鲤鹈棠聒考
Ｖ０２．Ｎ０３．
ＳＣＩＥＮＣＥ
ＦＡＮＳ
教育教学３
简述函数值域的几种求解方法
马勋果
（贵州省威宁县毕节第三实验高中
贵州
威宁５５３１００）
摘要：本文主要针对函数值域的ｆ＊－Ｉ题分几种情况进行论述．强化教师在教学中应注重对学生各种思维能力的培养，以及培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力。从而更进一步地培养学生的创新意识。关键宇：函数值域分析解答引伸【中图分类号】Ｇ６３３．６
【文献标识码】Ｃ
【文章编号】１６７１－８４３７（２０１０）０３－００１１６—Ｄ２
自变量ｘ与变量ｙ之间的对应关系，旨在培养学生的逻辑思维能力和探究能力、创新能力，从而促进学生思维的发展。进而培
１・２求函数ｙ＝嵩的值域。
分析ｌ：这类函数如利用１．１的求法是很难求解的．此时，不妨把Ｙ看作常量，对方程进行求解，从而达到求解目的。
解：’．．ｘ２＋２ｘ＋２＝（ｘ＋１）２＋１≠ｏ．‘．原函数等价于Ｙ（ｘ２＋２ｘ＋２）－－－ｘ＋ｌ
年的高考题中占有一定的比重．而且又因它变化多端。始终贯穿整个高中课程。故而是学习其它数学知识的基础。
因此，学生们在学习过程中，大都存在这样那样的问题，要解决此类矛盾，必须透过现象看本质，只有真正了解其内涵，知其意，
即ｙｘ２＋（２ｙ—１）ｘ＋２ｙ＝０①则方程①在实数内必有解。
当ｙ－－０时，ｘ－一ｌ，符合题意；当ｙ≠Ｏ时，Ａ＝（２ｙ—１）ｑｙ（２ｙ－１）
卿２－１≥ｏ，故一｝≤ｙ≤｝且ｙ≠ｏ
综上，所求函数值域为卜下１，了１】
中，必须打破传统的学习方法，及时调整思维角度，从其它角度来重新审视它。寻找有力的突破口，化繁为简，化难为易地对该
注：在求解函数中分子与分母中所含未知量的指数不同时．可用这种方法求解函数的值域。但是在解方程时．要明确方程在实数范围内一定有解，继而在由判别式求出其值域。
分析２：对于１．２中的例子，也可利用不等式综合法中的均
１．１求函数ｙ＝主等值域。
分析１：该阃题是一个比较简单的求值域问题，且分子和分
值不等式进行求解，但利用该种方法求解函数的值域时，要对相关的因式进行讨论，在此，我们不妨来看看此种方法的求解过
程。
母所含未知数ｘ的次数相等，要求其值域。可从函数本身人手，
对函数进行变形、化简，使其分子或分母中其一不含ｘ，通过观
眦ｙ－丽ｘ＋ｌ化撕２斋２丽１再
令ｕ＝（ｘ＋１）＋者
讨论：
（１）当ｘ＋ｌ－－－Ｏ时，即ｘ＝一１时，ｙ－－－Ｏ。
（２）当ｘ＋ｌ≠０时，即ｘ≠一１时，有：
釉产§卧各＝喾４８争南
：互＋８
３’９ｘ—１２
・．’矗≠ｏ．‘．ｙ≠手
故函数ｙ＝备的值域为（一∞，丁２Ｊｕ。丁２，＋∞）．
注：对于形如ｙ＝堡华的函数，（ａ，ｂ，ｃ，ｄ为常数且ａ≠ｏ）的
ａＸ＋Ｄ
①．当ｘ＋ｌ＞ｏ，即ｘ＞一１时。ｕ≥２、／（ｘ＋１）三ｌ＿＝２，当且仅当
ｘ＋１＝—年时，即ｘ－－－Ｏ时取等号。
Ｙ●Ｉ
②・当ｘ＋ｌ＜ｏ，即“－１时，ｕ＝一【一（ｘ“）＋习％】≤２，当且仅
当ｘ＝－２时取得等号，从而ｕ的范围为（一∞，－２］Ｕ［２，＋∞）进而ｙＥ【一丁１，ｏ）ｕ（ｏ，丁１】。
值域可用部分分式法将其变形为ｙ＝旦＋罢ｌ二｝，求得值域为ｌｙｌ
ａ
ａ１十Ｄａ
ｙ≠詈｝，也可用求反函数的定义域方法求得其值域为ｙ≠÷
＇Ｙ—－４
分析２：对于１．１中的函数ｙ＝鲁，也可充分利用函数与
解：由ｙ２妻≥得３ｙｘ由＝２ｘ即ｘ（３ｙ—２）＝４ｙ，
综上，所求函数的值域为卜虿１，丁１】。＝利用已知条件巧求函数的值域
反函数的关系．即：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域．从而达到求原函数值域的问题。
２．１已知ｘ，ｙ均大于零，且２ｘ＋ｙ＝１，求上＋上的取值范围。
＾
，
分析：这相当于求复合函数值域的问题，看似简单，但在求解时有一定的难度，有时无从下手。
（下转１６０页）
一１１６—
．＿＝器，自３ｙ－２≠ｏ，ｉ寻ｙ＃２．
万方数据
鲤翻棠好希
Ｖ砬．Ｎ０３．
ＳＣｍＮＣＥ
ＦＡＮＳ
麓育麓学３
（上接１１６页）
４．１求函数ｙ＝毒坠的值域。
Ｚ＇ｔ－ＣＯＳＸ
ｘ
．
解决此类问题，不妨令ｕ：上＋上，然后从已知条件人手，把
Ｙ
问题中的ｌ转化为２ｘ＋ｙ，再进一步把ｕ：上＋上改写为＂ｎ－－－－－
ｘ
ｙ
垒±Ｌ＋２薹±Ｌ：３＋（卫＋盈），再利用算术平均数不小于几何平均
ｘ
・・・把ｙ－嚣改写为ｙ＝器，ｚ＼渺篓＝萼羔挣
７ｔＩ
ｙ
ｘ
Ｙ
数（且等号能成立），即可求得Ｕ的取值范围。
解：ｕ：上＋１：２ｘ－ｌ－ｙ＋呈盟：３＋（卫＋堕）．
ｘ
觥严蠢§可＝器，
图象，求函数ｙ＝辜型Ｌ的值域，即求单位圆上一点与（－２，ｏ）点的
二＋ＣＯＳＸ
Ｙ
ｘ
Ｙ
ｘ
Ｙ
・．・ｘ，ｙ均不大于零９－・１卫．＋垒Ｉ＞２、／丁
ｘ
Ｙ
．．．上＋１－－，＞３＋２＂ｖ＇Ｙ，当且仅当．ｚ－＋２苎－时等号成立，于是上
ｘ
Ｙ
ｘ
Ｙ
ｘ
连线的斜率的取值范围，易得一掣互≤ｙ≤３冬Ｌ。
＋—Ｌ∈【３＋２、／丁，＋∞）．
Ｙ
三利用三角换元法巧求函数的值域
３．１已知实数ｘ，ｙ满足ｘ２－３ｘｙ＋ｙ２＝２，求ｘＷ的取值范围。
分析：先令ｕ２＝）【Ｗ，则该方程表示以原点为圈心的圆，则ｕ＞
０，然后再巧用三角换元求函数ｕ的值域，即可使问题简单化、直观化。
解：令ｕ璃“ｙ２，ｕ≥Ｏ，则可设ｘ－－－ｕｃｏｓＯ，ｙ－－＇ｕｓｉｎＯ将其代入ｘ２－３ｘｙ＋ｙ２＝－２中，得ｕ２－３ｕ２ｓｉｎＯｃｏｓＯ＝２，
Ｕ。
．‘．丁１＝Ｔ２－３ｓｉｎ２０，毗＇ｏ＜｝＝半≤孕＝｝
斗
ｕ．
耳
‘．
作者简介：马勋果，大学本科毕业。白毕业后一直在威宁民族师范学校（现改为：贵州省毕节第三实验高级中学）第一线任教，在教学中积累了很多教育教学经验。现任职称为中专讲师。主要研讨教育教学方法和教育改革在教学中的实施情况．差生的转化等。
耳
故ｕ２≥ｘ４），２≥｝，即ｘＶ的取值范围是【争，＋∞）。
四
正确运用函数的图象巧求函数的值域
（上接１３ｌ页）
在执行教学计划时．可以捉住新旧知识间的联系与区别，在前面的学习中让学生重点掌握相应的知识，先用一定的时间温习旧知识，从而使新旧知识两相结合。使学生更易于掌握诸如光相助用中光应声和暗应声以及有氧呼吸的场所等知识。易于明确结构与功效相适应这一生物学的基源头根本道理。
最后，根据学生原有的认知结构开展教学。奥苏伯尔有句名言：“要是我不得不把全部教诲生理学还原为一条原理的话。我将会说，影响学习的唯一的最紧张的因素是学习者已经知道了什么。”而且指出。要“根据学生原有知识开展教学。”可以说，这是运用同化理论引导生物学教学的最基本的原则。在常规教学中，选择教学要领、教学模式和教学战略都必须遵照这一条原则。在执行教学计划时，不光要想到能否引发生的学习兴趣，还
要看重新旧知识的衔接，接纳温故知新的要领引入。比如。学习呼吸作用时。可以设问，绿色植物由于光相互作用，把光能变化成贮存在有机物中的化学能，而植物的生命活动无时无刻都离不开能量的提供。那么，有机物中贮存的化学能又是怎样被开释出来，提供植物生命活动的呢？由此引入呼吸作用。这样既总结了所学旧知识又引出新知识，承先启后，易于学生明确光相助用与呼吸作用之间的讨论。
总之。我们在教学的旅途中，必须认识到２１世纪人类将进入知识经济高涨的新时期代，对人的素质也有了很高的要求。不管从事任何职业，教书也好．做学问也罢，都得尽心尽力。仿佛就是我们在课堂上所开展的教学活动一样。有声有色，富有生机，全凭咱们自己的准备与漂亮的实战。我们教师的生物课堂同属一理，应该是每一个教育工作者当仁不让的职责。
万方数据
一１６０—
简述函数值域的几种求解方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
马勋果
贵州省威宁县毕节第三实验高中,贵州,威宁,553100理科爱好者（教育教学版）SCIENCE FANS2010,02(3)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_lkahz201003099.aspx
鲤鹈棠聒考
Ｖ０２．Ｎ０３．
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教育教学３
简述函数值域的几种求解方法
马勋果
（贵州省威宁县毕节第三实验高中
贵州
威宁５５３１００）
摘要：本文主要针对函数值域的ｆ＊－Ｉ题分几种情况进行论述．强化教师在教学中应注重对学生各种思维能力的培养，以及培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力。从而更进一步地培养学生的创新意识。关键宇：函数值域分析解答引伸【中图分类号】Ｇ６３３．６
【文献标识码】Ｃ
【文章编号】１６７１－８４３７（２０１０）０３－００１１６—Ｄ２
自变量ｘ与变量ｙ之间的对应关系，旨在培养学生的逻辑思维能力和探究能力、创新能力，从而促进学生思维的发展。进而培
１・２求函数ｙ＝嵩的值域。
分析ｌ：这类函数如利用１．１的求法是很难求解的．此时，不妨把Ｙ看作常量，对方程进行求解，从而达到求解目的。
解：’．．ｘ２＋２ｘ＋２＝（ｘ＋１）２＋１≠ｏ．‘．原函数等价于Ｙ（ｘ２＋２ｘ＋２）－－－ｘ＋ｌ
年的高考题中占有一定的比重．而且又因它变化多端。始终贯穿整个高中课程。故而是学习其它数学知识的基础。
因此，学生们在学习过程中，大都存在这样那样的问题，要解决此类矛盾，必须透过现象看本质，只有真正了解其内涵，知其意，
即ｙｘ２＋（２ｙ—１）ｘ＋２ｙ＝０①则方程①在实数内必有解。
当ｙ－－０时，ｘ－一ｌ，符合题意；当ｙ≠Ｏ时，Ａ＝（２ｙ—１）ｑｙ（２ｙ－１）
卿２－１≥ｏ，故一｝≤ｙ≤｝且ｙ≠ｏ
综上，所求函数值域为卜下１，了１】
中，必须打破传统的学习方法，及时调整思维角度，从其它角度来重新审视它。寻找有力的突破口，化繁为简，化难为易地对该
注：在求解函数中分子与分母中所含未知量的指数不同时．可用这种方法求解函数的值域。但是在解方程时．要明确方程在实数范围内一定有解，继而在由判别式求出其值域。
分析２：对于１．２中的例子，也可利用不等式综合法中的均
１．１求函数ｙ＝主等值域。
分析１：该阃题是一个比较简单的求值域问题，且分子和分
值不等式进行求解，但利用该种方法求解函数的值域时，要对相关的因式进行讨论，在此，我们不妨来看看此种方法的求解过
程。
母所含未知数ｘ的次数相等，要求其值域。可从函数本身人手，
对函数进行变形、化简，使其分子或分母中其一不含ｘ，通过观
眦ｙ－丽ｘ＋ｌ化撕２斋２丽１再
令ｕ＝（ｘ＋１）＋者
讨论：
（１）当ｘ＋ｌ－－－Ｏ时，即ｘ＝一１时，ｙ－－－Ｏ。
（２）当ｘ＋ｌ≠０时，即ｘ≠一１时，有：
釉产§卧各＝喾４８争南
：互＋８
３’９ｘ—１２
・．’矗≠ｏ．‘．ｙ≠手
故函数ｙ＝备的值域为（一∞，丁２Ｊｕ。丁２，＋∞）．
注：对于形如ｙ＝堡华的函数，（ａ，ｂ，ｃ，ｄ为常数且ａ≠ｏ）的
ａＸ＋Ｄ
①．当ｘ＋ｌ＞ｏ，即ｘ＞一１时。ｕ≥２、／（ｘ＋１）三ｌ＿＝２，当且仅当
ｘ＋１＝—年时，即ｘ－－－Ｏ时取等号。
Ｙ●Ｉ
②・当ｘ＋ｌ＜ｏ，即“－１时，ｕ＝一【一（ｘ“）＋习％】≤２，当且仅
当ｘ＝－２时取得等号，从而ｕ的范围为（一∞，－２］Ｕ［２，＋∞）进而ｙＥ【一丁１，ｏ）ｕ（ｏ，丁１】。
值域可用部分分式法将其变形为ｙ＝旦＋罢ｌ二｝，求得值域为ｌｙｌ
ａ
ａ１十Ｄａ
ｙ≠詈｝，也可用求反函数的定义域方法求得其值域为ｙ≠÷
＇Ｙ—－４
分析２：对于１．１中的函数ｙ＝鲁，也可充分利用函数与
解：由ｙ２妻≥得３ｙｘ由＝２ｘ即ｘ（３ｙ—２）＝４ｙ，
综上，所求函数的值域为卜虿１，丁１】。＝利用已知条件巧求函数的值域
反函数的关系．即：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域．从而达到求原函数值域的问题。
２．１已知ｘ，ｙ均大于零，且２ｘ＋ｙ＝１，求上＋上的取值范围。
＾
，
分析：这相当于求复合函数值域的问题，看似简单，但在求解时有一定的难度，有时无从下手。
（下转１６０页）
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．＿＝器，自３ｙ－２≠ｏ，ｉ寻ｙ＃２．
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鲤翻棠好希
Ｖ砬．Ｎ０３．
ＳＣｍＮＣＥ
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４．１求函数ｙ＝毒坠的值域。
Ｚ＇ｔ－ＣＯＳＸ
ｘ
．
解决此类问题，不妨令ｕ：上＋上，然后从已知条件人手，把
Ｙ
问题中的ｌ转化为２ｘ＋ｙ，再进一步把ｕ：上＋上改写为＂ｎ－－－－－
ｘ
ｙ
垒±Ｌ＋２薹±Ｌ：３＋（卫＋盈），再利用算术平均数不小于几何平均
ｘ
・・・把ｙ－嚣改写为ｙ＝器，ｚ＼渺篓＝萼羔挣
７ｔＩ
ｙ
ｘ
Ｙ
数（且等号能成立），即可求得Ｕ的取值范围。
解：ｕ：上＋１：２ｘ－ｌ－ｙ＋呈盟：３＋（卫＋堕）．
ｘ
觥严蠢§可＝器，
图象，求函数ｙ＝辜型Ｌ的值域，即求单位圆上一点与（－２，ｏ）点的
二＋ＣＯＳＸ
Ｙ
ｘ
Ｙ
ｘ
Ｙ
・．・ｘ，ｙ均不大于零９－・１卫．＋垒Ｉ＞２、／丁
ｘ
Ｙ
．．．上＋１－－，＞３＋２＂ｖ＇Ｙ，当且仅当．ｚ－＋２苎－时等号成立，于是上
ｘ
Ｙ
ｘ
Ｙ
ｘ
连线的斜率的取值范围，易得一掣互≤ｙ≤３冬Ｌ。
＋—Ｌ∈【３＋２、／丁，＋∞）．
Ｙ
三利用三角换元法巧求函数的值域
３．１已知实数ｘ，ｙ满足ｘ２－３ｘｙ＋ｙ２＝２，求ｘＷ的取值范围。
分析：先令ｕ２＝）【Ｗ，则该方程表示以原点为圈心的圆，则ｕ＞
０，然后再巧用三角换元求函数ｕ的值域，即可使问题简单化、直观化。
解：令ｕ璃“ｙ２，ｕ≥Ｏ，则可设ｘ－－－ｕｃｏｓＯ，ｙ－－＇ｕｓｉｎＯ将其代入ｘ２－３ｘｙ＋ｙ２＝－２中，得ｕ２－３ｕ２ｓｉｎＯｃｏｓＯ＝２，
Ｕ。
．‘．丁１＝Ｔ２－３ｓｉｎ２０，毗＇ｏ＜｝＝半≤孕＝｝
斗
ｕ．
耳
‘．
作者简介：马勋果，大学本科毕业。白毕业后一直在威宁民族师范学校（现改为：贵州省毕节第三实验高级中学）第一线任教，在教学中积累了很多教育教学经验。现任职称为中专讲师。主要研讨教育教学方法和教育改革在教学中的实施情况．差生的转化等。
耳
故ｕ２≥ｘ４），２≥｝，即ｘＶ的取值范围是【争，＋∞）。
四
正确运用函数的图象巧求函数的值域
（上接１３ｌ页）
在执行教学计划时．可以捉住新旧知识间的联系与区别，在前面的学习中让学生重点掌握相应的知识，先用一定的时间温习旧知识，从而使新旧知识两相结合。使学生更易于掌握诸如光相助用中光应声和暗应声以及有氧呼吸的场所等知识。易于明确结构与功效相适应这一生物学的基源头根本道理。
最后，根据学生原有的认知结构开展教学。奥苏伯尔有句名言：“要是我不得不把全部教诲生理学还原为一条原理的话。我将会说，影响学习的唯一的最紧张的因素是学习者已经知道了什么。”而且指出。要“根据学生原有知识开展教学。”可以说，这是运用同化理论引导生物学教学的最基本的原则。在常规教学中，选择教学要领、教学模式和教学战略都必须遵照这一条原则。在执行教学计划时，不光要想到能否引发生的学习兴趣，还
要看重新旧知识的衔接，接纳温故知新的要领引入。比如。学习呼吸作用时。可以设问，绿色植物由于光相互作用，把光能变化成贮存在有机物中的化学能，而植物的生命活动无时无刻都离不开能量的提供。那么，有机物中贮存的化学能又是怎样被开释出来，提供植物生命活动的呢？由此引入呼吸作用。这样既总结了所学旧知识又引出新知识，承先启后，易于学生明确光相助用与呼吸作用之间的讨论。
总之。我们在教学的旅途中，必须认识到２１世纪人类将进入知识经济高涨的新时期代，对人的素质也有了很高的要求。不管从事任何职业，教书也好．做学问也罢，都得尽心尽力。仿佛就是我们在课堂上所开展的教学活动一样。有声有色，富有生机，全凭咱们自己的准备与漂亮的实战。我们教师的生物课堂同属一理，应该是每一个教育工作者当仁不让的职责。
万方数据
一１６０—
简述函数值域的几种求解方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
马勋果
贵州省威宁县毕节第三实验高中,贵州,威宁,553100理科爱好者（教育教学版）SCIENCE FANS2010,02(3)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_lkahz201003099.aspx