初等数学研究关于换元法巧解方程

妙用换元法解高次方程

10数B

1050502065

李燕娣

摘 要

数学知识、数学思想与数学方法三者是密不可分的,人们在解决问题的过程中都要经历问题——思考——总结的过程,而剖析这一过程正是我们数学教学的重要任务。“换元法”是初中数学中解决方程的一个重要方法，它体现了初中数学的一些基本思想,如符号化思想、变元思想、转化思想等。本文以“换元法”巧解高次方程为例，把某个较为复杂的式子（根式、和式、积式、对数式、指数式、三角函数式等）看成一个整体，以一个新的未知数替换它，使我们所研究的问题变得简单化。用换元法解决高次方程有效地培养和训练了学生思维的灵活性,简化和加速思维过程,同时化繁为简,化难为易,提高了学生解决问题的能力,培养学生辩证观点的有力工具。

引 言

如果我们教学只是结论式教学、就题论题式教学,那么就会把数学中的精华——数学思想给遗失了。这样学到的只是一些没有数学思想支撑的枯燥的知识。而利用“换元法”处理方程问题则很好地体现了数学教学思想的精华，虽然拼凑的难度可能会较大,但通过部分换元后,再运用乘法公式及其他化简进行变形,其解法虽不能说拍案叫绝,却也能令人耳目一新。

正 文

方程即是含有未知数的等式，它的形式繁多，从低次方程至高次方程，由单项等式至多项相乘，其求解未知数的方法也纷繁众多、眼花缭乱，低次方程的解决稍微较易，但逐渐升高次数时难度亦越来越高，所以就不得不想一些较为方便简单的方法来处理相关的方程问题。而“换元法”不失为一种独到精辟的方法之一，“换元法”是初中代数中常用的一种技巧解题方法。中学数学中对于方程这一部分,主要讲解了一元一次方程、一元二次方程的解法和一次方程组(未知数的个数一般比较少)及简单的二元二次方程组的解法。后面又学到其他的方程(例如：分式方程、高次方程、无理方程、指数方程与对数方程、三角方程与反三角方程等)都是经过变形,变成了上述所学的方程来解。而变形的主要方法之一就是“换元法”。

“换元法”就是用新的未知量或变量替换原来的未知量或变量，求出新的未知量或变量后，再利用其替换关系式求出原来的未知量或变量的方法，叫做辅助元素法，简称“换元法”。其中，新的未知量叫做辅助元素，简称“辅助元”。 “换元法”是中学数学的重要解题方法之一，在解决函数、方程、不等式、数列及解析几何的间题中起着重要的转化作用。当我们用一个新的字母代换题目中的一个“集团”时,可使原来题目隐藏的关系明朗化，给人以“柳暗花明”、化繁为简的

感觉,使问题迎刃而解。 实施“换元法”的关键在于恰当地选择新的变元代替旧的变元，也就是选择适当的辅助未知数。此文在接下来的论述中就很好地利用了这一点。同时，要注意未知数允许值范围的变化,即新变元的取值范围与旧变元的取值范围的内在联系与转化。对于辅助未知数的选择没有一般的通则可循,往往因题而异,技巧性较强。但通过变换都能同样达到降低次数的目的。

用换元法解方程也就是反过来将方程中含有未知数的单项式、多项式、分式或根式等用未知数x表示。集中力量分析方程中含有未知数的代数式之间的关系,这是能否进行换元的关键。其中，在解决方程问题尤为恰当，将高次方程化为低次方程，复杂过程化为简单方程，轻而易举便可求得原方程的解。

这里讲述一道高次方程如何借助“换元法”来巧解方程的过程：

（2006年的一道青海题）一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．

老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：

(x2-x)2-8(x2-x)+12=0．

学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗?

老师：这样，原方程可整理为x4-2x3-7x2+8x+1 2=0，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点?

学生乙：老师，我发现方程中x2-x是整体出现的，最好不要去括号!

老师：很好，如果我们把x2-x看成一个整体，用y表示，即x2-x=y，那么原方程就变为y2-8y+12=0．

全体学生：(同学们都特别高兴)噢，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗?! 老师：大家真会观察和思考，太棒了!显然一元二次方程y2-8y+1 2=0的根是y1=6，y2=2，那么就有x2-x=6或x2-x=2．

学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根，x1=3，x2=-2，x3=2，x4=-1，嗬，有这么多根啊!

老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法．

上题老师通过其他方法的试探，最后无法用现有知识解答，最后引导学生发

2现规律x-x可以当作一个整体看待，这样一来，就引出了换元法，降低方程的次数了，由不知高阶方程的求解到转换为一元二次方程，这一元二次方程的解决对大家来说无疑是比较简单的。它的根也很快能求出，这里是呈现了一个学习的情节，给出了换元法，既用换元法很好地体现其妙处，又考查了学生对数学方法的运用水平及分析推理能力。

又例1关于x的一元四方程x4x3x2x10.分析可知，因为方程的次数较高，直接求解无疑是比较困难的，通过观察方程的系数，具有对称的特

点，所以使用换元法，便可大大降低难度，是问题迎刃而解。首先，显然可知x0

11不是方程的解，所以除以x2后得到：x2x20.设yx，则有xxx

y2y，2根据与0大小的比较便可求得y的值，再1代回yx，也就求出了x. x

例2解方程(x1)(x2)(x3)(x4)3，对于这一个多个因数相乘，可以把第一项跟第四项先相乘，第二项跟第三项相乘，即x1(x4)(x2)(x3)3，这里利用技巧先算其中两个的乘积，得出的结果为(x25x4)(x25x6)3 由观察可设 x25x5y再代进去，明显地二次变为了一次，计算量就变小了。这里也充分地显现了换元法的价值。

通过上述例题的分析可得，要想提高学生用“换元法”解方程的能力,应当抓住以下问题： 用字母表示代数式的能力是用换元法解方程的基础，为了提高学生用字母表示代数式的能力,将方程中的未知数x换成单项式、多项式、分式或根式。

下面再来剖析这一高次方程x23x4x23x56

直接求解显然不实际，变可想到把其中能合并的作为一个整体来求解，解法一：令x23x y，则原方程变为(y4)(y5)6，即y29y140，解之得y2或7。当y2时，x23x2，解之得x11,x22。当y7时，x23x70无实根。所以，原方程的解为x11,x22.

再次分析，又可用下面的方法来求解，即所设的元不同，原方程也变换的不同，如下解法二：令x23x4y，则原方程变为y(y1)6，解之得y12,y23.由x23x42，得x11,x22.而方程x23x43无实根，所以方程的解为x11,x22。所以方程最后的结果便求出来了。

用换元法解方程(x28x7)(x28x15)150，一般学生都会解,采用多种换元法:令yx28x,yx28x7,yx28x15都可完满解答。但从培养学生的思维能力考虑,如果取7和15的算术平均数11，令yx28x11，则原方程化为（y－4）（y＋4）＋15＝0，它不含y的一次项，此种换元更简单！所以应发展求异思维,培养思维的广阔性，同样是换元法，但要求有更简单的设元，

就用更易求得的设元，缩减计算量，提高做题能力，培养技能。

也就是说，问题解决的方法往往不是唯一的，每个学生都有自己的生活背景、家庭环境，导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略。在解决问题是要鼓励学生尝试从不同角度、不同思路去考虑，并尝试评价不同方法之间的差异，寻找解决问题的最佳途径，这也是学生思维灵活性、开放性的一种表现。教师还要鼓励学生大胆尝试、猜测，允许学生给出不同答案，并用文字、字母或图表等清楚的表达解决问题的过程，解释结果的合理性。事实上现实生活中的许多问题的解决方式不唯一，答案也并不是唯一的，只要能解释其合理性，就应该允许其存在，现实生活是这样，源于生活的数学也是这样，问题解决更应该这样。

“换元法”思想内涵丰富,是培养学生观察能力、直觉能力和整体意识的方法之一,同时培养学生思维结构中从大处着眼的宏观调控能力,产生居高临下之功效,我们不仅在细微之处见"精神",更要从宏观之中探"世界".换元引参是整体思想的集中体现,在整体思想中扮演着不可或缺的角色.换元引参是一种重要的思想方法,它在数学解题中有着广泛的应用.

在中学数学教学中,换元思想的形成,发展和换元法的运用,是一个系统的工程。在高中数学教学中,换元思想的应用尤其广泛,但有不少内容已在初中部分渗透。为了加强初高中数学教学的系统性和连贯性,使学生多层次的认识和运用换元思想,重视体现换元思想是十分必要而又切实可行的。“换元法”在求解高次方程中的运用方便有效，巧妙性自然不言而喻。同时锻炼了学生的变通及思考能力，不断提升其能力。

妙用换元法解高次方程

10数B

1050502065

李燕娣

摘 要

数学知识、数学思想与数学方法三者是密不可分的,人们在解决问题的过程中都要经历问题——思考——总结的过程,而剖析这一过程正是我们数学教学的重要任务。“换元法”是初中数学中解决方程的一个重要方法，它体现了初中数学的一些基本思想,如符号化思想、变元思想、转化思想等。本文以“换元法”巧解高次方程为例，把某个较为复杂的式子（根式、和式、积式、对数式、指数式、三角函数式等）看成一个整体，以一个新的未知数替换它，使我们所研究的问题变得简单化。用换元法解决高次方程有效地培养和训练了学生思维的灵活性,简化和加速思维过程,同时化繁为简,化难为易,提高了学生解决问题的能力,培养学生辩证观点的有力工具。

引 言

如果我们教学只是结论式教学、就题论题式教学,那么就会把数学中的精华——数学思想给遗失了。这样学到的只是一些没有数学思想支撑的枯燥的知识。而利用“换元法”处理方程问题则很好地体现了数学教学思想的精华，虽然拼凑的难度可能会较大,但通过部分换元后,再运用乘法公式及其他化简进行变形,其解法虽不能说拍案叫绝,却也能令人耳目一新。

正 文

方程即是含有未知数的等式，它的形式繁多，从低次方程至高次方程，由单项等式至多项相乘，其求解未知数的方法也纷繁众多、眼花缭乱，低次方程的解决稍微较易，但逐渐升高次数时难度亦越来越高，所以就不得不想一些较为方便简单的方法来处理相关的方程问题。而“换元法”不失为一种独到精辟的方法之一，“换元法”是初中代数中常用的一种技巧解题方法。中学数学中对于方程这一部分,主要讲解了一元一次方程、一元二次方程的解法和一次方程组(未知数的个数一般比较少)及简单的二元二次方程组的解法。后面又学到其他的方程(例如：分式方程、高次方程、无理方程、指数方程与对数方程、三角方程与反三角方程等)都是经过变形,变成了上述所学的方程来解。而变形的主要方法之一就是“换元法”。

“换元法”就是用新的未知量或变量替换原来的未知量或变量，求出新的未知量或变量后，再利用其替换关系式求出原来的未知量或变量的方法，叫做辅助元素法，简称“换元法”。其中，新的未知量叫做辅助元素，简称“辅助元”。 “换元法”是中学数学的重要解题方法之一，在解决函数、方程、不等式、数列及解析几何的间题中起着重要的转化作用。当我们用一个新的字母代换题目中的一个“集团”时,可使原来题目隐藏的关系明朗化，给人以“柳暗花明”、化繁为简的

感觉,使问题迎刃而解。 实施“换元法”的关键在于恰当地选择新的变元代替旧的变元，也就是选择适当的辅助未知数。此文在接下来的论述中就很好地利用了这一点。同时，要注意未知数允许值范围的变化,即新变元的取值范围与旧变元的取值范围的内在联系与转化。对于辅助未知数的选择没有一般的通则可循,往往因题而异,技巧性较强。但通过变换都能同样达到降低次数的目的。

用换元法解方程也就是反过来将方程中含有未知数的单项式、多项式、分式或根式等用未知数x表示。集中力量分析方程中含有未知数的代数式之间的关系,这是能否进行换元的关键。其中，在解决方程问题尤为恰当，将高次方程化为低次方程，复杂过程化为简单方程，轻而易举便可求得原方程的解。

这里讲述一道高次方程如何借助“换元法”来巧解方程的过程：

（2006年的一道青海题）一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．

老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：

(x2-x)2-8(x2-x)+12=0．

学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗?

老师：这样，原方程可整理为x4-2x3-7x2+8x+1 2=0，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点?

学生乙：老师，我发现方程中x2-x是整体出现的，最好不要去括号!

老师：很好，如果我们把x2-x看成一个整体，用y表示，即x2-x=y，那么原方程就变为y2-8y+12=0．

全体学生：(同学们都特别高兴)噢，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗?! 老师：大家真会观察和思考，太棒了!显然一元二次方程y2-8y+1 2=0的根是y1=6，y2=2，那么就有x2-x=6或x2-x=2．

学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根，x1=3，x2=-2，x3=2，x4=-1，嗬，有这么多根啊!

老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法．

上题老师通过其他方法的试探，最后无法用现有知识解答，最后引导学生发

2现规律x-x可以当作一个整体看待，这样一来，就引出了换元法，降低方程的次数了，由不知高阶方程的求解到转换为一元二次方程，这一元二次方程的解决对大家来说无疑是比较简单的。它的根也很快能求出，这里是呈现了一个学习的情节，给出了换元法，既用换元法很好地体现其妙处，又考查了学生对数学方法的运用水平及分析推理能力。

又例1关于x的一元四方程x4x3x2x10.分析可知，因为方程的次数较高，直接求解无疑是比较困难的，通过观察方程的系数，具有对称的特

点，所以使用换元法，便可大大降低难度，是问题迎刃而解。首先，显然可知x0

11不是方程的解，所以除以x2后得到：x2x20.设yx，则有xxx

y2y，2根据与0大小的比较便可求得y的值，再1代回yx，也就求出了x. x

例2解方程(x1)(x2)(x3)(x4)3，对于这一个多个因数相乘，可以把第一项跟第四项先相乘，第二项跟第三项相乘，即x1(x4)(x2)(x3)3，这里利用技巧先算其中两个的乘积，得出的结果为(x25x4)(x25x6)3 由观察可设 x25x5y再代进去，明显地二次变为了一次，计算量就变小了。这里也充分地显现了换元法的价值。

通过上述例题的分析可得，要想提高学生用“换元法”解方程的能力,应当抓住以下问题： 用字母表示代数式的能力是用换元法解方程的基础，为了提高学生用字母表示代数式的能力,将方程中的未知数x换成单项式、多项式、分式或根式。

下面再来剖析这一高次方程x23x4x23x56

直接求解显然不实际，变可想到把其中能合并的作为一个整体来求解，解法一：令x23x y，则原方程变为(y4)(y5)6，即y29y140，解之得y2或7。当y2时，x23x2，解之得x11,x22。当y7时，x23x70无实根。所以，原方程的解为x11,x22.

再次分析，又可用下面的方法来求解，即所设的元不同，原方程也变换的不同，如下解法二：令x23x4y，则原方程变为y(y1)6，解之得y12,y23.由x23x42，得x11,x22.而方程x23x43无实根，所以方程的解为x11,x22。所以方程最后的结果便求出来了。

用换元法解方程(x28x7)(x28x15)150，一般学生都会解,采用多种换元法:令yx28x,yx28x7,yx28x15都可完满解答。但从培养学生的思维能力考虑,如果取7和15的算术平均数11，令yx28x11，则原方程化为（y－4）（y＋4）＋15＝0，它不含y的一次项，此种换元更简单！所以应发展求异思维,培养思维的广阔性，同样是换元法，但要求有更简单的设元，

就用更易求得的设元，缩减计算量，提高做题能力，培养技能。

也就是说，问题解决的方法往往不是唯一的，每个学生都有自己的生活背景、家庭环境，导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略。在解决问题是要鼓励学生尝试从不同角度、不同思路去考虑，并尝试评价不同方法之间的差异，寻找解决问题的最佳途径，这也是学生思维灵活性、开放性的一种表现。教师还要鼓励学生大胆尝试、猜测，允许学生给出不同答案，并用文字、字母或图表等清楚的表达解决问题的过程，解释结果的合理性。事实上现实生活中的许多问题的解决方式不唯一，答案也并不是唯一的，只要能解释其合理性，就应该允许其存在，现实生活是这样，源于生活的数学也是这样，问题解决更应该这样。

“换元法”思想内涵丰富,是培养学生观察能力、直觉能力和整体意识的方法之一,同时培养学生思维结构中从大处着眼的宏观调控能力,产生居高临下之功效,我们不仅在细微之处见"精神",更要从宏观之中探"世界".换元引参是整体思想的集中体现,在整体思想中扮演着不可或缺的角色.换元引参是一种重要的思想方法,它在数学解题中有着广泛的应用.

在中学数学教学中,换元思想的形成,发展和换元法的运用,是一个系统的工程。在高中数学教学中,换元思想的应用尤其广泛,但有不少内容已在初中部分渗透。为了加强初高中数学教学的系统性和连贯性,使学生多层次的认识和运用换元思想,重视体现换元思想是十分必要而又切实可行的。“换元法”在求解高次方程中的运用方便有效，巧妙性自然不言而喻。同时锻炼了学生的变通及思考能力，不断提升其能力。