第一章索洛增长模型

第一章 索洛增长模型

一、索洛模型的介绍与一些前提假设条件

该模型是经济学家传统上用于分析经济增长的主要模型。几乎对于所有有关增长的分析而言，索洛模型是其起点。理解该模型实质上便是理解增长理论。但该模型也存在缺陷：它不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。（按边际产品取得收益的传统途径）。

Y(t)F(K(t),A(t)L(t))

假设：（1）生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的，即资本与有效劳动是规模报酬不变的(F(cK,cAL)cF(K,AL),c0)；（2）除资本、劳动与知识以外的其他投入是相对不重要的，特别地，模型忽略了土地与其他自然资源。

规模报酬不变的假设可以让我们利用紧凑形式的生产函数进行分析：

当c1/AL,F(cK,cAL)cF(K,AL)F(1AL

KAL

,1)

1AL

F(K,AL)，其中，

KAL

KAL

是

F(K,AL)是单位有效劳动的产出。定义k，yY/AL，

及yF(k,1)yf(k)，即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数。

[人均收入：Y/LA(Y/AL)Af(k)]

紧凑型生产函数f(k)假定满足f(0)0，f'(k)0，f''(k)0。因为：

F(K,AL)ALf(K/AL)F(K,AL)/KALf(K/AL)(1/AL)f(k)

'

'

但它随每单位有效劳动的资f(k)0，f(k)0的假设意味着资本的边际产品为正，

''

本量的增加而下降。另f()被假设满足稻田条件：limk0f(k),limkf(k)0，

'''

其意思是在资本存量充分小量资本的边际产品是十分大的，而当资本存量变大时，资本的边际产品变得十分小。，它是确保经济的路径并不发散。

（举例柯布－道格拉斯生产函数，说明满足稻田条件的意义）

二、生产投入的时间变化描述

资本、劳动与知识的初始水平给定的，劳动与知识以不变的增长率增长：





L(t)nL(t)，A(t)gA(t)（n与g是外生参数，而变量上的一点表示关于时间的一



个导数，L(t)dL(t)/dt，为变量的变化率。而变量的增长率指其变化的速率，它等于其dlnL(t)dL(t)1

自然对数的变化率，如，nd。lnL(t)/L()t

dL()tdt(L)t

lnL(t)lnL(0)nt

ntgt

L(t)L(0)e（同理可得出A(t)A(0)e）

假设产出仅在消费与投资之间分配，其中投入投资的产出份额s是外生且不变的，投入投资的一单位产出可获得一单位的新资本。现有资本以速率折旧，即有：



K(t)sY(t)K(t)

（索洛模型简化：只存在一种单一的产品，政府不存在，就业波动被忽视，生产正好可用于三种投入的总生产函数描述，并且储蓄率（s）、折旧（）、人口增长（n）与技术进步（g）不变。）

三、模型的动态学解释

1、k的动态学

由于kK/AL，求关于时间t的导数，可得：











k

KALAL



K(AL)

2



(ALLA)

KAL



KLALL



KAALA

sYK

nkgk

sf(k)knkgksf(k)k(ng)



它表示单位有效劳动的资本存量的变化率（k）为如下两项的差：第一项sf(k)为每单位有效劳动的实际投资；第二项k(ng)为持平投资，即为使k保持在现有水平上所必须进行的投资量。理由是现有资本正在折旧及有效劳动量正在以（ng）的速率增长。

（1）实际与持平投资图：

（稻田条件保证了上图的实际投资曲线先陡峭，后下降，且只有相交一个点） （2）相位图：用相位图说明作为k的函数的k的变化：如果k初始小于k，实际投资大于持平投资，因而k为正，反之，如果k大于k，实际投资小于持平投资，因而k为负，如果k等于k，则k为零。因此，无论k在哪里开始，它总会收敛于k。

*





*

*



*

k

索洛模型中k的相图

（3）平衡增长路径：当k收敛于k，则劳动与知识正分别以速率n与g增加。资本存量K等于ALk，由于k在k处不变，那么，K正以速度ng增长，在资本与有效劳动正以速率ng增长的条件下，规模报酬不变的假设意味着产出Y正以该速率增长。人均资本（K/L）及人均产出(Y/L)正以速率g增长。即意味着，无论其起点在何处，经济总会收敛于一个平衡增长路径，模型的每个变量正以一个不变的速率增长，人均产出增长率只由技术进步惟一地决定。

四、储蓄率变化的影响

政策最有可能影响索洛模型有参数是储蓄率。

1、对产出的影响。s的增加把实际投资线向上移动，因而k上升，如图：

*

*

*

*



用于投资的储蓄率增加的效应

*

k不会立即跳跃到k的新值上。当k初始等于k的旧值，实际投资大于持平投资，k

为正。因此，k开始上升，且持续上升，直到达到k的新值才保持不变。如下图所示：

*

在这里，t0表示储蓄率增加的时刻，依据假设，s在t0时刻跳跃，并且在此后保持不变。



由于s的跳跃使实际投资以一个正的数量大于持平投资，k由0跳跃到一个严格的正的数量上。k逐渐由k的旧值上升到其新值上，并且k逐渐地返回到零。此外，每个工人的平均产出Y/L等于Af(k)。当k不变时，Y/L以A的增长率（g）增长。当k正在增加时，Y/L的增长起因于A在增长，也起因于k在增加。因而Y/L的增长率大于g。然而，当k达到k

*

*



新值时，只有A的增长对Y/L的增长产生作用。Y/L的增长率恢复到g。因此，储蓄率的永久性增加产生了每个工人的平均产出增长率的暂时性增加。此时k的上升，最终会增加至新增储蓄率被用于维持k的高水平。

每个工人的产出增长率初始为g，在t0时刻向上跳跃，然后返回到其初始水平。因而每个工人的平均产出开始上升并且高于其处在平衡路径上时的水平，并且接着逐渐返回到一个较高的路径上，后者同第一个路径平行。

储蓄率的变化具备水平效应，但不具备增长效应，它改变了经济的平衡增长路径，因而也改变了任何时点上每个工人的产出水平。但这并不影响平衡路径上每个工人的平均产出增长率。在索洛模型中，只有技术进步的增长率的变化具有增长效应，所有其他变化只会产生水平效应。

2、对消费的影响

每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出乘以该产出用于消费的份额1s。

(1s)f(k)。s在t0时刻处呈非连续的变化每单位有效劳动的消费初始发生向下跳跃。随

着k的上升与s仍处在较高水平上，消费逐渐地上升。

储蓄对消费的影响分析：假设c表示均衡增长路径上单位有效劳动的消费。即

*

****

cf(k)sf(k)。在平衡增长路径上，实际投资等于持平投资(ng)k。因此，

*****

cf(k)(ng)k，其中，k是由s、n、g与决定的。因此，可将k表示

为：k*k*(s,n,g,)。对上式求关于s的导数，得：

c

*

s

[f(k(s,n,g,))(ng)]

'*

k(s,n,g,)

s

*

由于s的增加会提高k，即

*

k(s,n,g,)

s

*

0，那么，s的增加是否在长期内提高或降

低消费，这取决于资本边际产品f'(k*)是否大于或小于(ng)。当k的上升，每单位有效劳动的投资的增加必定会等于(ng)与k的乘积，以便使增加可被维持。如果

f(k)是小于(ng)，那么，由增加的资本所获得的产出的增加并不足以把资本存量

'

*

维持在较高水平上，消费必定下降以便保持较高的资本存量。如果f'(k*)是大于

(ng)，那么，由必存在相当高的产出去保持k处在较高水平上，消费上升。

（s的上升是否提高或降低消费取决于k*是处在f(k)的斜率的大小，如果f'(k*)大于持平投资的斜率(ng)，则s的上升提高消费；f'(k*)小于持平投资的斜率则s的上升降低消费，f(k)等于持平投资的斜率(ng)－平行，则s的(ng)，

的边际变动不会对消费产生影响，且在各种平衡增长路径上，消费处在其最大的可能水平上。此时的k*值就是著名的资本存量的黄金律水平。 3、储蓄在长期内对产出的影响（定量分析）： y

*

'

*

s

f(k)

'*

k(s,n,g,)

s

k

*

*

（1）

为求出

y

*

s

，需先求出

s

，我们知道，k是由k＝0的条件界定的，因此，k满足：

*

*



*

sf(k(s,n,g,))(ng)k(s,n,g,)

*

对上式求关于s的导数，则得出： sf(k)

'

*

k

*

s

f(k)(ng)

*

k

*

s



k

*

s



f(k)

(ng)sf(k)

'

*

*

（2）

把（2）式代入（1）式得到： y

*

s



f(k)f(k)(ng)sf(k)

'

*

'**

（3）

将（3）两边同乘以s/y*转变为弹性，另利用sf(k*)(ng)k*去替换s，得到：

syy

*

*

s



s

**

f(k)f(k)

'

*

'

*

'**

f(k)(ng)sf(k)

f(k)

(ng)sf(k)

*

'

*'

*

*

(ng)k

f(k)(ng)k

f(k)

**



f(k)

(ng)(ng)kf(k)/f(k)

'

*

*

'

*

*



kf(k)

f(k)(1kf(k)/f(k))

*

*

'

*

*

*

由于k*f'(k*)/f(k*)是在kk*处的产出关于资本的弹性。用K(k)表示这个弹性，

即可获得：

syy

*

*

s



K(k)

1K(k)

*

*

如果市场是竞争性的，并且不存在外部性，资本获得其边际产品，那么，在平衡增长路径上的每单位有效劳动的资本获得的总产出量是kf(k)。因而，如果资本获得其边际产

**'**

品，平衡增长路径上分配给资本的总收入份额是kf(k)/f(k)或K(k)。（储蓄率的产

*'*

*

出弹性，K(k)较小意味着实际投资曲线更弯曲。结果，曲线的向上移动只会把它与持平

投资线的交点向上移出一点；及k的变化对y产生较小的影响）。 4、收敛速度

k怎样快地趋向k。我们知道k是由k决定的，因为ksf(k)(ng)k。因此，





**

*



可写出kk(k)。当k趋于k，k趋于0。在kk附近，k(k)的一阶泰勒展开式的近似值为：





*



*



k[

k(k)k

|kk*](kk)

*



设表示



k(k)k

*

|kk*，那么，上式可变为：

k(k(t)k)

上式表示，在平衡增长路径附近，k大致同kk*的距离成比例的速度趋向k*，即

*

： k(t)k的增长率大致不变且等于，这意味着（微分方程解）

k(t)ke

*t

[k(0)k]，其中k(0)是k的初始值。



*

要求出？，对ksf(k)(ng)k求关于k的微分，并且在kk*处所形成的表达式取值，得到：





k(k)k

'

*

|kk*

[sf(k)(ng)](ng)sf(k)(ng)

*

'

*

*

'

*

(ng)kf(k)

f(k)

*

[1K(k)](ng)

*

因此，k以速率[1K(k)](ng)收敛于其平衡增长路径值。同样y以k趋向k*的

速率趋向y*，即y(t)y*et[y(0)y*]。

（假定ng6%，即n1%~2%，g1%~2%，即用每个工人的平均产出的

**

增长率，3%~4%，K(k)1/34%，k与y每年走完其各自k*与y的剩

余距离的4%，且大致花18年的时间走完与其平衡增长路径值的一半距离）

索洛模型的核心结论是：如果在市场中资本所要求的报酬是其对产出的贡献，那么，物质资本积累的变化并不能解释世界范围的经济增长的显著部分或国家间的收入差别。例如，从直接方式看：如果两个经济间每工人平均产出的差异为X倍，那么两个经济间每工人平均产出对数的差为lnX，由于每工人平均产出关于每工人平均资本的弹性是K，每工人平

(lnX)/均资本对数必须有数量为(lnX)/K的差距。那么，每工人平均资本（k）的差异为e

K

或X

1/K

{由该式得到：(X/X)/(K/K)K，lnXX/X，lnKK/K，如果

X＝10倍，K＝1/3，那么，k差异为1000倍，这是不现实的。}。从间接方式看，由于模型无法依据每工人平均资本的差异来解释每工人平均产出的较大的变化，因此，考虑资本

所需要的差额意味着资本报酬率的巨大差异（卢卡斯，1990）。如果市场是竞争性的，资本的报酬率等于其边际产品f'(k)减去折旧。用柯布－道格拉斯生产函数来说明这一点，即

'1(1)/

，f(k)k，产出关于资本的弹性为，资本的边际产品为：f(k)ky

即资本的边际产品关于产出的弹性为(1)/。如果1/3，每个工人平均产出的10倍的差额来源于每个工人平均资本的差异，这意味着资本的边际产品的100倍的差异（现实

并不存在这种报酬率差异的证据）。 因此，每个工人平均实物资本的差异无法说明我们所观察到的每个工人平均产出差异，或者我们所观察到的每个工人平均产出差异能由每个工人平均实物资本的差异来解释。当然，索洛模型中，将每个工人平均产出变化的其他潜在来源是劳动的有效性。但这变量是外生的。A是什么？是杂物袋。 五、经验性应用

在索洛模型中，第个工人平均产出的长期增长只依存于技术进步。但短期增长或者来源于技术进步或者来源于资本积累。 1、增长因素分析法 Y(t)F(K(t),A(t)L(t))



Y(t)



Y(t)K(t)



K(t)



Y(t)L(t)



L(t)

Y(t)A(t)





A(t)





Y(t)Y(t)





K(t)Y(t)K(t)Y(t)K(t)K(t)



L(t)Y(t)L(t)Y(t)L(t)L(t)



A(t)Y(t)A(t)Y(t)A(t)A(t)

R(t)

K(t)

K(t)K(t)

L(t)

L(t)L(t)

K(t)L(t)1











Y(t)Y(t)



L(t)L(t)

K(t)[

K(t)K(t)



L(t)L(t)

]R(t)

其中，R（t）是索洛剩余。上式是指每个工人平均产出的分解为每个工人平均资本的增长的贡献与剩余项－索洛残值，它有时被解释为对技术进步贡献的度量。

2、收敛性

鲍默尔（1986）检验16个工业化国家间由1870－1978年的收敛性模型，如下：

ln[(

YN

)i,1978]ln[(

YN

)i,1870]ab[(

YN

)i,1870]i

上式中，如果b为负，则存在收敛性，否则不存在收敛性。

六、环境与经济增长

1、自然资源与土地：一种基本情形：

Y(t)K(t)R(t)T(t)[A(t)L(t)]







1

0,0,0,1

其中，R表示生产中可利用的资源，T表示土地数量



同样，K(t)sY(t)K(t),L(t)nL(t),A(t)gA(t)。由于土地数量是固定的，则





T(t)0，资源禀固定及在生产中被利用，资源使用必定会最终下降，则R(t)bR(t)，b0。

由于在生产函数中资源与土地的出现意味着K/AL不会收敛于某一值。



考虑到资本运动方程：K(t)sY(t)K(t)，意味着K的增长率为：



K(t)K(t)

s

Y(t)K(t)

，为使K的增长率不变，Y/K必定不变，那么，Y与K的增长率必

定相等。

对Y(t)K(t)R(t)T(t)[A(t)L(t)]1两边取对数，得到：

lnY(t)lnK(t)lnR(t)lnT(t)(1)[lnA(t)lnL(t)]

给上式两边求时间的导数，得到：

gY(t)gK(t)gR(t)gT(t)(1)[gA(t)gL(t)] gY(t)gK(t)b(1)(ng)

如果经济处在一个平衡路径上，gY(t)与gK(t)一定相等，代入上式得：

g

bgp

Y(t)



(1)(ng)b

1

在平衡增长路径上每个工人平均产出增长率为： g

bgp

Y/L

gY

bgp

gL

bgp

(1)(ng)b

11

n

(1)gb()n

上式表明，平衡增长路径上每个工人平均收入的增长率或者为正，或者为负。即资源与土地的限制会引起每工人平均产出最终下降。 一种解释性计算：









将原假设T(t)0与R(t)bR(t)由假设T(t)nT(t)与R(t)nR(t)替代，这种假设经济中，不存在资源与土地的限制――二者均同人口同增长。那么，使用前面推导方法可得出：

(1)gbgp

Yg /L

1

源于资源与土地限制的（增长阻力）等于这种假设情形中的增长与资源和土地限制情形中的增长之间的差额：

bgpbgpYDragggY/L

/L



(1)g

1



(1)gb()n

1

b()n

1

因此，增长阻力随资源份额（）、土地份额（）、正在下降的资源利用率（b）、人口增长率（n）与资本份额（）而递增。

第一章 索洛增长模型

一、索洛模型的介绍与一些前提假设条件

该模型是经济学家传统上用于分析经济增长的主要模型。几乎对于所有有关增长的分析而言，索洛模型是其起点。理解该模型实质上便是理解增长理论。但该模型也存在缺陷：它不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。（按边际产品取得收益的传统途径）。

Y(t)F(K(t),A(t)L(t))

假设：（1）生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的，即资本与有效劳动是规模报酬不变的(F(cK,cAL)cF(K,AL),c0)；（2）除资本、劳动与知识以外的其他投入是相对不重要的，特别地，模型忽略了土地与其他自然资源。

规模报酬不变的假设可以让我们利用紧凑形式的生产函数进行分析：

当c1/AL,F(cK,cAL)cF(K,AL)F(1AL

KAL

,1)

1AL

F(K,AL)，其中，

KAL

KAL

是

F(K,AL)是单位有效劳动的产出。定义k，yY/AL，

及yF(k,1)yf(k)，即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数。

[人均收入：Y/LA(Y/AL)Af(k)]

紧凑型生产函数f(k)假定满足f(0)0，f'(k)0，f''(k)0。因为：

F(K,AL)ALf(K/AL)F(K,AL)/KALf(K/AL)(1/AL)f(k)

'

'

但它随每单位有效劳动的资f(k)0，f(k)0的假设意味着资本的边际产品为正，

''

本量的增加而下降。另f()被假设满足稻田条件：limk0f(k),limkf(k)0，

'''

其意思是在资本存量充分小量资本的边际产品是十分大的，而当资本存量变大时，资本的边际产品变得十分小。，它是确保经济的路径并不发散。

（举例柯布－道格拉斯生产函数，说明满足稻田条件的意义）

二、生产投入的时间变化描述

资本、劳动与知识的初始水平给定的，劳动与知识以不变的增长率增长：





L(t)nL(t)，A(t)gA(t)（n与g是外生参数，而变量上的一点表示关于时间的一



个导数，L(t)dL(t)/dt，为变量的变化率。而变量的增长率指其变化的速率，它等于其dlnL(t)dL(t)1

自然对数的变化率，如，nd。lnL(t)/L()t

dL()tdt(L)t

lnL(t)lnL(0)nt

ntgt

L(t)L(0)e（同理可得出A(t)A(0)e）

假设产出仅在消费与投资之间分配，其中投入投资的产出份额s是外生且不变的，投入投资的一单位产出可获得一单位的新资本。现有资本以速率折旧，即有：



K(t)sY(t)K(t)

（索洛模型简化：只存在一种单一的产品，政府不存在，就业波动被忽视，生产正好可用于三种投入的总生产函数描述，并且储蓄率（s）、折旧（）、人口增长（n）与技术进步（g）不变。）

三、模型的动态学解释

1、k的动态学

由于kK/AL，求关于时间t的导数，可得：











k

KALAL



K(AL)

2



(ALLA)

KAL



KLALL



KAALA

sYK

nkgk

sf(k)knkgksf(k)k(ng)



它表示单位有效劳动的资本存量的变化率（k）为如下两项的差：第一项sf(k)为每单位有效劳动的实际投资；第二项k(ng)为持平投资，即为使k保持在现有水平上所必须进行的投资量。理由是现有资本正在折旧及有效劳动量正在以（ng）的速率增长。

（1）实际与持平投资图：

（稻田条件保证了上图的实际投资曲线先陡峭，后下降，且只有相交一个点） （2）相位图：用相位图说明作为k的函数的k的变化：如果k初始小于k，实际投资大于持平投资，因而k为正，反之，如果k大于k，实际投资小于持平投资，因而k为负，如果k等于k，则k为零。因此，无论k在哪里开始，它总会收敛于k。

*





*

*



*

k

索洛模型中k的相图

（3）平衡增长路径：当k收敛于k，则劳动与知识正分别以速率n与g增加。资本存量K等于ALk，由于k在k处不变，那么，K正以速度ng增长，在资本与有效劳动正以速率ng增长的条件下，规模报酬不变的假设意味着产出Y正以该速率增长。人均资本（K/L）及人均产出(Y/L)正以速率g增长。即意味着，无论其起点在何处，经济总会收敛于一个平衡增长路径，模型的每个变量正以一个不变的速率增长，人均产出增长率只由技术进步惟一地决定。

四、储蓄率变化的影响

政策最有可能影响索洛模型有参数是储蓄率。

1、对产出的影响。s的增加把实际投资线向上移动，因而k上升，如图：

*

*

*

*



用于投资的储蓄率增加的效应

*

k不会立即跳跃到k的新值上。当k初始等于k的旧值，实际投资大于持平投资，k

为正。因此，k开始上升，且持续上升，直到达到k的新值才保持不变。如下图所示：

*

在这里，t0表示储蓄率增加的时刻，依据假设，s在t0时刻跳跃，并且在此后保持不变。



由于s的跳跃使实际投资以一个正的数量大于持平投资，k由0跳跃到一个严格的正的数量上。k逐渐由k的旧值上升到其新值上，并且k逐渐地返回到零。此外，每个工人的平均产出Y/L等于Af(k)。当k不变时，Y/L以A的增长率（g）增长。当k正在增加时，Y/L的增长起因于A在增长，也起因于k在增加。因而Y/L的增长率大于g。然而，当k达到k

*

*



新值时，只有A的增长对Y/L的增长产生作用。Y/L的增长率恢复到g。因此，储蓄率的永久性增加产生了每个工人的平均产出增长率的暂时性增加。此时k的上升，最终会增加至新增储蓄率被用于维持k的高水平。

每个工人的产出增长率初始为g，在t0时刻向上跳跃，然后返回到其初始水平。因而每个工人的平均产出开始上升并且高于其处在平衡路径上时的水平，并且接着逐渐返回到一个较高的路径上，后者同第一个路径平行。

储蓄率的变化具备水平效应，但不具备增长效应，它改变了经济的平衡增长路径，因而也改变了任何时点上每个工人的产出水平。但这并不影响平衡路径上每个工人的平均产出增长率。在索洛模型中，只有技术进步的增长率的变化具有增长效应，所有其他变化只会产生水平效应。

2、对消费的影响

每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出乘以该产出用于消费的份额1s。

(1s)f(k)。s在t0时刻处呈非连续的变化每单位有效劳动的消费初始发生向下跳跃。随

着k的上升与s仍处在较高水平上，消费逐渐地上升。

储蓄对消费的影响分析：假设c表示均衡增长路径上单位有效劳动的消费。即

*

****

cf(k)sf(k)。在平衡增长路径上，实际投资等于持平投资(ng)k。因此，

*****

cf(k)(ng)k，其中，k是由s、n、g与决定的。因此，可将k表示

为：k*k*(s,n,g,)。对上式求关于s的导数，得：

c

*

s

[f(k(s,n,g,))(ng)]

'*

k(s,n,g,)

s

*

由于s的增加会提高k，即

*

k(s,n,g,)

s

*

0，那么，s的增加是否在长期内提高或降

低消费，这取决于资本边际产品f'(k*)是否大于或小于(ng)。当k的上升，每单位有效劳动的投资的增加必定会等于(ng)与k的乘积，以便使增加可被维持。如果

f(k)是小于(ng)，那么，由增加的资本所获得的产出的增加并不足以把资本存量

'

*

维持在较高水平上，消费必定下降以便保持较高的资本存量。如果f'(k*)是大于

(ng)，那么，由必存在相当高的产出去保持k处在较高水平上，消费上升。

（s的上升是否提高或降低消费取决于k*是处在f(k)的斜率的大小，如果f'(k*)大于持平投资的斜率(ng)，则s的上升提高消费；f'(k*)小于持平投资的斜率则s的上升降低消费，f(k)等于持平投资的斜率(ng)－平行，则s的(ng)，

的边际变动不会对消费产生影响，且在各种平衡增长路径上，消费处在其最大的可能水平上。此时的k*值就是著名的资本存量的黄金律水平。 3、储蓄在长期内对产出的影响（定量分析）： y

*

'

*

s

f(k)

'*

k(s,n,g,)

s

k

*

*

（1）

为求出

y

*

s

，需先求出

s

，我们知道，k是由k＝0的条件界定的，因此，k满足：

*

*



*

sf(k(s,n,g,))(ng)k(s,n,g,)

*

对上式求关于s的导数，则得出： sf(k)

'

*

k

*

s

f(k)(ng)

*

k

*

s



k

*

s



f(k)

(ng)sf(k)

'

*

*

（2）

把（2）式代入（1）式得到： y

*

s



f(k)f(k)(ng)sf(k)

'

*

'**

（3）

将（3）两边同乘以s/y*转变为弹性，另利用sf(k*)(ng)k*去替换s，得到：

syy

*

*

s



s

**

f(k)f(k)

'

*

'

*

'**

f(k)(ng)sf(k)

f(k)

(ng)sf(k)

*

'

*'

*

*

(ng)k

f(k)(ng)k

f(k)

**



f(k)

(ng)(ng)kf(k)/f(k)

'

*

*

'

*

*



kf(k)

f(k)(1kf(k)/f(k))

*

*

'

*

*

*

由于k*f'(k*)/f(k*)是在kk*处的产出关于资本的弹性。用K(k)表示这个弹性，

即可获得：

syy

*

*

s



K(k)

1K(k)

*

*

如果市场是竞争性的，并且不存在外部性，资本获得其边际产品，那么，在平衡增长路径上的每单位有效劳动的资本获得的总产出量是kf(k)。因而，如果资本获得其边际产

**'**

品，平衡增长路径上分配给资本的总收入份额是kf(k)/f(k)或K(k)。（储蓄率的产

*'*

*

出弹性，K(k)较小意味着实际投资曲线更弯曲。结果，曲线的向上移动只会把它与持平

投资线的交点向上移出一点；及k的变化对y产生较小的影响）。 4、收敛速度

k怎样快地趋向k。我们知道k是由k决定的，因为ksf(k)(ng)k。因此，





**

*



可写出kk(k)。当k趋于k，k趋于0。在kk附近，k(k)的一阶泰勒展开式的近似值为：





*



*



k[

k(k)k

|kk*](kk)

*



设表示



k(k)k

*

|kk*，那么，上式可变为：

k(k(t)k)

上式表示，在平衡增长路径附近，k大致同kk*的距离成比例的速度趋向k*，即

*

： k(t)k的增长率大致不变且等于，这意味着（微分方程解）

k(t)ke

*t

[k(0)k]，其中k(0)是k的初始值。



*

要求出？，对ksf(k)(ng)k求关于k的微分，并且在kk*处所形成的表达式取值，得到：





k(k)k

'

*

|kk*

[sf(k)(ng)](ng)sf(k)(ng)

*

'

*

*

'

*

(ng)kf(k)

f(k)

*

[1K(k)](ng)

*

因此，k以速率[1K(k)](ng)收敛于其平衡增长路径值。同样y以k趋向k*的

速率趋向y*，即y(t)y*et[y(0)y*]。

（假定ng6%，即n1%~2%，g1%~2%，即用每个工人的平均产出的

**

增长率，3%~4%，K(k)1/34%，k与y每年走完其各自k*与y的剩

余距离的4%，且大致花18年的时间走完与其平衡增长路径值的一半距离）

索洛模型的核心结论是：如果在市场中资本所要求的报酬是其对产出的贡献，那么，物质资本积累的变化并不能解释世界范围的经济增长的显著部分或国家间的收入差别。例如，从直接方式看：如果两个经济间每工人平均产出的差异为X倍，那么两个经济间每工人平均产出对数的差为lnX，由于每工人平均产出关于每工人平均资本的弹性是K，每工人平

(lnX)/均资本对数必须有数量为(lnX)/K的差距。那么，每工人平均资本（k）的差异为e

K

或X

1/K

{由该式得到：(X/X)/(K/K)K，lnXX/X，lnKK/K，如果

X＝10倍，K＝1/3，那么，k差异为1000倍，这是不现实的。}。从间接方式看，由于模型无法依据每工人平均资本的差异来解释每工人平均产出的较大的变化，因此，考虑资本

所需要的差额意味着资本报酬率的巨大差异（卢卡斯，1990）。如果市场是竞争性的，资本的报酬率等于其边际产品f'(k)减去折旧。用柯布－道格拉斯生产函数来说明这一点，即

'1(1)/

，f(k)k，产出关于资本的弹性为，资本的边际产品为：f(k)ky

即资本的边际产品关于产出的弹性为(1)/。如果1/3，每个工人平均产出的10倍的差额来源于每个工人平均资本的差异，这意味着资本的边际产品的100倍的差异（现实

并不存在这种报酬率差异的证据）。 因此，每个工人平均实物资本的差异无法说明我们所观察到的每个工人平均产出差异，或者我们所观察到的每个工人平均产出差异能由每个工人平均实物资本的差异来解释。当然，索洛模型中，将每个工人平均产出变化的其他潜在来源是劳动的有效性。但这变量是外生的。A是什么？是杂物袋。 五、经验性应用

在索洛模型中，第个工人平均产出的长期增长只依存于技术进步。但短期增长或者来源于技术进步或者来源于资本积累。 1、增长因素分析法 Y(t)F(K(t),A(t)L(t))



Y(t)



Y(t)K(t)



K(t)



Y(t)L(t)



L(t)

Y(t)A(t)





A(t)





Y(t)Y(t)





K(t)Y(t)K(t)Y(t)K(t)K(t)



L(t)Y(t)L(t)Y(t)L(t)L(t)



A(t)Y(t)A(t)Y(t)A(t)A(t)

R(t)

K(t)

K(t)K(t)

L(t)

L(t)L(t)

K(t)L(t)1











Y(t)Y(t)



L(t)L(t)

K(t)[

K(t)K(t)



L(t)L(t)

]R(t)

其中，R（t）是索洛剩余。上式是指每个工人平均产出的分解为每个工人平均资本的增长的贡献与剩余项－索洛残值，它有时被解释为对技术进步贡献的度量。

2、收敛性

鲍默尔（1986）检验16个工业化国家间由1870－1978年的收敛性模型，如下：

ln[(

YN

)i,1978]ln[(

YN

)i,1870]ab[(

YN

)i,1870]i

上式中，如果b为负，则存在收敛性，否则不存在收敛性。

六、环境与经济增长

1、自然资源与土地：一种基本情形：

Y(t)K(t)R(t)T(t)[A(t)L(t)]







1

0,0,0,1

其中，R表示生产中可利用的资源，T表示土地数量



同样，K(t)sY(t)K(t),L(t)nL(t),A(t)gA(t)。由于土地数量是固定的，则





T(t)0，资源禀固定及在生产中被利用，资源使用必定会最终下降，则R(t)bR(t)，b0。

由于在生产函数中资源与土地的出现意味着K/AL不会收敛于某一值。



考虑到资本运动方程：K(t)sY(t)K(t)，意味着K的增长率为：



K(t)K(t)

s

Y(t)K(t)

，为使K的增长率不变，Y/K必定不变，那么，Y与K的增长率必

定相等。

对Y(t)K(t)R(t)T(t)[A(t)L(t)]1两边取对数，得到：

lnY(t)lnK(t)lnR(t)lnT(t)(1)[lnA(t)lnL(t)]

给上式两边求时间的导数，得到：

gY(t)gK(t)gR(t)gT(t)(1)[gA(t)gL(t)] gY(t)gK(t)b(1)(ng)

如果经济处在一个平衡路径上，gY(t)与gK(t)一定相等，代入上式得：

g

bgp

Y(t)



(1)(ng)b

1

在平衡增长路径上每个工人平均产出增长率为： g

bgp

Y/L

gY

bgp

gL

bgp

(1)(ng)b

11

n

(1)gb()n

上式表明，平衡增长路径上每个工人平均收入的增长率或者为正，或者为负。即资源与土地的限制会引起每工人平均产出最终下降。 一种解释性计算：









将原假设T(t)0与R(t)bR(t)由假设T(t)nT(t)与R(t)nR(t)替代，这种假设经济中，不存在资源与土地的限制――二者均同人口同增长。那么，使用前面推导方法可得出：

(1)gbgp

Yg /L

1

源于资源与土地限制的（增长阻力）等于这种假设情形中的增长与资源和土地限制情形中的增长之间的差额：

bgpbgpYDragggY/L

/L



(1)g

1



(1)gb()n

1

b()n

1

因此，增长阻力随资源份额（）、土地份额（）、正在下降的资源利用率（b）、人口增长率（n）与资本份额（）而递增。