2.6实数 教学设计第（一）课时
教学设计思想
本节内容需三课时讲授；本课时是对这段时间以来学过的数作一归纳性的总结，这个总结过程可由学生自己通过对具体的数比较的基础上引入，分清带根号的数不一定是无理数，对提出实数的概念（有理数和无理数的总称）表示接受和理解。通过议一议，掌握数的分类要遵循的规则，领会分类的思想；在此过程中，通过对上述数的特点的分析，指出实数的绝对值和相反数的意义与在有理数范围内的意义是一样的，设计有针对性的例题和习题巩固对这些概念的认识，会求一个数的绝对值、相反数及倒数。同时让学生思考，数的绝对值与相反数往往与数轴有密切的联系，进而让学生议一议“有理数能填满整个数轴吗？”，引出实数与数轴的关系，“每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。”，掌握如何在数轴上画出如： ，等数，真切感受实数在数轴上的存在和实际大小，掌握实数大小比较的方法。
教学目标
（一）知识与技能
1．能对实数按要求进行分类.
2．知道在实数范围内、相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
3．明白实数和数轴上的点是一一对应的并能根据它们在数轴上的位置来比较大小.
（二）过程与方法
1. 通过对实数进行分类，培养学生的分类意识.
2. 用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想.
（三）情感、态度与价值观
通过对实数进行分类的练习，让学生进一步领会分类的思想. 鼓励学生要从不同角度入手，寻求解决问题的多种途径. 训练学生的多角度思维，为他们以后更好地工作作准备.
教学重点
1．实数概念的建立.
2．实数的分类.
3．在实数范围内，求相反数、倒数、绝对值.
教学难点
1．实数概念的建立.
2．实数的分类.
教学方法
指导法.
教具准备
投影片.
教学安排
3课时.
教学过程
Ⅰ.导入新课
在前面我们学了有理数和无理数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不
循环小数，如π. 在学了平方根和立方根之后，我们知道2、3这样的数也不是有理数，
因为没有哪一个整数或分数的平方为2，立方为3. 而且用估算的方法还知道2、是无
限不循环小数，因此这些数也是无理数. 那是不是说带有根号的数就是无理数呢？也不全是. 如4=2，2是有理数，一般来说开方开不尽的数就是无理数，如7, 5等.
在小学学了非负数，上初一引入了负数，数的范围扩充到有理数范围，那么引入无理数之后数的范围扩充到什么范围呢？本节课就来研究此问题以及与之有关的问题.
Ⅱ.讲授新课
1．实数的概念
把下列各数分别填入相应的集合内：
152042, , 7, π, -, 2, , -, -, , 0, 0. [1**********]259„
有理数和无理数统称为实数（real number），即实数可以分为有理数和无理数.
2．实数的分类
［师］在有理数的分类中可以按正数、负数、零进行分类，也可按整数和分数进行分类，那么在实数范围内是不是也能这样分类呢？下面我们把上面各数填入下面相应的集合内.
填完之后大家发现了什么？
［生］无理数也有正负之分，0既不能填入正数集合，也不能填入负数集合.
［师］因此，从正、负方面来考虑，实数可以分为正实数、零、负实数.
即
实数⎧正实数⎪⎨零⎪负实数⎩
另外从定义也可以进行分类.
⎧有理数⎨无理数实数⎩
这就是实数的两种分法.
3．在实数范围内的几个概念.
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
（1）相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0.
1
（2）倒数：若a≠0，则a 与a 互为倒数.
（3）绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即
⎧a (a >0) ⎪⎨0(a =0)
⎪-a (a
想一想
［师］请大家思考并回答：
［生］（1）－2，2；
（2）互为倒数；
（3）π，0；
（4）－a ，｜a ｜；
1
（5）a
4．实数与数轴上的点之间的关系.
［师］请大家认真观察图，然后再回答.
（1）如图，OA=OB，数轴上A 点对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？
2［生］因为根据勾股定理得OB =1+1=2，所以OB=2，OA=OB，故OA=2，A 点对应的
数是无理数2，它介于整数1和2之间.
［生］如果把所有有理数都标到数轴上，那么数轴填不满. 因为有理数不包括A 点. ［师］每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的.
在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
Ⅲ.课堂练习
1．判断下列说法是否正确.
（1）无限小数都是无理数；
（2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数；
（4）无理数都是实数；
（5）实数都是无理数.
解：（1）错. 如1.333„是无限小数但是有理数；
（2）是正确的；
（3）错误的. 如 －4、27都是带根号的数，但它们不是无理数；
（4）正确；
3
（5）错. 如4，0，－3等都是实数，但不是无理数.
2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
（1）7； （2）-8； （3）49.
1解：（1）7的相反数为－7，倒数为7，绝对值为；
1
（2）-8=－2的相反数为2，倒数为－2，绝对值为2；
1
（3）49=7，7的相反数为－7，倒数为7；绝对值为7.
3．在数轴上作出5对应的点
.
解：如图，点A 所表示的点即为对应的点.
1
2解：（1）∵（72）=56.25，而56.25＞50 1
∴. 25 ，即72＞；
22（2）－7=－3.1428„，
－π=－3.1415„
22
∴－π＞－7； （3）采用平方法
22∵（2）=60，（36）=54
而60＞54 ∴2＞36；
（4）∵6+2=5+（1+2）
以下采用平方法比较26与1+25的大小.
22（2）=24，（1+25）=1+4+20=21+4，又24=21+3，而3＜45 ∴5+26＜6+25.
说明：被开方数较大的算术平方根较大.
Ⅳ.课时小结
本节课学了如下内容：
1．实数的概念.
2．实数的两种分类.
（1）按大小分为：正实数，0，负实数.
（2）按定义分为：有理数和无理数.
3．在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义仍然和在有理数范围内的意义相同.
4．实数和数轴上的点是一一对应的.
5．根据实数在数轴上的位置比较实数的大小.
Ⅴ.课后作业
习题2.8
Ⅵ.活动与探究
1．写出适合下列条件的数.
（1）大于－小于5的所有整数；
（2）小于20的所有自然数；
（3）大于－的所有负整数；
（4）绝对值小于7的所有整数.
分析：首先找到满足条件的最大数和最小数，然后再将它们之间的所有满足条件的数都写出来.
解：（1）∵－＜－, 4＜5 ∴大于－且小于5的所有整数是：－3，－2，－1，0，1，2.
（2）∵
（3）∵－
（4）∵绝对值小于7的数x ，满足－7＜x ＜，而－7＜－4, 4＜ ∴绝对值小于7的所有整数是：－2，－1，0，1，2.
说明：两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
2．求满足下列各式的x 的值.
2（1）｜x ｜= （2）｜x －5｜=4
分析：根据绝对值的概念，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数.
2所以（1）中的x 既可以是正实数，也可以是负实数. （2）把（x －5）视作一个整体，类似
于（1）.
解：（1）∵｜x ｜=3 ∴x=±3
（2）∵｜x －5｜=4∴x－5=±4
当x －5=4时x =9∴x=±3
当x －5=－4时x =1∴x=±1
∴满足等式的x 的值为－3，－1，1，3
说明：互为相反数的二数的绝对值相等，即｜a ｜=｜－a ｜.
3．已知x 是实数，化简｜3x －1｜－｜2x+1｜.
分析：设法脱掉绝对值符号，但x 的范围没有具体给定，所以应讨论，具体方法是： 222222
11
（1）找零点：令3x －1=，x=3，令2x+1=0，x=－2；（2）描零点：在数轴上找出零
111
点；（3）分区间：两个零点把实数轴所表示的数分成三个区间：x≤－2，－2＜x≤3，
1
x ＞3；（4）作化简：在各个区间上分别去绝对值符号，进行化简.
1
解：（1）当x≤－2时，3x －1＜0，2x+1≤0
原式=（1－3x ）+（2x+1）=2－x.
11
（2）当－2＜x≤3时，3x －1≤0，2x+1＞0
原式=（1－3x ）－（2x+1）=－5x.
1
（3）当x ＞3时，3x －1＞0，2x+1＞0
原式=（3x －1）－（2x+1）=x－2.
说明：在实数范围内的运算中，去绝对值符号时根据字母的取值范围确定绝对值符号内数的正、负、零，进行变形. 否则就要分类讨论，借助于数轴把实数分为若干个区间，在每个区间内根据数的范围分别去掉绝对号，再进行合并同类项即可，这样形象、直观、简明，且可保证不重不漏.
板书设计
2.6实数 教学设计第（一）课时
教学设计思想
本节内容需三课时讲授；本课时是对这段时间以来学过的数作一归纳性的总结，这个总结过程可由学生自己通过对具体的数比较的基础上引入，分清带根号的数不一定是无理数，对提出实数的概念（有理数和无理数的总称）表示接受和理解。通过议一议，掌握数的分类要遵循的规则，领会分类的思想；在此过程中，通过对上述数的特点的分析，指出实数的绝对值和相反数的意义与在有理数范围内的意义是一样的，设计有针对性的例题和习题巩固对这些概念的认识，会求一个数的绝对值、相反数及倒数。同时让学生思考，数的绝对值与相反数往往与数轴有密切的联系，进而让学生议一议“有理数能填满整个数轴吗？”，引出实数与数轴的关系，“每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。”，掌握如何在数轴上画出如： ，等数，真切感受实数在数轴上的存在和实际大小，掌握实数大小比较的方法。
教学目标
（一）知识与技能
1．能对实数按要求进行分类.
2．知道在实数范围内、相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
3．明白实数和数轴上的点是一一对应的并能根据它们在数轴上的位置来比较大小.
（二）过程与方法
1. 通过对实数进行分类，培养学生的分类意识.
2. 用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想.
（三）情感、态度与价值观
通过对实数进行分类的练习，让学生进一步领会分类的思想. 鼓励学生要从不同角度入手，寻求解决问题的多种途径. 训练学生的多角度思维，为他们以后更好地工作作准备.
教学重点
1．实数概念的建立.
2．实数的分类.
3．在实数范围内，求相反数、倒数、绝对值.
教学难点
1．实数概念的建立.
2．实数的分类.
教学方法
指导法.
教具准备
投影片.
教学安排
3课时.
教学过程
Ⅰ.导入新课
在前面我们学了有理数和无理数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不
循环小数，如π. 在学了平方根和立方根之后，我们知道2、3这样的数也不是有理数，
因为没有哪一个整数或分数的平方为2，立方为3. 而且用估算的方法还知道2、是无
限不循环小数，因此这些数也是无理数. 那是不是说带有根号的数就是无理数呢？也不全是. 如4=2，2是有理数，一般来说开方开不尽的数就是无理数，如7, 5等.
在小学学了非负数，上初一引入了负数，数的范围扩充到有理数范围，那么引入无理数之后数的范围扩充到什么范围呢？本节课就来研究此问题以及与之有关的问题.
Ⅱ.讲授新课
1．实数的概念
把下列各数分别填入相应的集合内：
152042, , 7, π, -, 2, , -, -, , 0, 0. [1**********]259„
有理数和无理数统称为实数（real number），即实数可以分为有理数和无理数.
2．实数的分类
［师］在有理数的分类中可以按正数、负数、零进行分类，也可按整数和分数进行分类，那么在实数范围内是不是也能这样分类呢？下面我们把上面各数填入下面相应的集合内.
填完之后大家发现了什么？
［生］无理数也有正负之分，0既不能填入正数集合，也不能填入负数集合.
［师］因此，从正、负方面来考虑，实数可以分为正实数、零、负实数.
即
实数⎧正实数⎪⎨零⎪负实数⎩
另外从定义也可以进行分类.
⎧有理数⎨无理数实数⎩
这就是实数的两种分法.
3．在实数范围内的几个概念.
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
（1）相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0.
1
（2）倒数：若a≠0，则a 与a 互为倒数.
（3）绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即
⎧a (a >0) ⎪⎨0(a =0)
⎪-a (a
想一想
［师］请大家思考并回答：
［生］（1）－2，2；
（2）互为倒数；
（3）π，0；
（4）－a ，｜a ｜；
1
（5）a
4．实数与数轴上的点之间的关系.
［师］请大家认真观察图，然后再回答.
（1）如图，OA=OB，数轴上A 点对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？
2［生］因为根据勾股定理得OB =1+1=2，所以OB=2，OA=OB，故OA=2，A 点对应的
数是无理数2，它介于整数1和2之间.
［生］如果把所有有理数都标到数轴上，那么数轴填不满. 因为有理数不包括A 点. ［师］每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的.
在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
Ⅲ.课堂练习
1．判断下列说法是否正确.
（1）无限小数都是无理数；
（2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数；
（4）无理数都是实数；
（5）实数都是无理数.
解：（1）错. 如1.333„是无限小数但是有理数；
（2）是正确的；
（3）错误的. 如 －4、27都是带根号的数，但它们不是无理数；
（4）正确；
3
（5）错. 如4，0，－3等都是实数，但不是无理数.
2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
（1）7； （2）-8； （3）49.
1解：（1）7的相反数为－7，倒数为7，绝对值为；
1
（2）-8=－2的相反数为2，倒数为－2，绝对值为2；
1
（3）49=7，7的相反数为－7，倒数为7；绝对值为7.
3．在数轴上作出5对应的点
.
解：如图，点A 所表示的点即为对应的点.
1
2解：（1）∵（72）=56.25，而56.25＞50 1
∴. 25 ，即72＞；
22（2）－7=－3.1428„，
－π=－3.1415„
22
∴－π＞－7； （3）采用平方法
22∵（2）=60，（36）=54
而60＞54 ∴2＞36；
（4）∵6+2=5+（1+2）
以下采用平方法比较26与1+25的大小.
22（2）=24，（1+25）=1+4+20=21+4，又24=21+3，而3＜45 ∴5+26＜6+25.
说明：被开方数较大的算术平方根较大.
Ⅳ.课时小结
本节课学了如下内容：
1．实数的概念.
2．实数的两种分类.
（1）按大小分为：正实数，0，负实数.
（2）按定义分为：有理数和无理数.
3．在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义仍然和在有理数范围内的意义相同.
4．实数和数轴上的点是一一对应的.
5．根据实数在数轴上的位置比较实数的大小.
Ⅴ.课后作业
习题2.8
Ⅵ.活动与探究
1．写出适合下列条件的数.
（1）大于－小于5的所有整数；
（2）小于20的所有自然数；
（3）大于－的所有负整数；
（4）绝对值小于7的所有整数.
分析：首先找到满足条件的最大数和最小数，然后再将它们之间的所有满足条件的数都写出来.
解：（1）∵－＜－, 4＜5 ∴大于－且小于5的所有整数是：－3，－2，－1，0，1，2.
（2）∵
（3）∵－
（4）∵绝对值小于7的数x ，满足－7＜x ＜，而－7＜－4, 4＜ ∴绝对值小于7的所有整数是：－2，－1，0，1，2.
说明：两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
2．求满足下列各式的x 的值.
2（1）｜x ｜= （2）｜x －5｜=4
分析：根据绝对值的概念，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数.
2所以（1）中的x 既可以是正实数，也可以是负实数. （2）把（x －5）视作一个整体，类似
于（1）.
解：（1）∵｜x ｜=3 ∴x=±3
（2）∵｜x －5｜=4∴x－5=±4
当x －5=4时x =9∴x=±3
当x －5=－4时x =1∴x=±1
∴满足等式的x 的值为－3，－1，1，3
说明：互为相反数的二数的绝对值相等，即｜a ｜=｜－a ｜.
3．已知x 是实数，化简｜3x －1｜－｜2x+1｜.
分析：设法脱掉绝对值符号，但x 的范围没有具体给定，所以应讨论，具体方法是： 222222
11
（1）找零点：令3x －1=，x=3，令2x+1=0，x=－2；（2）描零点：在数轴上找出零
111
点；（3）分区间：两个零点把实数轴所表示的数分成三个区间：x≤－2，－2＜x≤3，
1
x ＞3；（4）作化简：在各个区间上分别去绝对值符号，进行化简.
1
解：（1）当x≤－2时，3x －1＜0，2x+1≤0
原式=（1－3x ）+（2x+1）=2－x.
11
（2）当－2＜x≤3时，3x －1≤0，2x+1＞0
原式=（1－3x ）－（2x+1）=－5x.
1
（3）当x ＞3时，3x －1＞0，2x+1＞0
原式=（3x －1）－（2x+1）=x－2.
说明：在实数范围内的运算中，去绝对值符号时根据字母的取值范围确定绝对值符号内数的正、负、零，进行变形. 否则就要分类讨论，借助于数轴把实数分为若干个区间，在每个区间内根据数的范围分别去掉绝对号，再进行合并同类项即可，这样形象、直观、简明，且可保证不重不漏.
板书设计