第章角动量守恒定律

1

动量角概念的在是究研物转体动问时引入的。题与动量 能、量一样角，动也是量一描个述点质和点质系 动运态的状基本物理量角动量；恒定守律也是个与动一 守量定恒和律能守量定恒律列并守的恒定。律是但角，动 量的念概数学表和要达动比、量量复能一杂些 例 。点绕某一质心转中动

宏观

: 行星太绕运阳动

微观 :子电原子核绕动运

2

4-√ 质1角点动

4量- 质2角动点量守恒律定

4-3 有心力

角与动守量定恒律

3

4

- 质点1角动 量一第

节量大文天测观表明

rm vsin

量

4常1

定-义： 点m质某一中绕心O转动,

大

：L小r=pins = mvrsi 方n：向

  moentmum naglaur ad nL r  p r mv la wof cnservatoonio fnagual mromnetmu

对点O 的角动量为

r

(m

v

)

4位单千克：· 米/秒（2k· mg2/s）。

4

2-质点 的动角量定及理其守恒律定问题

提出

地的球 的上单 摆

质

点

的角动对量大

小太

阳 系 中的 行 星 变

变变变

大会变

小大小未

会变。必什么靠断判？5

导致动量

思路：角

随时

间化的变根本因原什是么？分析

什与么有？关

由

则

两平行(矢的叉量积为乘)零

得质m点参考对O点 角动量的时间的变化率 位 等置 于矢

所量的 受乘 合叉力

外6

而

是力矩

矢量的达表

：即质

点动量定角的理分微形式若各分

力 与 点共O，力矩面含只正、反两 种方。可向顺设时针为正，向 代用数法求力合。矩

当

有 时0，

0 即

角

量动恒守

若质点

所合外力受的方向终始通过考参，其角动量守点 恒。行星绕如太运动阳，从服角量守恒动律。

7

定

例1

质点的内力可以系变改

（A系统的总）质量。 B）（系的总统量动。

（C系统的）动总能。（ ）D统系总角的量动

[ C 例。2一 质作点匀速圆率运动时,它周的（A）动量

变不对圆，的角心量动不也变。 （）动B不变，对圆量心的动角量不断变改。

]

（）C动不断改变量对圆心，的动量不角变。

D（动）不量改断变，圆对的角心动也量不改断变。

[

C

]8

43 有心-力与角动量恒定律守自

然界中些有力具这有的样质：力性的方始终向过通某 固定点一力的大，仅依小赖质于与这点点之间个的距。 离样的这称为有力力心，应的相固定称点为力。心如，例 万有力是引心力；有静作电用力也是有心。力物体运动仅受有 心作用力时力， 力心O对的力点始矩为终零 在。有心力用作，运动下体 对力物O心的角量动恒。守r

力心o m

有 心力 F

 L1  L2

  r1  mv1 2 r mv

92

行星绕阳太动：

引运力指向太阳，行星

引力 在 有(心力) 作用 绕下 太阳运 动 ，

而

且矩力为，M零 r   F0 因此行,星绕太运动过阳程中 角量

动守恒

。

，力心对O //rF  

的

10

例3*应用 质的点动量角守定恒律明证开勒第二普定:律 开勒第二普律 行定与星太阳的线连在同时间相扫过相内的等积面。

1

1t

时刻 对mO 的 角量动大为小:

瞬 位间扫矢过的微积

面即

（

为称掠速面率 守）恒

因。星受行的合外总指向是力太，阳动角

量则

常量

故位矢在相同时

间内过扫面积的相等12

例 4球地远日在时，它点离阳的距离为 r1太=1 .5×12011m ，运动速率 1 v2=.9310×4 /sm，当地球在日点时近，它太离 阳距的离r =1.27×1041 m，则1运速率动v2多少为？( 5p 1题6)习

解

地球在引力(有

心)力用下作绕阳运太动，对力 心 O的矩为力，因此角动零量守恒 即:。

1rv1m r2 mv2

∴

1v1 vr 2 3.031 40 ms 2

r

() 该过程1中地动球量守吗恒？地球 动不量恒，因守地速球度小大、方均向变在。*(2 能否按引)等于力心向立方程求力？解曲率半径未知，条件不够 。

1

3

5例 球绕太阳地动，地转球过轨经道的近日上和点 远点时离太日的距离阳别分为r和r2，1已知阳太质量为 ，M地求球经近日过点远日和点的速时大度小1和v2 解：v设地球量质为

m水星由动角量恒守

v1mr  m12vr

①2

②

12 m M 1 m2Mmv1 (G )  mv2 (G )机械由能守 2 恒r1 22

r由1)((2)、两 解得式

GM2r2v1  ,1 r(r1 2r)

r1 1rv 2 v1  2rr 2

GM2r 2r (r1  r12)

4

例61

一个

量为m质的质点从P点 由静止开沿y轴自始由下，落

如

图所示以。原点 O 为考点参，求 (：1) 意任刻作时在 m用 的上 力 矩 M (2；)任时意的角刻动 量L  解 ( 1) 矩 M  力r b PF x O ∴ M F sin r mb

g

力矩一为常量方；向，垂直于屏 幕向内 。  (2) 角 量动 L r

mP

y

∴ L r m v is n b mv b m  gt  mgt

方b向垂直于屏幕向内：。

15

例7

如所示图，质m的小球量某时具刻水平有右朝的度速v小， 相球图对长方形中示AB，C，三个顶点的距分离是d1、别d2d3、，且 22 2 有 d 2d  d1 3， 求试(1)小球：受重所相对力，BAC的力，；矩( )2小球对A，相，B的C角动量

  。 () 力1 矩M  r F  解 大小 ； M A mg1 MAd方向：垂直图 面向里， g 平  CM 0M B M A  (2) 动量 角  Lr vm  L A  0 LB vd3 m小；大L B

{

Ad

1m

dv

C

3d2

B

方{：垂直图平向向里面，

 L CLB

16

例 质8量0的质点固定不动m，它在的有引力万作用的下质，m量的质点 作半为径的R圆轨运动道。取周上圆 P为参点点，如图考示，所 求：试①点质m 图在点1处所中受的矩力 1和M点的角动量质 1L；  质点②m图中在点处2所受力矩 的 2和质点M角的动量 2

L

。   ：解力矩定义式M r F 在点1①：处力矩 M

1

在点处1，m所受力指引向点，P 故M 1 

02

 角

动 量L

1

P

R

m

090

由

作m周圆动的动力运方程学，得可度速

v

0

m

1m0

m2 vG 2m RR

Gm0

vR

   Lr mvG

0 ms ni 900 2 Gmm R0

1R7



∴ 角动 L1

量

{ 向方垂：直图面向外，平

大

小 ；L1 2 R m

② 在

2处点 力矩

M2

  M r  Fm0 m 0

 ins135  Gm m0/ R2 R

{大； M 小 2  R  2G

方向垂直图：平向面，里

2



角量动L2



 L r mv

P

R

m

0 90

m

0

1

同上理得 可m的 度速v 2 mG / 0R



L2

{向方垂直：平图面外，向

大；L2小 2 R 

Gmm 0 in s3510 m G0mR R

81



 例 9 如果 质 在点r  3. 5i  1. 4  j m 的 位 置时的 速 度   为v 2. 5  6i.3 j m ，求此s质点坐标对点的角动量原。

知质点已质的量为 .14 kg 。

y

j

解

对

标坐点 O 的角动量

原  L O r vm m(r )v

k

i

x

    41. ( 35.i 1 4 j ). (25i. 6.3 )j

  4.1  (2205. k .53k)  2  10.755k4 105kkg  m /s

  4. 1 [3.5i (.3 j6)  .41 j (2.5i ])

z1

9

1例0 质同为量m两个小的系球于一质弹轻两端簧放在，光滑水平

桌

面上弹，处簧自由伸于状态，长长a，为劲其系度数为k，今 两使同球时水平冲量受用，各作获得连与垂线的直值反向初速等度

如，所示图。若以在运后过动中程簧弹达可的最长度大b=a，试2

求两球

初度速小大v0。 O 相 于对桌面两球 和弹簧视系统为。 :解 对称因弹簧，点

中不动

包。弹括的系簧统受保只 守m内力 ，械机守能恒；统对系O 点 m k 合力的矩为，零角动守恒量 v0 a b。 角由量动恒守 2 vm 0 2mv , 为弹簧最大v度长时的b速 2 2 1 2度1 122 由械机守能恒：2 mv k (b a)  2m v 202 2

v

0

a解

以上式两并将 ，=2a代b，入得：

0v 

2k a 3

m2

0

作

业第 章 P34

9、23、4、7

*

21

1

动量角概念的在是究研物转体动问时引入的。题与动量 能、量一样角，动也是量一描个述点质和点质系 动运态的状基本物理量角动量；恒定守律也是个与动一 守量定恒和律能守量定恒律列并守的恒定。律是但角，动 量的念概数学表和要达动比、量量复能一杂些 例 。点绕某一质心转中动

宏观

: 行星太绕运阳动

微观 :子电原子核绕动运

2

4-√ 质1角点动

4量- 质2角动点量守恒律定

4-3 有心力

角与动守量定恒律

3

4

- 质点1角动 量一第

节量大文天测观表明

rm vsin

量

4常1

定-义： 点m质某一中绕心O转动,

大

：L小r=pins = mvrsi 方n：向

  moentmum naglaur ad nL r  p r mv la wof cnservatoonio fnagual mromnetmu

对点O 的角动量为

r

(m

v

)

4位单千克：· 米/秒（2k· mg2/s）。

4

2-质点 的动角量定及理其守恒律定问题

提出

地的球 的上单 摆

质

点

的角动对量大

小太

阳 系 中的 行 星 变

变变变

大会变

小大小未

会变。必什么靠断判？5

导致动量

思路：角

随时

间化的变根本因原什是么？分析

什与么有？关

由

则

两平行(矢的叉量积为乘)零

得质m点参考对O点 角动量的时间的变化率 位 等置 于矢

所量的 受乘 合叉力

外6

而

是力矩

矢量的达表

：即质

点动量定角的理分微形式若各分

力 与 点共O，力矩面含只正、反两 种方。可向顺设时针为正，向 代用数法求力合。矩

当

有 时0，

0 即

角

量动恒守

若质点

所合外力受的方向终始通过考参，其角动量守点 恒。行星绕如太运动阳，从服角量守恒动律。

7

定

例1

质点的内力可以系变改

（A系统的总）质量。 B）（系的总统量动。

（C系统的）动总能。（ ）D统系总角的量动

[ C 例。2一 质作点匀速圆率运动时,它周的（A）动量

变不对圆，的角心量动不也变。 （）动B不变，对圆量心的动角量不断变改。

]

（）C动不断改变量对圆心，的动量不角变。

D（动）不量改断变，圆对的角心动也量不改断变。

[

C

]8

43 有心-力与角动量恒定律守自

然界中些有力具这有的样质：力性的方始终向过通某 固定点一力的大，仅依小赖质于与这点点之间个的距。 离样的这称为有力力心，应的相固定称点为力。心如，例 万有力是引心力；有静作电用力也是有心。力物体运动仅受有 心作用力时力， 力心O对的力点始矩为终零 在。有心力用作，运动下体 对力物O心的角量动恒。守r

力心o m

有 心力 F

 L1  L2

  r1  mv1 2 r mv

92

行星绕阳太动：

引运力指向太阳，行星

引力 在 有(心力) 作用 绕下 太阳运 动 ，

而

且矩力为，M零 r   F0 因此行,星绕太运动过阳程中 角量

动守恒

。

，力心对O //rF  

的

10

例3*应用 质的点动量角守定恒律明证开勒第二普定:律 开勒第二普律 行定与星太阳的线连在同时间相扫过相内的等积面。

1

1t

时刻 对mO 的 角量动大为小:

瞬 位间扫矢过的微积

面即

（

为称掠速面率 守）恒

因。星受行的合外总指向是力太，阳动角

量则

常量

故位矢在相同时

间内过扫面积的相等12

例 4球地远日在时，它点离阳的距离为 r1太=1 .5×12011m ，运动速率 1 v2=.9310×4 /sm，当地球在日点时近，它太离 阳距的离r =1.27×1041 m，则1运速率动v2多少为？( 5p 1题6)习

解

地球在引力(有

心)力用下作绕阳运太动，对力 心 O的矩为力，因此角动零量守恒 即:。

1rv1m r2 mv2

∴

1v1 vr 2 3.031 40 ms 2

r

() 该过程1中地动球量守吗恒？地球 动不量恒，因守地速球度小大、方均向变在。*(2 能否按引)等于力心向立方程求力？解曲率半径未知，条件不够 。

1

3

5例 球绕太阳地动，地转球过轨经道的近日上和点 远点时离太日的距离阳别分为r和r2，1已知阳太质量为 ，M地求球经近日过点远日和点的速时大度小1和v2 解：v设地球量质为

m水星由动角量恒守

v1mr  m12vr

①2

②

12 m M 1 m2Mmv1 (G )  mv2 (G )机械由能守 2 恒r1 22

r由1)((2)、两 解得式

GM2r2v1  ,1 r(r1 2r)

r1 1rv 2 v1  2rr 2

GM2r 2r (r1  r12)

4

例61

一个

量为m质的质点从P点 由静止开沿y轴自始由下，落

如

图所示以。原点 O 为考点参，求 (：1) 意任刻作时在 m用 的上 力 矩 M (2；)任时意的角刻动 量L  解 ( 1) 矩 M  力r b PF x O ∴ M F sin r mb

g

力矩一为常量方；向，垂直于屏 幕向内 。  (2) 角 量动 L r

mP

y

∴ L r m v is n b mv b m  gt  mgt

方b向垂直于屏幕向内：。

15

例7

如所示图，质m的小球量某时具刻水平有右朝的度速v小， 相球图对长方形中示AB，C，三个顶点的距分离是d1、别d2d3、，且 22 2 有 d 2d  d1 3， 求试(1)小球：受重所相对力，BAC的力，；矩( )2小球对A，相，B的C角动量

  。 () 力1 矩M  r F  解 大小 ； M A mg1 MAd方向：垂直图 面向里， g 平  CM 0M B M A  (2) 动量 角  Lr vm  L A  0 LB vd3 m小；大L B

{

Ad

1m

dv

C

3d2

B

方{：垂直图平向向里面，

 L CLB

16

例 质8量0的质点固定不动m，它在的有引力万作用的下质，m量的质点 作半为径的R圆轨运动道。取周上圆 P为参点点，如图考示，所 求：试①点质m 图在点1处所中受的矩力 1和M点的角动量质 1L；  质点②m图中在点处2所受力矩 的 2和质点M角的动量 2

L

。   ：解力矩定义式M r F 在点1①：处力矩 M

1

在点处1，m所受力指引向点，P 故M 1 

02

 角

动 量L

1

P

R

m

090

由

作m周圆动的动力运方程学，得可度速

v

0

m

1m0

m2 vG 2m RR

Gm0

vR

   Lr mvG

0 ms ni 900 2 Gmm R0

1R7



∴ 角动 L1

量

{ 向方垂：直图面向外，平

大

小 ；L1 2 R m

② 在

2处点 力矩

M2

  M r  Fm0 m 0

 ins135  Gm m0/ R2 R

{大； M 小 2  R  2G

方向垂直图：平向面，里

2



角量动L2



 L r mv

P

R

m

0 90

m

0

1

同上理得 可m的 度速v 2 mG / 0R



L2

{向方垂直：平图面外，向

大；L2小 2 R 

Gmm 0 in s3510 m G0mR R

81



 例 9 如果 质 在点r  3. 5i  1. 4  j m 的 位 置时的 速 度   为v 2. 5  6i.3 j m ，求此s质点坐标对点的角动量原。

知质点已质的量为 .14 kg 。

y

j

解

对

标坐点 O 的角动量

原  L O r vm m(r )v

k

i

x

    41. ( 35.i 1 4 j ). (25i. 6.3 )j

  4.1  (2205. k .53k)  2  10.755k4 105kkg  m /s

  4. 1 [3.5i (.3 j6)  .41 j (2.5i ])

z1

9

1例0 质同为量m两个小的系球于一质弹轻两端簧放在，光滑水平

桌

面上弹，处簧自由伸于状态，长长a，为劲其系度数为k，今 两使同球时水平冲量受用，各作获得连与垂线的直值反向初速等度

如，所示图。若以在运后过动中程簧弹达可的最长度大b=a，试2

求两球

初度速小大v0。 O 相 于对桌面两球 和弹簧视系统为。 :解 对称因弹簧，点

中不动

包。弹括的系簧统受保只 守m内力 ，械机守能恒；统对系O 点 m k 合力的矩为，零角动守恒量 v0 a b。 角由量动恒守 2 vm 0 2mv , 为弹簧最大v度长时的b速 2 2 1 2度1 122 由械机守能恒：2 mv k (b a)  2m v 202 2

v

0

a解

以上式两并将 ，=2a代b，入得：

0v 

2k a 3

m2

0

作

业第 章 P34

9、23、4、7

*

21