导数问题中双参数证明问题
例1：设0a >0) ，常规方法证明：(1)先证右边不等式，设ϕ(x ) =lnx -lna -
111a (x −a ) 2因为ϕ(x)=−(+) =−
故当x>a时，ϕ(x ) 单调减少，又ϕ(a ) =0，
所以，当x>a时，ϕ(x )
从而当b>a>0时，lnx -lna a >0)
1(x-a) 2因为f (x) =2x(lnx-lna ) +(x +a ) −2a =2x(lnx-lna) +>0，x x ' 22
故当x>a时，f (x ) 单调增加，有f (a ) =0，
所以当x>a时，f (x ) >f(a) =0，即（x 2+a 2）(lnx -lna ) −2a (x -a ) >0. 从而当b>a>0时，有(a 2+b 2)(lnb -lna ) −2a(b-a ) >0, 即
综合(1)(2)有2a lnb -lna 1. 上面的解法固然易想，但是计算量有点大容易出错，这个时候如果用构造函数法的话，就可以减少一定程度的计算量。我们注意到，函数中有两个参数a,b ，但是我们所学的函数都是一个变量的，为了好设函数，我们希望有方法把函数变成一个变量。我们以左式为例。为了证明2a lnb -lna
b b b b ⇒2(-1)
b 这个时候我们注意到不等式中剩下一个参数，所以很容易设函数a 2a(b-a )
f (x ) =(1+x 2) ln x −2(x −1), (x >1) ,(因为a0, (x >1) 恒成立。此时f ' (x ) =2x ln x ++x −2, (x >1) f ' ' (x ) =2ln x −1
x 1+3, (x >1) ，2x
注意到f ' ' (x ) 是单调递增函数，所以f ' ' (x ) >f ' ' (1) =2>0，即f ' (x ) 单调递增. 又f ' (x ) >f ' (1) =0，所以f (x ) 单调递增，即f (x ) >f (1) =0，即f (x ) =(1+x 2) ln x −2(x −1) >0, (x >1) ，所以左式得证。同时，右式可化为ln −
1
x b a b 1+1) ，
所以证明右式可化为证明g (x )
g ' ' (x ) =−2x 1, (x >1) 2x 222(1−x ) ' +=1) ，所以g (x ) 单调递减，即233x x x
g ' (x )
所以g (x ) 单调递减，即g (x )
证。综上，有2a lnb -lna 1.
通过上述两种方法比较，明显函数构造的方法的计算量更简单一些，更容易实施。
例2：设e 4(b −a ) . e 2
同样的这道这道证明题同样含有两个参数a,b ，但是如果想套用例1的方法，但是我们会发现：不等式左右的a,b 的阶数(次数) 不同. 所以例1的方法不可用. 如果我们把含有b 的式子移到一边，把含有a 的式子移到一边，
得到：ln 2b −
f (x ) =ln 2x −442b >ln a −a , 22e e 因此我们可以设函数4x , (e
2ln x 42(1−ln x ) 此时f ' (x )=−2, (e
所以f ' (x ) 在其定义域上单调递减，即有f ' (x ) >f ' (e 2) =0，所以有f (x ) 在其定义域上单调递增，因为e f (a ) ，即ln 2b −ln 2a >4(b −a ) ，所以原命题得证. 2e
导数问题中双参数证明问题
例1：设0a >0) ，常规方法证明：(1)先证右边不等式，设ϕ(x ) =lnx -lna -
111a (x −a ) 2因为ϕ(x)=−(+) =−
故当x>a时，ϕ(x ) 单调减少，又ϕ(a ) =0，
所以，当x>a时，ϕ(x )
从而当b>a>0时，lnx -lna a >0)
1(x-a) 2因为f (x) =2x(lnx-lna ) +(x +a ) −2a =2x(lnx-lna) +>0，x x ' 22
故当x>a时，f (x ) 单调增加，有f (a ) =0，
所以当x>a时，f (x ) >f(a) =0，即（x 2+a 2）(lnx -lna ) −2a (x -a ) >0. 从而当b>a>0时，有(a 2+b 2)(lnb -lna ) −2a(b-a ) >0, 即
综合(1)(2)有2a lnb -lna 1. 上面的解法固然易想，但是计算量有点大容易出错，这个时候如果用构造函数法的话，就可以减少一定程度的计算量。我们注意到，函数中有两个参数a,b ，但是我们所学的函数都是一个变量的，为了好设函数，我们希望有方法把函数变成一个变量。我们以左式为例。为了证明2a lnb -lna
b b b b ⇒2(-1)
b 这个时候我们注意到不等式中剩下一个参数，所以很容易设函数a 2a(b-a )
f (x ) =(1+x 2) ln x −2(x −1), (x >1) ,(因为a0, (x >1) 恒成立。此时f ' (x ) =2x ln x ++x −2, (x >1) f ' ' (x ) =2ln x −1
x 1+3, (x >1) ，2x
注意到f ' ' (x ) 是单调递增函数，所以f ' ' (x ) >f ' ' (1) =2>0，即f ' (x ) 单调递增. 又f ' (x ) >f ' (1) =0，所以f (x ) 单调递增，即f (x ) >f (1) =0，即f (x ) =(1+x 2) ln x −2(x −1) >0, (x >1) ，所以左式得证。同时，右式可化为ln −
1
x b a b 1+1) ，
所以证明右式可化为证明g (x )
g ' ' (x ) =−2x 1, (x >1) 2x 222(1−x ) ' +=1) ，所以g (x ) 单调递减，即233x x x
g ' (x )
所以g (x ) 单调递减，即g (x )
证。综上，有2a lnb -lna 1.
通过上述两种方法比较，明显函数构造的方法的计算量更简单一些，更容易实施。
例2：设e 4(b −a ) . e 2
同样的这道这道证明题同样含有两个参数a,b ，但是如果想套用例1的方法，但是我们会发现：不等式左右的a,b 的阶数(次数) 不同. 所以例1的方法不可用. 如果我们把含有b 的式子移到一边，把含有a 的式子移到一边，
得到：ln 2b −
f (x ) =ln 2x −442b >ln a −a , 22e e 因此我们可以设函数4x , (e
2ln x 42(1−ln x ) 此时f ' (x )=−2, (e
所以f ' (x ) 在其定义域上单调递减，即有f ' (x ) >f ' (e 2) =0，所以有f (x ) 在其定义域上单调递增，因为e f (a ) ，即ln 2b −ln 2a >4(b −a ) ，所以原命题得证. 2e