第七章 平行线的证明
§7.1为什么要证明
贵阳市第二实验中学 孙春霞
一、教学内容分析
北师大版第七章《平行线的证明》本章内容是根据一些基本事实推出其他结论的过程，证明平行线的性质及判定的一些有关结论，证明三角形内角和定理，还将讨论三角形的内角与外角的关系．也就是进入几何严谨证明的学习，而作为本章的第一节内容《为什么证明》从内容设置上来说引入思考，而我从内容上重新做出编排由代数到几何从直观的猜测到严格的计算证明，利用教学资源配合学生活动（e-world ，几何画板，电子白板，网络资源）重新整合，落实每一个教学目标．
二、学生知识状况分析
学生的技能基础：在七年级时学生学习了与几何相关的知识，为今天的进一步的学习作好了知识储备，本课程的教学对象是八年级学生，学生具备一定数学知识储备，不难掌握基础知识．学生有一定的计算、几何说明基础，形象思维能力强，逻辑思维需发展，所以在本课程中经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会观察、归纳、实验所得未必可靠，初步感受证明必要性，发展学生推理意识．同时，学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础．
学生活动经验基础：在代数方面有一定的计算基础，如整式的运算。 在以往的几何学习中，学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的讨论、自主探究等活动有很大的帮助．
三、教学任务分析
学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面，但如果学生仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时安排《为什么要证明》的教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞，从而使学生对原有的直观感觉产生怀疑，从而确立对某一事物进行合理论证的必要性．因此，本课时的教学目标是：
1．知识与技能：了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等，去明确的说明一个结论的正确与否。
2．过程与方法：经历观察、验证、归纳等过程，在活动中体会到观察、实验、归
纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识．依托网站资源等信息技术，查找课堂即时生成的问题，在学生寻求论证结果这一过程中，促进学生逻辑化思考能力。
3．情感与价值观：让学生在整个教学活动情境中，感受证明这一过程的必要性，形成初步的理性思维，在与他人讨论的过程中体会理性思维、逻辑分析的重要性。
教学重点：由直观感受到逻辑思考的转变，意识到证明的必要性。 教学难点：发展逻辑思维能力，初步了解证明方法。
四、教学过程分析
五、教学过程
（一）情境支撑，生生互动活动环节：
①
②
展示的第一个为动态图，第二个静态图，从屏幕上看却是动的，那第二个图它到底动没有动呢？怎么样确定这个图是动还是不动，需要学生自己想办法说明问题．学生能阐述清楚自己的理由即可，在这个过程中应说服其他同学．
③
图三 这个人有没有高低眼呢？这个环节有学生发生了激烈的争论，而导致课堂意外的热闹，从这里又可以给学生加一个提问：“生活中很多的争吵是如何产生的？一味的争吵可以解决问题吗？你要说服别人就要拿出论据呀！”请同学们借助工具说明．可以如右图所示．
图四 这只大象有几条腿呢？肯定有两种答案：4条或5条．学生怎么样去说明自己的答案便是一种证明方式． 引导学生思考这幅图片是常规的一头大象吗？这是一幅错误的图片．由局部不可以说明整体，特殊不能说明一般性．
⑤
图五 灰色的线平行吗？学生给出的答案会有两种，（而相较于先前的争论学生已经开始学会思考如何去证明自己的结论）那你怎么说服其他人就是证明自己的观点的一个过程，你怎么样证明别人是错误的也需要拿出自己的论据（举反例）
平行线是本章内容的一个重点内容，由此回顾以前的几何说明有关平行线的内容，利用两把直尺回顾“同位角相等，两直线平行”．有一个承上启下的作用．
整合点：利用海量信息去寻找适合本节课程内容的图片，激发学生学习兴趣，完成教学目标中对观察、实验、归纳所得结论未必正确这一点。在课堂展现时不局限于单一图片展示，而是需要多媒体的支撑，传统的情景激趣也可以用打印的图片的展示，而最终会影响到图一（动态图）与图二的展示效果，借助信息科技的发展课堂不应再是“静态”。
（二）自主思考，动手操作环节 1．进入数学动手操作实践内容．
动手度量，从猜测到实际操作，由以上的内容知道，人常见的是靠自己的直觉很经验来判断结果，而我们要有说明自己观点时需要实验（例如度量），观察（对比参照），完全归纳来认识事物．
2．视频讲解：
先做预测，观看动态过程，然后学生再自行动手操作，以完成猜测-构思-动手实践的过程．思考是否所见即所得．
整合点：以上两个内容中第一个开始考虑使用几何画板，而几何画板的好处在于精确，但是忽略了学生的动手操作这一过程，所以继续使用e-world 软件好处在于教师在验证的时候可以随意移动软件提供的内容，也可以借助电子白板提供的数学工具进行验证，给学生很好的示范动手操作的必要性。而视频讲授给学生抛出一个思考，是否所见即所得，要有自己的想法自己的操作，将知识变为己有。 （三）合作探究，教师指导讲授由代数到几何的证明环节 1. 代数环节
题例：如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
参考答案：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：
c +1c 1
-=≈0. 16(m ) 2π2π2π
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头．
充分调动学生积极思考的能力，让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算．通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性提供素材．而在此环节中学生会无从下手，教师需引导，可以直接鼓励学生用字母代替数来先列式看看有什么样的结果．也可以借助网络，会有学生提出不知道赤道多长，那我们就马上查这个数据，然后再来计算，计算完成后引导学生回到字母代替数上因为整式的计算是初中生要掌握的内容．（上课时大部分学生都说两个都不行，也有部分学生的根据先前的经验猜测可以放红枣不能放拳头，虽然有揣测老师心理的可能，但是也值得表扬，已经学会怀疑问题，经过具体计算后印象更为深刻．）
整合点：作为一个非常具有趣味性的题，在此呈现，给学生一个充分发挥想象力的过程，而本题对大部分学生来说也是一个难题，本题数据较少，让学生望而却步，为了突破难点，在此借助网络查阅资料，而不是教师直接给予答案，不应让学生产生依赖情绪，需要资料时应借助信息工具进行查阅而不是等待老师的答案，激发学生对未知事物探索进取的动力，而得到答案后教师先给出肯定，再让学生思考没有网络查阅到这个赤道周长这道题是否可以解答，借此再来引出用字母代替数进行运算，给学生提供足够的资源也要引导学生回归本题的思考，不打击学生的积极性。落实培养学生计算证明得出正确结论的教学目标。
2．代数的不完全归纳
列表归纳为
对结论进行验证，让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性（欺骗性），从而对不完全归纳的合理性产生怀疑，为下一步的学习提供必要的准备．
学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为n 2-n+11是一个质数，但当n=11时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性．（这个环节的分组讨论很重要，独自运算的量会大，偷懒的学生算到2就已经下结论回答是的，好一点的算到7也差不多了，所以采用分组的话每个人承担一定的计算可以得到反例．）之后提问：你从代数式中可以观察到什么呢？可以很快做出判断吗？
3. 几何环节
让学生通过对图形的直观感受做出猜测得出结论，引导学生思考图形千变万化，而每次都需要动手测量验证，会产生误差，要使学生清楚地知道对几何结论的验证，通常是用严谨的逻辑推理来论述．让学生了解几何证明的必要性.
整合点：本环节可以提供学生很多资源，学生可以自行选择，实际中的刻度尺，量角器，学生也可以自己猜一猜，剪一剪，拼一拼。也可以使用几何画板作图，量取精确数值。不管使用何种实际操作或者是信息技术手段，在最后都要追问为何这样做的道理，尤其是问DE 与BC 位置关系优质课www.youzhik.com 时。完成促进学生逻辑化思考问题的教学目标。
（四）生生互评课堂小结
今天这节课你学到了什么？有何感悟？
（五）可合作交流，可自主思考巩固练习 课本第164页习题7.1第1，2，3题．
习题资源留存，给学生留存在电子白板上，学生可以自行借助触板计算，画图。之后可以点击红色部分看教师给予的提示和答案。
整合点：数学习题有时在学生家作时对部分学生来说有一定的困难，而教师无法做出指导时，可以提供相应的提示，而传统的书本给出的基本都是答案，破坏了引导学生继续思考的动力，造成一不会就看答案的坏习惯，而教师在布置作业时看到较难题也会思考是否应提前给提示，这样又使学生思考问题方向单一化，利用信息技术能很好的先隐藏提示，让学生有自行思考时间，遇到困难时点击提示，又可以继续思考。
（六）课外阅读查询资料
整合点：借助网络实现真正的课外的阅读，链接最新最丰富的阅读资源。
六、教学反思
本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感受，并从学生的直观感受出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面，不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中突出体现了学生的主体地位.
同时也培养了学生“用数学”的意识，并且使得学生有一种感受：数学来源于生活，服务于生活，同时也要用数学的眼光看世界，切勿盲信于自己的直观感觉. 每一个地方都考虑到学生情感与价值观的培养。
本节课通过事例让学生体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等. 符合学生的认识特点和知识水平．有助于培养学生理解问题、分析问题、解决问题的能力.
在课后思考一个关于本节内容可以先给学生自行思考，教师即时收到反馈信息的方式，落实学生自行学习中预习的关键环节。可以通过社交软件微信平台建立师生群，既然前半部分都是图片，可以通过手机发布于群里然后设置问题发起“投票”，而这种方式可以很好的引起学生预习的兴趣。也会促进学生与学生之间的交流互动，因为有时会受课堂时间限制并不是所有学生都可以表达自己的观点，而通过信息技术平台，学生可以随意发表自己的意见和看法，而教师可以及时收集学生的反馈信息，做出课程内容的调正。
第七章 平行线的证明
§7.1为什么要证明
贵阳市第二实验中学 孙春霞
一、教学内容分析
北师大版第七章《平行线的证明》本章内容是根据一些基本事实推出其他结论的过程，证明平行线的性质及判定的一些有关结论，证明三角形内角和定理，还将讨论三角形的内角与外角的关系．也就是进入几何严谨证明的学习，而作为本章的第一节内容《为什么证明》从内容设置上来说引入思考，而我从内容上重新做出编排由代数到几何从直观的猜测到严格的计算证明，利用教学资源配合学生活动（e-world ，几何画板，电子白板，网络资源）重新整合，落实每一个教学目标．
二、学生知识状况分析
学生的技能基础：在七年级时学生学习了与几何相关的知识，为今天的进一步的学习作好了知识储备，本课程的教学对象是八年级学生，学生具备一定数学知识储备，不难掌握基础知识．学生有一定的计算、几何说明基础，形象思维能力强，逻辑思维需发展，所以在本课程中经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会观察、归纳、实验所得未必可靠，初步感受证明必要性，发展学生推理意识．同时，学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础．
学生活动经验基础：在代数方面有一定的计算基础，如整式的运算。 在以往的几何学习中，学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的讨论、自主探究等活动有很大的帮助．
三、教学任务分析
学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面，但如果学生仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时安排《为什么要证明》的教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞，从而使学生对原有的直观感觉产生怀疑，从而确立对某一事物进行合理论证的必要性．因此，本课时的教学目标是：
1．知识与技能：了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等，去明确的说明一个结论的正确与否。
2．过程与方法：经历观察、验证、归纳等过程，在活动中体会到观察、实验、归
纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识．依托网站资源等信息技术，查找课堂即时生成的问题，在学生寻求论证结果这一过程中，促进学生逻辑化思考能力。
3．情感与价值观：让学生在整个教学活动情境中，感受证明这一过程的必要性，形成初步的理性思维，在与他人讨论的过程中体会理性思维、逻辑分析的重要性。
教学重点：由直观感受到逻辑思考的转变，意识到证明的必要性。 教学难点：发展逻辑思维能力，初步了解证明方法。
四、教学过程分析
五、教学过程
（一）情境支撑，生生互动活动环节：
①
②
展示的第一个为动态图，第二个静态图，从屏幕上看却是动的，那第二个图它到底动没有动呢？怎么样确定这个图是动还是不动，需要学生自己想办法说明问题．学生能阐述清楚自己的理由即可，在这个过程中应说服其他同学．
③
图三 这个人有没有高低眼呢？这个环节有学生发生了激烈的争论，而导致课堂意外的热闹，从这里又可以给学生加一个提问：“生活中很多的争吵是如何产生的？一味的争吵可以解决问题吗？你要说服别人就要拿出论据呀！”请同学们借助工具说明．可以如右图所示．
图四 这只大象有几条腿呢？肯定有两种答案：4条或5条．学生怎么样去说明自己的答案便是一种证明方式． 引导学生思考这幅图片是常规的一头大象吗？这是一幅错误的图片．由局部不可以说明整体，特殊不能说明一般性．
⑤
图五 灰色的线平行吗？学生给出的答案会有两种，（而相较于先前的争论学生已经开始学会思考如何去证明自己的结论）那你怎么说服其他人就是证明自己的观点的一个过程，你怎么样证明别人是错误的也需要拿出自己的论据（举反例）
平行线是本章内容的一个重点内容，由此回顾以前的几何说明有关平行线的内容，利用两把直尺回顾“同位角相等，两直线平行”．有一个承上启下的作用．
整合点：利用海量信息去寻找适合本节课程内容的图片，激发学生学习兴趣，完成教学目标中对观察、实验、归纳所得结论未必正确这一点。在课堂展现时不局限于单一图片展示，而是需要多媒体的支撑，传统的情景激趣也可以用打印的图片的展示，而最终会影响到图一（动态图）与图二的展示效果，借助信息科技的发展课堂不应再是“静态”。
（二）自主思考，动手操作环节 1．进入数学动手操作实践内容．
动手度量，从猜测到实际操作，由以上的内容知道，人常见的是靠自己的直觉很经验来判断结果，而我们要有说明自己观点时需要实验（例如度量），观察（对比参照），完全归纳来认识事物．
2．视频讲解：
先做预测，观看动态过程，然后学生再自行动手操作，以完成猜测-构思-动手实践的过程．思考是否所见即所得．
整合点：以上两个内容中第一个开始考虑使用几何画板，而几何画板的好处在于精确，但是忽略了学生的动手操作这一过程，所以继续使用e-world 软件好处在于教师在验证的时候可以随意移动软件提供的内容，也可以借助电子白板提供的数学工具进行验证，给学生很好的示范动手操作的必要性。而视频讲授给学生抛出一个思考，是否所见即所得，要有自己的想法自己的操作，将知识变为己有。 （三）合作探究，教师指导讲授由代数到几何的证明环节 1. 代数环节
题例：如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
参考答案：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：
c +1c 1
-=≈0. 16(m ) 2π2π2π
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头．
充分调动学生积极思考的能力，让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算．通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性提供素材．而在此环节中学生会无从下手，教师需引导，可以直接鼓励学生用字母代替数来先列式看看有什么样的结果．也可以借助网络，会有学生提出不知道赤道多长，那我们就马上查这个数据，然后再来计算，计算完成后引导学生回到字母代替数上因为整式的计算是初中生要掌握的内容．（上课时大部分学生都说两个都不行，也有部分学生的根据先前的经验猜测可以放红枣不能放拳头，虽然有揣测老师心理的可能，但是也值得表扬，已经学会怀疑问题，经过具体计算后印象更为深刻．）
整合点：作为一个非常具有趣味性的题，在此呈现，给学生一个充分发挥想象力的过程，而本题对大部分学生来说也是一个难题，本题数据较少，让学生望而却步，为了突破难点，在此借助网络查阅资料，而不是教师直接给予答案，不应让学生产生依赖情绪，需要资料时应借助信息工具进行查阅而不是等待老师的答案，激发学生对未知事物探索进取的动力，而得到答案后教师先给出肯定，再让学生思考没有网络查阅到这个赤道周长这道题是否可以解答，借此再来引出用字母代替数进行运算，给学生提供足够的资源也要引导学生回归本题的思考，不打击学生的积极性。落实培养学生计算证明得出正确结论的教学目标。
2．代数的不完全归纳
列表归纳为
对结论进行验证，让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性（欺骗性），从而对不完全归纳的合理性产生怀疑，为下一步的学习提供必要的准备．
学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为n 2-n+11是一个质数，但当n=11时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性．（这个环节的分组讨论很重要，独自运算的量会大，偷懒的学生算到2就已经下结论回答是的，好一点的算到7也差不多了，所以采用分组的话每个人承担一定的计算可以得到反例．）之后提问：你从代数式中可以观察到什么呢？可以很快做出判断吗？
3. 几何环节
让学生通过对图形的直观感受做出猜测得出结论，引导学生思考图形千变万化，而每次都需要动手测量验证，会产生误差，要使学生清楚地知道对几何结论的验证，通常是用严谨的逻辑推理来论述．让学生了解几何证明的必要性.
整合点：本环节可以提供学生很多资源，学生可以自行选择，实际中的刻度尺，量角器，学生也可以自己猜一猜，剪一剪，拼一拼。也可以使用几何画板作图，量取精确数值。不管使用何种实际操作或者是信息技术手段，在最后都要追问为何这样做的道理，尤其是问DE 与BC 位置关系优质课www.youzhik.com 时。完成促进学生逻辑化思考问题的教学目标。
（四）生生互评课堂小结
今天这节课你学到了什么？有何感悟？
（五）可合作交流，可自主思考巩固练习 课本第164页习题7.1第1，2，3题．
习题资源留存，给学生留存在电子白板上，学生可以自行借助触板计算，画图。之后可以点击红色部分看教师给予的提示和答案。
整合点：数学习题有时在学生家作时对部分学生来说有一定的困难，而教师无法做出指导时，可以提供相应的提示，而传统的书本给出的基本都是答案，破坏了引导学生继续思考的动力，造成一不会就看答案的坏习惯，而教师在布置作业时看到较难题也会思考是否应提前给提示，这样又使学生思考问题方向单一化，利用信息技术能很好的先隐藏提示，让学生有自行思考时间，遇到困难时点击提示，又可以继续思考。
（六）课外阅读查询资料
整合点：借助网络实现真正的课外的阅读，链接最新最丰富的阅读资源。
六、教学反思
本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感受，并从学生的直观感受出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面，不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中突出体现了学生的主体地位.
同时也培养了学生“用数学”的意识，并且使得学生有一种感受：数学来源于生活，服务于生活，同时也要用数学的眼光看世界，切勿盲信于自己的直观感觉. 每一个地方都考虑到学生情感与价值观的培养。
本节课通过事例让学生体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等. 符合学生的认识特点和知识水平．有助于培养学生理解问题、分析问题、解决问题的能力.
在课后思考一个关于本节内容可以先给学生自行思考，教师即时收到反馈信息的方式，落实学生自行学习中预习的关键环节。可以通过社交软件微信平台建立师生群，既然前半部分都是图片，可以通过手机发布于群里然后设置问题发起“投票”，而这种方式可以很好的引起学生预习的兴趣。也会促进学生与学生之间的交流互动，因为有时会受课堂时间限制并不是所有学生都可以表达自己的观点，而通过信息技术平台，学生可以随意发表自己的意见和看法，而教师可以及时收集学生的反馈信息，做出课程内容的调正。