高中数学必修三（A ）
时间120分钟，满分150分
学校 姓名 成绩
一、选择题（每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．现从80件产品中随机抽出10件进行质量检验，下列说法正确的是（ ）
A. 80件产品是总体 B.10件产品是样本 C.样本容量是80 D.样本容量是10 2．要从已编号（1～50）的50枚最新研制的奥运会特型烟花中随机抽取5枚来进行燃放试验。用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样的方法确定所选取的5枚烟花的编号可能是（ ）
A.5，10，15，20，25 B.3，13，23，33，43 C.1，2，3，4，5 D.2，4，8，16，32 3．某市对上下班交通情况作抽样调查，作出上下班时间各抽取 的12辆机动车行驶时速(单位：km/h)的茎叶图如图. 则上、下班行驶时速的中位数分别为( )
A ．28与28.5 B．29与28.5 C．28与27.5 D．29与27.5 4．1001101(2) 与下列哪个值相等( ) A ．115(8)
B．113(8) C ．116(8) D．114(8)
5．从集合A ={2, 3}, B ={1, 2, 3}中各取任意一个数, 则这两数之和等于5的概率（ ）
1211
B． C． D． 33 266．已知x , y 取值如表：从所得的散点图
分析可知：y 与x 线性相关，且ˆ=0. 95x +a ，则a =( ) y
A ．
A ．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80 7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )
A ．＋＝1 B1 C．＋＝1 D. ＝1
[1**********]．双曲线x -y =1的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．
2
2
，且椭圆G 上一点到其 2
x 2
y 2
x 2y 2x 2y 2x 2y 2
2 2
B ．1 C ．
1 2
D ．2
9．在一组样本数据(x 1, y 1), (x 2, y 2), , (x n , y n ) （n ≥2, x 1, x 2, , x n 不全相等) 的散点图
中，若所有样本点(x i , y i ) (i =1, 2, , n ) 都在直线y =本相关系数为（ ）
A ． -1 B．0 C．1
1
x +1上，则这组样本数据的样 3
D ．
1
3
10．方程ax 2+by 2=ab 和ax +by +1=0(ab ≠0, a ≠b ) ，所表示的曲线可能是（ ）
⎧0≤x ≤111．在区域⎨内任意取一点P (x , y ) ，则x 2+y 2>1的概率是（ ）
⎩0≤y ≤1
1ππ C． D． 1- 4244x 2y 2
12．设F 1, F 2分别为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点．若在双曲线右支
a b
A ．0 B．
π
-
上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该 双曲线的渐近线方程为( )
A ．3x ±4y =0 B．4x ±3y =0 C．3x ±5y =0 D．5x ±4y =0 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应为
2
的椭圆两焦点为F 1, F 2，过F 1作直3
线交椭圆于A , B 两点，则∆ABF 2的周长为14．短轴长为25，离心率e =
x 2y 2
15．设F 1, F 2分别为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点.
a b
若在双曲线上存在点P . 使PF 且∠PF 1⊥PF 2，1F 2=30︒, 则双曲线
的离心率为___________.
x 2y 2
+=1表示曲线C ，给出以下命题： 16. 方程
4-t t -1
①曲线C 不可能为圆； ②若曲线C 为双曲线，则t 4； ③若1
5. 2
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，6小题，共70分）
17．（本小题10分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值 如表，问：甲、乙谁的平均成绩最好？ 谁的各门功课发展较平衡？
18. (本小题12分) 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60) ，[60，70) ，[70，80) ，[80，90) ，[90，100]． (1) 求图中a 的值；
(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的 平均分；
(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学 成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90) 之外的人数.
19. （本小题12分）设有关于x 的一元二次方程x +2ax +b =0.
⑴ 若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
⑵ 若a 是从区间[0, 3]任取得一个数，b 是从区间[0, 2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
20．(本小题满分12分) 设p:实数x 满足
22
x 2-4ax +3a 2
, 其中
a >0
,
q :
2
⎧⎪x -x -6≤0
实数x 满足⎨2
⎪⎩x +2x -8>0
(Ⅰ)若
a =1,
且
p ∧q
为真，求实数的取值范围；
x
(Ⅱ)若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件, 求实数a 的取值范围.
21. （本题满分12分）已知方程x +bx +c =0, 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点
数. 求方程x +bx +c =0有实根的概率;
22.(本小题12分）已知某校高二文科班学生的化学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A(优秀) 、B(良好) 、C(及格) 三个等级，设x ，y 分别表示化学成绩与物理成绩．例如：表中化学成绩为B 等级的共有20＋18＋4＝42人，已知x 与y 均为B 等级的概率是0.18. (1) 求抽取的学生人数；
(2) 设该样本中，化学成绩优秀率是30%，求a ，b 值； (3) 在物理成绩为C 等级的学生中，已知a ≥10，b ≥8， 求化学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数少的概率.
2
2
高中数学必修三（A ）参考答案
17. 解：x 甲=
1
(60+80+70+90+70) =74 -------------------1分 5
1
x 乙=(80+60+70+80+75) =73 -------------------2分
512
s 甲=142+62+42+162+42）=104 ------------------5分
512
s 乙=72+132+32+72+22）=56 -------------------8分
5
∵ x 甲>x 乙，s 甲>s 乙
∴ 甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡 ----------------10分
18、解：(1) 依题意，得10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04) ＝1，解得a ＝0.005. -------3分
(2) 100名学生语文成绩的平均分为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝
73分． -------7分
(3) 数学成绩在[50，60) 的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70) 的人数为
14
100×＝20，数学成绩在[70，80) 的人数为100×＝40，数学成绩在[80，
235
90) 的人数为100×＝25. ----------------10分
4
所以数学成绩在[50，90) 之外的人数为100－5－20－40－25＝10. ---12分
19. 解：⑴设事件A 为“方程x +2ax +b =0有实根”，
当a ≥0，b ≥0时，方程x 2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a ≥b ------------1分 基本事件有12个：(0, 0) ，(0, 1) ，(0, 2) ，(1, 0) ，(1, 1) ，(1, 2) ，(2, 0) ，(2, 1) ，(2, 2) ，
2
2
22
(3, 0) ，(3, 1) ，(3, 2) ，其中第一个表示a 的取值，第二个表示b 的取值. -----4分
事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P （A ）=
93
= --------6分 124
⑵试验的全部结果所构成的区域为{(a , b ) |0≤a ≤3, 0≤b ≤2} --------7分
构成事件A 的区域为{(a , b ) |0≤a ≤3, 0≤b ≤2, a ≥b }-----8分 如图1，所以所求的概率为
13⨯2-⨯22
2P （A ）==--------12分 33⨯2
20．（I ）
解：由x 2-4ax +3a 2
又a >0, 所以a
当a =1时，1
q x 2
由⎨2, 得, 即为真时实数的取值范围是. ……4分 ⎪⎩x +2x -8>0
若p ∧q 为真，则p 真且q 真，
所以实数x 的取值范围是2
q }, 则A
B ,
又A={x |⌝p }={x |x ≤a 或x ≥3a }, B={x |⌝q }={x ≤2或x >3}， ……………10分
则03
所以实数a 的取值范围是1
先后抛掷一枚骰子的基本事件总数为6⨯6=36, ……………2分
事件B ={(b , c ) |b -4c =0, b , c =1, 2, , 6},由列数表易知满足事件B 的有(2, 1), (4, 4) 两
2
2
2
; ……………5分 36
事件C ={(b , c ) |b 2-4c >0, b , c =1, 2, , 6},则满足条件C 的数据有
(3. 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2) , (4, 3), (5, 1), (5, 6), (6, 1), (6, 6) 有共有17个基本事
17
件, ∴P (C ) =. ……………10分
36
个基本事件, ∴P (B ) =
21719
又B 、C 是互斥事件, 故所求的概率为P (A ) =P (B ) +P (C ) =+=.
363636
∴方程x +bx +c =0有实根的概率为 22. 解：(1)由题意可知
2
19
. ……………12分 36
18
＝0.18，得n ＝100. 故抽取的学生人数是100. …………4分 n
7＋9＋a
(2)由(1)知n ＝100，所以＝0.3，故a ＝14，
100
而7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100，故b ＝17. …………8分 (3)由(2)易知a ＋b ＝31，且a ≥10，b ≥8，
满足条件的(a，b) 有(10,21)，(11,20)，(12,19)，…，(23,8)，共有14组，其中b>a的有6组，则所求概率为P ＝
63
＝. …………………12分 147
高中数学必修三（A ）
时间120分钟，满分150分
学校 姓名 成绩
一、选择题（每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．现从80件产品中随机抽出10件进行质量检验，下列说法正确的是（ ）
A. 80件产品是总体 B.10件产品是样本 C.样本容量是80 D.样本容量是10 2．要从已编号（1～50）的50枚最新研制的奥运会特型烟花中随机抽取5枚来进行燃放试验。用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样的方法确定所选取的5枚烟花的编号可能是（ ）
A.5，10，15，20，25 B.3，13，23，33，43 C.1，2，3，4，5 D.2，4，8，16，32 3．某市对上下班交通情况作抽样调查，作出上下班时间各抽取 的12辆机动车行驶时速(单位：km/h)的茎叶图如图. 则上、下班行驶时速的中位数分别为( )
A ．28与28.5 B．29与28.5 C．28与27.5 D．29与27.5 4．1001101(2) 与下列哪个值相等( ) A ．115(8)
B．113(8) C ．116(8) D．114(8)
5．从集合A ={2, 3}, B ={1, 2, 3}中各取任意一个数, 则这两数之和等于5的概率（ ）
1211
B． C． D． 33 266．已知x , y 取值如表：从所得的散点图
分析可知：y 与x 线性相关，且ˆ=0. 95x +a ，则a =( ) y
A ．
A ．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80 7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )
A ．＋＝1 B1 C．＋＝1 D. ＝1
[1**********]．双曲线x -y =1的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．
2
2
，且椭圆G 上一点到其 2
x 2
y 2
x 2y 2x 2y 2x 2y 2
2 2
B ．1 C ．
1 2
D ．2
9．在一组样本数据(x 1, y 1), (x 2, y 2), , (x n , y n ) （n ≥2, x 1, x 2, , x n 不全相等) 的散点图
中，若所有样本点(x i , y i ) (i =1, 2, , n ) 都在直线y =本相关系数为（ ）
A ． -1 B．0 C．1
1
x +1上，则这组样本数据的样 3
D ．
1
3
10．方程ax 2+by 2=ab 和ax +by +1=0(ab ≠0, a ≠b ) ，所表示的曲线可能是（ ）
⎧0≤x ≤111．在区域⎨内任意取一点P (x , y ) ，则x 2+y 2>1的概率是（ ）
⎩0≤y ≤1
1ππ C． D． 1- 4244x 2y 2
12．设F 1, F 2分别为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点．若在双曲线右支
a b
A ．0 B．
π
-
上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该 双曲线的渐近线方程为( )
A ．3x ±4y =0 B．4x ±3y =0 C．3x ±5y =0 D．5x ±4y =0 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应为
2
的椭圆两焦点为F 1, F 2，过F 1作直3
线交椭圆于A , B 两点，则∆ABF 2的周长为14．短轴长为25，离心率e =
x 2y 2
15．设F 1, F 2分别为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点.
a b
若在双曲线上存在点P . 使PF 且∠PF 1⊥PF 2，1F 2=30︒, 则双曲线
的离心率为___________.
x 2y 2
+=1表示曲线C ，给出以下命题： 16. 方程
4-t t -1
①曲线C 不可能为圆； ②若曲线C 为双曲线，则t 4； ③若1
5. 2
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，6小题，共70分）
17．（本小题10分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值 如表，问：甲、乙谁的平均成绩最好？ 谁的各门功课发展较平衡？
18. (本小题12分) 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60) ，[60，70) ，[70，80) ，[80，90) ，[90，100]． (1) 求图中a 的值；
(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的 平均分；
(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学 成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90) 之外的人数.
19. （本小题12分）设有关于x 的一元二次方程x +2ax +b =0.
⑴ 若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
⑵ 若a 是从区间[0, 3]任取得一个数，b 是从区间[0, 2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
20．(本小题满分12分) 设p:实数x 满足
22
x 2-4ax +3a 2
, 其中
a >0
,
q :
2
⎧⎪x -x -6≤0
实数x 满足⎨2
⎪⎩x +2x -8>0
(Ⅰ)若
a =1,
且
p ∧q
为真，求实数的取值范围；
x
(Ⅱ)若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件, 求实数a 的取值范围.
21. （本题满分12分）已知方程x +bx +c =0, 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点
数. 求方程x +bx +c =0有实根的概率;
22.(本小题12分）已知某校高二文科班学生的化学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A(优秀) 、B(良好) 、C(及格) 三个等级，设x ，y 分别表示化学成绩与物理成绩．例如：表中化学成绩为B 等级的共有20＋18＋4＝42人，已知x 与y 均为B 等级的概率是0.18. (1) 求抽取的学生人数；
(2) 设该样本中，化学成绩优秀率是30%，求a ，b 值； (3) 在物理成绩为C 等级的学生中，已知a ≥10，b ≥8， 求化学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数少的概率.
2
2
高中数学必修三（A ）参考答案
17. 解：x 甲=
1
(60+80+70+90+70) =74 -------------------1分 5
1
x 乙=(80+60+70+80+75) =73 -------------------2分
512
s 甲=142+62+42+162+42）=104 ------------------5分
512
s 乙=72+132+32+72+22）=56 -------------------8分
5
∵ x 甲>x 乙，s 甲>s 乙
∴ 甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡 ----------------10分
18、解：(1) 依题意，得10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04) ＝1，解得a ＝0.005. -------3分
(2) 100名学生语文成绩的平均分为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝
73分． -------7分
(3) 数学成绩在[50，60) 的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70) 的人数为
14
100×＝20，数学成绩在[70，80) 的人数为100×＝40，数学成绩在[80，
235
90) 的人数为100×＝25. ----------------10分
4
所以数学成绩在[50，90) 之外的人数为100－5－20－40－25＝10. ---12分
19. 解：⑴设事件A 为“方程x +2ax +b =0有实根”，
当a ≥0，b ≥0时，方程x 2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a ≥b ------------1分 基本事件有12个：(0, 0) ，(0, 1) ，(0, 2) ，(1, 0) ，(1, 1) ，(1, 2) ，(2, 0) ，(2, 1) ，(2, 2) ，
2
2
22
(3, 0) ，(3, 1) ，(3, 2) ，其中第一个表示a 的取值，第二个表示b 的取值. -----4分
事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P （A ）=
93
= --------6分 124
⑵试验的全部结果所构成的区域为{(a , b ) |0≤a ≤3, 0≤b ≤2} --------7分
构成事件A 的区域为{(a , b ) |0≤a ≤3, 0≤b ≤2, a ≥b }-----8分 如图1，所以所求的概率为
13⨯2-⨯22
2P （A ）==--------12分 33⨯2
20．（I ）
解：由x 2-4ax +3a 2
又a >0, 所以a
当a =1时，1
q x 2
由⎨2, 得, 即为真时实数的取值范围是. ……4分 ⎪⎩x +2x -8>0
若p ∧q 为真，则p 真且q 真，
所以实数x 的取值范围是2
q }, 则A
B ,
又A={x |⌝p }={x |x ≤a 或x ≥3a }, B={x |⌝q }={x ≤2或x >3}， ……………10分
则03
所以实数a 的取值范围是1
先后抛掷一枚骰子的基本事件总数为6⨯6=36, ……………2分
事件B ={(b , c ) |b -4c =0, b , c =1, 2, , 6},由列数表易知满足事件B 的有(2, 1), (4, 4) 两
2
2
2
; ……………5分 36
事件C ={(b , c ) |b 2-4c >0, b , c =1, 2, , 6},则满足条件C 的数据有
(3. 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2) , (4, 3), (5, 1), (5, 6), (6, 1), (6, 6) 有共有17个基本事
17
件, ∴P (C ) =. ……………10分
36
个基本事件, ∴P (B ) =
21719
又B 、C 是互斥事件, 故所求的概率为P (A ) =P (B ) +P (C ) =+=.
363636
∴方程x +bx +c =0有实根的概率为 22. 解：(1)由题意可知
2
19
. ……………12分 36
18
＝0.18，得n ＝100. 故抽取的学生人数是100. …………4分 n
7＋9＋a
(2)由(1)知n ＝100，所以＝0.3，故a ＝14，
100
而7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100，故b ＝17. …………8分 (3)由(2)易知a ＋b ＝31，且a ≥10，b ≥8，
满足条件的(a，b) 有(10,21)，(11,20)，(12,19)，…，(23,8)，共有14组，其中b>a的有6组，则所求概率为P ＝
63
＝. …………………12分 147