平方差公式、完全平方公式应用例说
例1 计算（1）(ab -1)(ab +1) ；（2）(-2x -3)(2x -3) ；（3）102；（4）99.
【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab 看成是a ，1看成是b 来计算.
（2）利用加法交换律将原式变形为(-3+2x )(-3-2x ) , 然后运用平方差公式计算.
（3）可将102改写为(100+2) 2, 利用两数和的平方公式进行简便运算.
（4）可将99改写为(100-1) 2，利用两数差的平方公式进行简便运算.
解：（1）(ab -1)(ab +1) =(ab ) 2-1=a 2b 2-1；
（2）(-2x -3)(2x -3) = (-3+2x )(-3-2x ) =(-3) 2-(2x ) 2=9-4x 2；
2 （3）102= (100+2) =100+2⨯100⨯2+2=10000+400+4=10404；
2 （4）99=(100-1) =100-2⨯100⨯1+1=10000-200+1=9801. 222222222
例2 计算 （1）(a +b +1)(a +b -1) ；（2）(m -2n +p ) 2.
【点拨】（1）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将(a +b ) 看作是一项.
（2）先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.
解：（1）(a +b +1)(a +b -1) =[(a +b ) +1][(a +b ) -1]=(a +b ) 2-1=a 2+2ab +b 2-1；
（2）(m -2n +p ) =[(m -2n ) +p ]=(m -2n ) +2⋅(m -2n ) ⋅p +p =m -4mn +4n +2mp -4np +p .
【点评】1. 在运用平方差公式时, 应分清两个因式中是不是有一项完全相同, 有一项互为相反数, 这样才可以用平方差公式，否则不能用；2. 完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：(a +b ) =a +b 或(a -b ) =a -b 这样的错误；
3. 当因式中含有三项或三项以上时, 要适当的分组, 看成是两项, 用平方差公式或完全平方公式.
例3 一个正方形的边长增加3cm, 它的面积就增加39cm , 这个正方形的边长是多少?
【点拨】如果设原正方形的边长为xcm, 根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解. 解：设原正方形的边长为xcm, 则(x +3) =x +39
即x +6x +9=x +39，解得 x=5.
[***********]
答:这个正方形的边长是5cm .
例4 当a =-1, b =1时，求(3a +2b )(3a -2b ) -(a -2b ) 2的值.
【点拨】先用乘法公式计算, 去括号、合并同类项后，再将a 、b 的值代入计算出结果. 解：(3a +2b )(3a -2b ) -(a -2b ) 2=9a 2-4b 2-(a 2-4ab +4b 2)
=9a -4b -a +4ab -4b =8a +4ab -8b ；
当a =-1, b =1时，
(3a +2b )(3a -2b ) -(a -2b ) 2=8a 2+4ab -8b 2=8（-1）2+4(-1) ⨯1-8=-4.
例5 求证：当n 为整数时，两个连续奇数的平方差(2n +1) 2-(2n -1) 2是8的倍数.
【点拨】运用完全平方公式将(2n +1) 2-(2n -1) 2化简，看所得的结果是否是8整数倍.
证明:(2n +1) 2-(2n -1) 2=4n 2+4n +1-(4n 2-4n +1)
=4n +4n +1-4n +4n -1=8n ，
又∵n 为整数, ∴8n 也为整数且是8的倍数.
例6 解不等式 (3x +4)(3x -4) >9(x -2) 2.
【点拨】将乘法公式与解不等式相联系，用乘法公式将不等式两边化简、整理，转化成一元一次不等式的一般形式.
解：去括号，得 9x -16>9x -36x +36，
移项、合并，得 x >[1**********]3. 9
2 例7 2005年12月1日是星期四，请问：再过2005天的后一天是星期几?
【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过2005天的后一天是星期几，可以想办法先求出2005是7的多少倍数还余几天.
解：2005=(7⨯286+3) =(7⨯286) +2⨯(7⨯286) ⨯3+9
=(7⨯286) +(6⨯286) ⨯7+7+2.
显然2005年12月1日是星期四，再过2005天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.
例8 观察下列等式：
2222222
1-0=1，2-1=3，3-2=5，4-3=7，……
请用含自然数n 的等式表示这种规律为：________________.
【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律. 同学们相互研讨交流一下. 答案为:n 2-(n -1) 2=2n -1(n ≥1且n 为整数).
例9 已知4x 2-Mxy +9y 2是一个完全平方式, 求M 的值.
【点拨】已知条件是一个二次三项式, 且是一个完全平方式, x 2与y 2项的系数分别为4和9, 所以这个完全平方式应该是(2x ±3y ) 2, 由完全平方公式就可以求出M.
解：根据(2x ±3y ) 2=4x 2±12xy +9y 2得: -M =±12.
∴M =±12
答:M 的值是±12.
例10 计算 (1+1+222222221
211111+1+) +. 248152222
【点拨】若按常规思路从左到右逐个相乘，比较麻烦；如果乘或除以一个数或一个整式，将本来复杂的问题转化成我们已知的、熟悉的，从而找到问题的捷径.
解:(1+1+
11111+1+) + [**************]1=(1-1+1+21+4)(1+8÷+15 [1**********]11=(1-21+21+4)(1+8÷+15 [1**********]=(1-41+4)(1+8÷+15 222221111=(1-8)(1+8÷+15 222211111=(1-16÷+15=2-15+15=2. 2222212
例11(泰州市) 如下图是由边长为a 和b 的两个正方形组成，通过用
不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是 ．
【点拨】本题考查借助图形的面积直观认识平方差公式, 使学生学习数形结合的思想方 法. 答案为:(a +b )(a -b ) =a 2-b 2或 a 2-b 2= (a +b )(a -b )
平方差公式、完全平方公式应用例说
例1 计算（1）(ab -1)(ab +1) ；（2）(-2x -3)(2x -3) ；（3）102；（4）99.
【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab 看成是a ，1看成是b 来计算.
（2）利用加法交换律将原式变形为(-3+2x )(-3-2x ) , 然后运用平方差公式计算.
（3）可将102改写为(100+2) 2, 利用两数和的平方公式进行简便运算.
（4）可将99改写为(100-1) 2，利用两数差的平方公式进行简便运算.
解：（1）(ab -1)(ab +1) =(ab ) 2-1=a 2b 2-1；
（2）(-2x -3)(2x -3) = (-3+2x )(-3-2x ) =(-3) 2-(2x ) 2=9-4x 2；
2 （3）102= (100+2) =100+2⨯100⨯2+2=10000+400+4=10404；
2 （4）99=(100-1) =100-2⨯100⨯1+1=10000-200+1=9801. 222222222
例2 计算 （1）(a +b +1)(a +b -1) ；（2）(m -2n +p ) 2.
【点拨】（1）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将(a +b ) 看作是一项.
（2）先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.
解：（1）(a +b +1)(a +b -1) =[(a +b ) +1][(a +b ) -1]=(a +b ) 2-1=a 2+2ab +b 2-1；
（2）(m -2n +p ) =[(m -2n ) +p ]=(m -2n ) +2⋅(m -2n ) ⋅p +p =m -4mn +4n +2mp -4np +p .
【点评】1. 在运用平方差公式时, 应分清两个因式中是不是有一项完全相同, 有一项互为相反数, 这样才可以用平方差公式，否则不能用；2. 完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：(a +b ) =a +b 或(a -b ) =a -b 这样的错误；
3. 当因式中含有三项或三项以上时, 要适当的分组, 看成是两项, 用平方差公式或完全平方公式.
例3 一个正方形的边长增加3cm, 它的面积就增加39cm , 这个正方形的边长是多少?
【点拨】如果设原正方形的边长为xcm, 根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解. 解：设原正方形的边长为xcm, 则(x +3) =x +39
即x +6x +9=x +39，解得 x=5.
[***********]
答:这个正方形的边长是5cm .
例4 当a =-1, b =1时，求(3a +2b )(3a -2b ) -(a -2b ) 2的值.
【点拨】先用乘法公式计算, 去括号、合并同类项后，再将a 、b 的值代入计算出结果. 解：(3a +2b )(3a -2b ) -(a -2b ) 2=9a 2-4b 2-(a 2-4ab +4b 2)
=9a -4b -a +4ab -4b =8a +4ab -8b ；
当a =-1, b =1时，
(3a +2b )(3a -2b ) -(a -2b ) 2=8a 2+4ab -8b 2=8（-1）2+4(-1) ⨯1-8=-4.
例5 求证：当n 为整数时，两个连续奇数的平方差(2n +1) 2-(2n -1) 2是8的倍数.
【点拨】运用完全平方公式将(2n +1) 2-(2n -1) 2化简，看所得的结果是否是8整数倍.
证明:(2n +1) 2-(2n -1) 2=4n 2+4n +1-(4n 2-4n +1)
=4n +4n +1-4n +4n -1=8n ，
又∵n 为整数, ∴8n 也为整数且是8的倍数.
例6 解不等式 (3x +4)(3x -4) >9(x -2) 2.
【点拨】将乘法公式与解不等式相联系，用乘法公式将不等式两边化简、整理，转化成一元一次不等式的一般形式.
解：去括号，得 9x -16>9x -36x +36，
移项、合并，得 x >[1**********]3. 9
2 例7 2005年12月1日是星期四，请问：再过2005天的后一天是星期几?
【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过2005天的后一天是星期几，可以想办法先求出2005是7的多少倍数还余几天.
解：2005=(7⨯286+3) =(7⨯286) +2⨯(7⨯286) ⨯3+9
=(7⨯286) +(6⨯286) ⨯7+7+2.
显然2005年12月1日是星期四，再过2005天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.
例8 观察下列等式：
2222222
1-0=1，2-1=3，3-2=5，4-3=7，……
请用含自然数n 的等式表示这种规律为：________________.
【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律. 同学们相互研讨交流一下. 答案为:n 2-(n -1) 2=2n -1(n ≥1且n 为整数).
例9 已知4x 2-Mxy +9y 2是一个完全平方式, 求M 的值.
【点拨】已知条件是一个二次三项式, 且是一个完全平方式, x 2与y 2项的系数分别为4和9, 所以这个完全平方式应该是(2x ±3y ) 2, 由完全平方公式就可以求出M.
解：根据(2x ±3y ) 2=4x 2±12xy +9y 2得: -M =±12.
∴M =±12
答:M 的值是±12.
例10 计算 (1+1+222222221
211111+1+) +. 248152222
【点拨】若按常规思路从左到右逐个相乘，比较麻烦；如果乘或除以一个数或一个整式，将本来复杂的问题转化成我们已知的、熟悉的，从而找到问题的捷径.
解:(1+1+
11111+1+) + [**************]1=(1-1+1+21+4)(1+8÷+15 [1**********]11=(1-21+21+4)(1+8÷+15 [1**********]=(1-41+4)(1+8÷+15 222221111=(1-8)(1+8÷+15 222211111=(1-16÷+15=2-15+15=2. 2222212
例11(泰州市) 如下图是由边长为a 和b 的两个正方形组成，通过用
不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是 ．
【点拨】本题考查借助图形的面积直观认识平方差公式, 使学生学习数形结合的思想方 法. 答案为:(a +b )(a -b ) =a 2-b 2或 a 2-b 2= (a +b )(a -b )