4.2 微积分基本定理一、教材依据北师大版教材选修 2-2 第四章第二节微分基本定理二、设计思路 （1）指导思想让学生结合实际意义感受和理解微积分基本定理的推导过程， 力求揭示微积分基本定 理中蕴含的重要思想和这个定理的重要意义。（2）设计理念从数学上看，它建立了导数与定积分的联系。微积分基本定理的推导过程中体现了以 直代曲，以简单代复杂的思想。（3）教材分析本节的内容是微积分基本定理和它在求定积分中的应用。（4）学情分析⒈ 根据函数曲线图学生不难看出高度差h = F (b) − F (a )⒉由于学生刚学习了导数，知道导数的几何意义即为切线的斜率,即为k = F ′(x)⒊ 上一节中刚学习了“汽车行驶的路程”，学生明白路程的计算实际上是一个求定积分的过程，即对 F ′(x ) 的定积分。 ⒋ 让学生再一次感受小区间不断细分对近似程度的影响，如何通过逐步逼近而求出定积 分。三、教学目标知识与技能目标 使学生经历定理的发现过程， 直观了解微积分基本定理的含义和几何意义， 并理解导数 与定积分的互逆关系；通过计算两个简单的定积分，使学生体会微积分基本定理的优越性， 理解微积分在数学史上举足轻重的地位。 过程与方法 让学生能够体会微积分运动变化地思维方式和初等数学中静态的思维方式的区别， 并且 培养学生在探索过程中善于变通的思想，敢于挑战陈规的精神!通过实例体会用微积分基本 定理求定积分的方法 情感态度与价值观 揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲。 体会“以直代曲”——临渊 羡鱼，不如退而结网的思想。 感受用近似无限接近精确的方法。 。 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系， 使学生直观了解微积分 四、 教学重点 基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 教学难点 五、教学难点 了解微积分基本定理的含义 六、教学准备 尽管已是高中学生，但抽象的概念依然令学生望而生畏，因此着眼于个别实 例的研究，强调来龙去脉，淡化证明过程 七、教学过程 （一） 复习 1、定积分的概念。 、 2、定积分的几何意义。 3、定积分的性质。 （二） 引入新课 、-1-我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂， 所以不是求定积分的一般 方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。我们还是从爬山说起。 、探究 （三） 探究： 、探究： 探究一：感性认识微积分基本定理 探究一：感性认识微积分基本定理 如图，把地平面取作横坐标轴， 是爬山路线， 如图，把地平面取作横坐标轴，y=F(x)是爬山路线，并假定曲线 y=F(x)与 x 轴在同一平面 是爬山路线 与 是出发点,点 为山顶。 内，A 是出发点 点 B 为山顶。y B y=F(x) F E A O a x k x k+1 b x hF记在爬山路线的每一点(x， 等分， 在爬山路线的每一点 ，F(x))，山坡的斜率为 F ’(x)。将区间 ，b]n 等分， ， 。将区间[a，b−a ， 我们来分析每一小段所爬高度与这一小段所在直线的斜率的 △x= n关系。 不妨以[xk， k+1]为例， 是曲线过点 E 的切线， x 为例 EF 为例， 切线， 关系。 不妨以 其斜率为 F ’(xi), 于是 GF=F ’(xi)△x。在此段所爬高度 hk 为 GH，GH=F(xk+1)－ △ 。 ， － F(xk)。当△x 很小时 即 n 很大 k=GH≈GF. 很小时(即 很大)h 。 ≈EH hk G即 F(xk+1)－F(xk)≈F ’(xk)△x. － 这样，我们得到了一系列近似等式： 这样，我们得到了一系列近似等式： h1=F(a+△x)－F(a) ≈F ’(a)△x， △ － △ ， h2=F(a+2△x)－F(a+△x)≈F’(a+△x)△x, △ － △ ≈ △ △ h3=F(a+3△x)－F(a+2△x)≈F’(a+2△x)△x, △ － △ ≈ △ △ ………… hn－1=F[a+(n－1)△x]－[(a+(n－2)△x) － △ － － △ ≈F ’[a+(n－2))△x]△x， － △ △ ， hn=F(b)－F[a+(n－1)△x) － － △ ≈F ’[a+(n－1)△x]△x， － △ △ ， 个近似等式相加， 将上列 n 个近似等式相加，得到从 A 到 B 所爬的总高度 h=h1+h2+…… n=F(b)－F(a) ……+h …… －x k ∆ x x k+1≈∑n − 1F'( a + i ∆ x ) ∆ xi = 0由定积分定义可知： 由定积分定义可知：当△x→0 时， →∑n −1 i= 0F '( a + i ∆ x ) ∆ x →∫b aF '( x ) d x-2-这一公式告诉我们： 这一公式告诉我们：F ’(x)从 a 到 b 的积分等于 F(x)在两端点的取值之差 从 在两端点的取值之差 而求导数比求定积分容易得多。 世纪，牛顿和莱布尼茨找到两者之间的关系 找到两者之间的关系。 而求导数比求定积分容易得多。17 世纪，牛顿和莱布尼茨找到两者之间的关系。 探究二： 探究二：微积分基本定理 如 果 连 续 函 数 f (x ) 是 F (x ) 的 导 函 数 ， 即 f ( x ) = F ′( x ) ， 则 有∫baf ( x)dx = F (b) − F (a)定理中的式子称为牛顿-莱布尼茨公式，通常称 F (x ) 为 f (x ) 的原函数，于是牛顿 莱布 的原函数， 于是牛顿-莱布 定理中的式子称为牛顿 莱布尼茨公式， 莱布尼茨公式尼茨公式也可写作∫bab f ( x)dx = F ( x) = F (b) − F (a) a它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题， 是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系， 同时也 提供计算定积分的一种有效方法。 定理的条件中为什么指明“任一原函数”，而不是“所有原函数”？ 能否通过计算来说明？ 、典型例题 （四） 典型例题： 、典型例题： 例1. （求定积分转化为求原函数，常见被积函数类型有幂函数、指数函数、三角函数、 对数函数等；体会被积函数不同的积分）计算下列定积分； （1） ）∫ 2xdx01（2） ） （5） ）∫x012dx（3）∫ cos xdx01（4） ）∫e01xdx∫10x dx（定积分的几何意义探究，体会微分基本定理计算曲面面积的优越性） 例 2． ． （！ ）计算∫π0sin xdx（2）计算∫2π0sin xdx例 3.（把没见过的要转化为见过的，如：乘法分配律、变量分离、展开、降幂等） 求定积分∫21x 2 + x sin x − 1 dx 3x微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的 一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来， 成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌 的成果． （五） 课堂小结 、 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼 兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的 简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，计算时，注意积分的上下限及被 积函数的形式；遇见复杂形式的被积函数要进行转化。 、 （六） 练习 p85.1,3 作业 p85.6-3-八、教学反思整个是由特殊到一般，直观到抽象，这样一个合情推理的过程。让学生感知定积分的 基本思想，并不需要严格的证明。正是体现了新课标对学生现有认知结构的深刻认识，打破 了传统概念上由抽象到具体、 严格推理论证的模式。 让学生感受到用微积分基本定理计算定 。 积分的好处。-4-
4.2 微积分基本定理一、教材依据北师大版教材选修 2-2 第四章第二节微分基本定理二、设计思路 （1）指导思想让学生结合实际意义感受和理解微积分基本定理的推导过程， 力求揭示微积分基本定 理中蕴含的重要思想和这个定理的重要意义。（2）设计理念从数学上看，它建立了导数与定积分的联系。微积分基本定理的推导过程中体现了以 直代曲，以简单代复杂的思想。（3）教材分析本节的内容是微积分基本定理和它在求定积分中的应用。（4）学情分析⒈ 根据函数曲线图学生不难看出高度差h = F (b) − F (a )⒉由于学生刚学习了导数，知道导数的几何意义即为切线的斜率,即为k = F ′(x)⒊ 上一节中刚学习了“汽车行驶的路程”，学生明白路程的计算实际上是一个求定积分的过程，即对 F ′(x ) 的定积分。 ⒋ 让学生再一次感受小区间不断细分对近似程度的影响，如何通过逐步逼近而求出定积 分。三、教学目标知识与技能目标 使学生经历定理的发现过程， 直观了解微积分基本定理的含义和几何意义， 并理解导数 与定积分的互逆关系；通过计算两个简单的定积分，使学生体会微积分基本定理的优越性， 理解微积分在数学史上举足轻重的地位。 过程与方法 让学生能够体会微积分运动变化地思维方式和初等数学中静态的思维方式的区别， 并且 培养学生在探索过程中善于变通的思想，敢于挑战陈规的精神!通过实例体会用微积分基本 定理求定积分的方法 情感态度与价值观 揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲。 体会“以直代曲”——临渊 羡鱼，不如退而结网的思想。 感受用近似无限接近精确的方法。 。 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系， 使学生直观了解微积分 四、 教学重点 基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 教学难点 五、教学难点 了解微积分基本定理的含义 六、教学准备 尽管已是高中学生，但抽象的概念依然令学生望而生畏，因此着眼于个别实 例的研究，强调来龙去脉，淡化证明过程 七、教学过程 （一） 复习 1、定积分的概念。 、 2、定积分的几何意义。 3、定积分的性质。 （二） 引入新课 、-1-我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂， 所以不是求定积分的一般 方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。我们还是从爬山说起。 、探究 （三） 探究： 、探究： 探究一：感性认识微积分基本定理 探究一：感性认识微积分基本定理 如图，把地平面取作横坐标轴， 是爬山路线， 如图，把地平面取作横坐标轴，y=F(x)是爬山路线，并假定曲线 y=F(x)与 x 轴在同一平面 是爬山路线 与 是出发点,点 为山顶。 内，A 是出发点 点 B 为山顶。y B y=F(x) F E A O a x k x k+1 b x hF记在爬山路线的每一点(x， 等分， 在爬山路线的每一点 ，F(x))，山坡的斜率为 F ’(x)。将区间 ，b]n 等分， ， 。将区间[a，b−a ， 我们来分析每一小段所爬高度与这一小段所在直线的斜率的 △x= n关系。 不妨以[xk， k+1]为例， 是曲线过点 E 的切线， x 为例 EF 为例， 切线， 关系。 不妨以 其斜率为 F ’(xi), 于是 GF=F ’(xi)△x。在此段所爬高度 hk 为 GH，GH=F(xk+1)－ △ 。 ， － F(xk)。当△x 很小时 即 n 很大 k=GH≈GF. 很小时(即 很大)h 。 ≈EH hk G即 F(xk+1)－F(xk)≈F ’(xk)△x. － 这样，我们得到了一系列近似等式： 这样，我们得到了一系列近似等式： h1=F(a+△x)－F(a) ≈F ’(a)△x， △ － △ ， h2=F(a+2△x)－F(a+△x)≈F’(a+△x)△x, △ － △ ≈ △ △ h3=F(a+3△x)－F(a+2△x)≈F’(a+2△x)△x, △ － △ ≈ △ △ ………… hn－1=F[a+(n－1)△x]－[(a+(n－2)△x) － △ － － △ ≈F ’[a+(n－2))△x]△x， － △ △ ， hn=F(b)－F[a+(n－1)△x) － － △ ≈F ’[a+(n－1)△x]△x， － △ △ ， 个近似等式相加， 将上列 n 个近似等式相加，得到从 A 到 B 所爬的总高度 h=h1+h2+…… n=F(b)－F(a) ……+h …… －x k ∆ x x k+1≈∑n − 1F'( a + i ∆ x ) ∆ xi = 0由定积分定义可知： 由定积分定义可知：当△x→0 时， →∑n −1 i= 0F '( a + i ∆ x ) ∆ x →∫b aF '( x ) d x-2-这一公式告诉我们： 这一公式告诉我们：F ’(x)从 a 到 b 的积分等于 F(x)在两端点的取值之差 从 在两端点的取值之差 而求导数比求定积分容易得多。 世纪，牛顿和莱布尼茨找到两者之间的关系 找到两者之间的关系。 而求导数比求定积分容易得多。17 世纪，牛顿和莱布尼茨找到两者之间的关系。 探究二： 探究二：微积分基本定理 如 果 连 续 函 数 f (x ) 是 F (x ) 的 导 函 数 ， 即 f ( x ) = F ′( x ) ， 则 有∫baf ( x)dx = F (b) − F (a)定理中的式子称为牛顿-莱布尼茨公式，通常称 F (x ) 为 f (x ) 的原函数，于是牛顿 莱布 的原函数， 于是牛顿-莱布 定理中的式子称为牛顿 莱布尼茨公式， 莱布尼茨公式尼茨公式也可写作∫bab f ( x)dx = F ( x) = F (b) − F (a) a它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题， 是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系， 同时也 提供计算定积分的一种有效方法。 定理的条件中为什么指明“任一原函数”，而不是“所有原函数”？ 能否通过计算来说明？ 、典型例题 （四） 典型例题： 、典型例题： 例1. （求定积分转化为求原函数，常见被积函数类型有幂函数、指数函数、三角函数、 对数函数等；体会被积函数不同的积分）计算下列定积分； （1） ）∫ 2xdx01（2） ） （5） ）∫x012dx（3）∫ cos xdx01（4） ）∫e01xdx∫10x dx（定积分的几何意义探究，体会微分基本定理计算曲面面积的优越性） 例 2． ． （！ ）计算∫π0sin xdx（2）计算∫2π0sin xdx例 3.（把没见过的要转化为见过的，如：乘法分配律、变量分离、展开、降幂等） 求定积分∫21x 2 + x sin x − 1 dx 3x微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的 一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来， 成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌 的成果． （五） 课堂小结 、 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼 兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的 简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，计算时，注意积分的上下限及被 积函数的形式；遇见复杂形式的被积函数要进行转化。 、 （六） 练习 p85.1,3 作业 p85.6-3-八、教学反思整个是由特殊到一般，直观到抽象，这样一个合情推理的过程。让学生感知定积分的 基本思想，并不需要严格的证明。正是体现了新课标对学生现有认知结构的深刻认识，打破 了传统概念上由抽象到具体、 严格推理论证的模式。 让学生感受到用微积分基本定理计算定 。 积分的好处。-4-