第七章 期权价值评估
【考情分析与教材变化说明】
本章属于重点章，可以考选择题和计算分析题。本章主要讲述了期权到期日价值、期权投资策略、期权价值的影响因素、期权价值评估的基本方法。从考试分数看，2007-
2009年分值较高，一般在10分以上。2010-2014年没有考计算分析题和综合题，分值在1－3分之间。 2015年教材删除“实物期权”和“期权市场”，增加了“空头对敲”。
本章内容
第一节 期权的概念和类型
【考点1】期权的基本概念
【掌握要求】特别重要考点。重难点。
注意掌握期权的定义，对期权的权利的特殊性的理解、期权的标的资产与期权权利的差别、执行价格与标的资产的到期市场价格的区别，以及与远期合约、期权合约的区别。
注意掌握，尤其是看涨与看跌期权的分类。理解。 一、期权的定义
期权是指一种合约，该合约赋予持有人在某一特定日期或该日之前的任何时间以固定价格购进或售出一种资产的。
1. 期权是一种权利（持有人只享有权利而不承担义务）及期权的权利金
期权的标的资产是指选择购买或出售的资产。
3. 期权到期日及期权执行价格
期权的到期日指的是双方约定的期权到期的那一天。期权到期日之后期权失效。
期权合约约定的、持有者购买或出售标的资产的固定价格称作期权的执行价格。
4. 期权合约不同于远期合约和期货合约。
1. 按照期权的标的资产分类。
2. 按照期权的执行时间，将期权分为美式期权和欧式期权。
3. 按照期权授予期权持有人权利的类别将期权分为看涨期权和看跌期权。
【例1·多选题】下列关于期权的说法正确的有（ ）
A. 期权赋予持有人做某件事的权利，但他不承担必须履行的义务
B. 期权的市场价格也就是期权标的资产的市场价格
C. 期权出售人不一定拥有标的资产，多方也不一定执行期权赋予的权利
D. 美式期权行权时间具有可选择性，比欧式期权执行时间灵活
『正确答案』ACD
『答案解析』B 的正确说法是：期权的市场价格也称作期权的权利金，指的是获取购买或者出售期权 标的资产的权利而不承担义务，所需要支付的价格。关于D ，美式期权允许其持有者在期权合约的最后日期即到期日或者到期日之前的任何时间执行期权。欧式期权只允许期权的持有者在到期日当天执行期权。
三、期权的执行
1. 含义
依据期权合约购进或售出标的资产的行为称为“执行”。
2. 欧式期权的执行－－欧式看涨期权
【例2·计算分析题】假设东方航空于2010年7月15日购入以航空燃油为标的的欧式看涨期权。期权的到期日为2010年9月15日，期权的执行价格为每桶航空燃油150元。
【要求】
（1）如果到期日航空燃油每桶为200元，东方航空是否应该执行期权？
（2）如果到期日航空燃油每桶为130元，东方航空是否应该执行期权？
『正确答案』
（1）如果到期日航空燃油每桶为200元，东方航空应该执行期权。
（2）如果到期日航空燃油每桶为130元，东方航空不应该执行期权。
【结论】在投资者看好某资产价格会上涨，而其他人没有意识到的情况下，则可以约定一个低于预期价格的执行价格，从而在期权到期的时候，能够以低于市场价格的执行价格购入标的资产，从而获利。
【结论】看涨期权就是购买权，因为这种情况下出售权不能够获利。当欧式看涨期权标的资产的市场价格高于执行价格时，执行欧式看涨期权可以获利，否则不应执行。
3. 欧式期权的执行－－欧式看跌期权
【例3·计算分析题】假设东方航空于2010年7月15日购入以航空燃油为标的的欧式看跌期权。期权的到期日为2010年9月15日，期权的执行价格为每桶航空燃油150元。
【要求】
（1）如果到期日航空燃油每桶为200元，东方航空是否应该执行期权？
（2）如果到期日航空燃油每桶为130元，东方航空是否应该执行期权？
『正确答案』
（1）如果到期日航空燃油每桶为200元，东方航空不应该执行期权。
（2）如果到期日航空燃油每桶为130元，东方航空应该执行期权。
【结论】看跌期权就是出售权；欧式看跌期权标的资产的市场价格低于执行价格时，执行欧式看跌期权可以获利，否则不应该执行。
【考点2】期权的到期日价值及净损益
【掌握要求】 掌握期权的到期日价值与损益的计算，并能够区分多空方到期日价值的不同。
一、欧式看涨期权的到期日价值及净损益 1. 看涨期权的到期日价值
用S 0表示期权交易时的初期股票价格，S T 表示到期日的股票价格，X 表示执行价格，则看涨期权在到期日的价值（即执行时可以获得的净收入）可表示为：
看涨期权到期日价值C T ＝执行净收入＝到期日价值
＝Max （股票市价S T －执行价格X ，0）
【说明】看涨期权到期日价值C T ，这里没有考虑多空方，纯粹考虑期权这个资产值多少钱。
到期日股票价格S T ＞执行价格X ，则执行，否则不会被执行。
【说明】
①涨期权的到期日价值最小为0，不可能小于0。
②看涨期权本身到期日价值为正或0，但是由于空头和多头的立场和利益不同，从而有看涨期权的多头者将获得看涨期权到期日价值，多头看涨期权价值为正或0。
多头看涨期权到期日价值C T ＝Max （股票市价S T －执行价格X ，0）。看涨期权的空头者将付出看涨期权到期日价值，从而空头看涨期权价值为负或0。空头看涨期权到期日价值C T ＝－Max （股票市价S T －执行价格X ，0）。
2. 看涨期权到期日净损益
多头看涨期权净损益
＝看涨期权到期日价值－期权价格（即期权成本C ）
＝多头看涨期权到期日价值－期权价格（即期权成本C ）
空头看涨期权净损益
＝期权价格－看涨期权到期日价值
＝期权价格＋空头看涨期权到期日价值（空头看涨期权价值为负）
【说明】对于看涨期权的多头和空头来说，二者是零和博弈。一方所得就是另一方所失，即一方的到期日价值和净损益与另一方的到期日价值和净损益，金额绝对值相等，符号相反。 头看涨期权
头看涨期权值（股票市价S T －执行价格X ，0）Max （股票市价S T －执行价格X ，0）净损益多
头到期日价值－期权价格空头到期日价值＋期
权价格
【说明】到期日价值是一个“净收入”的概念，没有考虑期权的取得成本，而净损益则扣除了期权
成本。
【说明】看涨期权执行时，看涨期权损益平衡点，即股票价格等于执行价格与期权价格之和时的价格，此时的到期日价值等于期权价格。
【说明】看涨期权多头净损失有限（最大值为期权价格），而净收益却潜力巨大。看涨期权空头收取期权费，成为或有负债的持有人，负债的金额不确定。
二、欧式看跌期权的到期日价值及净损益 1. 看跌期权的到期日价值
支付（现金流量）
净收入
看跌期权到期日价值P T ＝执行净收入＝到期日价值
＝Max （执行价格X －股票市价S T ，0）
到期日执行价格X ＞到期日股票价格S T ，则执行，否则不会被执行。
【说明】期权到期日价值P T ，这里没有考虑多空方，纯粹考虑期权这个资产值多少钱。 2. 看跌期权到期日净损益
多头看跌期权净损益＝多头看跌期权到期日价值－期权价格【即期权成本P 】
空头看跌期权净损益＝期权价格【即期权成本P 】+空头看跌期权到期日价值
【说明】多头净损失有限（最大值为期权价格），净收益不确定（最大值为执行价格－期权价格）。空头净收益有限（最大值为期权价格），净损失不确定（最大值为执行价格－期权价格）。
【例1·单选题】下列关于期权的说法不正确的是（ ）。
A. 看跌期权（putoption ）赋予其持有者出售资产的权利
B. 看跌期权（putoption ）在执行价格高于市场价格时，持有人能够获利
C. 看涨期权（calloption ）赋予其持有者购买资产的权利
D. 看涨期权（calloption ）在执行价格低于市场价格时，多头在到期日能够获得的净收入为正『正确答案』B
『答案解析』B 的正确说法是：看跌期权（putoption ）在执行价格高于市场价格时，持有人在到期日 能够获得的净收入为正，但是还需要扣除获取期权的权利金以及相应占用资金的时间价值，才能够得到利润。在执行价格高于市场价格时，看跌期权（putoption ）并不肯定能获利。
【考点3】期权的投资策略（）
【掌握要求】。
注意掌握各种投资策略的投资组合对象、损益计算、适用条件。
一、期权投资策略的理论基础
买入期权的特点是最小的净收入为零，不会发生进一步的损失，因此具有构造不同损益的功能。 二、常见期权的投资策略
1. 保护性看跌期权（）
，组合的到期日净损益＝X －S 0－P ，是固定的。
，组合到期日净损益＝S T －S 0－P ，随着股票价格上升而增大
可以降低投资亏损的风险，锁定最低亏损为X －S 0－P 。如果X ＝S 0，锁定最低亏损额为P 。但是如果标的价格不下跌，净收益为S T －S 0－P ，由于P 存在而收益降低。
2. 抛补性看涨期权（）
，组合的到期日净损益＝S T －S 0＋C ，亏损随股价下降而加大，但是期权费C 可以抵消一些损失。
，组合的到期日净损益＝X －S 0＋C ，净损益固定。
，他可以抛补性看涨期权。
如果股价上升，能够保证获得按照执行价格变现的收入X ，同时获得期权费C 。到期日净损益是固定的（X －S 0＋C ）
如果股价下降，则股票按照市场价格S d 出售，但是获得了额外的期权费C ，可弥补股价下降的损失。 3. 对敲
（1）多头对敲
多头同一标的及执行价格的看涨和看跌期权
，对敲的到期日净损益＝X －S T －C －P
，对敲的到期日净损益＝S T －X －C －P
【运用情况及目的】
对敲策略对于预计市场价格将发生剧烈变动，但是不知道升高还是降低的投资者非常有用。
不论期权投资后价格走向如何，都能够获得正的到期价值，扣除组合投资成本之后一般会有盈利。当然最坏的结果是股价与执行价格一致，白白损失了看涨期权和看跌期权的购买成本。股价偏离执行价格的差额超过期权购买成本，才能给投资者带来净收益。
（2）空头对敲
空头同一标的及执行价格看涨和看跌期权
，对敲的到期日净损益＝C ＋P －（X －S T ） ，对敲的到期日净损益＝C ＋P －（S T －X ）
空头对敲策略对于预计市场价格将相对比较稳定的投资者非常有用。
空头对敲的最坏结果是到期股价与执行价格不一致；最好的结果是到期股价与执行价格一致，投资者白白赚取出售看涨期权和看跌期权
的收入。第二节 金融期权价值评估
【考点4】金融期权的价值因素
【掌握要求】一般考点。
注意掌握期权（当前）的价值、内在价值（实值与虚值）、时间溢价的含义，以及三者之间的关系。掌握影响期权价值的因素，以及看涨期权价值的上下限。
一、期权的内在价值、时间溢价 1. 期权价值
期权（当前）价值是指期权的现值，即预计该期权在未来能够提供给投资者现金流的现值。 2. 期权内在价值 看涨期权内在价值＝Max （标的资产的现行市价S －执行价格X ，0） 看跌期权内在价值＝Max （执行价格X －标的资产的现行市价S ，0）
3. 期权的时间溢价 （1）期权的时间溢价定义
期权的时间溢价（价值）指期权（当前）价值超出其内在价值的部分。 （2）公式
期权价值（即当前价值）＝期权内在价值＋期权的时间溢价 （3）说明
等待标的资产的价格变化以增加期权的价值，所以距离到期日越远，则期权的时间溢价越大。
时间溢价是“波动的价值”，时间越长，出现波动的可能性越大，时间溢价也就越大。 而货币的时间价值是时间“延续的价值”，时间延续得越长，货币的时间价值越大。
，虽然其内在价值为0，但是由于它仍然具有时间溢价，所以的价格出售。
，所以。
【例1·单选题】某看跌期权资产现行市价为40元，执行价格为50元，则该期权处于（ ）。
A. 实值状态 B. 虚值状态 C. 平值状态 D. 不确定状态『正确答案』A
『答案解析』对于看跌期权来说，资产现行市价低于执行价格时，称期权处于“实值状态”（或溢价状态）或称此时的期权为“实值期权”（溢价期权）。
【例2·单选题】如果已知期权的价值为5元，期权的内在价值为4元，则该期权的时间溢价为（ ）元。 A.0 B.9 C.1 D. －1
『正确答案』C
『答案解析』时间价值＝期权价值－内在价值＝5－4＝1（元）。
【例3·单选题】下列关于期权的说法中不正确的是（ ） A. 美式期权的价值不会低于欧式期权
B. 美式期权的价值不会低于其内在价值，美式期权的时间溢价不可能为负 C. 期权的到期日价值取决于到期日标的股票价格与执行价格的高低 D. 期权的内在价值取决于标的股票的现行市价与执行价格的高低『正确答案』A
『答案解析』A 的正确说法是：美式期权的价值不会低于对等（即其他方面与美式期权完全相同）的欧式期权的价值。 【例4·多选题】如果期权已经到期，则下列结论成立的有（ ）。 A. 时间溢价为0
B. 内在价值等于到期日价值 C. 期权价值等于内在价值 D. 期权价值等于时间价值『正确答案』ABC
『答案解析』期权价值的时间溢价是一种等待的价值，如果期权已经到期，因为不能再等待了，所以，时间溢价为0，A 的结论正确；内在价值的大小，取决于期权标的资产的现行市价与期权执行价格 的高低，期权的到期日价值取决于“到期日”标的股票市价与执行价格的高低，因此，如果期权已经到期，内在价值与到期日价值相同，B 的结论正确；由于期权价值等于内在价值加时间溢价，所以到期时，期权价值等于内在价值，因此选项C 正确，选项D 错误。
二、影响期权价值的因素
1. 影响期权价值的因素具体分析
以上变量对于期权价格的影响，可以汇总如下表所示： 一个变量增加（其他变量不变）对期权价格的影响
量行价格风险利率利动率
涨期权欧式看跌期权－＋
－＋不一定＋
美式看涨期权＋－＋－＋＋
权 2. 看涨期权价值上下限分析图
（1）A 点为原点，表示股票价格为零时，期权的价值也为零 （2）看涨期权的最低价值线（ABD ）及与期权价值关系（下限值）
期权的最低价值线构成：由线段AB 和BD 组成，即看涨期权处于虚值时内在价值为0，处于实值时看涨期权的内在价值等于股票价格与执行价格的差额。
在执行日之前，期权价值AGJ 线永远不会低于最低价值线ABD 线（因为存在时间溢价）。 （3）左侧的点划线AE 是期权价值的上限（上限值）
因为在执行日，股票的最终收入总要高于期权的最终收入，因为期权还要扣除执行价格。 （4）曲线AGJ 是期权价值线
期权价值线从A 点出发后，呈一弯曲线向上，逐渐与BD 趋于平行。该线反映股价和期权价值的关系，期权价值随股票价格上涨而上涨。
股价足够高时，期权价值线与最低价值线的上升部分逐步接近。
【考点5】金融期权价值的评估方法
【掌握要求】重要考点。
包含三个小的考点：（1）期权的估值原理，包含了期权价值评估的三种方法：复制原理、套期保值原理和风险中性原理，要注意原理的理解，不要死记硬背。（2）两期二叉树定价方法的运用：注意价值计算从右往左，而且只有最后一期采用期权到期日价值公式。（3）布莱克—
斯科尔斯模型：注意对公式参数的理解和计算，注意掌握利用欧式看涨与欧式看跌期权价值的平价关系计算看跌期权价值。
一、期权估值原理
1. 复制原理
构造一个股票和借款的适当组合，使得无论股价如何变动，投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
下面我们通过一个假设的简单举例，说明复制原理。
【例7-10】假设ABC 公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者下降25%。无风险利率为每年4%。拟建立一个投资组合，包括购进适量的股票以及借入必要的款项，使得该组合6个月后的价值与购进该看涨期权相等。
（1）确定6个月后可能的股票价格
（2）确定看涨期权的到期日价值
（3）建立对冲组合
上面我们已经知道了期权的到期日价值有两种可能：股价上行时为l4.58元，股价下行时为0。已知借款的利率为2%（半年），我们要复制一个股票与借款的投资组合，使之到期日的价值与看涨期权相同。
该投资组合为，购买0.5股的股票，同时以2%（半年）的利息借入l8.38元。这个组合的收入同样也依赖于年末股票的价格。
我们可以看出，组合在到期日的净收入和购入看涨期权的一样，因此看涨期权的价值就应该与建立投资组合的成本一样。 2. 套期保值原理
（1）套期保值原理介绍
将股票数量记做H ，借款金额记做B ，我们要复制一个股票数量H 与借款数量B 的投资组合，使之到期日
的价值与看涨期权相同。
（2）套期保值原理求投资组合的成本（期权价值）步骤 ①计算到期日股票价格 ②确定到期日期权价值 ③根据复制原理建立方程
④计算套期保值比率H 和借款额B
⑤计算投资组合的成本（期权价值）C 0＝S 0×H-B （3）套期保值原理的假设
①股票的价格只有两种可能的结果 ②市场投资没有交易成本
③借款利率是确定的无风险利率，借款金额不受限制
④关于股票价格上升和下降的概率
上面的推理是根据标的股票价格估计期权的价值，而不是股票价格随机游走情况下期权的定价，未来股票价格上升和下降的概率已经包含在股票的价格之中。 3. 风险中性原理
（1）风险中性原理含义
假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率。风险中性的投资者不需要额外的收益补偿其承担的风险。
在风险中性的世界里，将期望值用无风险利率折现，可以获得现金流量的现值。换句话说，处在风险中性环境中，股票的预期报酬率必须等于无风险利率。 （2）运用风险中性原理计算期权的价值 ①求股票期望报酬率
股票的期望报酬率＝股票价格上行概率×股票价格上行时的报酬率＋股票价格下行概率×股票价格下行时的报酬率
＝上行概率×上行时报酬率＋下行概率×下行时报酬率
②求不发股利时, 股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率 股票的期望报酬率
＝上行概率×股价上升百分比＋下行概率×股价下降百分比
＝上行概率×（股价上行乘数－1）＋下行概率×（股价下行乘数－1） ＝上行概率×（u －1）＋下行概率×（d －1） ③求上行概率
股票的期望报酬率＝无风险利率＝r 假设上行概率是p, 则有 r ＝p ×（u －1）＋（1－p ）×（d －1） 从而有p ＝
④计算期权到期日价值C T
C T ＝p ×C u ＋（1－p ）×C d
由于看涨期权的C d ＝0，所以C T ＝p ×C u ⑤计算投资组合的成本（期权价值）C 0 C 0＝（p ×C u ＋（1－p ）×C d ）/（1＋r ） ＝（p ×C u ）/（1＋r ）
（3）套利理论与风险中性原理解释
组合A1：卖1股看涨期权，购0.5股股票，同时借入18.38元
组合A2：买1股看涨期权，卖0.5股股票，同时借出18.38元
在没有套利机会情况下的价格，也就是我们需要在理论上计算出来的价格，风险中性原理计算出来的期权的价格，就是市场处于无套利机会下的价格。
事实上，前面的套期保值原理也是基于套利理论的结果，所以与风险中性原理计算的结果一样，只不过前者从股票价格入手计算期权价值，后者从股票价格的概率入手计算期权的价值。
二、二叉树期权定价模型
1. 单期二叉树定价模型（实质上和复制原理、套期保值原理、风险中性原理中的计算一致）
（1）二叉树模型的假设
①市场投资没有交易成本； ②投资者都是价格的接受者； ③允许完全使用卖空所得款项；
④允许以无风险利率借入或贷出款项；
⑤未来股票的价格将是两种可能值中的一个。 （2）单期二叉树公式的推导
①初始成本＝股票投资－期权收入＝HS 0－C 0 ②初始成本到期价值＝（HS 0－C 0）×（1＋r ） ③组合到期价值（股价上升、下降都一致）
该组合能实现完全套期保值，产生无风险利率，从而根据套期保值原理或者叫套利理论有：无论股票价格上升还是下降，该投资组合的收入（价值）都一样。我们采用价格上升后的收入： 投资组合到期日价值＝股票出售收入－期权买方执行期权的支出＝HS0u －Cu ④套利理论
套期保值下产生无风险利率，则初始到期日终值等于投资组合到期日价值： （HS 0－C 0）×（1＋r ）＝HS 0u －C u 从而C 0＝HS 0－
（1）
⑤计算C 0
套期保值中的套期保值比率为 H=
将其带入（1）并化简： C 0＝[ 由于C d ＝0 从而有C 0＝ 【注意】事实上
×C u /（1＋r ）＋（1－
）×C d /（1＋r ）]
×C u /（1＋r ）
＝p ，代表的是股价上升的概率
如果根据公式直接计算【例7—10】的期权价格：
风险中性原理与二叉树：
①根据风险中性原理
股票的期望报酬率＝无风险利率＝r
假设上行概率是p, 则有r ＝p ×（u －1）＋（1－p ）×（d －1）
从而有p ＝
②计算到期日期望值
C T ＝p ×C u ＋（1－p ）×C d
由于看涨期权的C d ＝0，所以C T ＝p ×C u
③计算C 0
C 0＝[p×C u ＋（1－p ）×C d ]/（1＋r ）
＝[p×C u ]/（1＋r ）
×C u /（1＋r ） ＝
【说明】风险中性原理推导的结果也和教材一致，事实上说明了实质上复制原理、套期保值原理中的计算就是一个二叉树模型。
2. 两期二叉树定价模型
（1）两期二叉树模型的假设
①市场投资没有交易成本；
②投资者都是价格的接受者；
③允许完全使用卖空所得款项；
④允许以无风险利率借入或贷出款项；
⑤未来股票的价格将将出现二次价格变化。
【说明】两期二叉树模型是将单期模型假设中的价格假设“（5）未来股票的价格将是两种可能值中的一个”变动略微贴近生活，未来价格的变化可能增多了，不过价格的每次变动概率和变动大小都没有变化。简单地说，由单期模型向两期模型的扩展不过是单期模型的两次应用。
（2）两期二叉树计算原理
①建立股票价格二叉树模型
②根据股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树。
③构建顺序由后向前，逐级推进。（复制组合定价或者风险中性定价）
④确定期权的现值
【例7－11】继续采用例7－10中的数据，把6个月的时间分为两期。每期3个月。变动以后的数据如下：A BC 公司的股票现在的市价为50元，看涨期权的执行价格为52.08元，每期股价有两种可能：上升百分比22.56%或下降百分比18.4%【注意分为两期之后，股价上升和下降的比率出现了变化】；无风险利率为每3个月l%。
【要求】计算期权的价值
『正确答案』
（1）股价二叉树
（2）期权二叉树
不能用到期日公式计算，因为第一期末在3月，而期权的到期日是6月
Cu 、Cd 是求如果在3月购买在6月到期的期权，价值是多少。
（3）计算Cu 、Cd
方法：套期保值或者风险中性
方法1：套期保值
方法2：风险中性原理
（4）计算第一个期间期权价值C 0
方法一：复制组合定价（套期保值）
①计算套期保值比率
H ＝
H ＝（10.80－0）/（61.28－40.80）＝0.5273
②计算借款数额
或者＝（S u ×H －C u ）/（1＋r ）
或者＝S d ×H/（1＋r ）
采用第3个公式，所以
B ＝S d ×H/（1＋r ）＝（40.80×0.5273）/（1＋1%）＝21.3008（元）
③计算第一阶段期权的价值
C 0＝投资成本＝购买股票支出－借款
＝S 0×H －B ＝50×0.5273－21.3008＝5.06（元）
方法二：风险中性定价
①计算股价上升概率
p ＝＝（1%＋1－0.816）/（1.2256－0.816）＝0.47363
②计算第一阶段期权的价值
C 0＝[p×C u ＋（1－p ）×C d ]/（1＋r ）
＝[0.47363×10.80]/（1＋1%）＝5.06（元）
3. 多期二叉树定价模型
（1）多期二叉树模型的假设
①市场投资没有交易成本；
②投资者都是价格的接受者；
③允许完全使用卖空所得款项；
④允许以无风险利率借入或贷出款项；
⑤未来股票的价格将出现多次价格变化。
【说明】如果继续增加分割的期数，就可以使期权价值更接近实际。
多期二叉树与股价变动次数：
（2）多期二叉树模型的计算原理
二叉树中上升与下降乘数关系：
【注意】也就是说我们例7－10股价上行和下行乘数是满足上述的规律的。
如果时间间隔为1/4年，则t ＝0.25，代入到上面的公式中，u ＝1.2256，d ＝1/u＝0.816，即下降18.4%
我们例9－10中股价上行和下行乘数的来源依据，并不是随便提供的两个数据，他们之间也是满足上述规律的：
d ＝1－下降百分比＝1／u
（3）做题程序
①根据标准差确定每期股价变动乘数（应用上述的两个公式）。
②建立股票价格二叉树模型。
③根据股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树。
④构建顺序由后向前，逐级推进。（复制组合定价或者风险中性定价）
⑤确定期权的现值。
大家自己练习一下教材例题【例7－12】
三、布莱克－斯科尔斯定价模型
1. 布莱克－斯科尔斯定价模型的假设
（1）市场投资没有交易成本；
（2）投资者都是价格的接受者；
（3）允许完全使用卖空所得款项；
（4）允许以无风险利率借入款项；
（5）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走；
（6）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；
（7）看涨期权只能在到期日执行；
（8）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；
2. 布莱克－－斯科尔斯定价模型的公式
【说明】股价上升时，d 1和d 2都会上升，N （d 1）和N （d 2）也都会上升
股票价格越是高出执行价格，期权越有可能被执行。
极而言之，N （d 1）和N （d 2）接近1时，期权肯定被执行，此时期权价值等于S 0-Xe -
rct 。前一项是期权执行者拥有的对当前价格为S 的要求权，后一项是期权持有者的义务的现值。0
1期权几乎肯定不被执行，此时期权的价值C 0接近零。 看涨期权的价值是其潜在收入的现值。
【例7－13】沿用[例7-
10]的数据，某股票的当前市价为50元，执行价格为52.08元，期权到期日前的时间为0.5年，每年复利一次的无风险利率为4%，相当于连续复利的无
风险利率r c ＝ln （1.04）＝3.9221%，连续复利的标准差σ＝0.4068，即方差σ2＝0.1655。
【要求】根据以上资料计算期权的价
值。
『正确答案』
（1）计算d 1和d 2
d 1＝
＝（-0.04076+0.061）/0.2877
＝0.07
d 2＝0.07-0.4068×
＝0.07-0.2877
＝-0.217
（2）查表确定N （d 1）和N （d
2）
N （d 1）＝N （0.07）＝0.5280
N （d 2）＝N （-0.217）＝0.4140
（3）计算看涨期权的价值
＝50×0.5280－52.08×e -3.9221%×0.5×0.4140
＝26.40－52.08×0.9806×0.4140
＝26.40－21.14
＝5.26（元）
期权价值的敏感分析
3. 模型参数的估计
（1）无风险利率的估计
与期权到期日相同
国库券
市场利率
②连续复利与年复利
连续复利含义及计算
连续复利简化计算
方法1：按有效年利率折算
年复利率为4%，则等价的半年复利率应当是
方法2：按报价利率折算
年复利率为4%，则半年复利率为4%÷2＝2%。。
（2）报酬率标准差的估计
在期权估价中，严格说来应当使用连续复利报酬率的标准差。有时为了简化，也可以使用分期复利报酬率的标准差作为替代。
【例1·单选题】甲股票预计第一年的股价为8元，第一年的股利为0.8元，第二年的股价为10元，第二年的股利为1元，则按照连续复利计算的第二年的股票收益率为（ ）。
A.37.5%
B.31.85%
C.10.44%
D.30%
『正确答案』B
『答案解析』按照连续复利计算的第二年的股票收益率＝ln[（10＋1）/8]＝ln1.375，查表可知，ln1 .37＝0.3148，ln1.38＝0.3221，所以，ln1.375＝（0.3148＋0.3221）/2＝0.31845＝31.85%。（本题也可以通过计算器直接计算得到结果）
4. 看跌期权估价（）
C 0－P 0＝S 0－PV （X ）
【例7－16】两种期权的执行价格均为30元，6个月到期，6个月的无风险利率为4%，股票的现行价格为35元，看涨期权的价格为9.20元。
【要求】计算看跌期权的价格。
『正确答案』C 0－P 0＝S 0－PV （X ）
9.20－P 0＝35－30／（1＋4%）
P 0＝－35＋9.20＋28.8＝3（元）
5. 派发股利的期权定价
（1）对布莱克－斯科尔斯期权定价模型假设修订
布莱克－斯科尔斯期权定价模型假设第1条假设不发放股利，这里修改为发放股利。 （2）发放股利下布莱克－斯科尔斯期权定价模型分析
股利的现值是股票价值的一部分，但是只有股东可以享有该收益，期权持有人不能享有。因此，在期权估价时要从股价中扣除期权到期日前所派发的全部股利的现值。
6. 美式期权估价
（1）对布莱克－斯科尔斯期权定价模型假设修订
布莱克－斯科尔斯期权定价模型假设第6条假设到期日执行，也就是属于欧式期权，这里修改为在到期前的任意时间都可以执行，也就是将该模型改造后用于美式期权估价。
（2）布莱克－斯科尔斯期权定价模型用于美式期权估价分析
（1）美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值
（2）对于不派发股利的美式看涨期权，可以直接使用布莱克—斯科尔斯模型进行估价。
（3）对于派发股利的美式看跌期权，通常情况下使用布莱克—
斯科尔斯模型对美式看跌期权估价，误差并不大，仍然具有参考价值。
本章内容
本章小结1 期权概念及分类
本章小结2 期权到期日价值及损益
本章小结3 投资策略
本章小结4 期权价值影响因素
本章小结5 复制原理
本章小结6 风险中性原理
本章小结7 二叉树模型
本章小结8 布莱克-斯科尔斯模型
本章小结9 看跌期权及美式期权估价
C 0－P 0＝S 0－PV （x ）
第七章 期权价值评估
【考情分析与教材变化说明】
本章属于重点章，可以考选择题和计算分析题。本章主要讲述了期权到期日价值、期权投资策略、期权价值的影响因素、期权价值评估的基本方法。从考试分数看，2007-
2009年分值较高，一般在10分以上。2010-2014年没有考计算分析题和综合题，分值在1－3分之间。 2015年教材删除“实物期权”和“期权市场”，增加了“空头对敲”。
本章内容
第一节 期权的概念和类型
【考点1】期权的基本概念
【掌握要求】特别重要考点。重难点。
注意掌握期权的定义，对期权的权利的特殊性的理解、期权的标的资产与期权权利的差别、执行价格与标的资产的到期市场价格的区别，以及与远期合约、期权合约的区别。
注意掌握，尤其是看涨与看跌期权的分类。理解。 一、期权的定义
期权是指一种合约，该合约赋予持有人在某一特定日期或该日之前的任何时间以固定价格购进或售出一种资产的。
1. 期权是一种权利（持有人只享有权利而不承担义务）及期权的权利金
期权的标的资产是指选择购买或出售的资产。
3. 期权到期日及期权执行价格
期权的到期日指的是双方约定的期权到期的那一天。期权到期日之后期权失效。
期权合约约定的、持有者购买或出售标的资产的固定价格称作期权的执行价格。
4. 期权合约不同于远期合约和期货合约。
1. 按照期权的标的资产分类。
2. 按照期权的执行时间，将期权分为美式期权和欧式期权。
3. 按照期权授予期权持有人权利的类别将期权分为看涨期权和看跌期权。
【例1·多选题】下列关于期权的说法正确的有（ ）
A. 期权赋予持有人做某件事的权利，但他不承担必须履行的义务
B. 期权的市场价格也就是期权标的资产的市场价格
C. 期权出售人不一定拥有标的资产，多方也不一定执行期权赋予的权利
D. 美式期权行权时间具有可选择性，比欧式期权执行时间灵活
『正确答案』ACD
『答案解析』B 的正确说法是：期权的市场价格也称作期权的权利金，指的是获取购买或者出售期权 标的资产的权利而不承担义务，所需要支付的价格。关于D ，美式期权允许其持有者在期权合约的最后日期即到期日或者到期日之前的任何时间执行期权。欧式期权只允许期权的持有者在到期日当天执行期权。
三、期权的执行
1. 含义
依据期权合约购进或售出标的资产的行为称为“执行”。
2. 欧式期权的执行－－欧式看涨期权
【例2·计算分析题】假设东方航空于2010年7月15日购入以航空燃油为标的的欧式看涨期权。期权的到期日为2010年9月15日，期权的执行价格为每桶航空燃油150元。
【要求】
（1）如果到期日航空燃油每桶为200元，东方航空是否应该执行期权？
（2）如果到期日航空燃油每桶为130元，东方航空是否应该执行期权？
『正确答案』
（1）如果到期日航空燃油每桶为200元，东方航空应该执行期权。
（2）如果到期日航空燃油每桶为130元，东方航空不应该执行期权。
【结论】在投资者看好某资产价格会上涨，而其他人没有意识到的情况下，则可以约定一个低于预期价格的执行价格，从而在期权到期的时候，能够以低于市场价格的执行价格购入标的资产，从而获利。
【结论】看涨期权就是购买权，因为这种情况下出售权不能够获利。当欧式看涨期权标的资产的市场价格高于执行价格时，执行欧式看涨期权可以获利，否则不应执行。
3. 欧式期权的执行－－欧式看跌期权
【例3·计算分析题】假设东方航空于2010年7月15日购入以航空燃油为标的的欧式看跌期权。期权的到期日为2010年9月15日，期权的执行价格为每桶航空燃油150元。
【要求】
（1）如果到期日航空燃油每桶为200元，东方航空是否应该执行期权？
（2）如果到期日航空燃油每桶为130元，东方航空是否应该执行期权？
『正确答案』
（1）如果到期日航空燃油每桶为200元，东方航空不应该执行期权。
（2）如果到期日航空燃油每桶为130元，东方航空应该执行期权。
【结论】看跌期权就是出售权；欧式看跌期权标的资产的市场价格低于执行价格时，执行欧式看跌期权可以获利，否则不应该执行。
【考点2】期权的到期日价值及净损益
【掌握要求】 掌握期权的到期日价值与损益的计算，并能够区分多空方到期日价值的不同。
一、欧式看涨期权的到期日价值及净损益 1. 看涨期权的到期日价值
用S 0表示期权交易时的初期股票价格，S T 表示到期日的股票价格，X 表示执行价格，则看涨期权在到期日的价值（即执行时可以获得的净收入）可表示为：
看涨期权到期日价值C T ＝执行净收入＝到期日价值
＝Max （股票市价S T －执行价格X ，0）
【说明】看涨期权到期日价值C T ，这里没有考虑多空方，纯粹考虑期权这个资产值多少钱。
到期日股票价格S T ＞执行价格X ，则执行，否则不会被执行。
【说明】
①涨期权的到期日价值最小为0，不可能小于0。
②看涨期权本身到期日价值为正或0，但是由于空头和多头的立场和利益不同，从而有看涨期权的多头者将获得看涨期权到期日价值，多头看涨期权价值为正或0。
多头看涨期权到期日价值C T ＝Max （股票市价S T －执行价格X ，0）。看涨期权的空头者将付出看涨期权到期日价值，从而空头看涨期权价值为负或0。空头看涨期权到期日价值C T ＝－Max （股票市价S T －执行价格X ，0）。
2. 看涨期权到期日净损益
多头看涨期权净损益
＝看涨期权到期日价值－期权价格（即期权成本C ）
＝多头看涨期权到期日价值－期权价格（即期权成本C ）
空头看涨期权净损益
＝期权价格－看涨期权到期日价值
＝期权价格＋空头看涨期权到期日价值（空头看涨期权价值为负）
【说明】对于看涨期权的多头和空头来说，二者是零和博弈。一方所得就是另一方所失，即一方的到期日价值和净损益与另一方的到期日价值和净损益，金额绝对值相等，符号相反。 头看涨期权
头看涨期权值（股票市价S T －执行价格X ，0）Max （股票市价S T －执行价格X ，0）净损益多
头到期日价值－期权价格空头到期日价值＋期
权价格
【说明】到期日价值是一个“净收入”的概念，没有考虑期权的取得成本，而净损益则扣除了期权
成本。
【说明】看涨期权执行时，看涨期权损益平衡点，即股票价格等于执行价格与期权价格之和时的价格，此时的到期日价值等于期权价格。
【说明】看涨期权多头净损失有限（最大值为期权价格），而净收益却潜力巨大。看涨期权空头收取期权费，成为或有负债的持有人，负债的金额不确定。
二、欧式看跌期权的到期日价值及净损益 1. 看跌期权的到期日价值
支付（现金流量）
净收入
看跌期权到期日价值P T ＝执行净收入＝到期日价值
＝Max （执行价格X －股票市价S T ，0）
到期日执行价格X ＞到期日股票价格S T ，则执行，否则不会被执行。
【说明】期权到期日价值P T ，这里没有考虑多空方，纯粹考虑期权这个资产值多少钱。 2. 看跌期权到期日净损益
多头看跌期权净损益＝多头看跌期权到期日价值－期权价格【即期权成本P 】
空头看跌期权净损益＝期权价格【即期权成本P 】+空头看跌期权到期日价值
【说明】多头净损失有限（最大值为期权价格），净收益不确定（最大值为执行价格－期权价格）。空头净收益有限（最大值为期权价格），净损失不确定（最大值为执行价格－期权价格）。
【例1·单选题】下列关于期权的说法不正确的是（ ）。
A. 看跌期权（putoption ）赋予其持有者出售资产的权利
B. 看跌期权（putoption ）在执行价格高于市场价格时，持有人能够获利
C. 看涨期权（calloption ）赋予其持有者购买资产的权利
D. 看涨期权（calloption ）在执行价格低于市场价格时，多头在到期日能够获得的净收入为正『正确答案』B
『答案解析』B 的正确说法是：看跌期权（putoption ）在执行价格高于市场价格时，持有人在到期日 能够获得的净收入为正，但是还需要扣除获取期权的权利金以及相应占用资金的时间价值，才能够得到利润。在执行价格高于市场价格时，看跌期权（putoption ）并不肯定能获利。
【考点3】期权的投资策略（）
【掌握要求】。
注意掌握各种投资策略的投资组合对象、损益计算、适用条件。
一、期权投资策略的理论基础
买入期权的特点是最小的净收入为零，不会发生进一步的损失，因此具有构造不同损益的功能。 二、常见期权的投资策略
1. 保护性看跌期权（）
，组合的到期日净损益＝X －S 0－P ，是固定的。
，组合到期日净损益＝S T －S 0－P ，随着股票价格上升而增大
可以降低投资亏损的风险，锁定最低亏损为X －S 0－P 。如果X ＝S 0，锁定最低亏损额为P 。但是如果标的价格不下跌，净收益为S T －S 0－P ，由于P 存在而收益降低。
2. 抛补性看涨期权（）
，组合的到期日净损益＝S T －S 0＋C ，亏损随股价下降而加大，但是期权费C 可以抵消一些损失。
，组合的到期日净损益＝X －S 0＋C ，净损益固定。
，他可以抛补性看涨期权。
如果股价上升，能够保证获得按照执行价格变现的收入X ，同时获得期权费C 。到期日净损益是固定的（X －S 0＋C ）
如果股价下降，则股票按照市场价格S d 出售，但是获得了额外的期权费C ，可弥补股价下降的损失。 3. 对敲
（1）多头对敲
多头同一标的及执行价格的看涨和看跌期权
，对敲的到期日净损益＝X －S T －C －P
，对敲的到期日净损益＝S T －X －C －P
【运用情况及目的】
对敲策略对于预计市场价格将发生剧烈变动，但是不知道升高还是降低的投资者非常有用。
不论期权投资后价格走向如何，都能够获得正的到期价值，扣除组合投资成本之后一般会有盈利。当然最坏的结果是股价与执行价格一致，白白损失了看涨期权和看跌期权的购买成本。股价偏离执行价格的差额超过期权购买成本，才能给投资者带来净收益。
（2）空头对敲
空头同一标的及执行价格看涨和看跌期权
，对敲的到期日净损益＝C ＋P －（X －S T ） ，对敲的到期日净损益＝C ＋P －（S T －X ）
空头对敲策略对于预计市场价格将相对比较稳定的投资者非常有用。
空头对敲的最坏结果是到期股价与执行价格不一致；最好的结果是到期股价与执行价格一致，投资者白白赚取出售看涨期权和看跌期权
的收入。第二节 金融期权价值评估
【考点4】金融期权的价值因素
【掌握要求】一般考点。
注意掌握期权（当前）的价值、内在价值（实值与虚值）、时间溢价的含义，以及三者之间的关系。掌握影响期权价值的因素，以及看涨期权价值的上下限。
一、期权的内在价值、时间溢价 1. 期权价值
期权（当前）价值是指期权的现值，即预计该期权在未来能够提供给投资者现金流的现值。 2. 期权内在价值 看涨期权内在价值＝Max （标的资产的现行市价S －执行价格X ，0） 看跌期权内在价值＝Max （执行价格X －标的资产的现行市价S ，0）
3. 期权的时间溢价 （1）期权的时间溢价定义
期权的时间溢价（价值）指期权（当前）价值超出其内在价值的部分。 （2）公式
期权价值（即当前价值）＝期权内在价值＋期权的时间溢价 （3）说明
等待标的资产的价格变化以增加期权的价值，所以距离到期日越远，则期权的时间溢价越大。
时间溢价是“波动的价值”，时间越长，出现波动的可能性越大，时间溢价也就越大。 而货币的时间价值是时间“延续的价值”，时间延续得越长，货币的时间价值越大。
，虽然其内在价值为0，但是由于它仍然具有时间溢价，所以的价格出售。
，所以。
【例1·单选题】某看跌期权资产现行市价为40元，执行价格为50元，则该期权处于（ ）。
A. 实值状态 B. 虚值状态 C. 平值状态 D. 不确定状态『正确答案』A
『答案解析』对于看跌期权来说，资产现行市价低于执行价格时，称期权处于“实值状态”（或溢价状态）或称此时的期权为“实值期权”（溢价期权）。
【例2·单选题】如果已知期权的价值为5元，期权的内在价值为4元，则该期权的时间溢价为（ ）元。 A.0 B.9 C.1 D. －1
『正确答案』C
『答案解析』时间价值＝期权价值－内在价值＝5－4＝1（元）。
【例3·单选题】下列关于期权的说法中不正确的是（ ） A. 美式期权的价值不会低于欧式期权
B. 美式期权的价值不会低于其内在价值，美式期权的时间溢价不可能为负 C. 期权的到期日价值取决于到期日标的股票价格与执行价格的高低 D. 期权的内在价值取决于标的股票的现行市价与执行价格的高低『正确答案』A
『答案解析』A 的正确说法是：美式期权的价值不会低于对等（即其他方面与美式期权完全相同）的欧式期权的价值。 【例4·多选题】如果期权已经到期，则下列结论成立的有（ ）。 A. 时间溢价为0
B. 内在价值等于到期日价值 C. 期权价值等于内在价值 D. 期权价值等于时间价值『正确答案』ABC
『答案解析』期权价值的时间溢价是一种等待的价值，如果期权已经到期，因为不能再等待了，所以，时间溢价为0，A 的结论正确；内在价值的大小，取决于期权标的资产的现行市价与期权执行价格 的高低，期权的到期日价值取决于“到期日”标的股票市价与执行价格的高低，因此，如果期权已经到期，内在价值与到期日价值相同，B 的结论正确；由于期权价值等于内在价值加时间溢价，所以到期时，期权价值等于内在价值，因此选项C 正确，选项D 错误。
二、影响期权价值的因素
1. 影响期权价值的因素具体分析
以上变量对于期权价格的影响，可以汇总如下表所示： 一个变量增加（其他变量不变）对期权价格的影响
量行价格风险利率利动率
涨期权欧式看跌期权－＋
－＋不一定＋
美式看涨期权＋－＋－＋＋
权 2. 看涨期权价值上下限分析图
（1）A 点为原点，表示股票价格为零时，期权的价值也为零 （2）看涨期权的最低价值线（ABD ）及与期权价值关系（下限值）
期权的最低价值线构成：由线段AB 和BD 组成，即看涨期权处于虚值时内在价值为0，处于实值时看涨期权的内在价值等于股票价格与执行价格的差额。
在执行日之前，期权价值AGJ 线永远不会低于最低价值线ABD 线（因为存在时间溢价）。 （3）左侧的点划线AE 是期权价值的上限（上限值）
因为在执行日，股票的最终收入总要高于期权的最终收入，因为期权还要扣除执行价格。 （4）曲线AGJ 是期权价值线
期权价值线从A 点出发后，呈一弯曲线向上，逐渐与BD 趋于平行。该线反映股价和期权价值的关系，期权价值随股票价格上涨而上涨。
股价足够高时，期权价值线与最低价值线的上升部分逐步接近。
【考点5】金融期权价值的评估方法
【掌握要求】重要考点。
包含三个小的考点：（1）期权的估值原理，包含了期权价值评估的三种方法：复制原理、套期保值原理和风险中性原理，要注意原理的理解，不要死记硬背。（2）两期二叉树定价方法的运用：注意价值计算从右往左，而且只有最后一期采用期权到期日价值公式。（3）布莱克—
斯科尔斯模型：注意对公式参数的理解和计算，注意掌握利用欧式看涨与欧式看跌期权价值的平价关系计算看跌期权价值。
一、期权估值原理
1. 复制原理
构造一个股票和借款的适当组合，使得无论股价如何变动，投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
下面我们通过一个假设的简单举例，说明复制原理。
【例7-10】假设ABC 公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者下降25%。无风险利率为每年4%。拟建立一个投资组合，包括购进适量的股票以及借入必要的款项，使得该组合6个月后的价值与购进该看涨期权相等。
（1）确定6个月后可能的股票价格
（2）确定看涨期权的到期日价值
（3）建立对冲组合
上面我们已经知道了期权的到期日价值有两种可能：股价上行时为l4.58元，股价下行时为0。已知借款的利率为2%（半年），我们要复制一个股票与借款的投资组合，使之到期日的价值与看涨期权相同。
该投资组合为，购买0.5股的股票，同时以2%（半年）的利息借入l8.38元。这个组合的收入同样也依赖于年末股票的价格。
我们可以看出，组合在到期日的净收入和购入看涨期权的一样，因此看涨期权的价值就应该与建立投资组合的成本一样。 2. 套期保值原理
（1）套期保值原理介绍
将股票数量记做H ，借款金额记做B ，我们要复制一个股票数量H 与借款数量B 的投资组合，使之到期日
的价值与看涨期权相同。
（2）套期保值原理求投资组合的成本（期权价值）步骤 ①计算到期日股票价格 ②确定到期日期权价值 ③根据复制原理建立方程
④计算套期保值比率H 和借款额B
⑤计算投资组合的成本（期权价值）C 0＝S 0×H-B （3）套期保值原理的假设
①股票的价格只有两种可能的结果 ②市场投资没有交易成本
③借款利率是确定的无风险利率，借款金额不受限制
④关于股票价格上升和下降的概率
上面的推理是根据标的股票价格估计期权的价值，而不是股票价格随机游走情况下期权的定价，未来股票价格上升和下降的概率已经包含在股票的价格之中。 3. 风险中性原理
（1）风险中性原理含义
假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率。风险中性的投资者不需要额外的收益补偿其承担的风险。
在风险中性的世界里，将期望值用无风险利率折现，可以获得现金流量的现值。换句话说，处在风险中性环境中，股票的预期报酬率必须等于无风险利率。 （2）运用风险中性原理计算期权的价值 ①求股票期望报酬率
股票的期望报酬率＝股票价格上行概率×股票价格上行时的报酬率＋股票价格下行概率×股票价格下行时的报酬率
＝上行概率×上行时报酬率＋下行概率×下行时报酬率
②求不发股利时, 股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率 股票的期望报酬率
＝上行概率×股价上升百分比＋下行概率×股价下降百分比
＝上行概率×（股价上行乘数－1）＋下行概率×（股价下行乘数－1） ＝上行概率×（u －1）＋下行概率×（d －1） ③求上行概率
股票的期望报酬率＝无风险利率＝r 假设上行概率是p, 则有 r ＝p ×（u －1）＋（1－p ）×（d －1） 从而有p ＝
④计算期权到期日价值C T
C T ＝p ×C u ＋（1－p ）×C d
由于看涨期权的C d ＝0，所以C T ＝p ×C u ⑤计算投资组合的成本（期权价值）C 0 C 0＝（p ×C u ＋（1－p ）×C d ）/（1＋r ） ＝（p ×C u ）/（1＋r ）
（3）套利理论与风险中性原理解释
组合A1：卖1股看涨期权，购0.5股股票，同时借入18.38元
组合A2：买1股看涨期权，卖0.5股股票，同时借出18.38元
在没有套利机会情况下的价格，也就是我们需要在理论上计算出来的价格，风险中性原理计算出来的期权的价格，就是市场处于无套利机会下的价格。
事实上，前面的套期保值原理也是基于套利理论的结果，所以与风险中性原理计算的结果一样，只不过前者从股票价格入手计算期权价值，后者从股票价格的概率入手计算期权的价值。
二、二叉树期权定价模型
1. 单期二叉树定价模型（实质上和复制原理、套期保值原理、风险中性原理中的计算一致）
（1）二叉树模型的假设
①市场投资没有交易成本； ②投资者都是价格的接受者； ③允许完全使用卖空所得款项；
④允许以无风险利率借入或贷出款项；
⑤未来股票的价格将是两种可能值中的一个。 （2）单期二叉树公式的推导
①初始成本＝股票投资－期权收入＝HS 0－C 0 ②初始成本到期价值＝（HS 0－C 0）×（1＋r ） ③组合到期价值（股价上升、下降都一致）
该组合能实现完全套期保值，产生无风险利率，从而根据套期保值原理或者叫套利理论有：无论股票价格上升还是下降，该投资组合的收入（价值）都一样。我们采用价格上升后的收入： 投资组合到期日价值＝股票出售收入－期权买方执行期权的支出＝HS0u －Cu ④套利理论
套期保值下产生无风险利率，则初始到期日终值等于投资组合到期日价值： （HS 0－C 0）×（1＋r ）＝HS 0u －C u 从而C 0＝HS 0－
（1）
⑤计算C 0
套期保值中的套期保值比率为 H=
将其带入（1）并化简： C 0＝[ 由于C d ＝0 从而有C 0＝ 【注意】事实上
×C u /（1＋r ）＋（1－
）×C d /（1＋r ）]
×C u /（1＋r ）
＝p ，代表的是股价上升的概率
如果根据公式直接计算【例7—10】的期权价格：
风险中性原理与二叉树：
①根据风险中性原理
股票的期望报酬率＝无风险利率＝r
假设上行概率是p, 则有r ＝p ×（u －1）＋（1－p ）×（d －1）
从而有p ＝
②计算到期日期望值
C T ＝p ×C u ＋（1－p ）×C d
由于看涨期权的C d ＝0，所以C T ＝p ×C u
③计算C 0
C 0＝[p×C u ＋（1－p ）×C d ]/（1＋r ）
＝[p×C u ]/（1＋r ）
×C u /（1＋r ） ＝
【说明】风险中性原理推导的结果也和教材一致，事实上说明了实质上复制原理、套期保值原理中的计算就是一个二叉树模型。
2. 两期二叉树定价模型
（1）两期二叉树模型的假设
①市场投资没有交易成本；
②投资者都是价格的接受者；
③允许完全使用卖空所得款项；
④允许以无风险利率借入或贷出款项；
⑤未来股票的价格将将出现二次价格变化。
【说明】两期二叉树模型是将单期模型假设中的价格假设“（5）未来股票的价格将是两种可能值中的一个”变动略微贴近生活，未来价格的变化可能增多了，不过价格的每次变动概率和变动大小都没有变化。简单地说，由单期模型向两期模型的扩展不过是单期模型的两次应用。
（2）两期二叉树计算原理
①建立股票价格二叉树模型
②根据股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树。
③构建顺序由后向前，逐级推进。（复制组合定价或者风险中性定价）
④确定期权的现值
【例7－11】继续采用例7－10中的数据，把6个月的时间分为两期。每期3个月。变动以后的数据如下：A BC 公司的股票现在的市价为50元，看涨期权的执行价格为52.08元，每期股价有两种可能：上升百分比22.56%或下降百分比18.4%【注意分为两期之后，股价上升和下降的比率出现了变化】；无风险利率为每3个月l%。
【要求】计算期权的价值
『正确答案』
（1）股价二叉树
（2）期权二叉树
不能用到期日公式计算，因为第一期末在3月，而期权的到期日是6月
Cu 、Cd 是求如果在3月购买在6月到期的期权，价值是多少。
（3）计算Cu 、Cd
方法：套期保值或者风险中性
方法1：套期保值
方法2：风险中性原理
（4）计算第一个期间期权价值C 0
方法一：复制组合定价（套期保值）
①计算套期保值比率
H ＝
H ＝（10.80－0）/（61.28－40.80）＝0.5273
②计算借款数额
或者＝（S u ×H －C u ）/（1＋r ）
或者＝S d ×H/（1＋r ）
采用第3个公式，所以
B ＝S d ×H/（1＋r ）＝（40.80×0.5273）/（1＋1%）＝21.3008（元）
③计算第一阶段期权的价值
C 0＝投资成本＝购买股票支出－借款
＝S 0×H －B ＝50×0.5273－21.3008＝5.06（元）
方法二：风险中性定价
①计算股价上升概率
p ＝＝（1%＋1－0.816）/（1.2256－0.816）＝0.47363
②计算第一阶段期权的价值
C 0＝[p×C u ＋（1－p ）×C d ]/（1＋r ）
＝[0.47363×10.80]/（1＋1%）＝5.06（元）
3. 多期二叉树定价模型
（1）多期二叉树模型的假设
①市场投资没有交易成本；
②投资者都是价格的接受者；
③允许完全使用卖空所得款项；
④允许以无风险利率借入或贷出款项；
⑤未来股票的价格将出现多次价格变化。
【说明】如果继续增加分割的期数，就可以使期权价值更接近实际。
多期二叉树与股价变动次数：
（2）多期二叉树模型的计算原理
二叉树中上升与下降乘数关系：
【注意】也就是说我们例7－10股价上行和下行乘数是满足上述的规律的。
如果时间间隔为1/4年，则t ＝0.25，代入到上面的公式中，u ＝1.2256，d ＝1/u＝0.816，即下降18.4%
我们例9－10中股价上行和下行乘数的来源依据，并不是随便提供的两个数据，他们之间也是满足上述规律的：
d ＝1－下降百分比＝1／u
（3）做题程序
①根据标准差确定每期股价变动乘数（应用上述的两个公式）。
②建立股票价格二叉树模型。
③根据股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树。
④构建顺序由后向前，逐级推进。（复制组合定价或者风险中性定价）
⑤确定期权的现值。
大家自己练习一下教材例题【例7－12】
三、布莱克－斯科尔斯定价模型
1. 布莱克－斯科尔斯定价模型的假设
（1）市场投资没有交易成本；
（2）投资者都是价格的接受者；
（3）允许完全使用卖空所得款项；
（4）允许以无风险利率借入款项；
（5）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走；
（6）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；
（7）看涨期权只能在到期日执行；
（8）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；
2. 布莱克－－斯科尔斯定价模型的公式
【说明】股价上升时，d 1和d 2都会上升，N （d 1）和N （d 2）也都会上升
股票价格越是高出执行价格，期权越有可能被执行。
极而言之，N （d 1）和N （d 2）接近1时，期权肯定被执行，此时期权价值等于S 0-Xe -
rct 。前一项是期权执行者拥有的对当前价格为S 的要求权，后一项是期权持有者的义务的现值。0
1期权几乎肯定不被执行，此时期权的价值C 0接近零。 看涨期权的价值是其潜在收入的现值。
【例7－13】沿用[例7-
10]的数据，某股票的当前市价为50元，执行价格为52.08元，期权到期日前的时间为0.5年，每年复利一次的无风险利率为4%，相当于连续复利的无
风险利率r c ＝ln （1.04）＝3.9221%，连续复利的标准差σ＝0.4068，即方差σ2＝0.1655。
【要求】根据以上资料计算期权的价
值。
『正确答案』
（1）计算d 1和d 2
d 1＝
＝（-0.04076+0.061）/0.2877
＝0.07
d 2＝0.07-0.4068×
＝0.07-0.2877
＝-0.217
（2）查表确定N （d 1）和N （d
2）
N （d 1）＝N （0.07）＝0.5280
N （d 2）＝N （-0.217）＝0.4140
（3）计算看涨期权的价值
＝50×0.5280－52.08×e -3.9221%×0.5×0.4140
＝26.40－52.08×0.9806×0.4140
＝26.40－21.14
＝5.26（元）
期权价值的敏感分析
3. 模型参数的估计
（1）无风险利率的估计
与期权到期日相同
国库券
市场利率
②连续复利与年复利
连续复利含义及计算
连续复利简化计算
方法1：按有效年利率折算
年复利率为4%，则等价的半年复利率应当是
方法2：按报价利率折算
年复利率为4%，则半年复利率为4%÷2＝2%。。
（2）报酬率标准差的估计
在期权估价中，严格说来应当使用连续复利报酬率的标准差。有时为了简化，也可以使用分期复利报酬率的标准差作为替代。
【例1·单选题】甲股票预计第一年的股价为8元，第一年的股利为0.8元，第二年的股价为10元，第二年的股利为1元，则按照连续复利计算的第二年的股票收益率为（ ）。
A.37.5%
B.31.85%
C.10.44%
D.30%
『正确答案』B
『答案解析』按照连续复利计算的第二年的股票收益率＝ln[（10＋1）/8]＝ln1.375，查表可知，ln1 .37＝0.3148，ln1.38＝0.3221，所以，ln1.375＝（0.3148＋0.3221）/2＝0.31845＝31.85%。（本题也可以通过计算器直接计算得到结果）
4. 看跌期权估价（）
C 0－P 0＝S 0－PV （X ）
【例7－16】两种期权的执行价格均为30元，6个月到期，6个月的无风险利率为4%，股票的现行价格为35元，看涨期权的价格为9.20元。
【要求】计算看跌期权的价格。
『正确答案』C 0－P 0＝S 0－PV （X ）
9.20－P 0＝35－30／（1＋4%）
P 0＝－35＋9.20＋28.8＝3（元）
5. 派发股利的期权定价
（1）对布莱克－斯科尔斯期权定价模型假设修订
布莱克－斯科尔斯期权定价模型假设第1条假设不发放股利，这里修改为发放股利。 （2）发放股利下布莱克－斯科尔斯期权定价模型分析
股利的现值是股票价值的一部分，但是只有股东可以享有该收益，期权持有人不能享有。因此，在期权估价时要从股价中扣除期权到期日前所派发的全部股利的现值。
6. 美式期权估价
（1）对布莱克－斯科尔斯期权定价模型假设修订
布莱克－斯科尔斯期权定价模型假设第6条假设到期日执行，也就是属于欧式期权，这里修改为在到期前的任意时间都可以执行，也就是将该模型改造后用于美式期权估价。
（2）布莱克－斯科尔斯期权定价模型用于美式期权估价分析
（1）美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值
（2）对于不派发股利的美式看涨期权，可以直接使用布莱克—斯科尔斯模型进行估价。
（3）对于派发股利的美式看跌期权，通常情况下使用布莱克—
斯科尔斯模型对美式看跌期权估价，误差并不大，仍然具有参考价值。
本章内容
本章小结1 期权概念及分类
本章小结2 期权到期日价值及损益
本章小结3 投资策略
本章小结4 期权价值影响因素
本章小结5 复制原理
本章小结6 风险中性原理
本章小结7 二叉树模型
本章小结8 布莱克-斯科尔斯模型
本章小结9 看跌期权及美式期权估价
C 0－P 0＝S 0－PV （x ）