椭圆基础知识点

椭圆基础知识

2aF1F2

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数

的点的轨迹叫做椭

圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；

这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 （

2aF1F2

时为线段F1F2，

2aF1F2

无轨迹）。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（不一定是标准形式） 条件：点必须在直线外，比值必须小于1

x2y2

1

2．标准方程一般形式表示：mn 或者 mx2+ny2=1

方程Ax2By2C(A,B,C均不为零）是表示椭圆的条件

方程Ax2By2C可化为AxBy1，即x2By2，所以只有A、B、C同号，且

1CC

CA

CB

2

2

AB时，方程表示椭圆。当CC时，椭圆的焦点在x轴上；当C

A

B

A



C时，椭圆的焦点在B

y轴

上。 3．离心率：

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e

2

cc2aa

②因为(ac0)，所以e的取值范围是(0e1)。e越接近1，则c就越接近a，

从而be越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于

a，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当ab时，c0，这时两个焦点重合，图形变为圆，

方程为xya。

2

2

x2y2

注意： 椭圆221的图像中线段的几何特征（如下图）：

ab

（1）(PF1 （2）(BF1 （3）A1F1

PF2BF2

2a)；

PF1PM1



PF2PM2

e；(PM1PM2

2a2

)；

c

a)；(OF1OF2

c)；A1BA2Ba2b2；

A2F2ac；A1F2A2F1ac；acPF1ac；

5．椭圆的的内外部

2222xyxyP(x,y)P(x,y)000000在椭圆的内部.00在椭圆的外部211. （1）点（2）点2aba2b2

6.几何性质 ：（1） 最大角

F1PF2maxF1B2F2,（2）最大距离，最小距离

y1y7.

弦长公式：p1p2x1x8.焦点三角形：

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等. 性质一：设焦点三角形PF1F2中F1PF2,则

SF1PF2

1b2

PF1PF2sinb2tan 21cos2

性质二：若F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。

b2

性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为2

a

性质四： cos12e.

性质五： PF1F2,PF2F1,则椭圆的离心率e9．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

2

sin()

。

sinsin

x2y2

共焦点，则c相同。与椭圆221(ab0)共焦点的椭圆方程可设为

abx2y2

21(mb2)， 2

ambm

椭圆基础知识

2aF1F2

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数

的点的轨迹叫做椭

圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；

这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 （

2aF1F2

时为线段F1F2，

2aF1F2

无轨迹）。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（不一定是标准形式） 条件：点必须在直线外，比值必须小于1

x2y2

1

2．标准方程一般形式表示：mn 或者 mx2+ny2=1

方程Ax2By2C(A,B,C均不为零）是表示椭圆的条件

方程Ax2By2C可化为AxBy1，即x2By2，所以只有A、B、C同号，且

1CC

CA

CB

2

2

AB时，方程表示椭圆。当CC时，椭圆的焦点在x轴上；当C

A

B

A



C时，椭圆的焦点在B

y轴

上。 3．离心率：

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e

2

cc2aa

②因为(ac0)，所以e的取值范围是(0e1)。e越接近1，则c就越接近a，

从而be越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于

a，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当ab时，c0，这时两个焦点重合，图形变为圆，

方程为xya。

2

2

x2y2

注意： 椭圆221的图像中线段的几何特征（如下图）：

ab

（1）(PF1 （2）(BF1 （3）A1F1

PF2BF2

2a)；

PF1PM1



PF2PM2

e；(PM1PM2

2a2

)；

c

a)；(OF1OF2

c)；A1BA2Ba2b2；

A2F2ac；A1F2A2F1ac；acPF1ac；

5．椭圆的的内外部

2222xyxyP(x,y)P(x,y)000000在椭圆的内部.00在椭圆的外部211. （1）点（2）点2aba2b2

6.几何性质 ：（1） 最大角

F1PF2maxF1B2F2,（2）最大距离，最小距离

y1y7.

弦长公式：p1p2x1x8.焦点三角形：

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等. 性质一：设焦点三角形PF1F2中F1PF2,则

SF1PF2

1b2

PF1PF2sinb2tan 21cos2

性质二：若F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。

b2

性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为2

a

性质四： cos12e.

性质五： PF1F2,PF2F1,则椭圆的离心率e9．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

2

sin()

。

sinsin

x2y2

共焦点，则c相同。与椭圆221(ab0)共焦点的椭圆方程可设为

abx2y2

21(mb2)， 2

ambm