开学收心课
——升八年级数学
第1讲 勾股定理
日期：2016年8月24日
｜开学收心 数学｜ 1
第一节课——勾股定理
【知识清单】
1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为： 。 介绍勾、股、弦
勾：较短的直角边 勾 股：较长的直角边 弦：斜边 2. 勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：
1
方法一：4S ∆+S 正方形EFGH =S 正方形ABCD ，4⨯ab +(b -a ) 2=c 2，化简可证．
2
D
E
b
A
c
B C
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S =4⨯1ab +c 2=2ab +c 2, 大正方形面积为
2
S =(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2 所以a 2+b 2=c 2
2 ｜开学收心 物理｜
b a
c
a
b
b
c
c b
a
a
2
方法三：S 梯形=1(a +b ) ⋅(a +b ) ，S 梯形=2S ∆ADE +S ∆ABE =2⋅1ab +1c 2，化简得证
2
2
A
a
D b
B
b
E a C
3. 勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 4. 勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a 2+b 2=c 2中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等
｜开学收心 数学｜ 3
【典型例题】
例1．探索直角三角形三边的特殊关系：
（1）画一个直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表； （2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?
勾股定理：
例2．（1）拼成的图中有_______个正方形，______个直角三角形。 （2）．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。
（3）．图中大正方形的面积为_______，小正方形的面积为_______，四个直角三角形的面积为_______。
（4）．从图中可以看到大正方形的面积等于小正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，于是可列等式为_______，将等式化简、整理，得_______。
例3．在Rt △ABC 中，∠C =90︒ ，
（1）如果a=3，b=4，则c=________；（2）如果a=6，b=8，则c=________； （3）如果a=5，b=12，则c=________；（4）如果a=15，b=20，则c=________.
（5）如果c ＝26，b ＝24，a =_______；（6）如果a :c =3:5，b ＝32，则a =_______c =_______
4 ｜开学收心 物理｜
例4．
（图中每个小方格代表一个单位面积）
你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？由此我们可以得出什么结论？可猜想：
如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么________________。
例5．（附加题）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm.现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
（例5） （例6）
例6．（附加题）如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木 杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米.
｜开学收心 数学｜ 5
【课堂练习】
1．下列说法正确的是（ ）
A 、若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2+b 2=c 2 B 、若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2+b 2=c 2
C 、若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，∠A =90︒， 则a 2+b 2=c 2 D 、若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，∠C =90︒ ，则a 2+b 2=c 2 2．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2+AC 2+BC 2的值为( ) A ．8
B ．4
C ．6
D ．无法计算
3．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
（A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 4．已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 5．如图所示, 在一个直角三角形的三边分别做3个正方形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是
__________ .
6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则SRt △ABC=________。 7．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为________。 8．如图，一艘帆船由于风向的原因，先向正东方航行了160千米，然后向正北方航行了120 千米，这时它离出发点有多远？
6 ｜开学收心 物理｜
9．已知在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，AD ⊥BC ，若AB =10，BD =6，AC =17，求S △ABC .
10．如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？
附加题：
1．如图，图中所有三角形均为等腰直角三角形，所有四边形均为正方形，其中最大的正方 形边长为8cm ，则最小正方形的边长为．
A
B C
｜开学收心 数学｜ 7
2．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，P 是BC 边上除B 、C 点外的任意一点，则代数式AP 2+PB•PC 等于（ ）
A ．25 B ．15 C ．20 D ．30
8 ｜开学收心 物理｜
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第1讲 勾股定理
日期：2016年8月24日
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第一节课——勾股定理
【知识清单】
1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为： 。 介绍勾、股、弦
勾：较短的直角边 勾 股：较长的直角边 弦：斜边 2. 勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：
1
方法一：4S ∆+S 正方形EFGH =S 正方形ABCD ，4⨯ab +(b -a ) 2=c 2，化简可证．
2
D
E
b
A
c
B C
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S =4⨯1ab +c 2=2ab +c 2, 大正方形面积为
2
S =(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2 所以a 2+b 2=c 2
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b a
c
a
b
b
c
c b
a
a
2
方法三：S 梯形=1(a +b ) ⋅(a +b ) ，S 梯形=2S ∆ADE +S ∆ABE =2⋅1ab +1c 2，化简得证
2
2
A
a
D b
B
b
E a C
3. 勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 4. 勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a 2+b 2=c 2中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等
｜开学收心 数学｜ 3
【典型例题】
例1．探索直角三角形三边的特殊关系：
（1）画一个直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表； （2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?
勾股定理：
例2．（1）拼成的图中有_______个正方形，______个直角三角形。 （2）．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。
（3）．图中大正方形的面积为_______，小正方形的面积为_______，四个直角三角形的面积为_______。
（4）．从图中可以看到大正方形的面积等于小正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，于是可列等式为_______，将等式化简、整理，得_______。
例3．在Rt △ABC 中，∠C =90︒ ，
（1）如果a=3，b=4，则c=________；（2）如果a=6，b=8，则c=________； （3）如果a=5，b=12，则c=________；（4）如果a=15，b=20，则c=________.
（5）如果c ＝26，b ＝24，a =_______；（6）如果a :c =3:5，b ＝32，则a =_______c =_______
4 ｜开学收心 物理｜
例4．
（图中每个小方格代表一个单位面积）
你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？由此我们可以得出什么结论？可猜想：
如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么________________。
例5．（附加题）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm.现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
（例5） （例6）
例6．（附加题）如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木 杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米.
｜开学收心 数学｜ 5
【课堂练习】
1．下列说法正确的是（ ）
A 、若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2+b 2=c 2 B 、若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2+b 2=c 2
C 、若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，∠A =90︒， 则a 2+b 2=c 2 D 、若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，∠C =90︒ ，则a 2+b 2=c 2 2．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2+AC 2+BC 2的值为( ) A ．8
B ．4
C ．6
D ．无法计算
3．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
（A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 4．已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 5．如图所示, 在一个直角三角形的三边分别做3个正方形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是
__________ .
6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则SRt △ABC=________。 7．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为________。 8．如图，一艘帆船由于风向的原因，先向正东方航行了160千米，然后向正北方航行了120 千米，这时它离出发点有多远？
6 ｜开学收心 物理｜
9．已知在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，AD ⊥BC ，若AB =10，BD =6，AC =17，求S △ABC .
10．如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？
附加题：
1．如图，图中所有三角形均为等腰直角三角形，所有四边形均为正方形，其中最大的正方 形边长为8cm ，则最小正方形的边长为．
A
B C
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2．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，P 是BC 边上除B 、C 点外的任意一点，则代数式AP 2+PB•PC 等于（ ）
A ．25 B ．15 C ．20 D ．30
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