不等式及不等式的性质
中考要求
不等式基本性质：
基本性质１：不等式两边都加上(或减去) 同一个数(或式子) ，不等号方向不变．
如果a >b ，那么a ±c >b ±c
如果a
基本性质２：不等式两边都乘以(或除以) 同一个正数，不等号的方向不变．
a b 如果a >b ，并且c >0，那么ac >bc (或>) c c
a b 如果a 0，那么ac
基本性质３：不等式两边都乘以(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变．
a b 如果a >b ，并且c
如果a bc (或ax >b )
易错点：不等式两边都乘(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变．在计算的时候符号方向容易忘记改变． 另外，不等式还具有互逆性和传递性．
不等式的互逆性：如果a>b，那么bb．
不等式的传递性：如果a>b，b>c，那么a>c．
注意：⑴在不等式两边都乘以(或除以) 同一个负数，要改变不等号的方向．
⑵在不等式两边不能乘以０，因为乘以０后不等式将变为等式，以不等式３＞２为例，在不等式３＞２两边都乘同一个数a 时，有下面三种情形：
①如果a>0，那么3a>2a；
②如果a=0时，那么3a=2a；
③如果a
一、不等式的基本概念
【例1】 用不等式表示数量的不等关系．
⑴ a 是正数 ⑵ a 是非负数 ⑶ a 的相反数不大于1 ⑷ x 与y 的差是负数 ⑸ m 的4倍不小于8 ⑹ q 的相反数与q 的一半的差不是正数
1⑺ x 的3倍不大于x 的 ⑻ a 不比0大 3
【例2】 用不等式表示：
12⑴ x 的与6的差大于2； ⑵ y 的与4的和小于x ； 35
1⑶ a 的3倍与b 的的差是非负数； ⑷ x 与5的和的30%不大于-2． 2
【例3】 下列各式中，是一元一次不等式的为( )
1A ．5x =10 B ．5x +y >10 C ．5x 2>10 D ．>2 E ．5x >10 x
【例4】 关于x 的某个不等式组的解集在数轴上表示为如图，则不等式组的解集为__________．
【例5】 用不等式表示下列数量关系
（1）代数式4x +3的值不大于2； （2）m 和n 的和是非负数。
二、不等式的基本性质
【例6】 ⑴ 如果a >b ，则2a >a +b ，是根据 ；
⑵ 如果a >b ，则3a >3b ，是根据 ； ⑶ 如果a >b ，则-a 1，则a 2>a ，是根据 ⑸ 如果a -a ，是根据
【例7】 利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．
⑴ 若a b ，则-4a ______-4b ；
3⑶ 若-x >6，则x ______-4；⑷ 若a >b ，c >0，则ac ______bc ； 2
⑸ 若x 0，z
【例8】 比较下列各对代数式的值的大小：
11（1）已知x
（2）已知2-3x >2-3y ，则x _____y 。
-1
11ab ≠0，是比较与的大小。 【例10】 已知a
c >d ，解答下列问题： 【例11】 已知a >b ，
（1）证明a +c >b +d ；
（2）不等式ac >bd 是否成立？试说明理由。
【例12】 根据a >b ，则下面哪个不等式不一定成立 ( )
A ． a +c 2>b +c 2 B ． a -c 2>b -c 2 C ． ac 2>bc 2 D ．
【例13】 设a ，b ，c 都是实数，且满足：
用a 去乘不等式的两边，不等号方向不变；
用b 去除不等式的两边，不等号方向改变；
用c 去乘不等式的两边，不等号要变成等号．
则a 、b 、c 的大小关系是 ( )
A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >a D ．c >a >b
【例14】 若x +y >x -y ，y -x >y ，那么下列式子正确的是 ( )
y A ． x +y >0 B ． y -x 0 x
【巩固】根据a >b ，则下面哪个不等式不一定成立( ) a b >c 2c 2
A ． a +c 2>b +c 2 B ． a -c 2>b -c 2 C ． ac 2>bc 2 D ． a b >c 2+1c 2+1
【巩固】如果a >b ，可知下面哪个不等式成立( )
11A ． -a >-b B ． 2b D ． a 2>ab a b
【例15】 设a ，b ，c 都是实数，且满足：用a 去乘不等式的两边，不等号方向不变；用b 去除不等式的两边，
不等号方向改变；用c 去乘不等式的两边，不等号要变成等号． 则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >a D ．c >a >b
【例16】 如果b
A ．b 2ab C ．2b >2a D ．-2b >-2a
【例17】 已知a >b ，要使-bm
A ．m >0 B ．m =0 C ．m
x +y >x -y ，y -x >y ，那么下列式子正确的是( ) 【例18】
y A ．x +y >0 B ．y -x 0 x
11【例19】 如果x >2，那么下列四个式子中：①x 2>2x ②xy >2y ③2x >x ④
有 ( )
A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
【例20】 若a
11A ． ab D ． |a |
【例21】 如果a >b ，可知下面哪个不等式一定成立( )
11A ． -a >-b B ． 2b D ． a 2>ab a b
不等式及不等式的性质
中考要求
不等式基本性质：
基本性质１：不等式两边都加上(或减去) 同一个数(或式子) ，不等号方向不变．
如果a >b ，那么a ±c >b ±c
如果a
基本性质２：不等式两边都乘以(或除以) 同一个正数，不等号的方向不变．
a b 如果a >b ，并且c >0，那么ac >bc (或>) c c
a b 如果a 0，那么ac
基本性质３：不等式两边都乘以(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变．
a b 如果a >b ，并且c
如果a bc (或ax >b )
易错点：不等式两边都乘(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变．在计算的时候符号方向容易忘记改变． 另外，不等式还具有互逆性和传递性．
不等式的互逆性：如果a>b，那么bb．
不等式的传递性：如果a>b，b>c，那么a>c．
注意：⑴在不等式两边都乘以(或除以) 同一个负数，要改变不等号的方向．
⑵在不等式两边不能乘以０，因为乘以０后不等式将变为等式，以不等式３＞２为例，在不等式３＞２两边都乘同一个数a 时，有下面三种情形：
①如果a>0，那么3a>2a；
②如果a=0时，那么3a=2a；
③如果a
一、不等式的基本概念
【例1】 用不等式表示数量的不等关系．
⑴ a 是正数 ⑵ a 是非负数 ⑶ a 的相反数不大于1 ⑷ x 与y 的差是负数 ⑸ m 的4倍不小于8 ⑹ q 的相反数与q 的一半的差不是正数
1⑺ x 的3倍不大于x 的 ⑻ a 不比0大 3
【例2】 用不等式表示：
12⑴ x 的与6的差大于2； ⑵ y 的与4的和小于x ； 35
1⑶ a 的3倍与b 的的差是非负数； ⑷ x 与5的和的30%不大于-2． 2
【例3】 下列各式中，是一元一次不等式的为( )
1A ．5x =10 B ．5x +y >10 C ．5x 2>10 D ．>2 E ．5x >10 x
【例4】 关于x 的某个不等式组的解集在数轴上表示为如图，则不等式组的解集为__________．
【例5】 用不等式表示下列数量关系
（1）代数式4x +3的值不大于2； （2）m 和n 的和是非负数。
二、不等式的基本性质
【例6】 ⑴ 如果a >b ，则2a >a +b ，是根据 ；
⑵ 如果a >b ，则3a >3b ，是根据 ； ⑶ 如果a >b ，则-a 1，则a 2>a ，是根据 ⑸ 如果a -a ，是根据
【例7】 利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．
⑴ 若a b ，则-4a ______-4b ；
3⑶ 若-x >6，则x ______-4；⑷ 若a >b ，c >0，则ac ______bc ； 2
⑸ 若x 0，z
【例8】 比较下列各对代数式的值的大小：
11（1）已知x
（2）已知2-3x >2-3y ，则x _____y 。
-1
11ab ≠0，是比较与的大小。 【例10】 已知a
c >d ，解答下列问题： 【例11】 已知a >b ，
（1）证明a +c >b +d ；
（2）不等式ac >bd 是否成立？试说明理由。
【例12】 根据a >b ，则下面哪个不等式不一定成立 ( )
A ． a +c 2>b +c 2 B ． a -c 2>b -c 2 C ． ac 2>bc 2 D ．
【例13】 设a ，b ，c 都是实数，且满足：
用a 去乘不等式的两边，不等号方向不变；
用b 去除不等式的两边，不等号方向改变；
用c 去乘不等式的两边，不等号要变成等号．
则a 、b 、c 的大小关系是 ( )
A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >a D ．c >a >b
【例14】 若x +y >x -y ，y -x >y ，那么下列式子正确的是 ( )
y A ． x +y >0 B ． y -x 0 x
【巩固】根据a >b ，则下面哪个不等式不一定成立( ) a b >c 2c 2
A ． a +c 2>b +c 2 B ． a -c 2>b -c 2 C ． ac 2>bc 2 D ． a b >c 2+1c 2+1
【巩固】如果a >b ，可知下面哪个不等式成立( )
11A ． -a >-b B ． 2b D ． a 2>ab a b
【例15】 设a ，b ，c 都是实数，且满足：用a 去乘不等式的两边，不等号方向不变；用b 去除不等式的两边，
不等号方向改变；用c 去乘不等式的两边，不等号要变成等号． 则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >a D ．c >a >b
【例16】 如果b
A ．b 2ab C ．2b >2a D ．-2b >-2a
【例17】 已知a >b ，要使-bm
A ．m >0 B ．m =0 C ．m
x +y >x -y ，y -x >y ，那么下列式子正确的是( ) 【例18】
y A ．x +y >0 B ．y -x 0 x
11【例19】 如果x >2，那么下列四个式子中：①x 2>2x ②xy >2y ③2x >x ④
有 ( )
A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
【例20】 若a
11A ． ab D ． |a |
【例21】 如果a >b ，可知下面哪个不等式一定成立( )
11A ． -a >-b B ． 2b D ． a 2>ab a b