基于压缩感知的图像处理
一、 压缩感知
在过去的几十年里，人们获取数据的能力不断提高，需要处理的数据量也越来越大，因此信号的带宽也越来越大，所以对信号处理的速度和采样速率的要求也随之提高。众所周知，奈奎斯特采样定理要求采样率不得低于信号带宽的两倍，这对目前的信号处理能力提出了巨大的挑战。所以人们试图找到一种新的信号处理技术。近年来提出了一种新的信号处理理论——压缩感知理论。
压缩感知理论表明：如果信号是稀疏的或者是可压缩的，就可以通过一个测量矩阵将其投影到一个低维的空间上，得到的低维信号成为测量信号，然后将这个测量信号进行传输，在接收端通过接收到的信号和已知的测量矩阵来重构出原始的信号。理论上指出任何信号经过一定处理后都可以转化为稀疏信号，这也为压缩感知理论在各个领域的广泛使用提供了保障。
1、 压缩感知理论
传统的信号处理过程包括信号的采样、压缩、传输和重构四个部分，根据奈奎斯特采样定理，信号的采样速率不能低于信号最大带宽的两倍，只有以满足这一要求的采样速率进行采样，才能保证信息不丢失，但是在很多情况下，奈奎斯特采样速率显得很高，实现起来比较困难。
压缩感知是一种新的信号获取的方法，它突破了奈奎斯特采样定理的瓶颈，它将对信号的压缩和采样合并进行，使得测量数据量远远
小于传统的采样方法所得的数据量。
压缩感知主要包括三个方面的内容：信号的稀疏表示、信号的压缩采样和信号的重构。
2、 信号的稀疏表示
前面提到，压缩感知理论只能直接应用于稀疏信号。如果需要处理的信号是稀疏的，那就不需要稀疏表示这一部分，直接进行压缩采样就行了，但是就目前来看，我们所要处理的大多数信号都不是稀疏信号，这就需要将其转换为稀疏信号。
假设ψ=[ψ1, ψ2, ψ3, , ψN ]为R 空间上的一组基，Ψi (i=1,2,3…N)是N
一个N*1的列向量，考虑x =[x 1, x 2, x 3, , x N ]T ，它是一个实值有限长的
ψ线性表示： N x ∈R 一维离散信号，。空间的任何一个信号都可以用
x =s 1ψ1+s 2ψ2+ +s N ψN =∑s i ψi
i =1N
即：
x =ψs
其中s 是由投影系数组成的N 1列向量。实际上x 和s 是同一个信号在不同域内的不同表示。如果x 在基ψ上只有K 个非零系数，且K
常用于稀疏分解的基有傅里叶变换基、小波变换基以及离散余弦变换基等。
3、 信号的压缩采样
压缩感知和传统信号获取方法的区别就在于它将对信号的采样和压缩合并起来同时进行，使得测量数据远远小于传统采样方法所得
的数据量，而压缩感知理论将信号的采样和压缩合并进行是通过测量矩阵来实现的。
假设一个稀疏的长度为N 的离散信号x ，通过线性测量后得到一个长度为M 的测量向量y ，且M
y =φx
根据前文的分析可知，如果x 是可压缩的，则它经过稀疏变换后可以由稀疏向量s 表示：
x =ψs
那么可得：
y =φx =φψs =As
其中A 相当于φ，是一个测量矩阵。
4、 信号的重构
信号的重构就是利用低维的测量信号采用一定的算法恢复出高维的原始信号的过程。选择合适的测量矩阵和重构算法直接影响着重构信号的质量。
常用的测量矩阵有：随机高斯矩阵、随机贝努力矩阵、正交矩阵和托普利兹矩阵等。
常用的压缩感知重构算法有：基追踪算法（BP ）、匹配追踪算法（MP ）、正交匹配追踪算法（OMP ）、正则化正交匹配追踪算法（ROMP ）、压缩采样匹配追踪算法等（CoSaMP ）。本文中采用的是基于压缩感知的正交匹配追踪算法(OMP)。
正交匹配追踪算法的步骤为：
输入：稀疏度K 、字典Φ和采样向量y
初始化：迭代次数k=1,残差r 0=y , 索引集Λ0为空。 选择：λk =arg max j r k -1, ϕj , ϕj ∈Φ，
ˆi =arg min χy -ΦΛi χx 2由LS 得到的第k 次迭代的信号估计为：
更新：残差 ˆk r k =y -Φx ,k=k+1,索引集Λk =Λk -1 {λk }
判断迭代次数是不是满足k>K,不满足则继续迭代；满足则停止迭代，
ˆ。 输出估计信号x
二、 小波变换
前面已经提到，压缩感知理论适用于稀疏信号，但是通常常见的信号都不是稀疏的，所以在处理前要对信号进行处理，本文中使用小波变换的方法对信号进行处理。
离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解，信号的分解过程可以进行多级分级，分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要。
下图是一个三级小波包分解数；
其中A 表示低频分量，也就像素的均值分量，D 表示高频分量，也就是像素的差值分量。其中低频分量包含图像的绝大多数信息，
而高频
分量包含图像的细节信息，稀疏化的过程中就是通过令部分细节信息也就是高频分量为零。
三、 基于压缩感知的图像处理
图像信号是一种二维或者三维的信号，本文中处理的是二维的灰度图像，原始的图像信号不是稀疏的，即大部分像素点都不为零，因此在采用压缩感知理论对其进行压缩采样前首先要将其稀疏化。本文采用小波变换并设置合适的阈值对其进行稀疏化，稀疏化后的信号经过M*N （M=200，N=512）测量矩阵的处理得到测量向量。然后再对该向量进行基于压缩感知的OMP 算法重构，得到测量前稀疏信号的估计值。最后对该估计值进行小波逆变换。得到了原始图像信号的重构。
本文中对图像信号稀疏化的过程是通过多级小波变换来实现的，若图像列数为col, 则最多能执行的小波变换的级数为log2(col)。因此在本实验中，小波变换执行的次数对实验结果的影响很大。另外阈值的设置直接影响到信号的稀疏度，从而影响到重构结果。所以本文中对实验有较大影响的两个参数为小波变换的级数和阈值。通过大量的实验得出：维数为512*512的图像，小波变换的级数设置为7时效果最优。下面列出了小波变换级数为7，不同阈值下的重构图像。另一个word 文件中列出了一张256*256的图像在所有可能的小波变换次数和阈值条件下的重构结果。
重构图
像
阈值=3
重构图像
阈值
=3.2
阈值=3.5
重构图像
阈值
=3.7
阈值=4
原始图像
原始图像
基于压缩感知的图像处理
一、 压缩感知
在过去的几十年里，人们获取数据的能力不断提高，需要处理的数据量也越来越大，因此信号的带宽也越来越大，所以对信号处理的速度和采样速率的要求也随之提高。众所周知，奈奎斯特采样定理要求采样率不得低于信号带宽的两倍，这对目前的信号处理能力提出了巨大的挑战。所以人们试图找到一种新的信号处理技术。近年来提出了一种新的信号处理理论——压缩感知理论。
压缩感知理论表明：如果信号是稀疏的或者是可压缩的，就可以通过一个测量矩阵将其投影到一个低维的空间上，得到的低维信号成为测量信号，然后将这个测量信号进行传输，在接收端通过接收到的信号和已知的测量矩阵来重构出原始的信号。理论上指出任何信号经过一定处理后都可以转化为稀疏信号，这也为压缩感知理论在各个领域的广泛使用提供了保障。
1、 压缩感知理论
传统的信号处理过程包括信号的采样、压缩、传输和重构四个部分，根据奈奎斯特采样定理，信号的采样速率不能低于信号最大带宽的两倍，只有以满足这一要求的采样速率进行采样，才能保证信息不丢失，但是在很多情况下，奈奎斯特采样速率显得很高，实现起来比较困难。
压缩感知是一种新的信号获取的方法，它突破了奈奎斯特采样定理的瓶颈，它将对信号的压缩和采样合并进行，使得测量数据量远远
小于传统的采样方法所得的数据量。
压缩感知主要包括三个方面的内容：信号的稀疏表示、信号的压缩采样和信号的重构。
2、 信号的稀疏表示
前面提到，压缩感知理论只能直接应用于稀疏信号。如果需要处理的信号是稀疏的，那就不需要稀疏表示这一部分，直接进行压缩采样就行了，但是就目前来看，我们所要处理的大多数信号都不是稀疏信号，这就需要将其转换为稀疏信号。
假设ψ=[ψ1, ψ2, ψ3, , ψN ]为R 空间上的一组基，Ψi (i=1,2,3…N)是N
一个N*1的列向量，考虑x =[x 1, x 2, x 3, , x N ]T ，它是一个实值有限长的
ψ线性表示： N x ∈R 一维离散信号，。空间的任何一个信号都可以用
x =s 1ψ1+s 2ψ2+ +s N ψN =∑s i ψi
i =1N
即：
x =ψs
其中s 是由投影系数组成的N 1列向量。实际上x 和s 是同一个信号在不同域内的不同表示。如果x 在基ψ上只有K 个非零系数，且K
常用于稀疏分解的基有傅里叶变换基、小波变换基以及离散余弦变换基等。
3、 信号的压缩采样
压缩感知和传统信号获取方法的区别就在于它将对信号的采样和压缩合并起来同时进行，使得测量数据远远小于传统采样方法所得
的数据量，而压缩感知理论将信号的采样和压缩合并进行是通过测量矩阵来实现的。
假设一个稀疏的长度为N 的离散信号x ，通过线性测量后得到一个长度为M 的测量向量y ，且M
y =φx
根据前文的分析可知，如果x 是可压缩的，则它经过稀疏变换后可以由稀疏向量s 表示：
x =ψs
那么可得：
y =φx =φψs =As
其中A 相当于φ，是一个测量矩阵。
4、 信号的重构
信号的重构就是利用低维的测量信号采用一定的算法恢复出高维的原始信号的过程。选择合适的测量矩阵和重构算法直接影响着重构信号的质量。
常用的测量矩阵有：随机高斯矩阵、随机贝努力矩阵、正交矩阵和托普利兹矩阵等。
常用的压缩感知重构算法有：基追踪算法（BP ）、匹配追踪算法（MP ）、正交匹配追踪算法（OMP ）、正则化正交匹配追踪算法（ROMP ）、压缩采样匹配追踪算法等（CoSaMP ）。本文中采用的是基于压缩感知的正交匹配追踪算法(OMP)。
正交匹配追踪算法的步骤为：
输入：稀疏度K 、字典Φ和采样向量y
初始化：迭代次数k=1,残差r 0=y , 索引集Λ0为空。 选择：λk =arg max j r k -1, ϕj , ϕj ∈Φ，
ˆi =arg min χy -ΦΛi χx 2由LS 得到的第k 次迭代的信号估计为：
更新：残差 ˆk r k =y -Φx ,k=k+1,索引集Λk =Λk -1 {λk }
判断迭代次数是不是满足k>K,不满足则继续迭代；满足则停止迭代，
ˆ。 输出估计信号x
二、 小波变换
前面已经提到，压缩感知理论适用于稀疏信号，但是通常常见的信号都不是稀疏的，所以在处理前要对信号进行处理，本文中使用小波变换的方法对信号进行处理。
离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解，信号的分解过程可以进行多级分级，分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要。
下图是一个三级小波包分解数；
其中A 表示低频分量，也就像素的均值分量，D 表示高频分量，也就是像素的差值分量。其中低频分量包含图像的绝大多数信息，
而高频
分量包含图像的细节信息，稀疏化的过程中就是通过令部分细节信息也就是高频分量为零。
三、 基于压缩感知的图像处理
图像信号是一种二维或者三维的信号，本文中处理的是二维的灰度图像，原始的图像信号不是稀疏的，即大部分像素点都不为零，因此在采用压缩感知理论对其进行压缩采样前首先要将其稀疏化。本文采用小波变换并设置合适的阈值对其进行稀疏化，稀疏化后的信号经过M*N （M=200，N=512）测量矩阵的处理得到测量向量。然后再对该向量进行基于压缩感知的OMP 算法重构，得到测量前稀疏信号的估计值。最后对该估计值进行小波逆变换。得到了原始图像信号的重构。
本文中对图像信号稀疏化的过程是通过多级小波变换来实现的，若图像列数为col, 则最多能执行的小波变换的级数为log2(col)。因此在本实验中，小波变换执行的次数对实验结果的影响很大。另外阈值的设置直接影响到信号的稀疏度，从而影响到重构结果。所以本文中对实验有较大影响的两个参数为小波变换的级数和阈值。通过大量的实验得出：维数为512*512的图像，小波变换的级数设置为7时效果最优。下面列出了小波变换级数为7，不同阈值下的重构图像。另一个word 文件中列出了一张256*256的图像在所有可能的小波变换次数和阈值条件下的重构结果。
重构图
像
阈值=3
重构图像
阈值
=3.2
阈值=3.5
重构图像
阈值
=3.7
阈值=4
原始图像
原始图像