第3节：分解素因数（教案）
一：素数与合数
这节课我们来学习分解素因数的知识，在学习之前我们必须知道什么是素数，素数有怎样的特点，我们通过下面的一个例题来看一下吧：
例题1：观察下列各数，分别写出它们的因数。
1， 2， 3， 4， 5， 9， 12， 13
思考：例题1中的这些数，哪些数只有一个因数？哪些数有两个因数？哪些数有两个以上的因数？
只有一个因数的数：_________________________________；
有两个因数的数：_____________________________________________；
有两个以上因数的数：_______________________________________________；
由此可见，不同的数，其因数的个数是不同的，有的只有一个，有的只有两个，而有的则有多个。这样，根据因数个数的不同，我们将正整数分成了以下几类：
素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数。例如：2， 3， 5等；【只有两个因数的正整数，是素数】
合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。例如：4， 6， 8等；
【有两个以上因数的正整数，是合数】
注：1既不是素数，也不是合数。
这样我们就将正整数又分成了三类：素数、合数和1. 用图可以表示为：
⎧素数⎪正整数⎨合数
⎪1⎩
如果我们将整数再作一次更细的分类，可以用下图表示：
⎧⎧素数⎪⎪正整数⎨合数⎪⎪1⎪⎩⎪整数⎨0
⎪负整数⎪⎪⎪⎩
练习1：判断下列各数，哪些是素数，哪些是合数？
27， 29， 35， 37， 45
素数：____________________________________；
合数：____________________________________；
练习2：找出下面的素数和合数，并填在相应的圈中。
2， 6， 10， 11， 13， 15， 17， 18， 19， 25， 29， 28
素数 合数
练习3：在自然数1到10中，奇数有________________________；偶数有____________________；素数有______________________________；合数有______________________________；
练习4：判断下列说法是否正确。
（1）一个合数至少有3个因数 （ ）
（2）所有的奇数都是素数 （ ）
（3）所有的偶数都是合数 （ ）
（4）在正整数中，除了素数都是合数 （ ）
练习5：选择题
（1）在正整数中，1是
A. 最小的奇数 B. 最小的偶数 C. 最小的素数 D. 最小的合数
（2）在正整数中，4是
A. 最小的奇数 B. 最小的偶数 C. 最下的素数 D. 小的合数
二：分解素因数
例题：6， 28和60可以写成哪几个素数相乘的形式？
解析：解决这类问题，我们可以采用“树枝分解法”，如下图所示：
所以：6=2×3
28=2×2×7
60=2×3×2×5=2×2×3×5
从这个例题中，我们可以看出：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，并且这几个素数都是这个合数的因数，我们称它们为这个合数的素因数。
在数学中，把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫作分解素因数。
三：分解素因数的方法
把一个合数分解素因数除了可以使用“树枝分解法”以外，我们还可以使用“短除法”。看下面的例题： 例题：把48， 35， 60分解素因数。
所以：48=2×2×2×2×3；35=5×7；60=2×2×3×5
用短除法分解素因数的步骤如下：
（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式；
注：除了以上两种方法外，也可以采用口算的方法进行分解素因数，例如：
72=8×9=2×4×3×3=2×2×2×3×3
特别注意的是，在分解素因数时，分解到最后必须保证每个因数都是素数。
练习1：判断下面的说法是否正确？
（1）42分解素因数是42=2×21 （ ）；
（2）A=2×3×5×B ，B ＞1，则B 一定是A 的素因数 （ ）；
练习2：选择题
（1）在等式4×6=n=2×2×2×3中，4和6都是n 的 （ ），2和3都是n 的（ ）
A. 素因数 B. 素数 C. 因数 D. 合数
（2）把24分解素因数的正确算式是：
A. 24=2×3×4 B. 24=2×2×2×3
C. 24=1×2×2×2×3 C. 24=2×2×6
练习3：把以下各数分解素因数。
35， 36， 56， 72， 81
随堂训练
一：填空题
1. 最小的自然数是________，最小的质数是________，最小的合数是________，最小的奇数是_____；
2. 20以内的质数有_________________________________________；20以内的偶数有_____________ _________________________；20以内的奇数有______________________________________________；
3. 20以内的数中不是偶数的合数有________________________；不是奇数的质数有_______________；
4. 三个连续奇数的和是87，则这三个连续的奇数分别是_________、________、________；
5. 7， 17， 27， 37， 47， 57， 67， 77， 87， 97这10个数中，素数有________________________；
6. 36的因数有_____________________________________，这些因数中______________________是素数；______________________________________是合数；
二：判断题
1. 任何一个自然数，不是质数就是合数。（ ）
2. 偶数都是合数，奇数都是质数。（ ）
3. 7的倍数都是合数。（ ）
4. 20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171. （ ）
5. 只有两个约数的数，一定是质数。（ ）
6. 两个质数的积，一定是质数。（ ）
7. 2是偶数也是合数。（ ）
8. 1是最小的自然数，也是最小的质数。（ ）
9. 除了2以外，所有的偶数都是合数。（ ）
10. 最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7. （ ）
三：选择题
1. 两个素数的乘积一定是：
A. 偶数 B. 素数 C. 奇数 D. 合数
2. 1是
A. 最小的自然数 B. 最小的偶数 C. 最小的因数 D. 最小的奇数
第3节：分解素因数（教案）
一：素数与合数
这节课我们来学习分解素因数的知识，在学习之前我们必须知道什么是素数，素数有怎样的特点，我们通过下面的一个例题来看一下吧：
例题1：观察下列各数，分别写出它们的因数。
1， 2， 3， 4， 5， 9， 12， 13
思考：例题1中的这些数，哪些数只有一个因数？哪些数有两个因数？哪些数有两个以上的因数？
只有一个因数的数：_________________________________；
有两个因数的数：_____________________________________________；
有两个以上因数的数：_______________________________________________；
由此可见，不同的数，其因数的个数是不同的，有的只有一个，有的只有两个，而有的则有多个。这样，根据因数个数的不同，我们将正整数分成了以下几类：
素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数。例如：2， 3， 5等；【只有两个因数的正整数，是素数】
合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。例如：4， 6， 8等；
【有两个以上因数的正整数，是合数】
注：1既不是素数，也不是合数。
这样我们就将正整数又分成了三类：素数、合数和1. 用图可以表示为：
⎧素数⎪正整数⎨合数
⎪1⎩
如果我们将整数再作一次更细的分类，可以用下图表示：
⎧⎧素数⎪⎪正整数⎨合数⎪⎪1⎪⎩⎪整数⎨0
⎪负整数⎪⎪⎪⎩
练习1：判断下列各数，哪些是素数，哪些是合数？
27， 29， 35， 37， 45
素数：____________________________________；
合数：____________________________________；
练习2：找出下面的素数和合数，并填在相应的圈中。
2， 6， 10， 11， 13， 15， 17， 18， 19， 25， 29， 28
素数 合数
练习3：在自然数1到10中，奇数有________________________；偶数有____________________；素数有______________________________；合数有______________________________；
练习4：判断下列说法是否正确。
（1）一个合数至少有3个因数 （ ）
（2）所有的奇数都是素数 （ ）
（3）所有的偶数都是合数 （ ）
（4）在正整数中，除了素数都是合数 （ ）
练习5：选择题
（1）在正整数中，1是
A. 最小的奇数 B. 最小的偶数 C. 最小的素数 D. 最小的合数
（2）在正整数中，4是
A. 最小的奇数 B. 最小的偶数 C. 最下的素数 D. 小的合数
二：分解素因数
例题：6， 28和60可以写成哪几个素数相乘的形式？
解析：解决这类问题，我们可以采用“树枝分解法”，如下图所示：
所以：6=2×3
28=2×2×7
60=2×3×2×5=2×2×3×5
从这个例题中，我们可以看出：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，并且这几个素数都是这个合数的因数，我们称它们为这个合数的素因数。
在数学中，把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫作分解素因数。
三：分解素因数的方法
把一个合数分解素因数除了可以使用“树枝分解法”以外，我们还可以使用“短除法”。看下面的例题： 例题：把48， 35， 60分解素因数。
所以：48=2×2×2×2×3；35=5×7；60=2×2×3×5
用短除法分解素因数的步骤如下：
（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式；
注：除了以上两种方法外，也可以采用口算的方法进行分解素因数，例如：
72=8×9=2×4×3×3=2×2×2×3×3
特别注意的是，在分解素因数时，分解到最后必须保证每个因数都是素数。
练习1：判断下面的说法是否正确？
（1）42分解素因数是42=2×21 （ ）；
（2）A=2×3×5×B ，B ＞1，则B 一定是A 的素因数 （ ）；
练习2：选择题
（1）在等式4×6=n=2×2×2×3中，4和6都是n 的 （ ），2和3都是n 的（ ）
A. 素因数 B. 素数 C. 因数 D. 合数
（2）把24分解素因数的正确算式是：
A. 24=2×3×4 B. 24=2×2×2×3
C. 24=1×2×2×2×3 C. 24=2×2×6
练习3：把以下各数分解素因数。
35， 36， 56， 72， 81
随堂训练
一：填空题
1. 最小的自然数是________，最小的质数是________，最小的合数是________，最小的奇数是_____；
2. 20以内的质数有_________________________________________；20以内的偶数有_____________ _________________________；20以内的奇数有______________________________________________；
3. 20以内的数中不是偶数的合数有________________________；不是奇数的质数有_______________；
4. 三个连续奇数的和是87，则这三个连续的奇数分别是_________、________、________；
5. 7， 17， 27， 37， 47， 57， 67， 77， 87， 97这10个数中，素数有________________________；
6. 36的因数有_____________________________________，这些因数中______________________是素数；______________________________________是合数；
二：判断题
1. 任何一个自然数，不是质数就是合数。（ ）
2. 偶数都是合数，奇数都是质数。（ ）
3. 7的倍数都是合数。（ ）
4. 20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171. （ ）
5. 只有两个约数的数，一定是质数。（ ）
6. 两个质数的积，一定是质数。（ ）
7. 2是偶数也是合数。（ ）
8. 1是最小的自然数，也是最小的质数。（ ）
9. 除了2以外，所有的偶数都是合数。（ ）
10. 最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7. （ ）
三：选择题
1. 两个素数的乘积一定是：
A. 偶数 B. 素数 C. 奇数 D. 合数
2. 1是
A. 最小的自然数 B. 最小的偶数 C. 最小的因数 D. 最小的奇数