用平移.旋转和轴对称几何问题

用平移、旋转和轴对称研究几何问题

学习旋转要解决的问题：

分三个层次①直接的旋转作图或者旋转关系的叙述；②增加干扰线段，隐含部分已知，主动发现旋转关系，并证明某些结论③需要添加辅助线，完善图形创造情境，进行证明。 要重视的问题：共顶点的等腰三角形的出现是实现旋转的情境；（辅助线添E

A加方向）

一、平移、旋转和轴对称在几何题中的应用

1．已知：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形.求证：BD⊥EC.

B

E

2．如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝45°，∠C＝20°，∠EAB＝30°，则∠D＝若AC、DE交于点F，则∠EFC＝ °.

B

3．如图，△ABC中，∠BAC=120º，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60º后到△ECD的位置.若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长.

CD

C

A

E

B

4．已知：如图，A、B、C在同一直线上，且ABE与BCD都是等边三角形，求证：ADCE.

拓展 如图1，点C为线段AB上一点，△ACM， △CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，BM、CN交于点F．

（1）求证：AN=BM；

（2）求证： △CEF为等边三角形；

（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90º，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．

AD

CBE

5．如图，已知正方形ABCD和BC边上一点E，将直角三角形ABE绕点B逆时针旋转90o，再沿BC方向平移，平移距离是线段BC的长度，请画出图形.并回答：旋转后三角形的斜边与AE有什么关系？为什么？

二、常见的利用平移、旋转和轴对称变换作的辅助线

几何问题中的辅助线是对同学们几何思维能力的考验，通过分析找到辅助线的添加方法，能够使几何问题简化，有助于问题的解决.同时，通过研究平面几何的辅助线的添加方法，能够锻炼同学们分类研究问题的能力.平面几何的辅助线有一定的规律，而这些规律大多与几何图形的三种变换有关，下面我们就来研究常见辅助线与几何图形变换的关系.

1．（三角形的倍长中线）已知：在△ABC中，AB=AC，CD是中线，延长AB到E，使BE=AB，连结CE.求证：CD=

DC

E

E

C

E

C

1

CE. 2

拓展1 如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围． 提示：延长AD至A＇，使A＇D＝AD，连结BA＇．根据“SAS”易证△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．这样将AC转移到△A＇BA中，根据三角形三边关系定理可解．

拓展2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．求证：DF=EF． 提示：此题辅助线作法较多，如： ①作DG∥AE交BC于G； ②作EH∥BA交BC的延长线于H；

再通过证三角形全等得DF＝EF． 2．（三角形的翻折角平分线）已知：在ABC中，B2C，AD是BAC的平分线. 求证：ABBDAC.

A

B

D

C

拓展1 如图，已知：在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，P是AD上任意一点. 求证：ABACPBPC.

A

B

D



拓展2 已知：ΔABC中，∠A=90，AD是BC边上的高，BE是角平分线，且交AD于P.求证：AE=AP.

A

P

B

D

C

3．（梯形的线段倍长）已知：梯形ABCD中，AD//BC，E是DC的中点，AE平分∠BAD．求证：AB=AD+BC．

A

D

E

B

C

拓展1 如图，已知：在梯形ABCD中，AB//CD，∠ADC=90º，F为BC的中点，∠AFC=3∠BAF.求证：CD=CF. A

B

F

拓展2 已知：直角梯形ABCD中，AB//DC，AB⊥AD，F为BC的中点，CF=DC．求证：∠AFC=3∠BAF． A

B

DC

F

DC

拓展3 已知：如图5，在梯形ABCD中，AD//BC,M、N分别是BD、AC的中点。求

证：MN//BC,MN

1

(BCAD)。 2

AD

4．（正方形中的三角形旋转）已知：如图E是正方形ABCD边BC上任意一点，AF平分角EAD交CD于F，试说明BE+DF=AE.

F

拓展1如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有BEDFEF. 求：EAF的度数. A

D

F

B

拓展2如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有EAF＝45. 求证：BEDFEF. A

D

EC

F

B

拓展3如图，正方形ABCD边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，若△APQ的周长为2．求∠PCQ的大小． C

B

EC

P

拓展4如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC上的点，且∠EAF=45º，AH⊥EF．求证：AH=AB． A

D

DQA

ED

F

G

B

E

P

H

F

C

拓展5如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍．试确定∠HAF的大小，写出推导的过程．

A

5．（三角形的辅助线旋转）已知，如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 .求证：DE的长. BC

拓展1 如图，在等腰三角形ABC中，P是三角形内的一点，且∠APB=∠APC．求证PB=PC．

A

P

B

拓展2 △ABC中，AB=AC，D是三角形内一点，若∠ADB＞∠ADC．求证∠DBC＞∠DCB．

C

B

C

分析 将△ABC以A为中心逆时针旋转一角度∠BAC，到△ACE的位置．连DE，由∠ADB＞∠ADC， 得 ∠AEC＞∠ADC．又 ∠ADE=∠AED，相减，得 ∠DEC＞∠EDC． ∴ CD＞CE．

即 CD＞BD，从而∠DBC＞∠DCB．

拓展3 若P为正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135°．

分析 利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1， PB=2，PC=3．绕B点顺时针旋转90º，使△CBP到△ABE的位置，这时BE=2，AE=3，∠PBE=90º→PE=22，∠BPE=45º。又

AP2PE2189AE2

∴ ∠APE=90°． 于是 ∠APB=135°．

拓展4 在等边三角形内有一点P．连接P与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长.25＋133）

C

A

B

P

A

B

分析 将△CPB旋转到△AP`B，连接PP`，延长BP，过A作AD⊥BD.易知△APP`是直角三角形，因为∠BPP`=60º，所以∠APD=30º，则AD=2，DP=2.

6．（轴对称变换（翻折问题））

（1）如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C`处，BC`交AD于E，AD=8，AB=4.求△BED的面积．

（2）如图，将边长为12厘米的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG．若FG的长为13厘米.求线段CE的长． A

F

DE

B

G

C

（3）如图，点M、N为矩形ABCD一组对边的中点，将矩形的一角向内折叠，使点B落在直线MN上，得到落点B`和折痕AE，延长EB`交AD于F.判断△AEF是什么三角形，并说明理由．

（4）把一张正方形纸片ABCD从中间对折后仍然摊平，得折痕为EF，如图（1）所示．接着，使点C不动，把B点处的纸向右上方折起来使B点落在EF上，得落点为B`，折痕为GC，如图（2）所示．连AB`，问图中∠GAB`是多少度？求∠GAB'相当于求∠AB'E

显然三角形CGB和三角形CGB'是全等的，因为是对折得到的， 所以CB'=CB=1/2CF

又因为EF垂直于BC，所以∠FB'C=30°

假设正方形边长为1，算出B'F=（根号3）/2 所以B'E=1-（根号3）/2

所以tan∠AB'E=AE/B'E=(1/2)÷(1-（根号3）/2)=2+根号3 所以∠AB'E=75°=∠GAB'

7．（梯形的平移辅助线）

（1） 已知：如图2，在梯形ABCD中，AB//CD,A60,ADBCDC．求证：AB2CD．

（2）已知：如图3，在梯形ABCD中，AB//CD,ACBD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．

（3）已知：如图7，在梯形ABCD中，AB//CD,AB90,M、N分别是DC、AB的中点．求证：

MN

1

(ABCD)．

2

几何综合

1．如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，tanB2. （1）求证：AD=AE；

（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF. 求证：DFEF2AF；

（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.

A A D D

B

E

图1

C

B P

E

图2

C

B E

图3

C

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y3x3的图象与x轴交于点A，

与y轴交于点B，点C的坐标为（3,0），连结BC．

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点D，分别连结EA、EP．

①若CP＝6，直接写出∠AEP的度数；

②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ADP的度数；

（3）在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度． EC与AP于点F，设△AEF的面积为S1，△CFP的面积为S2，

y＝S1－S2，运动时间为t（t>0）秒时，求y关于t的函数关系式．

3．已知：如图1，点P在线段AB上（AP＞PB），C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，正方形CPFG和正方形PDHK在直线AB同侧． （1）求证：△EHG是等腰直角三角形； （2）若将图1中的射线PB连同正方形PDHK绕点P顺时针旋转一个角度后，其它已知

条件不变，如图2，判断△EHG还是等腰直角三角形吗？请说明理由．

4．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点. （1）求证：ME=MF；

（2）若将原题中的正方形改为矩形，且BC2AB4，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系.

AD

AD

M

QCB

BC

N

5. 如图10-1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①请直接写出图10-1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；

②将图10-1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图10-2、如图10-3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图10-2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图10-4～10-6），且ABa,BCb,CEka,CGkb (ab,k0) ，试判断（1）①中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明.

（3）在图10-5中，连结DG、BE，且a

4,b2,k

1

，则

BE2DG2= ． 2

1．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是BC边上任意一点，把正方形沿着GH折叠，使A与E重合，D与D’重合，ED’与边CD交于点F。

（1）当点E为BC边中点时，求⊿ECF的周长？连结AE，AF，求∠EAF的度数？

（2）当点E在BC边上运动时，（1）中的结论变化吗？试说明理由。

2．已知正方形纸片ABCD的边长为2．

操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB

边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G． 探究：（1）观察操作结果，找到一个与△EDP相似的三角形，并证明你的结论；

（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与△EDP周长的比是多少（图2为备用图）？

DAAD

P

BBCFG

Q

图2图1

3．几何模型：

条件如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于点P，则PAPBAB的值最小（不必证明）． 模型应用：

（1） 如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，

B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PBPE的最小值是___________；

⊙O的半径为2，B、C（2） 如图2，点A、

的最小值是___________；

OAOB，AOC60°，P是OB 上一动点，在⊙O上，则PAPC

（3）如图3，AOB45°，P是AOB内一点，PO10，Q、R分别是OA、OB上

的动点，则△PQR周长的最小值是___________．

4．如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，AB∥x轴， B（3， ），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，∠OAD=30°．折叠后，点O落在点O1，点C落在点C1，并且DO1与DC1在同一直线上．

（1）求折痕AD 所在直线的解析式；

（2）求经过三点O，C1，C的抛物线的解析式；

（3）若⊙P的半径为r，圆心P在直线AD上，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值．

l P A B

图1 C P A C B 图2 B P A AQ 图3

11

用平移、旋转和轴对称研究几何问题

学习旋转要解决的问题：

分三个层次①直接的旋转作图或者旋转关系的叙述；②增加干扰线段，隐含部分已知，主动发现旋转关系，并证明某些结论③需要添加辅助线，完善图形创造情境，进行证明。 要重视的问题：共顶点的等腰三角形的出现是实现旋转的情境；（辅助线添E

A加方向）

一、平移、旋转和轴对称在几何题中的应用

1．已知：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形.求证：BD⊥EC.

B

E

2．如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝45°，∠C＝20°，∠EAB＝30°，则∠D＝若AC、DE交于点F，则∠EFC＝ °.

B

3．如图，△ABC中，∠BAC=120º，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60º后到△ECD的位置.若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长.

CD

C

A

E

B

4．已知：如图，A、B、C在同一直线上，且ABE与BCD都是等边三角形，求证：ADCE.

拓展 如图1，点C为线段AB上一点，△ACM， △CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，BM、CN交于点F．

（1）求证：AN=BM；

（2）求证： △CEF为等边三角形；

（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90º，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．

AD

CBE

5．如图，已知正方形ABCD和BC边上一点E，将直角三角形ABE绕点B逆时针旋转90o，再沿BC方向平移，平移距离是线段BC的长度，请画出图形.并回答：旋转后三角形的斜边与AE有什么关系？为什么？

二、常见的利用平移、旋转和轴对称变换作的辅助线

几何问题中的辅助线是对同学们几何思维能力的考验，通过分析找到辅助线的添加方法，能够使几何问题简化，有助于问题的解决.同时，通过研究平面几何的辅助线的添加方法，能够锻炼同学们分类研究问题的能力.平面几何的辅助线有一定的规律，而这些规律大多与几何图形的三种变换有关，下面我们就来研究常见辅助线与几何图形变换的关系.

1．（三角形的倍长中线）已知：在△ABC中，AB=AC，CD是中线，延长AB到E，使BE=AB，连结CE.求证：CD=

DC

E

E

C

E

C

1

CE. 2

拓展1 如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围． 提示：延长AD至A＇，使A＇D＝AD，连结BA＇．根据“SAS”易证△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．这样将AC转移到△A＇BA中，根据三角形三边关系定理可解．

拓展2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．求证：DF=EF． 提示：此题辅助线作法较多，如： ①作DG∥AE交BC于G； ②作EH∥BA交BC的延长线于H；

再通过证三角形全等得DF＝EF． 2．（三角形的翻折角平分线）已知：在ABC中，B2C，AD是BAC的平分线. 求证：ABBDAC.

A

B

D

C

拓展1 如图，已知：在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，P是AD上任意一点. 求证：ABACPBPC.

A

B

D



拓展2 已知：ΔABC中，∠A=90，AD是BC边上的高，BE是角平分线，且交AD于P.求证：AE=AP.

A

P

B

D

C

3．（梯形的线段倍长）已知：梯形ABCD中，AD//BC，E是DC的中点，AE平分∠BAD．求证：AB=AD+BC．

A

D

E

B

C

拓展1 如图，已知：在梯形ABCD中，AB//CD，∠ADC=90º，F为BC的中点，∠AFC=3∠BAF.求证：CD=CF. A

B

F

拓展2 已知：直角梯形ABCD中，AB//DC，AB⊥AD，F为BC的中点，CF=DC．求证：∠AFC=3∠BAF． A

B

DC

F

DC

拓展3 已知：如图5，在梯形ABCD中，AD//BC,M、N分别是BD、AC的中点。求

证：MN//BC,MN

1

(BCAD)。 2

AD

4．（正方形中的三角形旋转）已知：如图E是正方形ABCD边BC上任意一点，AF平分角EAD交CD于F，试说明BE+DF=AE.

F

拓展1如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有BEDFEF. 求：EAF的度数. A

D

F

B

拓展2如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有EAF＝45. 求证：BEDFEF. A

D

EC

F

B

拓展3如图，正方形ABCD边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，若△APQ的周长为2．求∠PCQ的大小． C

B

EC

P

拓展4如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC上的点，且∠EAF=45º，AH⊥EF．求证：AH=AB． A

D

DQA

ED

F

G

B

E

P

H

F

C

拓展5如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍．试确定∠HAF的大小，写出推导的过程．

A

5．（三角形的辅助线旋转）已知，如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 .求证：DE的长. BC

拓展1 如图，在等腰三角形ABC中，P是三角形内的一点，且∠APB=∠APC．求证PB=PC．

A

P

B

拓展2 △ABC中，AB=AC，D是三角形内一点，若∠ADB＞∠ADC．求证∠DBC＞∠DCB．

C

B

C

分析 将△ABC以A为中心逆时针旋转一角度∠BAC，到△ACE的位置．连DE，由∠ADB＞∠ADC， 得 ∠AEC＞∠ADC．又 ∠ADE=∠AED，相减，得 ∠DEC＞∠EDC． ∴ CD＞CE．

即 CD＞BD，从而∠DBC＞∠DCB．

拓展3 若P为正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135°．

分析 利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1， PB=2，PC=3．绕B点顺时针旋转90º，使△CBP到△ABE的位置，这时BE=2，AE=3，∠PBE=90º→PE=22，∠BPE=45º。又

AP2PE2189AE2

∴ ∠APE=90°． 于是 ∠APB=135°．

拓展4 在等边三角形内有一点P．连接P与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长.25＋133）

C

A

B

P

A

B

分析 将△CPB旋转到△AP`B，连接PP`，延长BP，过A作AD⊥BD.易知△APP`是直角三角形，因为∠BPP`=60º，所以∠APD=30º，则AD=2，DP=2.

6．（轴对称变换（翻折问题））

（1）如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C`处，BC`交AD于E，AD=8，AB=4.求△BED的面积．

（2）如图，将边长为12厘米的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG．若FG的长为13厘米.求线段CE的长． A

F

DE

B

G

C

（3）如图，点M、N为矩形ABCD一组对边的中点，将矩形的一角向内折叠，使点B落在直线MN上，得到落点B`和折痕AE，延长EB`交AD于F.判断△AEF是什么三角形，并说明理由．

（4）把一张正方形纸片ABCD从中间对折后仍然摊平，得折痕为EF，如图（1）所示．接着，使点C不动，把B点处的纸向右上方折起来使B点落在EF上，得落点为B`，折痕为GC，如图（2）所示．连AB`，问图中∠GAB`是多少度？求∠GAB'相当于求∠AB'E

显然三角形CGB和三角形CGB'是全等的，因为是对折得到的， 所以CB'=CB=1/2CF

又因为EF垂直于BC，所以∠FB'C=30°

假设正方形边长为1，算出B'F=（根号3）/2 所以B'E=1-（根号3）/2

所以tan∠AB'E=AE/B'E=(1/2)÷(1-（根号3）/2)=2+根号3 所以∠AB'E=75°=∠GAB'

7．（梯形的平移辅助线）

（1） 已知：如图2，在梯形ABCD中，AB//CD,A60,ADBCDC．求证：AB2CD．

（2）已知：如图3，在梯形ABCD中，AB//CD,ACBD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．

（3）已知：如图7，在梯形ABCD中，AB//CD,AB90,M、N分别是DC、AB的中点．求证：

MN

1

(ABCD)．

2

几何综合

1．如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，tanB2. （1）求证：AD=AE；

（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF. 求证：DFEF2AF；

（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.

A A D D

B

E

图1

C

B P

E

图2

C

B E

图3

C

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y3x3的图象与x轴交于点A，

与y轴交于点B，点C的坐标为（3,0），连结BC．

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点D，分别连结EA、EP．

①若CP＝6，直接写出∠AEP的度数；

②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ADP的度数；

（3）在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度． EC与AP于点F，设△AEF的面积为S1，△CFP的面积为S2，

y＝S1－S2，运动时间为t（t>0）秒时，求y关于t的函数关系式．

3．已知：如图1，点P在线段AB上（AP＞PB），C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，正方形CPFG和正方形PDHK在直线AB同侧． （1）求证：△EHG是等腰直角三角形； （2）若将图1中的射线PB连同正方形PDHK绕点P顺时针旋转一个角度后，其它已知

条件不变，如图2，判断△EHG还是等腰直角三角形吗？请说明理由．

4．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点. （1）求证：ME=MF；

（2）若将原题中的正方形改为矩形，且BC2AB4，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系.

AD

AD

M

QCB

BC

N

5. 如图10-1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①请直接写出图10-1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；

②将图10-1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图10-2、如图10-3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图10-2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图10-4～10-6），且ABa,BCb,CEka,CGkb (ab,k0) ，试判断（1）①中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明.

（3）在图10-5中，连结DG、BE，且a

4,b2,k

1

，则

BE2DG2= ． 2

1．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是BC边上任意一点，把正方形沿着GH折叠，使A与E重合，D与D’重合，ED’与边CD交于点F。

（1）当点E为BC边中点时，求⊿ECF的周长？连结AE，AF，求∠EAF的度数？

（2）当点E在BC边上运动时，（1）中的结论变化吗？试说明理由。

2．已知正方形纸片ABCD的边长为2．

操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB

边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G． 探究：（1）观察操作结果，找到一个与△EDP相似的三角形，并证明你的结论；

（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与△EDP周长的比是多少（图2为备用图）？

DAAD

P

BBCFG

Q

图2图1

3．几何模型：

条件如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于点P，则PAPBAB的值最小（不必证明）． 模型应用：

（1） 如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，

B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PBPE的最小值是___________；

⊙O的半径为2，B、C（2） 如图2，点A、

的最小值是___________；

OAOB，AOC60°，P是OB 上一动点，在⊙O上，则PAPC

（3）如图3，AOB45°，P是AOB内一点，PO10，Q、R分别是OA、OB上

的动点，则△PQR周长的最小值是___________．

4．如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，AB∥x轴， B（3， ），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，∠OAD=30°．折叠后，点O落在点O1，点C落在点C1，并且DO1与DC1在同一直线上．

（1）求折痕AD 所在直线的解析式；

（2）求经过三点O，C1，C的抛物线的解析式；

（3）若⊙P的半径为r，圆心P在直线AD上，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值．

l P A B

图1 C P A C B 图2 B P A AQ 图3

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