克莱姆法则的应用
郭杰 [1**********]
假若有n个未知数，n个方程组成的方程组
⎧a11x1+a12x2+⋅⋅⋅+a1nxn=b1⎪ax+ax+⋅⋅⋅+ax=b⎪2112222nn2⎨
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪
⎪⎩an1x1+an2x2+⋅⋅⋅+annxn=bn
或者写成矩阵形式为Ax=b，其中A为n*n方阵，x为n个变量构成列向量，b为n个常数项构成列向量。
而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式|A|不等于0的时候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|，其中Ai〔i = 1，2，……，n〕是矩阵A中第i列的a 1i，a 2i，……a ni （即第i列）依次换成b1，b2，……bn所得的矩阵。
克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。 使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n))，其复杂度为O(n·f(n))，一般没有计算价值，复杂度太高。
当b1,b2,...,bn不全为0时，方程组为非齐次性方程组。 系数矩阵A非奇异时，或者说行列式|A|≠0时，方程组有唯一的解；
系数矩阵A奇异时，或者说行列式|A|=0时，方程组有无数个解或无解。
当b1=b2=...=bn=0时，方程组为齐次性方程组。
若系数矩阵A非奇异时，则方程组有唯一的解，其所有分量均为0，我们通常称这个解为平凡解。
若齐次线性方程组有非零解，系数矩阵必然奇异，或者说对应的系数行列式必为0。
怎么用克莱姆法则解方程组？
例题
1解方程组：
⎧2x1+x2-5x3+x4=8,⎪x-3x-6x=9,⎪124⎨
⎪2x2-x3+2x4=-5, ⎪⎩x1+4x2-7x3+6x4=0.
方程组的系数行列式
21-511-30-6d==27≠0
02-12
14-76
因之可以用克拉默法则，由于
89d1=
-501-324-50-1-71-6
=812 6
28-51190-6d2==-108
0-5-12
10-76
21811-39-6d3==-27
02-52
1406
21-581-309d4==27
02-1-5
14-70
所以方程组的唯一解为
x1=3,x2=-4,x3=-1,x4=1
注：克拉默默法则所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组。
2解方程组
⎧2x+3y-5z=3,⎪
⎨x-2y+z=0,⎪3x+y+3z=7. ⎩
解：
23-527-7
D=1-2
311=103370=-
70
7-7
=-49≠0
所以方程组有唯一解，又因
33-53-7-5
07
D1=0-2
711=0371=-
73
3-7
7
=-70
23-5D2=10
37
73-5
1=003071=7=-49
73
3
01
233273
D3=1-20=100=-=-28
77
317377
D1-7010∴x===,
D-497
73
D-49y===1,
D-49D3-284z===.
D-497
3求λ在什么条件下，方程组
⎧λx1+x2=0,⎨
⎩x1+λx2=0.
有非零解。
根据克拉默法则，如果方程组由非零解，那么系数行列式
λ1
=λ2-1=0
1λ
所以λ
=±1，不难验证，当λ=±1时，方程组确有非零解。
注意：克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后的许多问题的讨论中是重要的，但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n个未知量n个方程的线性方程组就要计算n+1个n级行列式，这个计算量是很大的。
克莱姆法则的应用
郭杰 [1**********]
假若有n个未知数，n个方程组成的方程组
⎧a11x1+a12x2+⋅⋅⋅+a1nxn=b1⎪ax+ax+⋅⋅⋅+ax=b⎪2112222nn2⎨
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪
⎪⎩an1x1+an2x2+⋅⋅⋅+annxn=bn
或者写成矩阵形式为Ax=b，其中A为n*n方阵，x为n个变量构成列向量，b为n个常数项构成列向量。
而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式|A|不等于0的时候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|，其中Ai〔i = 1，2，……，n〕是矩阵A中第i列的a 1i，a 2i，……a ni （即第i列）依次换成b1，b2，……bn所得的矩阵。
克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。 使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n))，其复杂度为O(n·f(n))，一般没有计算价值，复杂度太高。
当b1,b2,...,bn不全为0时，方程组为非齐次性方程组。 系数矩阵A非奇异时，或者说行列式|A|≠0时，方程组有唯一的解；
系数矩阵A奇异时，或者说行列式|A|=0时，方程组有无数个解或无解。
当b1=b2=...=bn=0时，方程组为齐次性方程组。
若系数矩阵A非奇异时，则方程组有唯一的解，其所有分量均为0，我们通常称这个解为平凡解。
若齐次线性方程组有非零解，系数矩阵必然奇异，或者说对应的系数行列式必为0。
怎么用克莱姆法则解方程组？
例题
1解方程组：
⎧2x1+x2-5x3+x4=8,⎪x-3x-6x=9,⎪124⎨
⎪2x2-x3+2x4=-5, ⎪⎩x1+4x2-7x3+6x4=0.
方程组的系数行列式
21-511-30-6d==27≠0
02-12
14-76
因之可以用克拉默法则，由于
89d1=
-501-324-50-1-71-6
=812 6
28-51190-6d2==-108
0-5-12
10-76
21811-39-6d3==-27
02-52
1406
21-581-309d4==27
02-1-5
14-70
所以方程组的唯一解为
x1=3,x2=-4,x3=-1,x4=1
注：克拉默默法则所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组。
2解方程组
⎧2x+3y-5z=3,⎪
⎨x-2y+z=0,⎪3x+y+3z=7. ⎩
解：
23-527-7
D=1-2
311=103370=-
70
7-7
=-49≠0
所以方程组有唯一解，又因
33-53-7-5
07
D1=0-2
711=0371=-
73
3-7
7
=-70
23-5D2=10
37
73-5
1=003071=7=-49
73
3
01
233273
D3=1-20=100=-=-28
77
317377
D1-7010∴x===,
D-497
73
D-49y===1,
D-49D3-284z===.
D-497
3求λ在什么条件下，方程组
⎧λx1+x2=0,⎨
⎩x1+λx2=0.
有非零解。
根据克拉默法则，如果方程组由非零解，那么系数行列式
λ1
=λ2-1=0
1λ
所以λ
=±1，不难验证，当λ=±1时，方程组确有非零解。
注意：克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后的许多问题的讨论中是重要的，但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n个未知量n个方程的线性方程组就要计算n+1个n级行列式，这个计算量是很大的。