能满足片系统要求。这样在提高系统光束质量的同时，又能使结构相对简单，系统重量减轻，这在
很多系统中有重要的意义。现在很多成像系统和聚焦系统中都采用也常用椭圆非球面。在望远反射系统和离轴反射系统中，椭圆面和双曲面常结合起来使用。
[5][6]
(2)双曲面
(z
-a)2r2
-2=1 a2b
图5：双曲面示意图
曲率半径R=b2,圆锥系数k=-(b2+a2)2, 如果切线角度可知,那么圆锥系数也可表示为k=-(1+tan2θ)。
该非球面和椭圆面一样，当带有高阶非球面系数时，可用于聚焦成像系统，又可以作为激光和光纤准直透镜，最广泛应用是把高次双曲面和高次椭圆非球面相结合。对于双曲面，在望远反射系统中用得比较广泛，尤其是R-C系统。由两个双曲面镜子组合的R-C系统，在加工和安装时允许的失调量较大时，还能保证光学成像质量。
[5][6]
(3)抛物面
r2r2
,其中F=R2。人们常用抛物反射镜作为望远离轴系统的主镜和聚光镜。Z==
2R4F
在调校激光发射和接收光学系统的同轴时，抛物反射镜作为首选。当然，在某些成像系统中也常使用抛物非球面透镜。
近年来，由于半导体激光器的优越性不断得到体现，已经应用于工业、国防和商业领域中。为适应半导体激光的应用，非球面方程（4）演化为一种新的方程，称为双非球面方
[5]-[7]
程，也叫复合双曲面方程，此方程如下： z=
cxx2+cyy2
22
1+-(1+kx)cx2x2-(1+ky)cyy
+∑αixi+∑βiyi+∑AiZi(ρ,ϕ) （6）
i=1
i=1
i=1
1616N
其中cx=
11,cy=，该非球面主要针对非对称系统，如半导体激光用于半导体准直﹑整RXRy
形，半导体激光耦合光纤等。随着加工和检测工艺的提高，此类非球面有广阔的应用前景。
3.非球面光学应用发展
随着光学事业不断发展以及光学仪器在各个领域的高要求、高精度应用，非球面光学设计由原来的单一型、低阶次逐渐向复合型、多阶次方向发展， Code v、Zemax、Oslo等光学软件中的也相应出现了不同类型的复合型非球面。为满足这些非球面加工、检验，新的加工技术、检验技术也在不断地完善。目前，国内外非球面加工技术主要有：计算机数控单点金刚石车削技术、高精密数控抛光技术 、光学玻璃透镜模压成型技术、光学塑料成型技
[8]-[11]
术„„，检测非球面光学系统的方法主要有干涉法、阴影法、激光束平移旋转法等。
非球面光学与球面光学相比，有很大的优势，非球面可以提高系统的相对口径比，扩大
视场角，在提高光束质量的同时透镜数比球面构成的少，镜头的形状小型化，可减轻系统重量等。采用非球面技术设计的光学系统，可消除球差、慧差、像散、场曲，减少光能损失，从而获得高质量的图像效果和高品质的光学特性，可广泛应用于各种军用产品（微光夜视、激光测距、导引头等）、现代光电子产品、图像处理产品如数码相机、VCD、DVD、电 脑、CCD摄像镜头、大屏幕投影电视机及军事、天文和医疗等行业，是集现代光学工程、光学材料工程、超精密机械加工、超精密成型工艺、超精密检测、精密镀膜等高新技术为一体的综合工程，并且是当今世界光学领域一项用途十分广泛的、快速发展的高新技术。
参考文献
[1].E Heynacher Aspheric optics Phys.Technol,Vol.10 1979
[2].Cox, Arthur A system of optical design Focal Pr Published 1964
[3].Dr.Bohumil Jurek,Dr.Sc Optical Surfaces, Elsevier Scientific Published,New York 1977 [4].杨力 先进光学制造技术 北京 科学出版社2001 p326-327
[5].ZEMAX Development Corporation. Zemax Optical Design Program User＇s Guide. July 1.2005, www.zemax.com
[6].Optical Research Associates. Code V 9.50 August 2004.www.opticalres.com
[7].G.Groot Gregory,Edward R.Freniere,Leo R.Gardner Using Spline Srufaces in optical Design Software SPIE Vol4769(2002)
[8].潘君华. 光学非球面的设计 加工与检验, 北京 科学出版社,1994
[9].M.Rocktäschel,H.J. Tiziani Limitations of the Shack-Hartmann sensor for testing optical aspherics .Optics & Laser Technology 34 (2002) p631-637
[10].D J Nicholas and J E Boon The manufacture of aspheric focusing lenses for high-power multiwavelength laser systems. J.Phys.D:Appl.PHYS.20(1987) p182-186
[11].王光伟 对于非球面度较大的非球面光学零件的加工方法 云光技术 Vol.36 No.3 2004
非球面光学设计技术综述
勾志勇
1
摘 要 非球面光学在工业、国防和商业等领域的应用中具有十分重要的意义。当用非球面设计光学系统
时,非球面方程的选用十分重要,决定着系统最佳优化结果。文章介绍了非球面光学技术的发展过程,分析了常用非球面的应用方程,并对非球面应用方程的特点及非球面系数的关系进行了概述,较详细地分析了各类非球面应用方程的适用范围,最后概述了非球面光学在军事、工业等领域的应用以及发展趋势。
关键词 非球面光学；非球面透镜；非球面系数；光学设计
The summary of aspheric optical design technology
Abstract Aspheric optics is important in national defence, industry and other fields of application. While using
aspheric surfaces in the design of optical system, it is quite important to decide which aspheric equations to choose. And it can also make the optics system perfect. This paper mainly introduces the development of aspheric optics and analyzes some kinds of aspheric equations. It also summarizes the characteristics of aspheric equations and their relationship with aspheric coefficient. And it details the areas of applications on some kinds of aspheric equations. In the end, the paper presents the typical applications and development tendency of aspheric optics in military, industry field, and so on.
Keyword aspheric optics; aspheric lens; aspheric coefficient; optical design
引言
16世纪，人们逐渐开始对非球面光学感兴趣，在古代和中世纪，人们就知道用抛物镜通过反射对远距离物体成像。1611年，Johannn Kepler打算把双曲面应用在透镜表面上。可在折射定律为人们所不知的年代，就透镜而言，他不能用科学证明来支持他的观点。直到1618年，Snell确立了折射定律。基于此发现，1638年，Johannn Kepler把非球面面型在透镜上进行实验，使在近、远距离获得无球差像面，从而逐渐奠定了非球面光学基础，此面
[1]
型也被命名为笛卡儿面 (Cartesian surfaces) 。自从加工工艺和光学检测水平提高，非球面光学得到了广泛的应用,在美国AN/AVS-6型飞行员微光夜视眼镜中就采用了9块非球面塑料透镜，另外，在AN/PVS-7步兵微光夜视眼镜、HOT夜视眼镜、“铜斑蛇”激光制导炮弹导引头和其他激光测距机、军用望远镜及各种照相机的取景器中都采用了非球面透镜。 1.非球面之定义
非球面光学元件，是指面形由多项高次方程决定、面形上各点的半径均不相同的光学元件。一般应用在光学系统中的透镜及反射镜，曲面型式多数为平面和球面，原因是这些简单型式的曲面加工、检验容易，但是用在某些高度精密成像系统有一定的限度。虽然非球面的复杂曲面制造困难，但在某些光学系统中依然是需要的。采用非球面技术设计的光学系统，可消除球差、慧差、像散、场曲，减少光能损失，从而获得高质量的图像效果和高品质的光学特性(如图1)。
作者简介：勾志勇(1979－),男,重庆人,土家族,硕士研究生,主要从事光学系统设计工作。 作者e-mail:[email protected]
(a)残存有球面透镜的像差 (b)利用非球面消像差
图1:球面和非球面的比较
2.非球面曲面方程
[2]-[4]
首先我们考虑二次曲线方程，设光轴为x轴，即非球面的对称轴，坐标原点取在顶点。
y2=2R0x+(1＋k)x2 （1）
式中R0为曲面近轴曲率半径，k为曲面的圆锥系数； 扩展方程（1）到多项式
y2=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （2）
式中的a1,a2,a3,a4......为方程系数,其中a1=2R0，a2=e2-1。 对方程（2）求解x得： 其中方程(2)和方程(3)系数
[2][4]
x=A1y2+A2y4+A3y6+A4y8+⋅⋅⋅⋅⋅ （3）
的关系
14A24-21A22A3A1+6A12A2A4+3A12A32-A13A51
，a5， A1=
A192R0
A2=-
a25A2A3A1-5A23-A12A4
，a4=， 8R03A17
a22-a3R02A22-A3A1
A3=-，a3=，
16R05A15
3
-5a2+10a3R0a2-4a4R02A2
a=A4，， 2
A13128R07
7a24-21a3R0a22+12a4R02a2+6a32R02-4R03a51
A5=， a=1
256R09A1
方程（1）和（3）经过系列数值变换可转化为常用的非球面型式 Z(r)=
cr2
1+-(1+k)cr
2
2
[5][6]
(如图2)，其数学示为
+Ar4+Br6+Cr8+Dr10+Er12+⋅⋅⋅ （4）
图2:镜面的凹陷度与半径r之示意图
其中r2=x2+y2,Z为镜面的凹陷度；r为镜面的孔径半径；c为曲率半径的倒数;A、B、C、D、E为r的各阶系数；此方程在欧美国家成为标准的加工方程，在国内，云南爱克瑞、成都奥晶等光学厂家和一些研究所都以此方程为加工标准方程。其中方程(4)与(3)的非球面
[2][4]
系数关系为：
(K+1)2C3
A=A1-
8(K+1)2C5
B=A2-
16
5(K+1)2C7
C=A3-
128
7(K+1)2C9
D=A4-
256
当A、B、C、D、E为0时,方程变为二次曲面方程 Z(r)=
[5][6]
(5)
cr2
1+-(1+k)cr
2
2
当k=0时,为一般圆；当-1﹤k﹤0,为椭圆方程；k=-1,为抛物线方程；k﹤-1 为双曲线方程；k >1,为横扁椭圆方程。
[5][6]
(1)椭圆面
(z
-a)2r2
+2=1 a2b
图3：椭圆面示意图
曲率半径R=b2a,圆锥系数k=-(b2-a2)a2,两焦点距离2F,F2=a2-b2。
该非球面用途较广泛，当其结合高阶非球面系数成为高次椭圆非球面透镜时，可用于半导体激光准直和大的数值孔径的光纤激光准直，对于NA=0.20的光纤的准直系统和
NA=0.50
0.20 NA Collimator 0.50 NA Collimator
图4 0.20 NA和0.50 NA的准直镜
的半导体激光准直系统，人们常用三片球面透镜。而当采用非球面透镜，一般一片就能满足片系统要求。这样在提高系统光束质量的同时，又能使结构相对简单，系统重量减轻，这在
很多系统中有重要的意义。现在很多成像系统和聚焦系统中都采用也常用椭圆非球面。在望远反射系统和离轴反射系统中，椭圆面和双曲面常结合起来使用。
[5][6]
(2)双曲面
(z
-a)2r2
-2=1 a2b
图5：双曲面示意图
曲率半径R=b2,圆锥系数k=-(b2+a2)2, 如果切线角度可知,那么圆锥系数也可表示为k=-(1+tan2θ)。
该非球面和椭圆面一样，当带有高阶非球面系数时，可用于聚焦成像系统，又可以作为激光和光纤准直透镜，最广泛应用是把高次双曲面和高次椭圆非球面相结合。对于双曲面，在望远反射系统中用得比较广泛，尤其是R-C系统。由两个双曲面镜子组合的R-C系统，在加工和安装时允许的失调量较大时，还能保证光学成像质量。
[5][6]
(3)抛物面
r2r2
,其中F=R2。人们常用抛物反射镜作为望远离轴系统的主镜和聚光镜。Z==
2R4F
在调校激光发射和接收光学系统的同轴时，抛物反射镜作为首选。当然，在某些成像系统中也常使用抛物非球面透镜。
近年来，由于半导体激光器的优越性不断得到体现，已经应用于工业、国防和商业领域中。为适应半导体激光的应用，非球面方程（4）演化为一种新的方程，称为双非球面方
[5]-[7]
程，也叫复合双曲面方程，此方程如下： z=
cxx2+cyy2
22
1+-(1+kx)cx2x2-(1+ky)cyy
+∑αixi+∑βiyi+∑AiZi(ρ,ϕ) （6）
i=1
i=1
i=1
1616N
其中cx=
11,cy=，该非球面主要针对非对称系统，如半导体激光用于半导体准直﹑整RXRy
形，半导体激光耦合光纤等。随着加工和检测工艺的提高，此类非球面有广阔的应用前景。
3.非球面光学应用发展
随着光学事业不断发展以及光学仪器在各个领域的高要求、高精度应用，非球面光学设计由原来的单一型、低阶次逐渐向复合型、多阶次方向发展， Code v、Zemax、Oslo等光学软件中的也相应出现了不同类型的复合型非球面。为满足这些非球面加工、检验，新的加工技术、检验技术也在不断地完善。目前，国内外非球面加工技术主要有：计算机数控单点金刚石车削技术、高精密数控抛光技术 、光学玻璃透镜模压成型技术、光学塑料成型技
[8]-[11]
术„„，检测非球面光学系统的方法主要有干涉法、阴影法、激光束平移旋转法等。
非球面光学与球面光学相比，有很大的优势，非球面可以提高系统的相对口径比，扩大
视场角，在提高光束质量的同时透镜数比球面构成的少，镜头的形状小型化，可减轻系统重量等。采用非球面技术设计的光学系统，可消除球差、慧差、像散、场曲，减少光能损失，从而获得高质量的图像效果和高品质的光学特性，可广泛应用于各种军用产品（微光夜视、激光测距、导引头等）、现代光电子产品、图像处理产品如数码相机、VCD、DVD、电 脑、CCD摄像镜头、大屏幕投影电视机及军事、天文和医疗等行业，是集现代光学工程、光学材料工程、超精密机械加工、超精密成型工艺、超精密检测、精密镀膜等高新技术为一体的综合工程，并且是当今世界光学领域一项用途十分广泛的、快速发展的高新技术。
参考文献
[1].E Heynacher Aspheric optics Phys.Technol,Vol.10 1979
[2].Cox, Arthur A system of optical design Focal Pr Published 1964
[3].Dr.Bohumil Jurek,Dr.Sc Optical Surfaces, Elsevier Scientific Published,New York 1977 [4].杨力 先进光学制造技术 北京 科学出版社2001 p326-327
[5].ZEMAX Development Corporation. Zemax Optical Design Program User＇s Guide. July 1.2005, www.zemax.com
[6].Optical Research Associates. Code V 9.50 August 2004.www.opticalres.com
[7].G.Groot Gregory,Edward R.Freniere,Leo R.Gardner Using Spline Srufaces in optical Design Software SPIE Vol4769(2002)
[8].潘君华. 光学非球面的设计 加工与检验, 北京 科学出版社,1994
[9].M.Rocktäschel,H.J. Tiziani Limitations of the Shack-Hartmann sensor for testing optical aspherics .Optics & Laser Technology 34 (2002) p631-637
[10].D J Nicholas and J E Boon The manufacture of aspheric focusing lenses for high-power multiwavelength laser systems. J.Phys.D:Appl.PHYS.20(1987) p182-186
[11].王光伟 对于非球面度较大的非球面光学零件的加工方法 云光技术 Vol.36 No.3 2004