第二章 连续时间系统的时域分析
§2-1 引 言
线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。
一、建立数学模型
主要应用《电路分析》课程中建立在KCL 和KVL 基础上的各种方法。
线性时不变系统的微分方程的一般形式可以为：
d n d n -1d r (t ) +a n -1n -1r (t ) +... +a 1r (t ) +a 0r (t ) n dt dt dt
d m d m -1d =b m m e (t ) +b m -1m -1e (t ) +... +b 1e (t ) +b 0e (t ) dt dt dt
二、求解（时域解）
1、时域法
将响应分为通解和特解两部分：
1） 通解：通过方程左边部分对应的特征方程所得
到的特征频率，解得的系统的自然响应（或自由响应）；
2） 特解：由激励项得到系统的受迫响应；
3） 代入初始条件，确定通解和特解中的待定系
数。
经典解法在激励信号形式简单时求解比较简单，但是激励信号形式比较复杂时求解就不容易，这时候很难确定特解的形式。
2、卷积法（或近代时域法，算子法）
这种方法将响应分为两个部分，分别求解：
1）零输入响应：系统在没有输入激励的情况下，仅仅由系统的初始状态引起的响应r zi (t ) ；
2）零状态响应: 状态为零（没有初始储能）的条件下，仅仅由输入信号引起的响应r zs (t ) 。
● 系统的零输入响应可以用经典法求解，在其中只有自然响应部分；
● 系统的零状态响应也可以用经典法求解，但是用卷积积分法更加方便。借助于计算机数值计算，可以求出任意信号激励下的响应（数值解）。 ● 卷积法要求激励信号是一个有始信号，否则无
法确定初始状态。
● 零输入响应与自然响应、零状态响应与受迫响应之间并不相等，具体对比见§2-9
经典法在高等数学中已有详细介绍。本课程中重点介绍近代时域法。
§2-2 系统微分方程的算子表示
一、算子
通过微分算子可以简化微分方程的表示。 n d d n p =p =n ， 微分算子：令，dt dt
t 1
积分算子：p () =⎰-∞() d τ
● 利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为：
di L u L =L =L ⋅p ⋅i L dt 1t 1u C =⎰i C d τ=⋅i C -∞C C ⋅p
即可以将电感和电容记成阻值为L ⋅p 和
1
C ⋅p 的电阻，即感抗和容抗。
利用算子可以将线性时不变系统的微分方程： d n d n -1d r (t ) +a n -1n -1r (t ) +... +a 1r (t ) +a 0r (t ) n dt dt dt
d m d m -1d =b m m e (t ) +b m -1m -1e (t ) +... +b 1e (t ) +b 0e (t ) dt dt dt
表示为：
p n r (t ) +a n -1p n -1r (t ) +... +a 1pr (t ) +a 0r (t ) =b m p e (t ) +b m -1p m m -1e (t ) +... +b 1pe (t ) +b 0e (t ) 按照代数运算法则，提取公因子，可以将上式简化为：
(p n +a n -1p n -1+... +a 1p +a 0) r (t ) =
(b m p m +b m -1p m -1+... +b 1p +b 0) e (t )
或进一步简化为：
(b m p m +b m -1p m -1+... +b 1p +b 0) r (t ) =e (t ) n n -1(p +a n -1p +... +a 1p +a 0)
定义：
(b m p m +b m -1p m -1+... +b 1p +b 0) N (p ) H (p ) ==n n -1(p +a n -1p +... +a 1p +a 0) D (p ) 则：
r (t ) =H (p ) e (t )
注意上面只是微分方程的一种简单记法，并不代表能进行这样的计算。
二、算子运算法则
1、mp +np =(m +n ) p ，其中m,n 为任意常数。
m n m +n p p =p 2、, 其中m,n 同为任意正整数（或负整数）。
1
3、p p x =x ，
但是：
1
1）p px 不一定等于x —— 微分和积分的
次序不能交换：
1d t p x =⎰-∞x d τ=x ， p dt
但是：
t ⎛dx ⎫1px =⎰-∞ ⎪d τ=x (t )-x (-∞) p ⎝dt ⎭t =τ
即，
11p x ≠px p p
2）如果px (t ) =py (t ) , 不一定能够推出
x (t ) =y (t ) ，只能得到x (t ) =y (t ) +C ，即等式两边的公共因子不能抵消。
可见，大部分代数运算法则可以使用，但是有一些不能用。
§2-3 系统的零输入响应
零输入响应是下列齐次方程的解：
D (p ) r (t ) =(p n +a n -1p n -1+... +a 1p +a 0) r (t ) =0对它有两种解法：
1）经典解法
2）等效源法（或初始条件法）
一、经典解法
用经典法求解零输入响应由如下两步构成：
1、确定系统的自然频率：
令D(p)=0，将p 看成一个代数量，解得其n 个特征根λ1, λ2,..., λn 。
2、确定零输入响应的形式解：
1）如果D(p)=0俱为单根时，则可以确定其形式解为：
r zi (t ) =C 1e λ1t +C 2e λ2t +... +C n e λn t =∑C i e λi t i =1n 其中C 1, C 2,..., C n 为待定常数。
2）如果D(p)=0有重根时，假设λ1是一个k 重根， 即λ1=λ2=... =λk ，则形式解为： r zi (t ) =C 1e λ1t +C 2te λ1t +C 3t 2e λ1t +... +C k t k -1e λ1t
+C k +1e λk +1t +... +C n e λn t
=∑C i t i -1e λ1t +
i =1k i =k +1λi t C e ∑i n
3、根据初始条件，确定待定系数：
一般的初始条件为已知零时刻的响应及其各
(n -1) r (0), r ' (0), r ' ' (0),..., r (0) ，阶导数代入形式解
中就可以确定待定系数。
当D(p)=0俱为单根时：
r (0) =C 1+C 2+... +C n
r ' (0) =λ1C 1+λ2C 2+... +λn C n
r ' ' (0) =λ1C 1+λ2C 2+... +λn C n
.......... ..
r (n -1) (0) =λ1(n -1) 222C 1+λ2(n -1) C 2+... +λn (n -1) C n 由上面的n 个方程就可以确定n 个待定系数。 或者记为矩阵形式：
11⎡r (0) ⎤⎡1⎢r ' (0) ⎥⎢λλ2λ3⎢⎥⎢1
2⎢r ' ' (0) ⎥=⎢λ1λ22λ32⎢⎥⎢ ⎢ ⎥⎢
n -1n -1n -1(n -1) ⎢⎢⎥λn λn (0) ⎦⎣λn ⎣r
⎤⎡C 1⎤⎢C ⎥λn ⎥2⎥⎥⎢λn 22⎥⎢C 3⎥⎥⎢⎥ ⎥⎢ ⎥n -1⎥λn ⎦⎢⎣C n ⎥⎦1
其它形式的初始条件，以及特征方程中有重根的情况下的待定系数也可以用相似的方法和过程解出。
举例：
例1． 已知系统的转移算子及未加激励时的初
始条件是：
p +3H (p )=2, r (0)=1, r '(0)=2， p +3p +2
求系统的零输入响应并指出其自然频率。 解:
p 2+3p +2=0，
(p +1)(p +2)=0，
p 1=-1，
p 2=-2。
所以, 零输入响应的形式为:
r (t )=c 1e -t +c 2e -2t
求c 1、c 2：
r (t )=(c 1e +c 2e ' -t -2t ' )=-c 1e -t -2c 2e -2t ，
⎧r (0)=c 1+c 2=1 ⎨' ⎩r (0)=-c 1-2c 2=2
解得：
c 1=4, c 2=-3,
得，
r (t )=4e -t -3e -2t ，
自然频率分别为：λ1=-1, λ2=-2。
二、等效源法
这种方法将初始条件看成是一个在t=0的瞬间加上的激励源（阶跃或冲激），然后将系统的初始条件归为零，从而将求解零输入响应的问题转化为求解零状态响应的问题。这在后面求解零状态响应中一并处理。
等效源法将在时域解法中用得不是很多，本课程将在Ch5中介绍其原理。
小结：
系统零输入响应的时域求解方法就是经典的齐次微分方程的解法。
习题：①. 2.3(1)-图P2-3(a); ②.2.4(3)。
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以下内容涉及到系统零状态响应的求解过程，为了叙述的清楚起见，我们这里先简单了解其求解的基本思路。
系统零状态响应的求解过程
求解零状态响应的基本思想：
1） 将任意信号分解为一系列“标准统一”的
子信号之和（或积分）；
2） 求线性系统对各个子信号的响应；
3） 将各子信号的响应相叠加，从而得到系统
对激励信号的响应。这其中利用到了线性系统的齐次性和叠加性。
为了求解线性系统的零状态响应，必须解决以下几个问题：
1）选取什么样的子信号？
2）如何将信号分解为子信号的和或积分？
3）如何求系统对子信号的响应？
4）如何求得最后的响应？
在下面的各节中，我们将就上面的问题一一进行讨论。其中，§2-4介绍了时域分解法中使用的子信号；§2-5介绍如何将任意信号分解为子信号之和；§2-6介绍如何求子信号的响应；§2-7～§2-9介绍如何通过叠加，从而求出系统的响应。
§2-4 奇异函数
本节解决的是时域法中子信号选取问题。子信号的选取对系统分析至关重要。为了利于分析，要求子信号具有：
1）完备性：任意函数（或绝大部分函数）都可
以分解为该子信号的和，没有（或几乎没有）例外；
2）简单性：容易求得系统对该子信号的响应； 3）相似性：不同子信号的响应具有内在联系，
可以类推。
奇异函数是一种理想化的函数，这些函数或其各阶导数具有一个或多个间断点，在这些间断点上的导数无法用一般方法确定。常用的有阶跃
函数和冲激函数。
1、阶跃函数ε(t )
⎧1ε(t ) =⎨
⎩0
t ≥0其它
其中t 1>0。
任意函数乘以ε(t ) 以后，其t
在很多文献中，用u(t)表示阶跃函数。
2、冲激函数δ(t )
冲激函数的图形表示方法：位置，强度。
其中t 1>0。
冲激函数有很多种定义方法。常见的有两种：
d
ε(t ) 1）定义为ε(t ) 的导数：δ(t ) =dt
● 显然，该函数只在t=0处为非零值，其它各处都为零；
● ε(t ) 和δ(t ) 互为微分和积分
ε(t ) =⎰δ(τ) d τ
-∞
δ(t ) 的几个特性：
●
+∞
t
⎰δ(τ) d τ=1；δ(τ) =0, t ≠0时。 -∞
● δ(t ) =δ(-t ) ——冲激函数是一个偶函数 ● δ(t ) f (t ) =δ(t ) f (0) ，
或：δ(t -t 0) f (t ) =δ(t -t 0) f (t 0) ●
⎰
+∞
-∞
f (t ) δ(t ) dt =f (0)
或：
⎰
+∞
-∞
f (t ) δ(t -t 0) dt =f (t 0)
——该特性被称为冲激函数的取样特性
2）定义为分配函数
这是冲激函数的另外一种定义方法，它通过该函数对另外一个函数的作用来定义这个函数，利用上面的冲激函数的抽样特性作为冲激函数的定义，即：对于任意的函数f(t),使满足公式
⎰
+∞
-∞
f (t ) δ(t -t 0) dt =f (t 0)
性质的函数被称为冲激函数。
参见本章附录。这种定义在数学上比较严格，但是难于理解。
冲激函数的推广：冲激偶……
举例：
例1． 计算f (t )=(3t +1)δ(1-t )。
解：由于δ(t ) =δ(-t ) ，δ(t -t 0) f (t ) =δ(t -t 0) f (t 0) ，则有：
1
(3t +1) δ(1-t ) =(3t +1) δ⎡⎣-(t -1)⎤⎦=(3t +1) -δ(t -1)=4δ(t -1)
例2．计算f (t )=⎰cos πt δ(2-2t )dt 。
-∞∞
解：由于⎰
∞
-∞
f (t ) δ(t ) dt =f (0)，则有：
1
⎰-∞cos πt δ(2-2t ) dt =⎰-∞cos πt δ[-2(t -1)]dt =-2。
∞
∞
例3．计算解：
π⎫⎛
cos 3t -⎪δ(t )dt 。
⎰-∞ 4⎭⎝
∞
π⎫π⎫⎛⎛⎛π⎫
。 3t -⎪δ(t ) dt =cos 3t -⎪t =0=cos ⎪=⎰-∞cos 4⎭4⎭⎝⎝⎝4⎭2
10π⎫⎛
例4．计算⎰sin 2t +⎪δ(t +π)dt ；
02⎭⎝
π⎫10⎛
解：⎰0sin 2t +⎪δ(t +π)dt =0。
2⎭⎝
∞
例5．计算⎰e -2t ⎡⎣δ'(t )+δ(t )⎤⎦dt 。
-∞
∞
解：原式=-e
()
-2t
'
t =0
+e -2t
t =0
=2+1=3
b b ⎛b udv =⎫-vdu uv ⎰a ⎪⎰a a ⎝⎭
§2-5 信号的时域分解
在近代时域法中使用的子信号是阶跃函数和冲激函数。本节讨论如何将信号分解为冲激函数和阶跃函数的和（或积分）。
一、任意有始函数表示为阶跃信号的和（积分）
任意信号近似表示为阶跃函数的子信号为：
f 0(t ) =f (0) ε(t )
f 1(t ) =∆f 1(t )ε(t -∆t ) =[f (∆t ) -f (0) ]ε(t -∆t )
f (∆t ) -f (0) =ε(t -∆t ) ∆t
∆t
∶ ∶ ∶
f k (t ) =[f (k ∆t ) -f ((k -1) ∆t )]ε(t -k ∆t )
f (k ∆t ) -f ((k -1) ∆t )=ε(t -k ∆t )∆t
∆t
∶ ∶ ∶
总和为：
f (t ) ≈f a (t ) =f 0(t ) +f 1(t ) +...... +f k (t ) +......
f (∆t ) -f (0)f (2∆t ) -f (∆t )=f （0）ε(t ) +ε(t -∆t ) ∆t +
∆t ∆t f (k ∆t ) -f ((k -1) ∆t ) ε(t -2∆t ) ∆t +...... +ε(t -k ∆t )∆t +......
∆t
n
f (k ∆t ) -f ((k -1) ∆t ) =f （0）ε(t ) +∑ε(t -k ∆t )∆t
∆t k =1
令∆t →d τ(或0) ，则：
f (k ∆t ) -f ((k -1) ∆t )ε(t -k ∆t )=f ' (k ∆t ) ε(t -k ∆t )
∆t
f (t ) =f (0) ε(t ) +⎰+f ' (τ) ε(t -τ) d τ
● 这里，因为在t=0时发生状态的跳变，所以必须对t=0左右的状态加以区分，这就引出了两
-+
00个特殊的时刻：——起始状态；——初
t
始状态；
● 如果f (t)在t =0处连续可导，上式可以简化为：
f (t ) =⎰-f ' (τ) ε(t -τ) d τ 0
● 这种分析方法在六十年代应用比较广泛，其时冲激函数没有得到应用。由于它需要计算函数的导数，比较麻烦，现在，冲激函数应用以后，这种分解方法就很少应用了。
t
二、任意函数表示为冲激函数之和（积分）
将任意函数近似表示为一系列矩性脉冲函数之和，定义：
⎧1u τ(t ) =⎨
⎩0
0
则：f 0(t ) =f (0) u ∆t (t )
f 1(t ) =f (∆t ) u ∆t (t -∆t ) f 2(t ) =f (2∆t ) u ∆t (t -2∆t )
…………
f k (t ) =f (k ∆t ) u ∆t (t -k ∆t )
…………
求和，可得：
f (t ) ≈f b (t ) =f 0(t ) +f 1(t ) +...... +f k (t ) +......
=f (0) u ∆t (t ) +f (∆t ) u ∆t (t -∆t ) +...... +f (k ∆t ) u ∆t (t -k ∆t ) +......
u ∆t (t ) u ∆t (t -∆t ) =f (0) ∆t +f (∆t ) ∆t +......
∆t ∆t u ∆t (t -k ∆t )
+f (k ∆t ) ∆t +......
∆t
n
u ∆t (t -k ∆t )
=∑f (k ∆t ) ∆t
∆t k =0
令∆t →d τ(或0) ，则
u ∆t (t -k ∆t )
→δ(t -k ∆t )
∆t
f (t ) =⎰0f (τ) δ(t -τ) d τ
t
这个公式实际上可以直接从冲激函数的定义
或性质中推导出，但是上面的推导更利于观察其含义。
● 这种分解不仅可以用于有始信号，也可以用于一般信号，这时候公式可以改写成为： f (t ) =
⎰
+∞
-∞
f (τ) δ(t -τ) d τ
这个公式更具有普遍性。
● 公式中的积分上限也可以从t 改为∞，这样不会影响结果。这时候公式为：
f (t ) =⎰0f (τ) δ(t -τ) d τ
习题：①.2.5（1）；②2.7(1)(4)。
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§2-6 阶跃响应和冲激响应
一、定义
阶跃响应：系统对阶跃信号的零状态响应； 冲激响应：系统对冲激信号的零状态响应；
● 一般用h (t ) 表示系统的冲激响应，r ε(t ) 表示
∞
阶跃响应；
● 系统的冲激响应和阶跃响应之间有对应关系：
d t
h (t ) =r (t ) ε 或 r ε(t ) =⎰0-h (τ) d τ
dt
所以两者只要知道其一就可以了。
● 如前所述，现在很少将信号分解为阶跃信号，所以一般没有必要求阶跃响应，只要求冲激响应就可以了。
二、系统冲激响应的求解方法
根据前面对信号的分解，有：
f (t ) =⎰f (τ) δ(t -τ) d τ
-∞
+∞
信号可以分解为多个冲激信号f (τ) δ(t -τ) 的积分。如果知道信号对δ(t ) 的响应，利用线性移不变系统的线性和移不变特性，就可以得到系统对任意子信号f (τ) δ(t -τ) 的响应，从而就可以得到系统对整个信号的响应。
求解系统冲激响应的方法有：
1）系统方程法：根据微分方程求解。书上P46页
介绍了这种方法。
2）系数平衡法：比较等式两边相同函数的系数，
得到解答。书中的例题(2-3、2-4、2-5) 中都使用了这种方法。
+03）初始条件法：将冲激激励转化成时刻的初始
条件，然后利用零输入响应的求解方法求解。例题2-4中介绍了这种算法。
4）LT 变换法：利用拉普拉斯变换求解。这种方法
最简单。在后面Ch5中介绍。
本节中重点介绍系统方程法。
三、冲激响应的系统方程求解方法——系统方程法(或Heaviside 部分分式分解方法) 1、一阶系统的冲激响应的求解
用算子表示的形式为：
k
h (t ) =δ(t ) ，
p -λ
h (t ) (p -λ)=k δ(t ) ， h (t ) p -h (t ) λ=k δ(t ) ，
h ' (t ) -λh (t ) =k δ(t ) ，
-λt e 微分方程两边同时乘以，可以得到：
e -λt h ' (t ) -λe -λt h (t ) =ke -λt δ(t )
-λt -λt -λt
e h ' (t ) +(e )' h (t ) =ke δ(t ) =>
d -λt -λt
e h (t ) =ke δ(t ) =>dt t d t
-λτ-λτe h (τ) d τ=ke δ(τ) d τ -=>⎰0-⎰0d τ
()
()
=>e
-λt
h (t ) -h (0) =k ε(t )
λt
h (t ) =ke ε(t ) (注意：零状态，h (0) =0) =>
或者简单记为：
k h (t ) =δ(t ) =ke λt ε(t )
p -λ
2、一般情况下，系统的特征根（D(p)=0的根）无
重根
N (p ) (b m p m +b m -1p m -1+... +b 1p +b 0)
H (p ) ==
D (p ) (p n +a n -1p n -1+... +a 1p +a 0) (b m p m +b m -1p m -1+... +b 1p +b 0)
=
(p -λ1)(p -λ2)...(p -λn )
(p -λ1)(p -λ2) (p -λn )h (t )
=(b m p m +b m -1p m -1+... +b 1p +b 0) δ(t )
一般使用Heaviside 部分分式分解法，它将复杂系统变为许多个简单系统的和。
1） m
借助于代数运算，通过部分分式求解，可以得到：
k n k 1k 2
H (p ) =++... +
p -λ1p -λ2p -λn
由此可以得到：
h (t ) =H (p ) δ(t )
⎡k 1k n ⎤k 2
=⎢++... +⎥δ(t )
p -λn ⎦⎣p -λ1p -λ2
k n k 1k 2
=δ(t ) +δ(t ) +... +δ(t ) p -λ1p -λ2p -λn =k 1e λ1t ε(t ) +k 2e λ2t ε(t ) +... +k n e λn t ε(t ) =∑k i e λi t ε(t )
i =1n
2） 当m=n时，可以将H(p)分解为：
k n k 1k 2
H (p ) =b m +++... +
p -λ1p -λ2p -λn ⎡k n ⎤k 1k 2
h (t ) =⎢b m +++... +⎥δ(t )
p -λ1p -λ2p -λn ⎦⎣
=b m δ(t ) +k 1e λ1t ε(t ) +k 2e λ2t ε(t ) +... +k n e λn t ε(t ) =∑k i e λi t ε(t ) +b m δ(t )
i =1n
其中，b m 是p
m
δ(t )的系数。
3） 当m>n时， 可以将H(p)分解为：
H (p ) =C m p m -n +C m -1p m -n -1+... +C n +1p +C n
k n k 1k 2
+++... +p -λ1p -λ2p -λn
则：
h (t ) =C m δ(m -n ) (t ) +C m -1δ(m -n -1) (t ) +... +C n δ(t )
k 1e ε(t ) +k 2e ε(t ) +... +k n e ε(t )
3、一般情况下，系统的特征根（D(p)=0的根）有
重根 假设m
λ1t
λ2t
λn t
λ1=λ2=... =λl ≠λl +1≠λl +2≠ ≠λn
k l k 1k 2
H (p ) =++... +2
p -λ1(p -λ1) (p -λ1) l k l +1k l +2k n
+++... +p -λl +1p -λl +2p -λn
可以证明：
k λt
δ(t ) =kte ε(t ) 2
p -λk t 2λt
δ(t ) =k e ε(t ) 3
2p -λk t 3λt
δ(t ) =k e ε(t ) 4
3⨯2p -λ…………
k t n -1λt
δ(t ) =k e ε(t ) n
(n -1)! p -λ则：
⎡t l -1⎤λ1t
h (t ) =⎢k 1+k 2t +... +k l ⎥e ε(t )
(l -1)! ⎦⎣
λl +1t λl +2t λn t
+k l +1e ε(t ) +k l +2e ε(t ) +... +k n e ε(t )
有关m=n和m>n的情况，也可以通过相似的过程得到。
例：P53，例题2-3。
§2-7 卷积积分
本节讨论如何通过冲激响应或阶跃响应求解系统对信号的响应。
一、通过阶跃响应求解——杜阿美积分
由§2-5节推导得到的公式：
f (t ) =f (0) ε(t ) +⎰+f ' (τ) ε(t -τ) d τ
此时，其激励信号e (t)可以分解为一系列阶跃函数的积分：
t
e (t ) =e (0) ε(t ) +⎰+e ' (τ) ε(t -τ) d τ
t
而系统对阶跃信号的响应：ε(t ) →r ε(t ) ==>ε(t -τ) →r ε(t -τ) —— 时不变性 ==>e ' (τ) ε(t -τ) →e ' (τ) r ε(t -τ) —— 齐次性 ==>
⎰
t
0+
e ' (τ) ε(t -τ) d τ→⎰+e ' (τ) r ε(t -τ) d τ
t
—— 叠加性
e (0) ε(t ) +⎰0+e ' (τ) ε(t -τ) d τ
==>
t
e (0) r ε(t ) +⎰0+e ' (τ) r ε(t -τ) d τ
t
所以：
e (t ) →e (0) r ε(t ) +⎰+e ' (τ) r ε(t -τ) d τ
t
——杜阿美积分 可见，如果得到了系统的阶跃响应，通过杜阿美积分，就可以计算出系统对任意连续可导的激励信号e (t)的响应。
● 如果激励信号在t=0处可导，则上式为：
e (t ) →⎰-e ' (τ) r ε(t -τ) d τ
● 通过变化积分变量，可以得到杜阿美积分的另外一种形式为： e (t ) →e (0) r ε(t ) +
t
⎰
t
+
e ' (t -τ) r ε(τ) d τ
● 因为需要计算信号的导数，需要激励信号连
续可导，所以这种方法目前不常用。
二、通过冲激响应求解——卷积积分
由§2-5节推导得到的公式：
f (t ) =⎰0f (τ) δ(t -τ) d τ
此时，其激励信号e (t)可以分解为一系列冲激函数的积分：
t
e (t ) =⎰e (τ) δ(t -τ) d τ
t
系统对冲激信号的响应：δ(t ) →h (t )
==>δ(t -τ) →h (t -τ) —— 时不变性 ==>e (τ) δ(t -τ) →e (τ) h (t -τ) —— 齐次性 ==>
⎰e (τ) δ(t -τ) d τ→⎰e (τ) h (t -τ) d τ
t t
——叠加性 所以：
e (t ) →⎰e (τ) h (t -τ) d τ
——卷积积分
可见，如果得到了系统的冲激响应，通过卷积积分，就可以计算出系统对任意信号e (t)的响应。与杜阿美积分相比，这里并不需要信号连续可导，所以其实用性大大优于杜阿美积分。
t
● 通过变化积分变量，同样可以得到卷积积分的另外一种形式为： e (t ) →
⎰e (t -τ) h (τ) d τ
t
● 以上公式的应用条件是：有始信号作用于因果系统。
卷积积分有另外一种更加通用的形式是：
e (t ) →⎰e (τ) h (t -τ) d τ
-∞
+∞
该公式的积分限在“有始信号作用于因果系统”时，与原公式的积分限等价。
我们定义一种特殊的函数与函数之间的计算：卷积：
x (t ) *y (t ) =⎰-∞x (τ) y (t -τ) d τ
则卷积积分可以表示为：
+∞
r (t ) =e (t ) *h (t )
习题：①2.15；②2.16（2）、（4）。
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§2-8 卷积及其性质
一、卷积计算的几何解法
e (t ) →⎰e (τ) h (t -τ) d τ
卷积积分的计算从几何上可以分为四个步骤： 反褶——>平移——>相乘——>叠加（积分）
t
例题见P61-62。
二、卷积计算的解析法
根据卷积的定义求解。例题见P62。
三、卷积积分表
P60页
四、卷积的性质
卷积的计算不少类似于函数的乘法计算。它
的很多性质与乘法运算性质相同，但是也有一些
不同。通过这些性质，可以方便卷积的计算。
1、与乘法运算相同的性质：
1）交换律：u (t ) *v (t ) =v (t ) *u (t )
2）分配律：
u (t ) *[v (t ) +w (t ) ]=u (t ) *v (t ) +u (t ) *w (t )
3）结合律：
u (t ) *[v (t ) *w (t ) ]=[u (t ) *v (t ) ]*w (t )
2、与乘法运算不同的性质：卷积的微积分
1）微分：
d ⎡d ⎤⎡d ⎤[u (t ) *v (t ) ]=⎢u (t ) ⎥*v (t ) =u (t ) *⎢v (t ) ⎥dt ⎣dt ⎦⎣dt ⎦
2）积分：
⎰-∞u (τ) *v (τ) d τ=⎰-∞u (τ) d τ*v (t ) =u (t ) *⎰-∞v (τ) d τ
对上述两边求导数，得到：
t d t d u (τ) *v (τ) d τ=u (t ) *⎰v (τ) d τ ⎰-∞dt -∞dt
t d u (τ) *v (τ) =u (t ) *⎰v (τ) d τ -∞dt t t t
3）多重微积分：
u (t ) (m )*v (t ) (n )=[u (t ) *v (t ) ]
3、函数延时后的卷积
假设：u (t ) *v (t ) =f (t ) (m +n )
则：u (t -t 1) *v (t -t 2) =f (t -t 1-t 2)
五、几个特殊函数的卷积：
1、f (t ) *δ(t ) =f (t )
或：f (t ) *δ(t -t 0) =f (t -t 0)
2、f (t ) *δ' (t ) =f ' (t ) (见微分性质)
(n ) (n ) f (t ) *δ(t -t ) =f (t -t 0) 或推广：0
3、f (t ) *ε(t ) =⎰-∞f (τ) d τ
六、卷积积分的计算
卷积积分的计算就是一般的定积分的计算。
但是工程上遇到的卷积计算可能比较复杂。一般
可以借助于图形帮助确定积分函数和积分边界。
例：P69-71，例题2-9。
习题: ①. 2.19; ②2.20（1）、（4）。
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t
§2-9 线性系统响应的时域求解法
一、近代时域法求解步骤
1、求系统的转移算子H(p)
2、求系统的零输入响应
求解方法：经典法，等效源法
如果系统的初始条件为零，则本步可以省
略。
3、求系统的零状态响应
1）求系统的冲激响应；
2）通过卷积积分，求系统对激励信号的响应；
如果积分难于计算，可以通过计算机数值积分
计算。
4、将零输入响应与零状态响应相叠加，得到总响
应。
st e (t ) =e ε(t ) 的响应 二、系统对指数激励信号
若系统的特征方程无重根时，系统的全响应为：
r (t ) =r zi (t ) +r zs (t ) =∑c j e ε(t ) +∑k j (e j ε(t ) *e st ε(t ))
j =1j =1n λj t n λt
=∑c j e ε(t ) +∑j =1j =1
零输入响应n λj t n k j s -λj (e st -e j ) ε(t ) λt 零状态响应
n ⎫λj t k j ⎪e ε(t ) +∑e st ε(t ) ⎪j =1s -λj ⎭
受迫响应⎛k j =∑ c j - s -λj j =1⎝n 自然响应
⎛k j =∑c j - s -λj j =1⎝n
自然响应⎫λj t ⎪e ε(t ) +H (s ) e st ε(t ) ⎪受迫响应⎭
若系统的特征方程有重根时，上式系统全响应的有关项则为：
r (t ) =C 0+C 1t +... +C k -1t k -1e λt
响应信号按照其数学特性可以分为自然响
应和受迫响应，也可以按照物理特性分为
零输入响应和零状态响应。其中零输入响
应与自然响应、零状态响应与受迫响应从
表面上看相似，但是它们并不相同;
1）零输入响应是自然响应的一部分，但是自
然响应还包括了零状态响应响应的一部
分；
2）受迫响应是零状态响应的一部分，但零状
态响应还包括自然响应的一部分；
3）总之，信号的响应包括三部分：
()
（1）既是零输入，又是自然响应;
（2）既是零状态，又有自然响应;
（3）既是零状态，又有受迫响应。
系统响应又有另外一种分法：
1）瞬态响应：随时间增长而趋于零的部分；
2）稳态响应：随时间增长而不趋向零的部分。
对于稳定系统，自然响应必定属于瞬态响应，
受迫响应则可能为瞬态响应，也可是稳态响
应，具体情况视激励信号的形式而定。
如果激励信号的指数s 与系统的某个特征
根相同，即s =λ，则卷积项为： j
e
λj t *e λj t =te λj t
例1：电路如图所示，已知R =1Ω，C=2F，电路
的初始状态u C (0-)=1V ，求激励为i s (t )=e ε(t )
时，以u C (t )为输出的全响应。
1-t 2
解：电路在节点处满足KCL 约束，即：
i =i +i ， S C R
而：
du C u C i C =C ；i R =。 dt R
将两个支路电流代入KCL 表达式，则该电路系统的方程为：
1u +u C =i s ， RC '
C
此方程为一阶常系数非齐次微分方程，对应的齐
次方程为：
1u (t ) +u Czi =0， RC '
Czi
其特征方程为：
1p +=0 RC
特征根为：
1λ=-， RC
零输入响应为：
u Czi =Ae -1RC ε(t ) =Ae ε(t ) 。 1-t 2
对于所给激励，由原始方程给出对应的特解方程为：
t -1u (t ) +u Czs (t ) =e 2ε(t ) RC '
Czs
由输入信号的函数形式，可令零状态响应为：
u Czs (t ) =Kte
-t 2
1可解得：K =，则零状态响应为： 2
1u Czs (t ) =te 2
而系统的全响应为： -t 2
1 u C (t ) =u Czi (t ) +u Czs (t ) =te 2-t 2+Ae -t
2
=1将其对应的初始值u C (0+) =u C (0代入全响应-)
中，可有：
A =1
则系统全响应为：
t t -1-2u C (t ) =te +e 2 t >0。 2
例2：P70，例题2-10。
总 结：
线性时不变系统的时域分解法有两种：
1、 经典法：常规的线性微分方程的求解方法，先确定解的形式。将响应分为两部分：
1） 自然响应：即通解，由相应的齐次微分方程的解，由系统的自然属性产生。
2） 受迫响应：即通解，由激励项引起。
最后，将两部分解相加，代入初始条件确
定其中的待定系数，最终确定全响应。
经典法的主要缺点是在激励信号比较复杂时难于确定其特解。
2、 近代时域法（卷积法）：
将解分为零输入响应和零状态响应两部分：
1） 零输入响应：激励信号为零时，系统的响应。
其解法有等效源法和经典法。后者较为常用，在经典法中仅仅有自然响应，只要求解齐次微分方程即可。
2） 零状态响应：系统初始条件为零时的系统响
应。该响应可以用经典法求解，但是必须同时考虑自然响应和受迫响应，比较麻烦。卷积法则通过计算激励信号与系统的冲激响应的卷积的方法得到系统的零状态响应。如果得到了系统的冲激响应，它可以求解任意激励信号下的响应。
在有些条件下卷积积分难于得到解析解，但是，借助于计算机数值分析，可以得到非常精确的系统响应的数值解。这种方法现在可以使用的比较广泛。
﹡时域法可以计算出系统对任意信号的响应。但是它难于得到一些广泛性的结论。这个弱点可以通过后面的变换域法解决。
习题: ①. 2.21; ②2.26.
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第二章 连续时间系统的时域分析
§2-1 引 言
线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。
一、建立数学模型
主要应用《电路分析》课程中建立在KCL 和KVL 基础上的各种方法。
线性时不变系统的微分方程的一般形式可以为：
d n d n -1d r (t ) +a n -1n -1r (t ) +... +a 1r (t ) +a 0r (t ) n dt dt dt
d m d m -1d =b m m e (t ) +b m -1m -1e (t ) +... +b 1e (t ) +b 0e (t ) dt dt dt
二、求解（时域解）
1、时域法
将响应分为通解和特解两部分：
1） 通解：通过方程左边部分对应的特征方程所得
到的特征频率，解得的系统的自然响应（或自由响应）；
2） 特解：由激励项得到系统的受迫响应；
3） 代入初始条件，确定通解和特解中的待定系
数。
经典解法在激励信号形式简单时求解比较简单，但是激励信号形式比较复杂时求解就不容易，这时候很难确定特解的形式。
2、卷积法（或近代时域法，算子法）
这种方法将响应分为两个部分，分别求解：
1）零输入响应：系统在没有输入激励的情况下，仅仅由系统的初始状态引起的响应r zi (t ) ；
2）零状态响应: 状态为零（没有初始储能）的条件下，仅仅由输入信号引起的响应r zs (t ) 。
● 系统的零输入响应可以用经典法求解，在其中只有自然响应部分；
● 系统的零状态响应也可以用经典法求解，但是用卷积积分法更加方便。借助于计算机数值计算，可以求出任意信号激励下的响应（数值解）。 ● 卷积法要求激励信号是一个有始信号，否则无
法确定初始状态。
● 零输入响应与自然响应、零状态响应与受迫响应之间并不相等，具体对比见§2-9
经典法在高等数学中已有详细介绍。本课程中重点介绍近代时域法。
§2-2 系统微分方程的算子表示
一、算子
通过微分算子可以简化微分方程的表示。 n d d n p =p =n ， 微分算子：令，dt dt
t 1
积分算子：p () =⎰-∞() d τ
● 利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为：
di L u L =L =L ⋅p ⋅i L dt 1t 1u C =⎰i C d τ=⋅i C -∞C C ⋅p
即可以将电感和电容记成阻值为L ⋅p 和
1
C ⋅p 的电阻，即感抗和容抗。
利用算子可以将线性时不变系统的微分方程： d n d n -1d r (t ) +a n -1n -1r (t ) +... +a 1r (t ) +a 0r (t ) n dt dt dt
d m d m -1d =b m m e (t ) +b m -1m -1e (t ) +... +b 1e (t ) +b 0e (t ) dt dt dt
表示为：
p n r (t ) +a n -1p n -1r (t ) +... +a 1pr (t ) +a 0r (t ) =b m p e (t ) +b m -1p m m -1e (t ) +... +b 1pe (t ) +b 0e (t ) 按照代数运算法则，提取公因子，可以将上式简化为：
(p n +a n -1p n -1+... +a 1p +a 0) r (t ) =
(b m p m +b m -1p m -1+... +b 1p +b 0) e (t )
或进一步简化为：
(b m p m +b m -1p m -1+... +b 1p +b 0) r (t ) =e (t ) n n -1(p +a n -1p +... +a 1p +a 0)
定义：
(b m p m +b m -1p m -1+... +b 1p +b 0) N (p ) H (p ) ==n n -1(p +a n -1p +... +a 1p +a 0) D (p ) 则：
r (t ) =H (p ) e (t )
注意上面只是微分方程的一种简单记法，并不代表能进行这样的计算。
二、算子运算法则
1、mp +np =(m +n ) p ，其中m,n 为任意常数。
m n m +n p p =p 2、, 其中m,n 同为任意正整数（或负整数）。
1
3、p p x =x ，
但是：
1
1）p px 不一定等于x —— 微分和积分的
次序不能交换：
1d t p x =⎰-∞x d τ=x ， p dt
但是：
t ⎛dx ⎫1px =⎰-∞ ⎪d τ=x (t )-x (-∞) p ⎝dt ⎭t =τ
即，
11p x ≠px p p
2）如果px (t ) =py (t ) , 不一定能够推出
x (t ) =y (t ) ，只能得到x (t ) =y (t ) +C ，即等式两边的公共因子不能抵消。
可见，大部分代数运算法则可以使用，但是有一些不能用。
§2-3 系统的零输入响应
零输入响应是下列齐次方程的解：
D (p ) r (t ) =(p n +a n -1p n -1+... +a 1p +a 0) r (t ) =0对它有两种解法：
1）经典解法
2）等效源法（或初始条件法）
一、经典解法
用经典法求解零输入响应由如下两步构成：
1、确定系统的自然频率：
令D(p)=0，将p 看成一个代数量，解得其n 个特征根λ1, λ2,..., λn 。
2、确定零输入响应的形式解：
1）如果D(p)=0俱为单根时，则可以确定其形式解为：
r zi (t ) =C 1e λ1t +C 2e λ2t +... +C n e λn t =∑C i e λi t i =1n 其中C 1, C 2,..., C n 为待定常数。
2）如果D(p)=0有重根时，假设λ1是一个k 重根， 即λ1=λ2=... =λk ，则形式解为： r zi (t ) =C 1e λ1t +C 2te λ1t +C 3t 2e λ1t +... +C k t k -1e λ1t
+C k +1e λk +1t +... +C n e λn t
=∑C i t i -1e λ1t +
i =1k i =k +1λi t C e ∑i n
3、根据初始条件，确定待定系数：
一般的初始条件为已知零时刻的响应及其各
(n -1) r (0), r ' (0), r ' ' (0),..., r (0) ，阶导数代入形式解
中就可以确定待定系数。
当D(p)=0俱为单根时：
r (0) =C 1+C 2+... +C n
r ' (0) =λ1C 1+λ2C 2+... +λn C n
r ' ' (0) =λ1C 1+λ2C 2+... +λn C n
.......... ..
r (n -1) (0) =λ1(n -1) 222C 1+λ2(n -1) C 2+... +λn (n -1) C n 由上面的n 个方程就可以确定n 个待定系数。 或者记为矩阵形式：
11⎡r (0) ⎤⎡1⎢r ' (0) ⎥⎢λλ2λ3⎢⎥⎢1
2⎢r ' ' (0) ⎥=⎢λ1λ22λ32⎢⎥⎢ ⎢ ⎥⎢
n -1n -1n -1(n -1) ⎢⎢⎥λn λn (0) ⎦⎣λn ⎣r
⎤⎡C 1⎤⎢C ⎥λn ⎥2⎥⎥⎢λn 22⎥⎢C 3⎥⎥⎢⎥ ⎥⎢ ⎥n -1⎥λn ⎦⎢⎣C n ⎥⎦1
其它形式的初始条件，以及特征方程中有重根的情况下的待定系数也可以用相似的方法和过程解出。
举例：
例1． 已知系统的转移算子及未加激励时的初
始条件是：
p +3H (p )=2, r (0)=1, r '(0)=2， p +3p +2
求系统的零输入响应并指出其自然频率。 解:
p 2+3p +2=0，
(p +1)(p +2)=0，
p 1=-1，
p 2=-2。
所以, 零输入响应的形式为:
r (t )=c 1e -t +c 2e -2t
求c 1、c 2：
r (t )=(c 1e +c 2e ' -t -2t ' )=-c 1e -t -2c 2e -2t ，
⎧r (0)=c 1+c 2=1 ⎨' ⎩r (0)=-c 1-2c 2=2
解得：
c 1=4, c 2=-3,
得，
r (t )=4e -t -3e -2t ，
自然频率分别为：λ1=-1, λ2=-2。
二、等效源法
这种方法将初始条件看成是一个在t=0的瞬间加上的激励源（阶跃或冲激），然后将系统的初始条件归为零，从而将求解零输入响应的问题转化为求解零状态响应的问题。这在后面求解零状态响应中一并处理。
等效源法将在时域解法中用得不是很多，本课程将在Ch5中介绍其原理。
小结：
系统零输入响应的时域求解方法就是经典的齐次微分方程的解法。
习题：①. 2.3(1)-图P2-3(a); ②.2.4(3)。
******************************************
以下内容涉及到系统零状态响应的求解过程，为了叙述的清楚起见，我们这里先简单了解其求解的基本思路。
系统零状态响应的求解过程
求解零状态响应的基本思想：
1） 将任意信号分解为一系列“标准统一”的
子信号之和（或积分）；
2） 求线性系统对各个子信号的响应；
3） 将各子信号的响应相叠加，从而得到系统
对激励信号的响应。这其中利用到了线性系统的齐次性和叠加性。
为了求解线性系统的零状态响应，必须解决以下几个问题：
1）选取什么样的子信号？
2）如何将信号分解为子信号的和或积分？
3）如何求系统对子信号的响应？
4）如何求得最后的响应？
在下面的各节中，我们将就上面的问题一一进行讨论。其中，§2-4介绍了时域分解法中使用的子信号；§2-5介绍如何将任意信号分解为子信号之和；§2-6介绍如何求子信号的响应；§2-7～§2-9介绍如何通过叠加，从而求出系统的响应。
§2-4 奇异函数
本节解决的是时域法中子信号选取问题。子信号的选取对系统分析至关重要。为了利于分析，要求子信号具有：
1）完备性：任意函数（或绝大部分函数）都可
以分解为该子信号的和，没有（或几乎没有）例外；
2）简单性：容易求得系统对该子信号的响应； 3）相似性：不同子信号的响应具有内在联系，
可以类推。
奇异函数是一种理想化的函数，这些函数或其各阶导数具有一个或多个间断点，在这些间断点上的导数无法用一般方法确定。常用的有阶跃
函数和冲激函数。
1、阶跃函数ε(t )
⎧1ε(t ) =⎨
⎩0
t ≥0其它
其中t 1>0。
任意函数乘以ε(t ) 以后，其t
在很多文献中，用u(t)表示阶跃函数。
2、冲激函数δ(t )
冲激函数的图形表示方法：位置，强度。
其中t 1>0。
冲激函数有很多种定义方法。常见的有两种：
d
ε(t ) 1）定义为ε(t ) 的导数：δ(t ) =dt
● 显然，该函数只在t=0处为非零值，其它各处都为零；
● ε(t ) 和δ(t ) 互为微分和积分
ε(t ) =⎰δ(τ) d τ
-∞
δ(t ) 的几个特性：
●
+∞
t
⎰δ(τ) d τ=1；δ(τ) =0, t ≠0时。 -∞
● δ(t ) =δ(-t ) ——冲激函数是一个偶函数 ● δ(t ) f (t ) =δ(t ) f (0) ，
或：δ(t -t 0) f (t ) =δ(t -t 0) f (t 0) ●
⎰
+∞
-∞
f (t ) δ(t ) dt =f (0)
或：
⎰
+∞
-∞
f (t ) δ(t -t 0) dt =f (t 0)
——该特性被称为冲激函数的取样特性
2）定义为分配函数
这是冲激函数的另外一种定义方法，它通过该函数对另外一个函数的作用来定义这个函数，利用上面的冲激函数的抽样特性作为冲激函数的定义，即：对于任意的函数f(t),使满足公式
⎰
+∞
-∞
f (t ) δ(t -t 0) dt =f (t 0)
性质的函数被称为冲激函数。
参见本章附录。这种定义在数学上比较严格，但是难于理解。
冲激函数的推广：冲激偶……
举例：
例1． 计算f (t )=(3t +1)δ(1-t )。
解：由于δ(t ) =δ(-t ) ，δ(t -t 0) f (t ) =δ(t -t 0) f (t 0) ，则有：
1
(3t +1) δ(1-t ) =(3t +1) δ⎡⎣-(t -1)⎤⎦=(3t +1) -δ(t -1)=4δ(t -1)
例2．计算f (t )=⎰cos πt δ(2-2t )dt 。
-∞∞
解：由于⎰
∞
-∞
f (t ) δ(t ) dt =f (0)，则有：
1
⎰-∞cos πt δ(2-2t ) dt =⎰-∞cos πt δ[-2(t -1)]dt =-2。
∞
∞
例3．计算解：
π⎫⎛
cos 3t -⎪δ(t )dt 。
⎰-∞ 4⎭⎝
∞
π⎫π⎫⎛⎛⎛π⎫
。 3t -⎪δ(t ) dt =cos 3t -⎪t =0=cos ⎪=⎰-∞cos 4⎭4⎭⎝⎝⎝4⎭2
10π⎫⎛
例4．计算⎰sin 2t +⎪δ(t +π)dt ；
02⎭⎝
π⎫10⎛
解：⎰0sin 2t +⎪δ(t +π)dt =0。
2⎭⎝
∞
例5．计算⎰e -2t ⎡⎣δ'(t )+δ(t )⎤⎦dt 。
-∞
∞
解：原式=-e
()
-2t
'
t =0
+e -2t
t =0
=2+1=3
b b ⎛b udv =⎫-vdu uv ⎰a ⎪⎰a a ⎝⎭
§2-5 信号的时域分解
在近代时域法中使用的子信号是阶跃函数和冲激函数。本节讨论如何将信号分解为冲激函数和阶跃函数的和（或积分）。
一、任意有始函数表示为阶跃信号的和（积分）
任意信号近似表示为阶跃函数的子信号为：
f 0(t ) =f (0) ε(t )
f 1(t ) =∆f 1(t )ε(t -∆t ) =[f (∆t ) -f (0) ]ε(t -∆t )
f (∆t ) -f (0) =ε(t -∆t ) ∆t
∆t
∶ ∶ ∶
f k (t ) =[f (k ∆t ) -f ((k -1) ∆t )]ε(t -k ∆t )
f (k ∆t ) -f ((k -1) ∆t )=ε(t -k ∆t )∆t
∆t
∶ ∶ ∶
总和为：
f (t ) ≈f a (t ) =f 0(t ) +f 1(t ) +...... +f k (t ) +......
f (∆t ) -f (0)f (2∆t ) -f (∆t )=f （0）ε(t ) +ε(t -∆t ) ∆t +
∆t ∆t f (k ∆t ) -f ((k -1) ∆t ) ε(t -2∆t ) ∆t +...... +ε(t -k ∆t )∆t +......
∆t
n
f (k ∆t ) -f ((k -1) ∆t ) =f （0）ε(t ) +∑ε(t -k ∆t )∆t
∆t k =1
令∆t →d τ(或0) ，则：
f (k ∆t ) -f ((k -1) ∆t )ε(t -k ∆t )=f ' (k ∆t ) ε(t -k ∆t )
∆t
f (t ) =f (0) ε(t ) +⎰+f ' (τ) ε(t -τ) d τ
● 这里，因为在t=0时发生状态的跳变，所以必须对t=0左右的状态加以区分，这就引出了两
-+
00个特殊的时刻：——起始状态；——初
t
始状态；
● 如果f (t)在t =0处连续可导，上式可以简化为：
f (t ) =⎰-f ' (τ) ε(t -τ) d τ 0
● 这种分析方法在六十年代应用比较广泛，其时冲激函数没有得到应用。由于它需要计算函数的导数，比较麻烦，现在，冲激函数应用以后，这种分解方法就很少应用了。
t
二、任意函数表示为冲激函数之和（积分）
将任意函数近似表示为一系列矩性脉冲函数之和，定义：
⎧1u τ(t ) =⎨
⎩0
0
则：f 0(t ) =f (0) u ∆t (t )
f 1(t ) =f (∆t ) u ∆t (t -∆t ) f 2(t ) =f (2∆t ) u ∆t (t -2∆t )
…………
f k (t ) =f (k ∆t ) u ∆t (t -k ∆t )
…………
求和，可得：
f (t ) ≈f b (t ) =f 0(t ) +f 1(t ) +...... +f k (t ) +......
=f (0) u ∆t (t ) +f (∆t ) u ∆t (t -∆t ) +...... +f (k ∆t ) u ∆t (t -k ∆t ) +......
u ∆t (t ) u ∆t (t -∆t ) =f (0) ∆t +f (∆t ) ∆t +......
∆t ∆t u ∆t (t -k ∆t )
+f (k ∆t ) ∆t +......
∆t
n
u ∆t (t -k ∆t )
=∑f (k ∆t ) ∆t
∆t k =0
令∆t →d τ(或0) ，则
u ∆t (t -k ∆t )
→δ(t -k ∆t )
∆t
f (t ) =⎰0f (τ) δ(t -τ) d τ
t
这个公式实际上可以直接从冲激函数的定义
或性质中推导出，但是上面的推导更利于观察其含义。
● 这种分解不仅可以用于有始信号，也可以用于一般信号，这时候公式可以改写成为： f (t ) =
⎰
+∞
-∞
f (τ) δ(t -τ) d τ
这个公式更具有普遍性。
● 公式中的积分上限也可以从t 改为∞，这样不会影响结果。这时候公式为：
f (t ) =⎰0f (τ) δ(t -τ) d τ
习题：①.2.5（1）；②2.7(1)(4)。
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§2-6 阶跃响应和冲激响应
一、定义
阶跃响应：系统对阶跃信号的零状态响应； 冲激响应：系统对冲激信号的零状态响应；
● 一般用h (t ) 表示系统的冲激响应，r ε(t ) 表示
∞
阶跃响应；
● 系统的冲激响应和阶跃响应之间有对应关系：
d t
h (t ) =r (t ) ε 或 r ε(t ) =⎰0-h (τ) d τ
dt
所以两者只要知道其一就可以了。
● 如前所述，现在很少将信号分解为阶跃信号，所以一般没有必要求阶跃响应，只要求冲激响应就可以了。
二、系统冲激响应的求解方法
根据前面对信号的分解，有：
f (t ) =⎰f (τ) δ(t -τ) d τ
-∞
+∞
信号可以分解为多个冲激信号f (τ) δ(t -τ) 的积分。如果知道信号对δ(t ) 的响应，利用线性移不变系统的线性和移不变特性，就可以得到系统对任意子信号f (τ) δ(t -τ) 的响应，从而就可以得到系统对整个信号的响应。
求解系统冲激响应的方法有：
1）系统方程法：根据微分方程求解。书上P46页
介绍了这种方法。
2）系数平衡法：比较等式两边相同函数的系数，
得到解答。书中的例题(2-3、2-4、2-5) 中都使用了这种方法。
+03）初始条件法：将冲激激励转化成时刻的初始
条件，然后利用零输入响应的求解方法求解。例题2-4中介绍了这种算法。
4）LT 变换法：利用拉普拉斯变换求解。这种方法
最简单。在后面Ch5中介绍。
本节中重点介绍系统方程法。
三、冲激响应的系统方程求解方法——系统方程法(或Heaviside 部分分式分解方法) 1、一阶系统的冲激响应的求解
用算子表示的形式为：
k
h (t ) =δ(t ) ，
p -λ
h (t ) (p -λ)=k δ(t ) ， h (t ) p -h (t ) λ=k δ(t ) ，
h ' (t ) -λh (t ) =k δ(t ) ，
-λt e 微分方程两边同时乘以，可以得到：
e -λt h ' (t ) -λe -λt h (t ) =ke -λt δ(t )
-λt -λt -λt
e h ' (t ) +(e )' h (t ) =ke δ(t ) =>
d -λt -λt
e h (t ) =ke δ(t ) =>dt t d t
-λτ-λτe h (τ) d τ=ke δ(τ) d τ -=>⎰0-⎰0d τ
()
()
=>e
-λt
h (t ) -h (0) =k ε(t )
λt
h (t ) =ke ε(t ) (注意：零状态，h (0) =0) =>
或者简单记为：
k h (t ) =δ(t ) =ke λt ε(t )
p -λ
2、一般情况下，系统的特征根（D(p)=0的根）无
重根
N (p ) (b m p m +b m -1p m -1+... +b 1p +b 0)
H (p ) ==
D (p ) (p n +a n -1p n -1+... +a 1p +a 0) (b m p m +b m -1p m -1+... +b 1p +b 0)
=
(p -λ1)(p -λ2)...(p -λn )
(p -λ1)(p -λ2) (p -λn )h (t )
=(b m p m +b m -1p m -1+... +b 1p +b 0) δ(t )
一般使用Heaviside 部分分式分解法，它将复杂系统变为许多个简单系统的和。
1） m
借助于代数运算，通过部分分式求解，可以得到：
k n k 1k 2
H (p ) =++... +
p -λ1p -λ2p -λn
由此可以得到：
h (t ) =H (p ) δ(t )
⎡k 1k n ⎤k 2
=⎢++... +⎥δ(t )
p -λn ⎦⎣p -λ1p -λ2
k n k 1k 2
=δ(t ) +δ(t ) +... +δ(t ) p -λ1p -λ2p -λn =k 1e λ1t ε(t ) +k 2e λ2t ε(t ) +... +k n e λn t ε(t ) =∑k i e λi t ε(t )
i =1n
2） 当m=n时，可以将H(p)分解为：
k n k 1k 2
H (p ) =b m +++... +
p -λ1p -λ2p -λn ⎡k n ⎤k 1k 2
h (t ) =⎢b m +++... +⎥δ(t )
p -λ1p -λ2p -λn ⎦⎣
=b m δ(t ) +k 1e λ1t ε(t ) +k 2e λ2t ε(t ) +... +k n e λn t ε(t ) =∑k i e λi t ε(t ) +b m δ(t )
i =1n
其中，b m 是p
m
δ(t )的系数。
3） 当m>n时， 可以将H(p)分解为：
H (p ) =C m p m -n +C m -1p m -n -1+... +C n +1p +C n
k n k 1k 2
+++... +p -λ1p -λ2p -λn
则：
h (t ) =C m δ(m -n ) (t ) +C m -1δ(m -n -1) (t ) +... +C n δ(t )
k 1e ε(t ) +k 2e ε(t ) +... +k n e ε(t )
3、一般情况下，系统的特征根（D(p)=0的根）有
重根 假设m
λ1t
λ2t
λn t
λ1=λ2=... =λl ≠λl +1≠λl +2≠ ≠λn
k l k 1k 2
H (p ) =++... +2
p -λ1(p -λ1) (p -λ1) l k l +1k l +2k n
+++... +p -λl +1p -λl +2p -λn
可以证明：
k λt
δ(t ) =kte ε(t ) 2
p -λk t 2λt
δ(t ) =k e ε(t ) 3
2p -λk t 3λt
δ(t ) =k e ε(t ) 4
3⨯2p -λ…………
k t n -1λt
δ(t ) =k e ε(t ) n
(n -1)! p -λ则：
⎡t l -1⎤λ1t
h (t ) =⎢k 1+k 2t +... +k l ⎥e ε(t )
(l -1)! ⎦⎣
λl +1t λl +2t λn t
+k l +1e ε(t ) +k l +2e ε(t ) +... +k n e ε(t )
有关m=n和m>n的情况，也可以通过相似的过程得到。
例：P53，例题2-3。
§2-7 卷积积分
本节讨论如何通过冲激响应或阶跃响应求解系统对信号的响应。
一、通过阶跃响应求解——杜阿美积分
由§2-5节推导得到的公式：
f (t ) =f (0) ε(t ) +⎰+f ' (τ) ε(t -τ) d τ
此时，其激励信号e (t)可以分解为一系列阶跃函数的积分：
t
e (t ) =e (0) ε(t ) +⎰+e ' (τ) ε(t -τ) d τ
t
而系统对阶跃信号的响应：ε(t ) →r ε(t ) ==>ε(t -τ) →r ε(t -τ) —— 时不变性 ==>e ' (τ) ε(t -τ) →e ' (τ) r ε(t -τ) —— 齐次性 ==>
⎰
t
0+
e ' (τ) ε(t -τ) d τ→⎰+e ' (τ) r ε(t -τ) d τ
t
—— 叠加性
e (0) ε(t ) +⎰0+e ' (τ) ε(t -τ) d τ
==>
t
e (0) r ε(t ) +⎰0+e ' (τ) r ε(t -τ) d τ
t
所以：
e (t ) →e (0) r ε(t ) +⎰+e ' (τ) r ε(t -τ) d τ
t
——杜阿美积分 可见，如果得到了系统的阶跃响应，通过杜阿美积分，就可以计算出系统对任意连续可导的激励信号e (t)的响应。
● 如果激励信号在t=0处可导，则上式为：
e (t ) →⎰-e ' (τ) r ε(t -τ) d τ
● 通过变化积分变量，可以得到杜阿美积分的另外一种形式为： e (t ) →e (0) r ε(t ) +
t
⎰
t
+
e ' (t -τ) r ε(τ) d τ
● 因为需要计算信号的导数，需要激励信号连
续可导，所以这种方法目前不常用。
二、通过冲激响应求解——卷积积分
由§2-5节推导得到的公式：
f (t ) =⎰0f (τ) δ(t -τ) d τ
此时，其激励信号e (t)可以分解为一系列冲激函数的积分：
t
e (t ) =⎰e (τ) δ(t -τ) d τ
t
系统对冲激信号的响应：δ(t ) →h (t )
==>δ(t -τ) →h (t -τ) —— 时不变性 ==>e (τ) δ(t -τ) →e (τ) h (t -τ) —— 齐次性 ==>
⎰e (τ) δ(t -τ) d τ→⎰e (τ) h (t -τ) d τ
t t
——叠加性 所以：
e (t ) →⎰e (τ) h (t -τ) d τ
——卷积积分
可见，如果得到了系统的冲激响应，通过卷积积分，就可以计算出系统对任意信号e (t)的响应。与杜阿美积分相比，这里并不需要信号连续可导，所以其实用性大大优于杜阿美积分。
t
● 通过变化积分变量，同样可以得到卷积积分的另外一种形式为： e (t ) →
⎰e (t -τ) h (τ) d τ
t
● 以上公式的应用条件是：有始信号作用于因果系统。
卷积积分有另外一种更加通用的形式是：
e (t ) →⎰e (τ) h (t -τ) d τ
-∞
+∞
该公式的积分限在“有始信号作用于因果系统”时，与原公式的积分限等价。
我们定义一种特殊的函数与函数之间的计算：卷积：
x (t ) *y (t ) =⎰-∞x (τ) y (t -τ) d τ
则卷积积分可以表示为：
+∞
r (t ) =e (t ) *h (t )
习题：①2.15；②2.16（2）、（4）。
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§2-8 卷积及其性质
一、卷积计算的几何解法
e (t ) →⎰e (τ) h (t -τ) d τ
卷积积分的计算从几何上可以分为四个步骤： 反褶——>平移——>相乘——>叠加（积分）
t
例题见P61-62。
二、卷积计算的解析法
根据卷积的定义求解。例题见P62。
三、卷积积分表
P60页
四、卷积的性质
卷积的计算不少类似于函数的乘法计算。它
的很多性质与乘法运算性质相同，但是也有一些
不同。通过这些性质，可以方便卷积的计算。
1、与乘法运算相同的性质：
1）交换律：u (t ) *v (t ) =v (t ) *u (t )
2）分配律：
u (t ) *[v (t ) +w (t ) ]=u (t ) *v (t ) +u (t ) *w (t )
3）结合律：
u (t ) *[v (t ) *w (t ) ]=[u (t ) *v (t ) ]*w (t )
2、与乘法运算不同的性质：卷积的微积分
1）微分：
d ⎡d ⎤⎡d ⎤[u (t ) *v (t ) ]=⎢u (t ) ⎥*v (t ) =u (t ) *⎢v (t ) ⎥dt ⎣dt ⎦⎣dt ⎦
2）积分：
⎰-∞u (τ) *v (τ) d τ=⎰-∞u (τ) d τ*v (t ) =u (t ) *⎰-∞v (τ) d τ
对上述两边求导数，得到：
t d t d u (τ) *v (τ) d τ=u (t ) *⎰v (τ) d τ ⎰-∞dt -∞dt
t d u (τ) *v (τ) =u (t ) *⎰v (τ) d τ -∞dt t t t
3）多重微积分：
u (t ) (m )*v (t ) (n )=[u (t ) *v (t ) ]
3、函数延时后的卷积
假设：u (t ) *v (t ) =f (t ) (m +n )
则：u (t -t 1) *v (t -t 2) =f (t -t 1-t 2)
五、几个特殊函数的卷积：
1、f (t ) *δ(t ) =f (t )
或：f (t ) *δ(t -t 0) =f (t -t 0)
2、f (t ) *δ' (t ) =f ' (t ) (见微分性质)
(n ) (n ) f (t ) *δ(t -t ) =f (t -t 0) 或推广：0
3、f (t ) *ε(t ) =⎰-∞f (τ) d τ
六、卷积积分的计算
卷积积分的计算就是一般的定积分的计算。
但是工程上遇到的卷积计算可能比较复杂。一般
可以借助于图形帮助确定积分函数和积分边界。
例：P69-71，例题2-9。
习题: ①. 2.19; ②2.20（1）、（4）。
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t
§2-9 线性系统响应的时域求解法
一、近代时域法求解步骤
1、求系统的转移算子H(p)
2、求系统的零输入响应
求解方法：经典法，等效源法
如果系统的初始条件为零，则本步可以省
略。
3、求系统的零状态响应
1）求系统的冲激响应；
2）通过卷积积分，求系统对激励信号的响应；
如果积分难于计算，可以通过计算机数值积分
计算。
4、将零输入响应与零状态响应相叠加，得到总响
应。
st e (t ) =e ε(t ) 的响应 二、系统对指数激励信号
若系统的特征方程无重根时，系统的全响应为：
r (t ) =r zi (t ) +r zs (t ) =∑c j e ε(t ) +∑k j (e j ε(t ) *e st ε(t ))
j =1j =1n λj t n λt
=∑c j e ε(t ) +∑j =1j =1
零输入响应n λj t n k j s -λj (e st -e j ) ε(t ) λt 零状态响应
n ⎫λj t k j ⎪e ε(t ) +∑e st ε(t ) ⎪j =1s -λj ⎭
受迫响应⎛k j =∑ c j - s -λj j =1⎝n 自然响应
⎛k j =∑c j - s -λj j =1⎝n
自然响应⎫λj t ⎪e ε(t ) +H (s ) e st ε(t ) ⎪受迫响应⎭
若系统的特征方程有重根时，上式系统全响应的有关项则为：
r (t ) =C 0+C 1t +... +C k -1t k -1e λt
响应信号按照其数学特性可以分为自然响
应和受迫响应，也可以按照物理特性分为
零输入响应和零状态响应。其中零输入响
应与自然响应、零状态响应与受迫响应从
表面上看相似，但是它们并不相同;
1）零输入响应是自然响应的一部分，但是自
然响应还包括了零状态响应响应的一部
分；
2）受迫响应是零状态响应的一部分，但零状
态响应还包括自然响应的一部分；
3）总之，信号的响应包括三部分：
()
（1）既是零输入，又是自然响应;
（2）既是零状态，又有自然响应;
（3）既是零状态，又有受迫响应。
系统响应又有另外一种分法：
1）瞬态响应：随时间增长而趋于零的部分；
2）稳态响应：随时间增长而不趋向零的部分。
对于稳定系统，自然响应必定属于瞬态响应，
受迫响应则可能为瞬态响应，也可是稳态响
应，具体情况视激励信号的形式而定。
如果激励信号的指数s 与系统的某个特征
根相同，即s =λ，则卷积项为： j
e
λj t *e λj t =te λj t
例1：电路如图所示，已知R =1Ω，C=2F，电路
的初始状态u C (0-)=1V ，求激励为i s (t )=e ε(t )
时，以u C (t )为输出的全响应。
1-t 2
解：电路在节点处满足KCL 约束，即：
i =i +i ， S C R
而：
du C u C i C =C ；i R =。 dt R
将两个支路电流代入KCL 表达式，则该电路系统的方程为：
1u +u C =i s ， RC '
C
此方程为一阶常系数非齐次微分方程，对应的齐
次方程为：
1u (t ) +u Czi =0， RC '
Czi
其特征方程为：
1p +=0 RC
特征根为：
1λ=-， RC
零输入响应为：
u Czi =Ae -1RC ε(t ) =Ae ε(t ) 。 1-t 2
对于所给激励，由原始方程给出对应的特解方程为：
t -1u (t ) +u Czs (t ) =e 2ε(t ) RC '
Czs
由输入信号的函数形式，可令零状态响应为：
u Czs (t ) =Kte
-t 2
1可解得：K =，则零状态响应为： 2
1u Czs (t ) =te 2
而系统的全响应为： -t 2
1 u C (t ) =u Czi (t ) +u Czs (t ) =te 2-t 2+Ae -t
2
=1将其对应的初始值u C (0+) =u C (0代入全响应-)
中，可有：
A =1
则系统全响应为：
t t -1-2u C (t ) =te +e 2 t >0。 2
例2：P70，例题2-10。
总 结：
线性时不变系统的时域分解法有两种：
1、 经典法：常规的线性微分方程的求解方法，先确定解的形式。将响应分为两部分：
1） 自然响应：即通解，由相应的齐次微分方程的解，由系统的自然属性产生。
2） 受迫响应：即通解，由激励项引起。
最后，将两部分解相加，代入初始条件确
定其中的待定系数，最终确定全响应。
经典法的主要缺点是在激励信号比较复杂时难于确定其特解。
2、 近代时域法（卷积法）：
将解分为零输入响应和零状态响应两部分：
1） 零输入响应：激励信号为零时，系统的响应。
其解法有等效源法和经典法。后者较为常用，在经典法中仅仅有自然响应，只要求解齐次微分方程即可。
2） 零状态响应：系统初始条件为零时的系统响
应。该响应可以用经典法求解，但是必须同时考虑自然响应和受迫响应，比较麻烦。卷积法则通过计算激励信号与系统的冲激响应的卷积的方法得到系统的零状态响应。如果得到了系统的冲激响应，它可以求解任意激励信号下的响应。
在有些条件下卷积积分难于得到解析解，但是，借助于计算机数值分析，可以得到非常精确的系统响应的数值解。这种方法现在可以使用的比较广泛。
﹡时域法可以计算出系统对任意信号的响应。但是它难于得到一些广泛性的结论。这个弱点可以通过后面的变换域法解决。
习题: ①. 2.21; ②2.26.
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