考博用弹性力学核心总结

1 弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用 途为： 1）连续性假定：引用这一假定后，物体中 的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的， 因 此， 建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续 函数来表示他们的变化规律。2）完全弹性假定：这 一假定包含应力与应变成正比的含义， 亦即二者呈线 性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的 方程。3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体 内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这 些物理性质的弹性常数（如弹性模量 E 和泊松比 μ 等）就不随位置坐标而变化。4）各向同性假定：各 向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同 的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。 5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不 用考虑物体尺寸的改变， 而仍然按照原来的尺寸和形 状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可 以将它们的二次幂或乘积略去不计， 使得弹性力学的 微分方程都简化为线性微分方程。 2 对于地下硐室或巷道， 为什么常常简化为平面应变 问题？在什么情况下可以为平面应变问题？ 因为其弹性体形状的特殊性， 因此可以这类把空间问 题简化为近似的平面问题， 这样可以使计算的工作量 大大减少， 而且所得结果仍然能满足工程上对精度的 需求。 当弹性体某一个方向的尺寸远大于另外两个 方向的尺寸时，问题可以简化为平面应变问题。 3、简述弹性力学、材料力学和结构力学三者的相同 点和不同点。 学科 研究对 分析对 目标 特点与 象 象 精度 材料 杆状构 面上应 强度、 宏观、 力学 件： 杆、 力、位 刚度 近似 梁、柱 移 结构 杆系结 面上应 强度、 宏观、 力学 构：桁 力、位 刚度 近似 架、钢 移 架 弹性 一切弹 空间各 强度、 细观、 力学 性范围 点的应 刚度、 较精确 内的固 力、位 点的状 体连续 移 态 介质： 板、 壳、 坝、 翼、 墙等 需要说明的是弹性力学和材料力学在剪应力方面定 义的是完全相反的。 4、 求解弹性力学问题时， 常常要用利用圣维南原理， 为什么？ 在求解弹性力学问题时， 使应力分量、 形变分量、 位移分量完全满足基本方程并不困难；但是，要使得 边界条件也得完全满足，却往往发生很大的困难； 另 一方面，在很多的工程结构计算中， 都会遇到这样的 情况：在物体的一小部分边界上，仅仅知道物体所受 面力的合成， 而这个面力的分布方式并不明确，因而 无从考虑这部分边界上的应力边界条件。 圣维南原理： 如果物体的一小部分边界上的面力变换 为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同） ， 则近处的应力分布将有显著的改变， 但远处的应力所 受影响可以忽略不计。 作用： （1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中 力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界 条件转化为应力边界条件处理。 5、写出在直角坐标系下空间弹性力学问题的基本方 程及其边界条件的一般形式。 边界条件： （1）应力边界条件：

力及约束作用于板边，平行于板面，并沿厚度不变； 如 何 简 化？ （ 1 ） 两板 面 无面 力 和约 束作 用 ，故 由于薄板很薄，应力是连续变 ( z ,  zx ,  zy ) z    0

2

化的，又无 Z 向外力，可认为 V 中） ，故平面只有平面应力

( z , zx , zy )  0

（在

（2）  z , zx , zy 存在。

由于板等厚度，外力、约束沿 Z 向不变，可归纳为平 面应力问题。还得满足 a 。应力中只有平面应力 存在；b，且仅为

 z , zx , zy

f ( x, y )

7、弹性力学按应力和位移求解，分别应满足什 么方程和边界条件？ 按应力求解平面问题时 ，应力分量 必须满足下列条件： （1）在区域内的

 x ,  y 和 xy

平衡微分方程； （2）在区域内的相容方程。满足的边 界条件：

(l x  m yx )  f x ( s )

(m y  l xy )  f y ( s)

对于单连体（只有一个连续边界的物体） ，上述条件 就是确定应力的全部条件。对于多连体 （具有两个或 两个以上的连续边界的物体，如有空口的物体） ，还 必须满足多连体中的位移单值条件。 按位移求解平面问题时，位移分量必须在区域 内满足微分方程

E  2u 1  u  2u 1  u  2 v (   )  fx  0 2 y 2 2 xy 1  u 2 x 2

程，以及在边界上的应力或位移边界条件。一般有两 种求解途径： （1）位移法（按位移求解方法） ：取位移分量 为基本未知函数， 从基本未方程和应力边界条件中消 去应力和应变分量， 导出用位移表示的平衡微分方程 和用位移表示的应力边界条件。并由此求出位移分 量，用过几何方程求出应变分量，再由物理方程求出 应力分量 应力法（按应力求解的方法） ：取应力分量为基 本未知函数， 从基本方程和边界条件中消去位移和应 变分量，导出用应力表示的相容方程和边界条件。 并 由此求出应力分量，再求出应变和位移分量。 （2）采用应力求解时必须满足相容方程，是因 为相容方程是应变对应位移存在且连续的必要条件。 当应变分量满足相容方程后， 可以求出对应的位移分 量，说明位移是存在的而且必然连续。反之，不满足 相容方程的应变分量，不是物体中实际存在的，也求 不出对应的位移。 (3)混合法：同时以某些位移分量和某些应力 分量作为基本未知量， 用包含上述基本未知量的微分 方程和边界条件求出这些基本未知量， 再用相关方程 求出其它未知量。 （4）用位移表示的平衡微分方程：

E u 2 1  u  2 u 1  u v 2 (   )  fx  0 2 y 2 2 xy 1   2 x 2

E v 2 1  u  2 v 1  u u 2 (   ) fy  0 2 x 2 2 xy 1   2 y 2

E  2 v 1  u  2 v 1  u  2u (   )  fy  0 2 x 2 2 xy 1  u 2 y 2

并在边界上满足位移边界条件： (u )

s

用位移表示的应力边界条件：

E u v 1  u u v [l ( u )m (  )  fx 2 y x 1   2 x y

E v u 1  u u v [ m( u )l (  )  fy 2 y x 1  2 y x

u，

(v ) s  v

（在

s u 上）

8、 在求解力学问题时， 常常要用到圣维南原理， 为什么？ 在求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分 量、位移分量完全满足基本方程并不困难；但是，要 使得边界条件也得完全满足，却往往发生很大的困 难；另一方面，在很多的工程结构计算中，都会遇到 这样的情况： 在物体的一小部分边界上，仅仅知道物 体所受面力的合成，而这个面力的分布方式并不明 确，因而无从考虑这部分边界上的应力边界条件。 圣 维南原理： 如果物体的一小部分边界上的面力变换为 分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同） ，则 近处的应力分布将有显著的改变， 但远处的应力所受 影响可以忽略不计。作用： （1）将次要边界上复杂的 面力 （集中力、 集中力偶等） 作分布的面力代替。 （2） 将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 9 、写出虚功原理和最小势能原理的数学表达 式，并解释其含义。 虚功原理：在弹性体上，外力（体力 和面

fi

位移边界条件： u  u ， v  v （在

su

上）

按应力求解平面问题，满足的平衡微分方 程：

 x  yx   fx  0 x y  y  xy   fy  0 y x

用

2

应

力

表

示

的

相

容

方

程

：

f y 应 力 边 界 条 件 f  ( x   y )  (1  u )( x  ) x y (l x  m yx )  f x ( s ) (m y  l xy )  f y ( s)

对于多连体，还必须满足位移单值条件。 相容方程用应力表示：平面应力情况： ：

 2 ( x   y )  (1  u )( f x f y  ) x y

平 面 应 变 ：

力

f i ）在任意一组变形可能位移上所做的虚功，等

于任一组静力可能应力在与上述变形可能位移相应 的可能应变上所做的功，即：

 2 ( x   y )  

1 f x f y (  ) 1  u x y

相 容 方 程 用 应 变 表 示 ：

2 2  2  x   y   xy   2 2  xy y x



其中、



f i ui

(s) i

(k )

d   f i

S

(s)

(s)

ui

(k )

dS    ij



(s)

 ij ( k ) d

上

f

  ij n j

，且在应力边界

Su

ui

(k )

静力可能应力 ( s ) 和变形  ui 在虚功原理中，  ij

(k ) i

相容方程用应力函数表示：

可能位移 u

及其相应的可能应变

 ij ( k ) 可以是相

 2  ( x, y )  0

13、说明哪些数学方法可用于弹性力学问题的解析 或半解析求解？ 差分法、变分法有限单元法？ 14.说明有限元法的原理和步骤。 原理：将连续体变换为离散结构，然后利用分 片插值技术与虚功原理或变分原理进行求解步骤： （1） 结构的离散化 （即划分网格） ， 建立计算模型 （2） 单元分析。包括构造单元的位移模式（主要是[N]） ， 求解单元的等效结点荷载列阵 {R}e ， 应变单位矩阵 应力转换矩阵 [ S ] 和单元刚度矩阵 [k ]e 等。 （3） [ B] ， 整体分析。即将各个单元集成离散化的结构模型， 有 e 集成 [ K ] ，有 {R}e 集成{R}，解出结构的整体结

[k ]

l ( x ) s  m( yx ) s  n( zx ) s  X N

m( y ) s  n( zy ) s  l ( xy ) s  YN

n( z ) s  l ( xz ) s  l ( yz ) s  Z N

互独立而无任何关系的静力可能状态和变形可能状 态。最小势能原理：在所有变形可能位移中，真实位 移使处于稳定平衡状态的弹性体的总势能取最小值。 最小势能原理的变分形式为 U  V  0, U - 形变 势能的变分； V -外力功的变分 10、对于土木工程问题，分类说明物体产生应 力和变形的外部原因和因素. 外部原因:1、外力会产生应力及形变（应力边界条 件） ， 可以细说到荷载的分布、 大小、 方向的不同。 2、 位移（形变）会产生应力及变形（位移边界条件）3、 温度的变化或温度的不均匀会产生温度应力， 若没有 完全约束，会产生温度变形同时，同一结构在受不变 荷载作用时，改变约束条件（如简支变悬臂等） ，其 应力的大小及分布还有变形也会不同。 11、简述变分法，复变函数方法和积分变化方法求 解弹性力学问题的思路和特点。 变分解法，即预先使位移函数满足 Su 上的位移边界 条件再满足位移变分方程， 必然也可以找出对应于实 际平衡状态的位移解答。 变分是在同一点位置上由于 状态改变而引起的反函数的改变： 取位移函数为自变 量， 并以势能极小值条件导出变分方程， 应力变分法 取应力函数为自变量，并以余能极小值导出变分方 程。 复变函数是应力函数、 位移分量函数可以用复变 函数的两个解析函数来表示称为 K-M 函数，根据满 足两个解析函数的边界条件求解。 12. 弹性力学问题的基本求解方法是什么？弹性力 学问题采用应力求解时为什么要用变形协调方程？ 并写出在平面情形直角坐标系下的数学表达式。 弹性力学平面问题有 8 个未知函数，它们必 须满足区域内的平衡微分方程、几何方程和物理方

（ 2 ） 位 移 边 界 条 件 ： (u )  u s

( ) s  

(v ) s  v

（3）混合边界条件：当在部分边界上为应力边界 条件，而其余边为位移边界条件时， 称为混合边界条 件。 6、说明弹性问题，在什么情况下可简化为平面应 变问题和平面应力问题？ 平面应变条件： （1）很长的常截面柱体； （2）体 力 作用于体内，平行于横截面，且沿长度方

fx, fy

点位移列阵 {

（4）计算各单元应力。从求出的 }。

向不变； （3）面力

fx, fy

作用于柱面，平行于横截

整体结点位移列阵

{ } 中逐个单元的取出该单元

面，且沿长度方向不变； （4）约束作用于柱面，平行 于横截面，且沿长度方向不变。如何简化？（1）截 面、外力、约束沿 Z 向不变，外力、约束平行于 xy 面，柱体非常长。故，任何 Z 面均为对称面。所以， （ 平 面 位 移 问 题 ）  0 ， 只 有

的结点位移列阵 { }e ，求出每个单元的应力。 15. 位移模式的收敛条件？单元位移模式必须能反映单 元的刚体位移，位移模式必须能反映单元的常量应 变，这是收敛的性的必要条件。位移模式应尽可能反 映位移的连续性，这是收敛性的充分条件。 16 简述按应力求解平面问题时的逆解法和半逆解 法。 答：所谓逆解法，就是先按某种方法给出一组满足全 部基本方程的应力分量或位移分量，然后考察，在确 定的坐标系下，对于形状和几何尺寸完全确定的物 体， 当其表面受什么样的面力作用或具有什么样的位 移时，才能得到这组解答。所谓的半逆解法，就是针 对所要求解的问题，根据弹性体的几何形状、受力特

u, v

所以只存在  x ,  y ,  z （平面   0 z  0  zx , zy  0   zx ,  zy  0 应变问题） ； （2）由于截面、体力、面力及约束沿 Z 向不变， 故应力，应变、位移坤为 。可归纳为平面应

f ( x, y )

变问题。 平面应力问题条件： （1）等厚度的薄板； （2）体 力作用于体内，平行于板面，并沿厚度不变； （3）面

点或材料力学已知的初等结果， 假设一部分应力分量 或位移分量为已知，然后由基本方程求出其他量， 把 这些量合在一起来凑合已知的边界条件； 或者把全部 的应力分量或位移分量作为已知， 然后校核这些假设 的量是否满足弹性力学的基本方程和边界条件。 3 弹性力学问题的基本方程是什么？写出其在 极坐标系下的表达式。 平面应力分量  2  2  y  2  fy y  x  2  fxx x y

 xy

 2    E (  u )   E (  u )  x x y y y x 1 u2 1 u2 xy

 

z 

E  (    ) 1   1  2

，

 2 y z 2



2  2 z   yz  0 y 2 yz

E  (  z) 1   1  2

 yz  xy   yz  2 y  (   )2 y x z x xz

 z 

E  z 2(1   )

斜面上的应力

p x  l x  m xy p y  m y  l xy

斜面上的正应力和切应力

 xy  yz   xz  2 z  (   )2 z z x y xy

空间位移分量表示弹性方程

 2 z  2 x  2 xz   0 x 2 z 2 xz

 xy

E   xy 2(1  u )

 n  l  x  m  y  2lm xy

2 2

x 

 xy  min   90

相

容

方

程

：

 4  4  4 2 2 2  4 0 x 4 x y y

 n  lm( y   x )  (l 2  m 2 ) xy

主方向 主应力

 0 tan x1  max  xy

y 

2 2  2 x   y   xy   0 y 2 x 2 xy   1           f  0     基本方程： 应力分量：

tan x 2 

E u v (  ) 1  u 1  2u y

E u u (  ) 1  u 1  2u x

 x  y 2 1   x   y 2  ( )   xy  2 2 2

主方向

z 

1 d  d 1 d     ( ) 0   d  d  d    E u v E u  y  (   ) z  (  ) 1   1  2u y 1   1  2u z

2

tan  1 

N  

1  x  xy

tan  2 

 xy  x  1

1 1 2 2  (  l ) ( 2   1 ) 4 2 求解有限单元刚度矩

 yz 

E  v (  ) 2(1   ) y z

 zx 

E u  (  ) 2(1   ) z x

阵及结点载荷

E w v (  ) 2(1  u ) y z E u w  zx  (  ) 2(1  u ) z x 按位 E v u u v w  xy  (  ) 2(1  u ) x y   x  y  z

E u w (  ) 1  u 1  2u z

 yz 

ai  x j y m  y j x m

bi  y j  y m

ci   x j  x m

移求解空间问题平衡微分方程

u v  E v u    xy  (  )  x y z 2(1   ) x y 极坐标下表现形式： 平面极坐标 ① 平衡微分方程：   1           f  0    

a j  x m y i  y m xi

b j  y m  yi

bm  y i  y j

k ii k ij k im    [k ] e  k ji k jj k jm  k k k   mi mj mm 

2 

2 2 2   x 2 y 2 z 2

c j   x m  xi

a m  xi y j  y i x j

E 1  (   2u )  f x  0 2(1  u ) 1  2u x

E 1  (   2 v)  f y  0 2(1  u ) 1  2u y E 1  (   2 w)  f z  0 2(1  u ) 1  2u z

无 限 半 空 间 采 用 按 位 移 求 解 u  0, v  0, w  w( z ) 代 入 平 衡 微 分 方 程



u v w dw    x y z dz

c m   xi  x j

A 1x i y i 1 1x j y j 2 1x m y m

单元刚度矩阵

1     2     f  0    

② 几何方程：

 

u  ， 

 

u





1 u  

，

单元结点载荷 求解地应力;

{R}e  [ X i Yi X j Y j X m Ym ]

  

③

1 u  u u      

物理方程：

2

 3  I1 2  I 2  I 3  0 I1   x   y   z

I 2   x y   y z   z  x  

l ( x   )  m yx  n zx  0

l xy  m( y   )  n zy  0 l xz  m yz  n( z   )  0

2 yz

   d 2 w  0,  0,  x y z dz 2

可

导

出

1  u (    ) E 1 u 2 1  u   (   ) E 1 u 2(1  u )      E

 



2 zx



2 xy

2 2 2 I 3   x y  z  2 yz  zx xy   x yz   y zx   z xy

积 分 得 E 1 d 2w d 2w (  2 )  fg  0 2(1  u ) 1  2u dz 2 dz dw (1  u )(1  2u ) g   ( z  A) dz E (1  u )

w

得

(1  u )(1  2u ) g ( z  A) 2  B 2 E (1  u )

代入弹性方程

应 力 分 量 ：

 

1 

 



1  

2

 2  2

深埋巷道求解： 轴对称的：

x y  

 2   2 

   

 1  ( )   

 

A

2

A

 B(1  2 ln  )  2c

 B(3  2 ln  )  2c

相容方程：  2 平面轴对称： 相容方程： 1 d

  

1  1 2 2 ( 2  ) 0    2  2 

d 1 d d [ ( )]}  0 d  d d

2

      0

形变分量：

再根据边界条件求 yz zx xy 基本方程：①平衡微分方程：



u g ( z  A) 1 u  z   g ( z  A)





0

 d

应力分量：

{

 

 1 A (1  u ) 2  (1  3u ) B  2(1  u ) B ln   2(1  u )c     

 x  yx  zx    fx  0 x y z

 y y



 zy z



 xy x

 fy  0

 

A

2

A

 B(1  2 ln  )  2c

2

 1 A     (1  u ) 2  (3  u ) B  2(1  u ) B ln   2(1  u )c   

   0

位移分量：

 z  xz    fz  0 z x y

还有一种：

E  2u 1  u  2u 1  u  2 v (   )  fx  0 2 y 2 2 xy 1  u 2 x 2 E  2 v 1  u  2 v 1  u  2u (   )  fy  0 2 x 2 2 xy 1  u 2 y 2

 yz

  



 B(3  2 ln  )  2c

      0

形变分量：  1 A    (1  u ) 2  (1  3u ) B  2(1  u ) B ln   2(1  u )c    

 1 A u    (1  u )  2(1  u ) B (ln   1)  (1  3u ) B  2(1  u )c   I cos  K sin   

u 

4 B  H  I sin   K cos 

或者

E  u v 1  u u v  l (  u y )  m 2 ( y  x )  f x 1  u 2  x s

E  v u 1  u v u  m(  u x )  l 2 ( x  y )  f x 1  u 2  y s

不是轴对称的， 竖向压 p 横向压 p 可转化成 1/2(p+q) 四向压和上下 1/2（p-q）压横向拉的叠加最后结果

 1 A     (1  u ) 2  (3  u ) B  2(1  u ) B ln   2(1  u )c    

   0

pq a2 pq 3a 4 4a 2 r   (1  2 )  (1  4  2 ) cos 2 2 2 r r r

  

pq a2 pq 3a 4 (1  2 )  (1  4 ) cos 2 2 2 r r

②几何方程：

x 

u x

y 

u y

z 

 z

位移分量：  1 A u    (1  u )  2(1  u ) B (ln   1)  (1  3u ) B  2(1  u )c   I cos  K sin   

u  4 B   H  I s in   K cos 

 r

pq 3a 4 2a 2  (1  4  2 ) sin 2 2 r r

时求

当

 yz

v u  v   u        zx z x xy x y y z

③ 物 理 方 程 ： （ 按 应 力 ）

空间轴对称基本方程： 体积应力 ，       z u u u    z   z 应力分量用形变表示： ， E 

    0、 、

2 4



x 

y 

1 [ x   ( y   z )] E

位移相容方程：

2 2  2 x   y   xy   0 2 2 y x xy

 

(    ) 1   1  2

 yz  xz   xy  2 x  (   )2 x x y z yz

 yz 

 xy

2(1   ) 2(1   )  zx   zx  yz E E 把 变成按 2(1   )   xy E  E 2 , u  u 2 E 1 u 1 u

1 [ y   ( z   x )] E

z 

1 [ z   ( x   y )] E

应变问题 空间轴对称平衡微分方程：

u  u  cos  u sin  v  u  sin   u cos

或者 u 

  



 z z



    f  0 

 u cos  v sin 

 z  z  z    fz  0 z  

空间轴对称几何方程

v  u sin   v cos

    x cos2    y sin2   2 xy sin  cos     x sin2    y cos2   2 xy sin  cos

z 

u z z

 

 zp 

u  

 u z 

 

u



   ( y   x ) sin  cos   xy (cos2   sin2  )

u  z

 x    cos2     sin2   2  sin  cos  y    sin2     cos2   2  sin  cos  xy  (     ) sin  cos    (cos2   sin2  )

空间体应变方程：    x   y   z   y  z   z  x   x y   x y  z 体积应力：

空间轴对称物理方程：

 

 

1   - （  z） 





1   - （ z ） 





1  z   z - （  ） 



  z

2(1   )   z 

   x  y  z 空间斜面应力坐标分量

按位移求解空间轴对称问题： 弹性方程：力分量用形 变表示： ， E 

p x  l x  m xy  n xz p y  l xy  m y  n yz p z  l xz  m yz  n z 斜面正应力：  n  lpx  mp y  npz

 l 2 x  m 2 y  n 2 z  2(lm xy  mn yz  nl xz ) 斜面剪应力： 2 2 2 2 n  px  py  p z2   n

 

(    ) 1   1  2 E    (    ) 1   1  2

E  (  z) 1   1  2

，

z 

 z 

E  z 2(1   )

拉梅方程：

u E 1  (   2u  2 )  f   0 2(1   ) 1  2  

E 1  (   2u z )  f z  0 2(1   ) 1  2 z



u  



u





u z , u z 就是w z

2 

2 1  2    2   z 2

平面极坐标 ④ 平衡微分方程：

1          f  0        2  1       f  0      

⑤ 几何方程：

 

 

  

⑥

u  

1 u 

，

 



u



u



1 u

，

 

 



u 



物理方程：

1  2 u (    ) E 1 u 2 1  u   (     )    2(1  u )   E 1 u E 应 力 分 量 ： 1  1  2    2     2  1   2     ( )   2    

 

相容方程：

(

2 1  1 2 2   ) 0  2    2  2

检验应变分量是满足弹性体，先看相容方程，

2 2  2  x   y   xy 再求应力分量   2 2 xy y x E E x  (   u y )  y  ( y  u x ) x 1  2 1 2

x 

E  xy 2(1   )

把应力分量代入平衡微分方程

 y  xy  x  xy  0  0 y x x y  x1 cos   xy sin   0

 xy cos   y sin   0  x 2 cos    xy sin   0

 xy cos    y sin   0

行列式=  cos cos  sin(   )

1 弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用 途为： 1）连续性假定：引用这一假定后，物体中 的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的， 因 此， 建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续 函数来表示他们的变化规律。2）完全弹性假定：这 一假定包含应力与应变成正比的含义， 亦即二者呈线 性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的 方程。3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体 内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这 些物理性质的弹性常数（如弹性模量 E 和泊松比 μ 等）就不随位置坐标而变化。4）各向同性假定：各 向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同 的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。 5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不 用考虑物体尺寸的改变， 而仍然按照原来的尺寸和形 状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可 以将它们的二次幂或乘积略去不计， 使得弹性力学的 微分方程都简化为线性微分方程。 2 对于地下硐室或巷道， 为什么常常简化为平面应变 问题？在什么情况下可以为平面应变问题？ 因为其弹性体形状的特殊性， 因此可以这类把空间问 题简化为近似的平面问题， 这样可以使计算的工作量 大大减少， 而且所得结果仍然能满足工程上对精度的 需求。 当弹性体某一个方向的尺寸远大于另外两个 方向的尺寸时，问题可以简化为平面应变问题。 3、简述弹性力学、材料力学和结构力学三者的相同 点和不同点。 学科 研究对 分析对 目标 特点与 象 象 精度 材料 杆状构 面上应 强度、 宏观、 力学 件： 杆、 力、位 刚度 近似 梁、柱 移 结构 杆系结 面上应 强度、 宏观、 力学 构：桁 力、位 刚度 近似 架、钢 移 架 弹性 一切弹 空间各 强度、 细观、 力学 性范围 点的应 刚度、 较精确 内的固 力、位 点的状 体连续 移 态 介质： 板、 壳、 坝、 翼、 墙等 需要说明的是弹性力学和材料力学在剪应力方面定 义的是完全相反的。 4、 求解弹性力学问题时， 常常要用利用圣维南原理， 为什么？ 在求解弹性力学问题时， 使应力分量、 形变分量、 位移分量完全满足基本方程并不困难；但是，要使得 边界条件也得完全满足，却往往发生很大的困难； 另 一方面，在很多的工程结构计算中， 都会遇到这样的 情况：在物体的一小部分边界上，仅仅知道物体所受 面力的合成， 而这个面力的分布方式并不明确，因而 无从考虑这部分边界上的应力边界条件。 圣维南原理： 如果物体的一小部分边界上的面力变换 为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同） ， 则近处的应力分布将有显著的改变， 但远处的应力所 受影响可以忽略不计。 作用： （1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中 力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界 条件转化为应力边界条件处理。 5、写出在直角坐标系下空间弹性力学问题的基本方 程及其边界条件的一般形式。 边界条件： （1）应力边界条件：

力及约束作用于板边，平行于板面，并沿厚度不变； 如 何 简 化？ （ 1 ） 两板 面 无面 力 和约 束作 用 ，故 由于薄板很薄，应力是连续变 ( z ,  zx ,  zy ) z    0

2

化的，又无 Z 向外力，可认为 V 中） ，故平面只有平面应力

( z , zx , zy )  0

（在

（2）  z , zx , zy 存在。

由于板等厚度，外力、约束沿 Z 向不变，可归纳为平 面应力问题。还得满足 a 。应力中只有平面应力 存在；b，且仅为

 z , zx , zy

f ( x, y )

7、弹性力学按应力和位移求解，分别应满足什 么方程和边界条件？ 按应力求解平面问题时 ，应力分量 必须满足下列条件： （1）在区域内的

 x ,  y 和 xy

平衡微分方程； （2）在区域内的相容方程。满足的边 界条件：

(l x  m yx )  f x ( s )

(m y  l xy )  f y ( s)

对于单连体（只有一个连续边界的物体） ，上述条件 就是确定应力的全部条件。对于多连体 （具有两个或 两个以上的连续边界的物体，如有空口的物体） ，还 必须满足多连体中的位移单值条件。 按位移求解平面问题时，位移分量必须在区域 内满足微分方程

E  2u 1  u  2u 1  u  2 v (   )  fx  0 2 y 2 2 xy 1  u 2 x 2

程，以及在边界上的应力或位移边界条件。一般有两 种求解途径： （1）位移法（按位移求解方法） ：取位移分量 为基本未知函数， 从基本未方程和应力边界条件中消 去应力和应变分量， 导出用位移表示的平衡微分方程 和用位移表示的应力边界条件。并由此求出位移分 量，用过几何方程求出应变分量，再由物理方程求出 应力分量 应力法（按应力求解的方法） ：取应力分量为基 本未知函数， 从基本方程和边界条件中消去位移和应 变分量，导出用应力表示的相容方程和边界条件。 并 由此求出应力分量，再求出应变和位移分量。 （2）采用应力求解时必须满足相容方程，是因 为相容方程是应变对应位移存在且连续的必要条件。 当应变分量满足相容方程后， 可以求出对应的位移分 量，说明位移是存在的而且必然连续。反之，不满足 相容方程的应变分量，不是物体中实际存在的，也求 不出对应的位移。 (3)混合法：同时以某些位移分量和某些应力 分量作为基本未知量， 用包含上述基本未知量的微分 方程和边界条件求出这些基本未知量， 再用相关方程 求出其它未知量。 （4）用位移表示的平衡微分方程：

E u 2 1  u  2 u 1  u v 2 (   )  fx  0 2 y 2 2 xy 1   2 x 2

E v 2 1  u  2 v 1  u u 2 (   ) fy  0 2 x 2 2 xy 1   2 y 2

E  2 v 1  u  2 v 1  u  2u (   )  fy  0 2 x 2 2 xy 1  u 2 y 2

并在边界上满足位移边界条件： (u )

s

用位移表示的应力边界条件：

E u v 1  u u v [l ( u )m (  )  fx 2 y x 1   2 x y

E v u 1  u u v [ m( u )l (  )  fy 2 y x 1  2 y x

u，

(v ) s  v

（在

s u 上）

8、 在求解力学问题时， 常常要用到圣维南原理， 为什么？ 在求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分 量、位移分量完全满足基本方程并不困难；但是，要 使得边界条件也得完全满足，却往往发生很大的困 难；另一方面，在很多的工程结构计算中，都会遇到 这样的情况： 在物体的一小部分边界上，仅仅知道物 体所受面力的合成，而这个面力的分布方式并不明 确，因而无从考虑这部分边界上的应力边界条件。 圣 维南原理： 如果物体的一小部分边界上的面力变换为 分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同） ，则 近处的应力分布将有显著的改变， 但远处的应力所受 影响可以忽略不计。作用： （1）将次要边界上复杂的 面力 （集中力、 集中力偶等） 作分布的面力代替。 （2） 将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 9 、写出虚功原理和最小势能原理的数学表达 式，并解释其含义。 虚功原理：在弹性体上，外力（体力 和面

fi

位移边界条件： u  u ， v  v （在

su

上）

按应力求解平面问题，满足的平衡微分方 程：

 x  yx   fx  0 x y  y  xy   fy  0 y x

用

2

应

力

表

示

的

相

容

方

程

：

f y 应 力 边 界 条 件 f  ( x   y )  (1  u )( x  ) x y (l x  m yx )  f x ( s ) (m y  l xy )  f y ( s)

对于多连体，还必须满足位移单值条件。 相容方程用应力表示：平面应力情况： ：

 2 ( x   y )  (1  u )( f x f y  ) x y

平 面 应 变 ：

力

f i ）在任意一组变形可能位移上所做的虚功，等

于任一组静力可能应力在与上述变形可能位移相应 的可能应变上所做的功，即：

 2 ( x   y )  

1 f x f y (  ) 1  u x y

相 容 方 程 用 应 变 表 示 ：

2 2  2  x   y   xy   2 2  xy y x



其中、



f i ui

(s) i

(k )

d   f i

S

(s)

(s)

ui

(k )

dS    ij



(s)

 ij ( k ) d

上

f

  ij n j

，且在应力边界

Su

ui

(k )

静力可能应力 ( s ) 和变形  ui 在虚功原理中，  ij

(k ) i

相容方程用应力函数表示：

可能位移 u

及其相应的可能应变

 ij ( k ) 可以是相

 2  ( x, y )  0

13、说明哪些数学方法可用于弹性力学问题的解析 或半解析求解？ 差分法、变分法有限单元法？ 14.说明有限元法的原理和步骤。 原理：将连续体变换为离散结构，然后利用分 片插值技术与虚功原理或变分原理进行求解步骤： （1） 结构的离散化 （即划分网格） ， 建立计算模型 （2） 单元分析。包括构造单元的位移模式（主要是[N]） ， 求解单元的等效结点荷载列阵 {R}e ， 应变单位矩阵 应力转换矩阵 [ S ] 和单元刚度矩阵 [k ]e 等。 （3） [ B] ， 整体分析。即将各个单元集成离散化的结构模型， 有 e 集成 [ K ] ，有 {R}e 集成{R}，解出结构的整体结

[k ]

l ( x ) s  m( yx ) s  n( zx ) s  X N

m( y ) s  n( zy ) s  l ( xy ) s  YN

n( z ) s  l ( xz ) s  l ( yz ) s  Z N

互独立而无任何关系的静力可能状态和变形可能状 态。最小势能原理：在所有变形可能位移中，真实位 移使处于稳定平衡状态的弹性体的总势能取最小值。 最小势能原理的变分形式为 U  V  0, U - 形变 势能的变分； V -外力功的变分 10、对于土木工程问题，分类说明物体产生应 力和变形的外部原因和因素. 外部原因:1、外力会产生应力及形变（应力边界条 件） ， 可以细说到荷载的分布、 大小、 方向的不同。 2、 位移（形变）会产生应力及变形（位移边界条件）3、 温度的变化或温度的不均匀会产生温度应力， 若没有 完全约束，会产生温度变形同时，同一结构在受不变 荷载作用时，改变约束条件（如简支变悬臂等） ，其 应力的大小及分布还有变形也会不同。 11、简述变分法，复变函数方法和积分变化方法求 解弹性力学问题的思路和特点。 变分解法，即预先使位移函数满足 Su 上的位移边界 条件再满足位移变分方程， 必然也可以找出对应于实 际平衡状态的位移解答。 变分是在同一点位置上由于 状态改变而引起的反函数的改变： 取位移函数为自变 量， 并以势能极小值条件导出变分方程， 应力变分法 取应力函数为自变量，并以余能极小值导出变分方 程。 复变函数是应力函数、 位移分量函数可以用复变 函数的两个解析函数来表示称为 K-M 函数，根据满 足两个解析函数的边界条件求解。 12. 弹性力学问题的基本求解方法是什么？弹性力 学问题采用应力求解时为什么要用变形协调方程？ 并写出在平面情形直角坐标系下的数学表达式。 弹性力学平面问题有 8 个未知函数，它们必 须满足区域内的平衡微分方程、几何方程和物理方

（ 2 ） 位 移 边 界 条 件 ： (u )  u s

( ) s  

(v ) s  v

（3）混合边界条件：当在部分边界上为应力边界 条件，而其余边为位移边界条件时， 称为混合边界条 件。 6、说明弹性问题，在什么情况下可简化为平面应 变问题和平面应力问题？ 平面应变条件： （1）很长的常截面柱体； （2）体 力 作用于体内，平行于横截面，且沿长度方

fx, fy

点位移列阵 {

（4）计算各单元应力。从求出的 }。

向不变； （3）面力

fx, fy

作用于柱面，平行于横截

整体结点位移列阵

{ } 中逐个单元的取出该单元

面，且沿长度方向不变； （4）约束作用于柱面，平行 于横截面，且沿长度方向不变。如何简化？（1）截 面、外力、约束沿 Z 向不变，外力、约束平行于 xy 面，柱体非常长。故，任何 Z 面均为对称面。所以， （ 平 面 位 移 问 题 ）  0 ， 只 有

的结点位移列阵 { }e ，求出每个单元的应力。 15. 位移模式的收敛条件？单元位移模式必须能反映单 元的刚体位移，位移模式必须能反映单元的常量应 变，这是收敛的性的必要条件。位移模式应尽可能反 映位移的连续性，这是收敛性的充分条件。 16 简述按应力求解平面问题时的逆解法和半逆解 法。 答：所谓逆解法，就是先按某种方法给出一组满足全 部基本方程的应力分量或位移分量，然后考察，在确 定的坐标系下，对于形状和几何尺寸完全确定的物 体， 当其表面受什么样的面力作用或具有什么样的位 移时，才能得到这组解答。所谓的半逆解法，就是针 对所要求解的问题，根据弹性体的几何形状、受力特

u, v

所以只存在  x ,  y ,  z （平面   0 z  0  zx , zy  0   zx ,  zy  0 应变问题） ； （2）由于截面、体力、面力及约束沿 Z 向不变， 故应力，应变、位移坤为 。可归纳为平面应

f ( x, y )

变问题。 平面应力问题条件： （1）等厚度的薄板； （2）体 力作用于体内，平行于板面，并沿厚度不变； （3）面

点或材料力学已知的初等结果， 假设一部分应力分量 或位移分量为已知，然后由基本方程求出其他量， 把 这些量合在一起来凑合已知的边界条件； 或者把全部 的应力分量或位移分量作为已知， 然后校核这些假设 的量是否满足弹性力学的基本方程和边界条件。 3 弹性力学问题的基本方程是什么？写出其在 极坐标系下的表达式。 平面应力分量  2  2  y  2  fy y  x  2  fxx x y

 xy

 2    E (  u )   E (  u )  x x y y y x 1 u2 1 u2 xy

 

z 

E  (    ) 1   1  2

，

 2 y z 2



2  2 z   yz  0 y 2 yz

E  (  z) 1   1  2

 yz  xy   yz  2 y  (   )2 y x z x xz

 z 

E  z 2(1   )

斜面上的应力

p x  l x  m xy p y  m y  l xy

斜面上的正应力和切应力

 xy  yz   xz  2 z  (   )2 z z x y xy

空间位移分量表示弹性方程

 2 z  2 x  2 xz   0 x 2 z 2 xz

 xy

E   xy 2(1  u )

 n  l  x  m  y  2lm xy

2 2

x 

 xy  min   90

相

容

方

程

：

 4  4  4 2 2 2  4 0 x 4 x y y

 n  lm( y   x )  (l 2  m 2 ) xy

主方向 主应力

 0 tan x1  max  xy

y 

2 2  2 x   y   xy   0 y 2 x 2 xy   1           f  0     基本方程： 应力分量：

tan x 2 

E u v (  ) 1  u 1  2u y

E u u (  ) 1  u 1  2u x

 x  y 2 1   x   y 2  ( )   xy  2 2 2

主方向

z 

1 d  d 1 d     ( ) 0   d  d  d    E u v E u  y  (   ) z  (  ) 1   1  2u y 1   1  2u z

2

tan  1 

N  

1  x  xy

tan  2 

 xy  x  1

1 1 2 2  (  l ) ( 2   1 ) 4 2 求解有限单元刚度矩

 yz 

E  v (  ) 2(1   ) y z

 zx 

E u  (  ) 2(1   ) z x

阵及结点载荷

E w v (  ) 2(1  u ) y z E u w  zx  (  ) 2(1  u ) z x 按位 E v u u v w  xy  (  ) 2(1  u ) x y   x  y  z

E u w (  ) 1  u 1  2u z

 yz 

ai  x j y m  y j x m

bi  y j  y m

ci   x j  x m

移求解空间问题平衡微分方程

u v  E v u    xy  (  )  x y z 2(1   ) x y 极坐标下表现形式： 平面极坐标 ① 平衡微分方程：   1           f  0    

a j  x m y i  y m xi

b j  y m  yi

bm  y i  y j

k ii k ij k im    [k ] e  k ji k jj k jm  k k k   mi mj mm 

2 

2 2 2   x 2 y 2 z 2

c j   x m  xi

a m  xi y j  y i x j

E 1  (   2u )  f x  0 2(1  u ) 1  2u x

E 1  (   2 v)  f y  0 2(1  u ) 1  2u y E 1  (   2 w)  f z  0 2(1  u ) 1  2u z

无 限 半 空 间 采 用 按 位 移 求 解 u  0, v  0, w  w( z ) 代 入 平 衡 微 分 方 程



u v w dw    x y z dz

c m   xi  x j

A 1x i y i 1 1x j y j 2 1x m y m

单元刚度矩阵

1     2     f  0    

② 几何方程：

 

u  ， 

 

u





1 u  

，

单元结点载荷 求解地应力;

{R}e  [ X i Yi X j Y j X m Ym ]

  

③

1 u  u u      

物理方程：

2

 3  I1 2  I 2  I 3  0 I1   x   y   z

I 2   x y   y z   z  x  

l ( x   )  m yx  n zx  0

l xy  m( y   )  n zy  0 l xz  m yz  n( z   )  0

2 yz

   d 2 w  0,  0,  x y z dz 2

可

导

出

1  u (    ) E 1 u 2 1  u   (   ) E 1 u 2(1  u )      E

 



2 zx



2 xy

2 2 2 I 3   x y  z  2 yz  zx xy   x yz   y zx   z xy

积 分 得 E 1 d 2w d 2w (  2 )  fg  0 2(1  u ) 1  2u dz 2 dz dw (1  u )(1  2u ) g   ( z  A) dz E (1  u )

w

得

(1  u )(1  2u ) g ( z  A) 2  B 2 E (1  u )

代入弹性方程

应 力 分 量 ：

 

1 

 



1  

2

 2  2

深埋巷道求解： 轴对称的：

x y  

 2   2 

   

 1  ( )   

 

A

2

A

 B(1  2 ln  )  2c

 B(3  2 ln  )  2c

相容方程：  2 平面轴对称： 相容方程： 1 d

  

1  1 2 2 ( 2  ) 0    2  2 

d 1 d d [ ( )]}  0 d  d d

2

      0

形变分量：

再根据边界条件求 yz zx xy 基本方程：①平衡微分方程：



u g ( z  A) 1 u  z   g ( z  A)





0

 d

应力分量：

{

 

 1 A (1  u ) 2  (1  3u ) B  2(1  u ) B ln   2(1  u )c     

 x  yx  zx    fx  0 x y z

 y y



 zy z



 xy x

 fy  0

 

A

2

A

 B(1  2 ln  )  2c

2

 1 A     (1  u ) 2  (3  u ) B  2(1  u ) B ln   2(1  u )c   

   0

位移分量：

 z  xz    fz  0 z x y

还有一种：

E  2u 1  u  2u 1  u  2 v (   )  fx  0 2 y 2 2 xy 1  u 2 x 2 E  2 v 1  u  2 v 1  u  2u (   )  fy  0 2 x 2 2 xy 1  u 2 y 2

 yz

  



 B(3  2 ln  )  2c

      0

形变分量：  1 A    (1  u ) 2  (1  3u ) B  2(1  u ) B ln   2(1  u )c    

 1 A u    (1  u )  2(1  u ) B (ln   1)  (1  3u ) B  2(1  u )c   I cos  K sin   

u 

4 B  H  I sin   K cos 

或者

E  u v 1  u u v  l (  u y )  m 2 ( y  x )  f x 1  u 2  x s

E  v u 1  u v u  m(  u x )  l 2 ( x  y )  f x 1  u 2  y s

不是轴对称的， 竖向压 p 横向压 p 可转化成 1/2(p+q) 四向压和上下 1/2（p-q）压横向拉的叠加最后结果

 1 A     (1  u ) 2  (3  u ) B  2(1  u ) B ln   2(1  u )c    

   0

pq a2 pq 3a 4 4a 2 r   (1  2 )  (1  4  2 ) cos 2 2 2 r r r

  

pq a2 pq 3a 4 (1  2 )  (1  4 ) cos 2 2 2 r r

②几何方程：

x 

u x

y 

u y

z 

 z

位移分量：  1 A u    (1  u )  2(1  u ) B (ln   1)  (1  3u ) B  2(1  u )c   I cos  K sin   

u  4 B   H  I s in   K cos 

 r

pq 3a 4 2a 2  (1  4  2 ) sin 2 2 r r

时求

当

 yz

v u  v   u        zx z x xy x y y z

③ 物 理 方 程 ： （ 按 应 力 ）

空间轴对称基本方程： 体积应力 ，       z u u u    z   z 应力分量用形变表示： ， E 

    0、 、

2 4



x 

y 

1 [ x   ( y   z )] E

位移相容方程：

2 2  2 x   y   xy   0 2 2 y x xy

 

(    ) 1   1  2

 yz  xz   xy  2 x  (   )2 x x y z yz

 yz 

 xy

2(1   ) 2(1   )  zx   zx  yz E E 把 变成按 2(1   )   xy E  E 2 , u  u 2 E 1 u 1 u

1 [ y   ( z   x )] E

z 

1 [ z   ( x   y )] E

应变问题 空间轴对称平衡微分方程：

u  u  cos  u sin  v  u  sin   u cos

或者 u 

  



 z z



    f  0 

 u cos  v sin 

 z  z  z    fz  0 z  

空间轴对称几何方程

v  u sin   v cos

    x cos2    y sin2   2 xy sin  cos     x sin2    y cos2   2 xy sin  cos

z 

u z z

 

 zp 

u  

 u z 

 

u



   ( y   x ) sin  cos   xy (cos2   sin2  )

u  z

 x    cos2     sin2   2  sin  cos  y    sin2     cos2   2  sin  cos  xy  (     ) sin  cos    (cos2   sin2  )

空间体应变方程：    x   y   z   y  z   z  x   x y   x y  z 体积应力：

空间轴对称物理方程：

 

 

1   - （  z） 





1   - （ z ） 





1  z   z - （  ） 



  z

2(1   )   z 

   x  y  z 空间斜面应力坐标分量

按位移求解空间轴对称问题： 弹性方程：力分量用形 变表示： ， E 

p x  l x  m xy  n xz p y  l xy  m y  n yz p z  l xz  m yz  n z 斜面正应力：  n  lpx  mp y  npz

 l 2 x  m 2 y  n 2 z  2(lm xy  mn yz  nl xz ) 斜面剪应力： 2 2 2 2 n  px  py  p z2   n

 

(    ) 1   1  2 E    (    ) 1   1  2

E  (  z) 1   1  2

，

z 

 z 

E  z 2(1   )

拉梅方程：

u E 1  (   2u  2 )  f   0 2(1   ) 1  2  

E 1  (   2u z )  f z  0 2(1   ) 1  2 z



u  



u





u z , u z 就是w z

2 

2 1  2    2   z 2

平面极坐标 ④ 平衡微分方程：

1          f  0        2  1       f  0      

⑤ 几何方程：

 

 

  

⑥

u  

1 u 

，

 



u



u



1 u

，

 

 



u 



物理方程：

1  2 u (    ) E 1 u 2 1  u   (     )    2(1  u )   E 1 u E 应 力 分 量 ： 1  1  2    2     2  1   2     ( )   2    

 

相容方程：

(

2 1  1 2 2   ) 0  2    2  2

检验应变分量是满足弹性体，先看相容方程，

2 2  2  x   y   xy 再求应力分量   2 2 xy y x E E x  (   u y )  y  ( y  u x ) x 1  2 1 2

x 

E  xy 2(1   )

把应力分量代入平衡微分方程

 y  xy  x  xy  0  0 y x x y  x1 cos   xy sin   0

 xy cos   y sin   0  x 2 cos    xy sin   0

 xy cos    y sin   0

行列式=  cos cos  sin(   )