两条直线位置关系以及点到直线距离公式
一、两条直线相交、平行、重合条件
1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程是相同的，具体为：
1） 斜截式：直线l 1:y =k 1x +b 1与直线l 2:y =k 2x +b 2重合⇔k 1=k 2, b 1=b 2。 2） 一般式：直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0重合
⇔
A 1B C
=11(A 2B 2C 2≠0)。 A 2B 2C 2
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
1） 斜截式：l 1:y =k 1x +b 1与直线l 2:y =k 2x +b 2平行⇔k 1=k 2, b 1≠b 2 2） 一般式：直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0平行
⇔
A 1B 1C =≠A 2B 2C
1
(A 2B 2C
2
≠0)。
2
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论） 3. 相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：l 1:y =k 1x +b 1与直线l 2:y =k 2x +b 2相交⇔k 1≠k 2
2）一般式：直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0相交
⇔A 1B 2≠A 2B 1
3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。 例1：已知直线l 1:ax +2y +6=0, l 2:x +(a -1)y +a -1=0，求适合下列条件的a
2
的取值范围。 1）l 1与l 2相交； 2）l 1//l 2； 3）l 1与l 2重合。
例2：设三条直线x -2y =1,2x +ky =3,3kx +4y =5交于一点，求k 的值。
二、两条直线垂直的条件
1） 点斜式：l 1:y =k 1x +b 1与直线l 2:y =k 2x +b 2垂直⇔k 1k 2=-1，如果k 1和k 2一
个为0，另一个不存在，那么也有l 1⊥l 2。
x +B y 2+C =20垂直2） 一般式：直线l 1:A x 1+B y 1+C =10与直线l 2:A 2
⇔A 1A 2+B 1B 2=0。
例3：求过P (2, -1)且与直线3x -2y -6=0垂直的直线。
例
4：当a 为何值时，直线l 1:(a +2)x +(1-a )y -3=0与直线
l 2:(a -1)x +(2a +3)y +2=0互相垂直。
三、求经过两条直线交点的直线方程：有两种方法
1） 线求出两条直线交点坐标，利用点斜式方程列出所求直线方程，然后根据条件求解；
+C =02） 利用直线系方程求解：经过直线l 1:A x 1+B y 11与直线
l 2:A x +C =0的交点的直线系方程可以表示为2+B y 22A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0，其中λ为参数，此方程不能表示直线l 2，
例5：求经过两直线l 1:x +2y -5=0和直线l 2:x +y -3=0的交点且和直线
l 3:3x +4y -5=0垂直的直线l 的方程。
四、几种常见的对称问题
1. 点关于点对称：点A (x 1, y 1)与点B (x 2, y 2)关于点M (x 0, y 0)对称，则点M 为点
⎧x 1+x 2
=x 0
⎪⎧x 2=2x 0-x 1⎪2
A 与点B 的中点，利用中点坐标公式可得⎨，解得⎨。
y =2y -y 01⎩2⎪y 1+y 2=y
⎪⎩2
2. 直线关于点对称：可设所求直线l 上任意一点坐标为(x , y )，再求该点关于A (a , b )的对称点，而它的对称点在已知直线上，将这个点带入已知直线，便可以得到关于
x 、y 的方程，即所求直线方程。
例6：已知点A (1,2)，直线l 1:2x -3y -1=0，直线l 2与直线l 1关于点A 对称，求直线l 2的方程。
3. 点关于直线的对称点：当直线为特殊直线（平行于x 轴或垂直于x 轴的直线）时，比较简单，用画图法即可。当直线为一般直线时，设P (x 0, y 0)，直线
l :Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)，若P 点关于直线l 的对称点为Q (x , y )，则满足两点，
y -y 0⎛A ⎫⎧
⋅ -⎪=-1⎪x -x 0⎝B ⎭⎪
PQ 与l 垂直，P 与Q 的中点在直线l 上，即满足方程组⎨可得
⎪A ⋅x +x 0+B ⋅y +y 0+C =0⎪⎩22
Q 点坐标。
例7：设点A (3, -2)关于直线2x -y -1=0的对称点为B ，求B 点的坐标。
4. 直线关于直线对称：求直线l 1关于直线l 2对称的直线l ，可以设所求直线l 上任意一点坐标为(x , y )，然后求出该点关于直线l 2的对称点(x 1, y 1)，点(x 1, y 1)在l 1上，将(x 1, y 1)带入到l 1的方程中，得到的关于x 、y 的方程就是所求直线l 的方程。
例8：求直线l 1:x -y -2=0关于直线l :3x -y +3=0对称的直线l 2的方程。
五、点到直线距离公式
1．点A (x 0, y 0)到直线l :Ax +By +C =0A +B ≠
0的距离d =
2
2
()
。
注：此公式需要将直线方程化为一般式才可以应用。
2．点到几种特殊直线的距离：
1）点A (x 0, y 0)到x 轴的距离d =y 0。 2）点A (x 0, y 0)到y 轴的距离d =x 0。
3）点A (x 0, y 0)到直线x =a 的距离d =x 0-a 。 4）点A (x 0, y 0)到直线y =b 的距离d =y 0-b 。 例9：求下列点到直线的距离。 1）A (-1,0), l :5x -12y -9=0； 2）A (-1,0), l :y =2x +1；
3）A (-1, 2), l :y =-2(x -5)； 4）A (4, -2), l :2y =3。
六、两平行线间的距离公式：
两平行线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2=0
(C 1≠C 2)
的距
离
d =
。
七、点到直线距离以及平行直线之间距离公式的应用：可以用来求三角形面积和交角平分线
方程。
例10：在 ABC 中，A (3,3), B (2, -2), C (-7,1)。 1） 求 ABC 的面积。
2） 求∠A 的平分线所在直线方程。 3） 求BC 垂直平分线的方程。 4） 求BC 中线方程。 5） 求BC 边上高的方程。
作业：
1. 过点P (-1,3) 且垂直于直线x -2y +3=0 的直线方程为（ ） A ．2x +y -1=0 B ．2x +y -5=0 C ．x +2y -5=0 D ．x -2y +7=0
2. 已知过点A (-2, m ) 和B (m , 4) 的直线与直线2x +y -1=0平行， 则m 的值为（ ）
A ．0 B ．-8 C ．2 D ．10
3. 点P (1,-1) 到直线x -y +1=0的距离是________________.
4. 已知直线l 1:y =2x +3, 若l 2与l 1关于y 轴对称，则l 2的方程为__________; 若l 3与l 1关于x 轴对称，则l 3的方程为_________; 若l 4与l 1关于y =x 对称，则l 4的方程为___________;
5. 已知点A (1,2),B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x +2y =5 B ．4x -2y =5 C ．x +2y =5 D ．x -2y =5
6. 与直线7x +24y =5平行，并且距离等于3的直线方程是____________。 7. 求经过点P (1,2)的直线，且使A (2,3)，B (0,-5) 到它的距离相等的直线方程。
8. 在抛物线y =2x 上求一点，使它到直线y =2x -1的距离最短。
2
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
一、两条直线相交、平行、重合条件
1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程是相同的，具体为：
1） 斜截式：直线l 1:y =k 1x +b 1与直线l 2:y =k 2x +b 2重合⇔k 1=k 2, b 1=b 2。 2） 一般式：直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0重合
⇔
A 1B C
=11(A 2B 2C 2≠0)。 A 2B 2C 2
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
1） 斜截式：l 1:y =k 1x +b 1与直线l 2:y =k 2x +b 2平行⇔k 1=k 2, b 1≠b 2 2） 一般式：直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0平行
⇔
A 1B 1C =≠A 2B 2C
1
(A 2B 2C
2
≠0)。
2
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论） 3. 相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：l 1:y =k 1x +b 1与直线l 2:y =k 2x +b 2相交⇔k 1≠k 2
2）一般式：直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0相交
⇔A 1B 2≠A 2B 1
3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。 例1：已知直线l 1:ax +2y +6=0, l 2:x +(a -1)y +a -1=0，求适合下列条件的a
2
的取值范围。 1）l 1与l 2相交； 2）l 1//l 2； 3）l 1与l 2重合。
例2：设三条直线x -2y =1,2x +ky =3,3kx +4y =5交于一点，求k 的值。
二、两条直线垂直的条件
1） 点斜式：l 1:y =k 1x +b 1与直线l 2:y =k 2x +b 2垂直⇔k 1k 2=-1，如果k 1和k 2一
个为0，另一个不存在，那么也有l 1⊥l 2。
x +B y 2+C =20垂直2） 一般式：直线l 1:A x 1+B y 1+C =10与直线l 2:A 2
⇔A 1A 2+B 1B 2=0。
例3：求过P (2, -1)且与直线3x -2y -6=0垂直的直线。
例
4：当a 为何值时，直线l 1:(a +2)x +(1-a )y -3=0与直线
l 2:(a -1)x +(2a +3)y +2=0互相垂直。
三、求经过两条直线交点的直线方程：有两种方法
1） 线求出两条直线交点坐标，利用点斜式方程列出所求直线方程，然后根据条件求解；
+C =02） 利用直线系方程求解：经过直线l 1:A x 1+B y 11与直线
l 2:A x +C =0的交点的直线系方程可以表示为2+B y 22A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0，其中λ为参数，此方程不能表示直线l 2，
例5：求经过两直线l 1:x +2y -5=0和直线l 2:x +y -3=0的交点且和直线
l 3:3x +4y -5=0垂直的直线l 的方程。
四、几种常见的对称问题
1. 点关于点对称：点A (x 1, y 1)与点B (x 2, y 2)关于点M (x 0, y 0)对称，则点M 为点
⎧x 1+x 2
=x 0
⎪⎧x 2=2x 0-x 1⎪2
A 与点B 的中点，利用中点坐标公式可得⎨，解得⎨。
y =2y -y 01⎩2⎪y 1+y 2=y
⎪⎩2
2. 直线关于点对称：可设所求直线l 上任意一点坐标为(x , y )，再求该点关于A (a , b )的对称点，而它的对称点在已知直线上，将这个点带入已知直线，便可以得到关于
x 、y 的方程，即所求直线方程。
例6：已知点A (1,2)，直线l 1:2x -3y -1=0，直线l 2与直线l 1关于点A 对称，求直线l 2的方程。
3. 点关于直线的对称点：当直线为特殊直线（平行于x 轴或垂直于x 轴的直线）时，比较简单，用画图法即可。当直线为一般直线时，设P (x 0, y 0)，直线
l :Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)，若P 点关于直线l 的对称点为Q (x , y )，则满足两点，
y -y 0⎛A ⎫⎧
⋅ -⎪=-1⎪x -x 0⎝B ⎭⎪
PQ 与l 垂直，P 与Q 的中点在直线l 上，即满足方程组⎨可得
⎪A ⋅x +x 0+B ⋅y +y 0+C =0⎪⎩22
Q 点坐标。
例7：设点A (3, -2)关于直线2x -y -1=0的对称点为B ，求B 点的坐标。
4. 直线关于直线对称：求直线l 1关于直线l 2对称的直线l ，可以设所求直线l 上任意一点坐标为(x , y )，然后求出该点关于直线l 2的对称点(x 1, y 1)，点(x 1, y 1)在l 1上，将(x 1, y 1)带入到l 1的方程中，得到的关于x 、y 的方程就是所求直线l 的方程。
例8：求直线l 1:x -y -2=0关于直线l :3x -y +3=0对称的直线l 2的方程。
五、点到直线距离公式
1．点A (x 0, y 0)到直线l :Ax +By +C =0A +B ≠
0的距离d =
2
2
()
。
注：此公式需要将直线方程化为一般式才可以应用。
2．点到几种特殊直线的距离：
1）点A (x 0, y 0)到x 轴的距离d =y 0。 2）点A (x 0, y 0)到y 轴的距离d =x 0。
3）点A (x 0, y 0)到直线x =a 的距离d =x 0-a 。 4）点A (x 0, y 0)到直线y =b 的距离d =y 0-b 。 例9：求下列点到直线的距离。 1）A (-1,0), l :5x -12y -9=0； 2）A (-1,0), l :y =2x +1；
3）A (-1, 2), l :y =-2(x -5)； 4）A (4, -2), l :2y =3。
六、两平行线间的距离公式：
两平行线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2=0
(C 1≠C 2)
的距
离
d =
。
七、点到直线距离以及平行直线之间距离公式的应用：可以用来求三角形面积和交角平分线
方程。
例10：在 ABC 中，A (3,3), B (2, -2), C (-7,1)。 1） 求 ABC 的面积。
2） 求∠A 的平分线所在直线方程。 3） 求BC 垂直平分线的方程。 4） 求BC 中线方程。 5） 求BC 边上高的方程。
作业：
1. 过点P (-1,3) 且垂直于直线x -2y +3=0 的直线方程为（ ） A ．2x +y -1=0 B ．2x +y -5=0 C ．x +2y -5=0 D ．x -2y +7=0
2. 已知过点A (-2, m ) 和B (m , 4) 的直线与直线2x +y -1=0平行， 则m 的值为（ ）
A ．0 B ．-8 C ．2 D ．10
3. 点P (1,-1) 到直线x -y +1=0的距离是________________.
4. 已知直线l 1:y =2x +3, 若l 2与l 1关于y 轴对称，则l 2的方程为__________; 若l 3与l 1关于x 轴对称，则l 3的方程为_________; 若l 4与l 1关于y =x 对称，则l 4的方程为___________;
5. 已知点A (1,2),B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x +2y =5 B ．4x -2y =5 C ．x +2y =5 D ．x -2y =5
6. 与直线7x +24y =5平行，并且距离等于3的直线方程是____________。 7. 求经过点P (1,2)的直线，且使A (2,3)，B (0,-5) 到它的距离相等的直线方程。
8. 在抛物线y =2x 上求一点，使它到直线y =2x -1的距离最短。
2