第16技 等腰三角形的边角，分类讨论
等腰三角形作为一类特殊的三角形，是我们初中几何学习的重点内容，我们主要围绕着它的对称性，研究它的概念、画法、性质以及判定，我们也关注它与线段、角、三角形甚至四边形之间的其他联系，而且我们还知道等腰三角形是“分类讨论”的信号，最后一点在各类考题中多有出现．
记得某地中考曾经考过这样一道题：“已知抛物线y =k (x +1)(x -3) 与x 轴交于点A 、k
B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线有____条，”题目把探究等腰三角形的可能性与二次函数的图象及性质结合起来进行考查，因为原题没有提供图形，所以考生答题的情况不是很理想．那我们这一技的学习就从剖析这道题开始，探寻题目没有考好的原因．
由于△ABC 的三个顶点来源于抛物线与坐标轴的交点，对于已知的抛物线，令x ＝ 0，则y ＝ -3，这就是说抛物线与y 轴交于点C （0，-3），需要注意到这是一个定点，因为解3) ，显然这种表达式是二次函数的交点式（或双根式），因此抛物k
3线与x 轴两个交点的坐标分别为（-1,0）与（，0），其中一个点是定点，另一个点的位置k
3随k 的值待定，不妨记为A （-1,0），B （，0）．就是说A 、B 两点的相对位置还不明确，k 析式为y =k (x +1)(x -
需要分情况讨论，现在问题基本明朗了：已知两个定点A （-1，0）和C (0，-3) ，在x 轴上找一个点B 使得这三个点构成等腰三角形．
如图16—1所示，根据我们所学的知识技能，以点A 为圆心，以AC ＝2+32=为半径画弧，与x 轴交于点B 1（-1-，0）、B 2（-1+，0）；或者以点C 为圆心，以CA ＝为半径画弧，与x 轴交于点B 3(1，0) ；或作线段AC 的垂直平分线交x 轴于点B 4，设OB 4＝a ，不难由BC ＝BA 建立方程a 2+32=a +1，解得a ＝4，所以B 4 (4，0) ．这样我们得到的四个B 点都能满足△ABC 是等腰三角形的几何特性．由于每一个点B 的横坐标对应着一个系数k 的值，所以能使△ABC 为等腰三角形的抛物线有4条（图16—2）．
相信通过这道中考题，同学们对等腰三角形在中考的考查要求有了大概的了解，接下来请继续深入学习。
一、等腰三角形的分类讨论
等腰三角形身为特殊的三角形，由以下几方面决定了它是问题中的“分类讨论”信号：①等腰三角形的形状不明确时，顶角可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角，②说等腰三角形的角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要分类讨论．③等腰三角形一腰上的高既可能在形内，还可能在形外，也可能落在另一腰上．等腰三角形还有一个特点，就是与等腰三角形有关的题目命题人往往不会给出图形，有点类似于俗话里说的“无图无真相”，在这种情况下，我们需要根据题意画出可能的示意图，考虑应不应该分类讨论，以完整还原题目的意图。
【例1】已知在等腰△ABC 中，AD 是BC 边上的高，且AD ＝
度数为__________.
【惠言】首先根据题意画出图形，注意到AD 是BC 边上的高，那我们在画示意图的时候肯定会琢磨：BC 边是等腰三角形的底边还是腰？这样就自然产生了分情况讨论的想法．若BC 是底边，则高AD 在形内，若BC 是腰，则高AD 可能在形内，也可能在形外（等腰直角三角形一腰上的高与另一腰重合，本题已排除这种可能），把各种情况分析到位以后，示意图的画法也就心中有数了，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．
解：如图16—3所示，在等腰△ABC 中，AD 是底边BC 上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质以及已知条件AD ＝
形，底角度数为45°；
如图16—4所示，在等腰△ABC 中，AD 是一腰BC 上的高，且AB ＝BC ，因为AD ＝所以AD ＝1BC ，则△ABC 底角的21BC ，则AD ＝BD ＝ DC ，所以△ABC 是等腰直角三角21BC ，21AB ，所以∠B ＝30°，底角度数为75°； 2
1BC ，2如图16—5所示，在等腰△ABC 中，AD 是一腰BC 上的高，且AC ＝BC ，因为AD ＝
所以AD ＝1AC ，所以∠ACD ＝30°，底角度数为15°。 2
综上所述，该等腰△ABC 的底角度数为45°，或75°，或15°．
（以下录入：曾胜康）
第3篇 图形几何看特征
例1变式 在等腰△ABC 中，∠A = 30°，AB = 8，则AB 边上的高CD 的长是 ______ . 提示：对于等腰△ABC 来说，已知的∠A 可能是顶角，也可能是底角；已知的AB 边可能是腰，也可能是底边. 所以题目要分类讨论：若∠A 是顶角，则AB 边只能是其中一腰；若∠A 是底角，则AB 边可能是底边，也可能是一腰，因此需要分三种情况去讨论.
二、等腰三角形的确定性
等腰三角形的确定性问题，一般是指在已知两个顶点（或一条边）的情况下，按照题目的指令性语言作出符合要求的等腰三角形.
已知两点（即已知一边）的情况下构造等腰三角形，已知的边可能是腰，也可能是底边， 一般要分三种情况：当已知线段为腰时，因为不明确哪个已知点为等腰三角形顶角的顶点， 所以又有两种情况：分别以这两点为圆心、已知边为半径画弧，所画弧与指定线条的交点即为等腰三角形的第三个顶点；第三种情况是当已知线段为底边时，作已知线段的垂直平分线，与指定线条的交点即为等腰三角形顶角的顶点.
例2 已知△ABC 的三条边长分别为3，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条
须过原三角形的某一个顶点，如此，则题目就转化为以原△ABC 的某条边为边，构造等腰三角形的问题，这当属常规问题——等腰三角形的确定性问题.
具体做法如下（如图16-6所示）：（1) 以AB = 3为腰，又分两种——以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，得等腰△BAD 1及分割线AD 1; 以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，得等腰 △ABD 2 、等腰△ABD 2及分割线AD 2 , BD 2 . (2)以AB 为底，作线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点D 4，得等腰△D 4AB 及分割线AD 4. (3)以AC = 4为腰，考虑到原△ABC 的三边长，只能以点C 为圆心，CA 长为半径画弧，得等腰△CAD 5及分割线AD 5. (4) 以AC 为底， 作线段AC 的垂直平分线与BC 边交于点D 6，得等腰△D s AC 及分割线AD 6. (5) BC = 6只能作底，作线段BC 的垂直平分线与AC 边交于点D 7，得等腰△D 7BC 及分割线BD 7.
综上所述，选择题的答案为B .
应该说，这道中考题比较有代表性，属于已知两点构造第三点作等腰三角形的问题，本身考查了等腰三角形的判定以及尺规作图等知识，而掌握正确的分类讨论方法是做对题目的保证. 解析过程中提到的作法同学们一定要学会、过关
.
例2变式 在直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在坐标轴上，若以点P 、0、A 为 顶点的三角形是等腰三角形，那么满足条件的点P 有几个？请作出这几个点.
提示：①若OA = OP , 则以点O 为圆心，以OA 为半径画弧，与坐标轴分别交于点P 1、 P 2、P 3、P 4. ②若AO =AP , 则以点A 为圆心，以OA 为半径画弧，与坐标轴分别交于点P 5、 P 6. ③若PO =PA , 则作线段OA 的垂直平分线，与坐标轴分别交于点P 7、P 8.
三、等腰三角形性质的综合运用
我们知道由于等腰三角形中的两底角相等，所以结合“三角形内角和180°”就可以在等腰三角形中由任意一个角的度数求出另外两个角的度数，或者用方程的思想解决与等腰三角形有关的角度计算问题. 另外，当遇到多个等腰三角形组合的问题时，外角就是沟通、处理问题的关键.
例3 如图16-7，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC = BC = BD , AD = AE , DE = CE , 求∠B 的度数
.
从已知条件我们可以看到有四个等腰三角形 组合在一起，题目本身提供的图形貌似不复杂，但是四个等腰三角形纠缠在一起，而且已知条件中没有任何明确的角度信息，可是题目的结论却要求一个具体角的度数，所以有同学审题以后有点茫然，不知从何人手.
大的等腰三角形△ABC 被分成了三个小的等腰三角形，三角形之间有公共边或边的重合现象，有的角是公共角，有的角是这个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角，考虑到它们之间的这种关系以及等腰三角形角的性质，想到了用同一个参数把图中的角表示出来，如图16-8所示，最后根据内角和列出方程求解
.
解：因为 DE = CE , 所以设∠ECD = ∠EDC = x ，
所以 ∠AED = ∠ECD + ∠EDC = 2x .
因为 AD = AE ,所以∠ADE = ∠AED = 2x , ∠A = 180 -4x °.
因为AC = BC ，所以∠B = ∠A = 180°-4x .
在△ABC 中，∠A +∠B +∠ACB =180°， 所以 (180︒-4x ) +(180︒-4x ) +(x +2x ) =180︒，解之得 x = 36°.
所以 ∠B = 180°- 4×36° = 36°.
当然，由上面的解法可以发现，图形中的每一个角都能求出具体的度数. 根据答案还能发现图形中又多出来一个等腰三角形，你发现了吗？所以说，像这种结合了三角形内、外角性质及之间的内在关系，设参数用代数式表示角度，最后用方程思想解决问题的方法还是应该引起同学们的重视的. 当然，这种解法也体现了数形结合思想的运用.
例3变式 (1) 如图 16-9,在△ABC 中，AB = AC , D 为 BC 边上一点，∠BAD = 30°，若 AD = DE , ∠EDC = 33°, 求∠DAE 的度数
.
提示：设等腰三角形△DAE 的底角为a ，如图16-9所示，可先表示出 ∠C = a - 33°，再得在 △ABC 中，（a - 33°) + (a - 33°) + (a +30°) = ∠B = ∠C = a - 33°，
180°.
再次提醒：在有关三角形的角度计算中，外角的运用是非常重要的，它是不同三角形之间沟通的渠道或桥梁.
例3变式 (2) 如图16-10，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，且CD = AB , 若∠B = 40°，∠BAD = 30°，求证:AB = AC
.
提示：两个已知角的第一反应是∠ADC = 70°，考虑到40°和70°能共处在同一个等腰三角形中的独特数量关系（如图16-11) ，首先在 BC 上截取
BE = BA , 如图 16-12，则∠BEA =∠BAE =70°，进一步有∠DAE = 40°, ∠AED = ∠ADE , AE = AD . 再结合已知条件证明△ACE 与△ABD 全等即可
.
结束了对等腰三角形的全面认识，让我们做好准备，准备学习第17技，对不同情境中与中点有关的问题进行探索.
练习：
1. 如图16-13, 边长为6的正方形ABCD 内部有一点P ，BP = 4，∠PBC = 60°，点Q 为正方形边上一动点，且△PBQ 是等腰三角形，则符合条件的Q 点有
.
2. 有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 .
3. 如图16-14，在矩形ABCD 中，AB = 4, BC = 6，若点P 在AD 边上，连接BP , PC , △BPC 是以PB 为腰的等腰三角形，则PB 的长为 .
4. 如图16-15，在一张长为8cm , 宽为6cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm 的
等腰 三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）. 求剪下的等腰三角形的面积
.
第16技 等腰三角形的边角，分类讨论
等腰三角形作为一类特殊的三角形，是我们初中几何学习的重点内容，我们主要围绕着它的对称性，研究它的概念、画法、性质以及判定，我们也关注它与线段、角、三角形甚至四边形之间的其他联系，而且我们还知道等腰三角形是“分类讨论”的信号，最后一点在各类考题中多有出现．
记得某地中考曾经考过这样一道题：“已知抛物线y =k (x +1)(x -3) 与x 轴交于点A 、k
B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线有____条，”题目把探究等腰三角形的可能性与二次函数的图象及性质结合起来进行考查，因为原题没有提供图形，所以考生答题的情况不是很理想．那我们这一技的学习就从剖析这道题开始，探寻题目没有考好的原因．
由于△ABC 的三个顶点来源于抛物线与坐标轴的交点，对于已知的抛物线，令x ＝ 0，则y ＝ -3，这就是说抛物线与y 轴交于点C （0，-3），需要注意到这是一个定点，因为解3) ，显然这种表达式是二次函数的交点式（或双根式），因此抛物k
3线与x 轴两个交点的坐标分别为（-1,0）与（，0），其中一个点是定点，另一个点的位置k
3随k 的值待定，不妨记为A （-1,0），B （，0）．就是说A 、B 两点的相对位置还不明确，k 析式为y =k (x +1)(x -
需要分情况讨论，现在问题基本明朗了：已知两个定点A （-1，0）和C (0，-3) ，在x 轴上找一个点B 使得这三个点构成等腰三角形．
如图16—1所示，根据我们所学的知识技能，以点A 为圆心，以AC ＝2+32=为半径画弧，与x 轴交于点B 1（-1-，0）、B 2（-1+，0）；或者以点C 为圆心，以CA ＝为半径画弧，与x 轴交于点B 3(1，0) ；或作线段AC 的垂直平分线交x 轴于点B 4，设OB 4＝a ，不难由BC ＝BA 建立方程a 2+32=a +1，解得a ＝4，所以B 4 (4，0) ．这样我们得到的四个B 点都能满足△ABC 是等腰三角形的几何特性．由于每一个点B 的横坐标对应着一个系数k 的值，所以能使△ABC 为等腰三角形的抛物线有4条（图16—2）．
相信通过这道中考题，同学们对等腰三角形在中考的考查要求有了大概的了解，接下来请继续深入学习。
一、等腰三角形的分类讨论
等腰三角形身为特殊的三角形，由以下几方面决定了它是问题中的“分类讨论”信号：①等腰三角形的形状不明确时，顶角可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角，②说等腰三角形的角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要分类讨论．③等腰三角形一腰上的高既可能在形内，还可能在形外，也可能落在另一腰上．等腰三角形还有一个特点，就是与等腰三角形有关的题目命题人往往不会给出图形，有点类似于俗话里说的“无图无真相”，在这种情况下，我们需要根据题意画出可能的示意图，考虑应不应该分类讨论，以完整还原题目的意图。
【例1】已知在等腰△ABC 中，AD 是BC 边上的高，且AD ＝
度数为__________.
【惠言】首先根据题意画出图形，注意到AD 是BC 边上的高，那我们在画示意图的时候肯定会琢磨：BC 边是等腰三角形的底边还是腰？这样就自然产生了分情况讨论的想法．若BC 是底边，则高AD 在形内，若BC 是腰，则高AD 可能在形内，也可能在形外（等腰直角三角形一腰上的高与另一腰重合，本题已排除这种可能），把各种情况分析到位以后，示意图的画法也就心中有数了，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．
解：如图16—3所示，在等腰△ABC 中，AD 是底边BC 上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质以及已知条件AD ＝
形，底角度数为45°；
如图16—4所示，在等腰△ABC 中，AD 是一腰BC 上的高，且AB ＝BC ，因为AD ＝所以AD ＝1BC ，则△ABC 底角的21BC ，则AD ＝BD ＝ DC ，所以△ABC 是等腰直角三角21BC ，21AB ，所以∠B ＝30°，底角度数为75°； 2
1BC ，2如图16—5所示，在等腰△ABC 中，AD 是一腰BC 上的高，且AC ＝BC ，因为AD ＝
所以AD ＝1AC ，所以∠ACD ＝30°，底角度数为15°。 2
综上所述，该等腰△ABC 的底角度数为45°，或75°，或15°．
（以下录入：曾胜康）
第3篇 图形几何看特征
例1变式 在等腰△ABC 中，∠A = 30°，AB = 8，则AB 边上的高CD 的长是 ______ . 提示：对于等腰△ABC 来说，已知的∠A 可能是顶角，也可能是底角；已知的AB 边可能是腰，也可能是底边. 所以题目要分类讨论：若∠A 是顶角，则AB 边只能是其中一腰；若∠A 是底角，则AB 边可能是底边，也可能是一腰，因此需要分三种情况去讨论.
二、等腰三角形的确定性
等腰三角形的确定性问题，一般是指在已知两个顶点（或一条边）的情况下，按照题目的指令性语言作出符合要求的等腰三角形.
已知两点（即已知一边）的情况下构造等腰三角形，已知的边可能是腰，也可能是底边， 一般要分三种情况：当已知线段为腰时，因为不明确哪个已知点为等腰三角形顶角的顶点， 所以又有两种情况：分别以这两点为圆心、已知边为半径画弧，所画弧与指定线条的交点即为等腰三角形的第三个顶点；第三种情况是当已知线段为底边时，作已知线段的垂直平分线，与指定线条的交点即为等腰三角形顶角的顶点.
例2 已知△ABC 的三条边长分别为3，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条
须过原三角形的某一个顶点，如此，则题目就转化为以原△ABC 的某条边为边，构造等腰三角形的问题，这当属常规问题——等腰三角形的确定性问题.
具体做法如下（如图16-6所示）：（1) 以AB = 3为腰，又分两种——以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，得等腰△BAD 1及分割线AD 1; 以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，得等腰 △ABD 2 、等腰△ABD 2及分割线AD 2 , BD 2 . (2)以AB 为底，作线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点D 4，得等腰△D 4AB 及分割线AD 4. (3)以AC = 4为腰，考虑到原△ABC 的三边长，只能以点C 为圆心，CA 长为半径画弧，得等腰△CAD 5及分割线AD 5. (4) 以AC 为底， 作线段AC 的垂直平分线与BC 边交于点D 6，得等腰△D s AC 及分割线AD 6. (5) BC = 6只能作底，作线段BC 的垂直平分线与AC 边交于点D 7，得等腰△D 7BC 及分割线BD 7.
综上所述，选择题的答案为B .
应该说，这道中考题比较有代表性，属于已知两点构造第三点作等腰三角形的问题，本身考查了等腰三角形的判定以及尺规作图等知识，而掌握正确的分类讨论方法是做对题目的保证. 解析过程中提到的作法同学们一定要学会、过关
.
例2变式 在直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在坐标轴上，若以点P 、0、A 为 顶点的三角形是等腰三角形，那么满足条件的点P 有几个？请作出这几个点.
提示：①若OA = OP , 则以点O 为圆心，以OA 为半径画弧，与坐标轴分别交于点P 1、 P 2、P 3、P 4. ②若AO =AP , 则以点A 为圆心，以OA 为半径画弧，与坐标轴分别交于点P 5、 P 6. ③若PO =PA , 则作线段OA 的垂直平分线，与坐标轴分别交于点P 7、P 8.
三、等腰三角形性质的综合运用
我们知道由于等腰三角形中的两底角相等，所以结合“三角形内角和180°”就可以在等腰三角形中由任意一个角的度数求出另外两个角的度数，或者用方程的思想解决与等腰三角形有关的角度计算问题. 另外，当遇到多个等腰三角形组合的问题时，外角就是沟通、处理问题的关键.
例3 如图16-7，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC = BC = BD , AD = AE , DE = CE , 求∠B 的度数
.
从已知条件我们可以看到有四个等腰三角形 组合在一起，题目本身提供的图形貌似不复杂，但是四个等腰三角形纠缠在一起，而且已知条件中没有任何明确的角度信息，可是题目的结论却要求一个具体角的度数，所以有同学审题以后有点茫然，不知从何人手.
大的等腰三角形△ABC 被分成了三个小的等腰三角形，三角形之间有公共边或边的重合现象，有的角是公共角，有的角是这个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角，考虑到它们之间的这种关系以及等腰三角形角的性质，想到了用同一个参数把图中的角表示出来，如图16-8所示，最后根据内角和列出方程求解
.
解：因为 DE = CE , 所以设∠ECD = ∠EDC = x ，
所以 ∠AED = ∠ECD + ∠EDC = 2x .
因为 AD = AE ,所以∠ADE = ∠AED = 2x , ∠A = 180 -4x °.
因为AC = BC ，所以∠B = ∠A = 180°-4x .
在△ABC 中，∠A +∠B +∠ACB =180°， 所以 (180︒-4x ) +(180︒-4x ) +(x +2x ) =180︒，解之得 x = 36°.
所以 ∠B = 180°- 4×36° = 36°.
当然，由上面的解法可以发现，图形中的每一个角都能求出具体的度数. 根据答案还能发现图形中又多出来一个等腰三角形，你发现了吗？所以说，像这种结合了三角形内、外角性质及之间的内在关系，设参数用代数式表示角度，最后用方程思想解决问题的方法还是应该引起同学们的重视的. 当然，这种解法也体现了数形结合思想的运用.
例3变式 (1) 如图 16-9,在△ABC 中，AB = AC , D 为 BC 边上一点，∠BAD = 30°，若 AD = DE , ∠EDC = 33°, 求∠DAE 的度数
.
提示：设等腰三角形△DAE 的底角为a ，如图16-9所示，可先表示出 ∠C = a - 33°，再得在 △ABC 中，（a - 33°) + (a - 33°) + (a +30°) = ∠B = ∠C = a - 33°，
180°.
再次提醒：在有关三角形的角度计算中，外角的运用是非常重要的，它是不同三角形之间沟通的渠道或桥梁.
例3变式 (2) 如图16-10，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，且CD = AB , 若∠B = 40°，∠BAD = 30°，求证:AB = AC
.
提示：两个已知角的第一反应是∠ADC = 70°，考虑到40°和70°能共处在同一个等腰三角形中的独特数量关系（如图16-11) ，首先在 BC 上截取
BE = BA , 如图 16-12，则∠BEA =∠BAE =70°，进一步有∠DAE = 40°, ∠AED = ∠ADE , AE = AD . 再结合已知条件证明△ACE 与△ABD 全等即可
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结束了对等腰三角形的全面认识，让我们做好准备，准备学习第17技，对不同情境中与中点有关的问题进行探索.
练习：
1. 如图16-13, 边长为6的正方形ABCD 内部有一点P ，BP = 4，∠PBC = 60°，点Q 为正方形边上一动点，且△PBQ 是等腰三角形，则符合条件的Q 点有
.
2. 有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 .
3. 如图16-14，在矩形ABCD 中，AB = 4, BC = 6，若点P 在AD 边上，连接BP , PC , △BPC 是以PB 为腰的等腰三角形，则PB 的长为 .
4. 如图16-15，在一张长为8cm , 宽为6cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm 的
等腰 三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）. 求剪下的等腰三角形的面积
.