{范例3.8} 火箭发射的高度，速度和加速度
火箭是一种利用燃料燃烧后喷出的气体产生的反冲推力 的发动机。如果火箭在自由空间飞行，不受引力或空气 阻力等任何外力的影响，其飞行速度公式是什么？ 如果火箭在地球表面从静止竖直向上发射，燃料的燃 烧速率为α，在不太高的范围内，不计空气阻力，其飞 行速度公式是什么？高度和加速度的公式是什么？ 假设火箭发射前的质量为M0 = 2.5×106kg，燃料的燃烧速 率为α = 1.0×104kg/s，燃料燃烧后喷出的气体相对火箭的 速率为u = 3.0×103m/s，火箭点燃的60s内，高度、速度 和加速度随时间变化的规律是什么？最后达到什么值？
{范例3.8} 火箭发射的高度，速度和加速度
[解析]在无重力的空间，把火箭和剩下的燃料作为研究对象。 如图所示，在t时刻火箭的质量为M， 速度大小为v，则动量大小为p = Mv。 经过时间dt，火箭喷出质量为dm的气体， 喷出的速度相对火箭为定值u，相对自由 空间的速度为v - u，动量为(v - u)dm。 火箭的质量为M – dm，速度增为 v + dv，动量为(M - dm)(v + dv)。 总动量为p' = (M - dm)(v + dv) + (v - u)dm。 由于M0 = M + m，所以dm = -dM。 M dm u M-dm v-u v u v v+dv
即火箭喷出的质量等于其质量的减小量。 根据动量守恒定律得Mv = (M + dM)(v + dv) - (v - u)dM。 化简后略去二阶无穷小量dMdv，可得Mdv + udM = 0。
{范例3.8} 火箭发射的高度，速度和加速度
Mdv + udM = 0 dM 积分得v = -ulnM + C 分离变量得 dv = −u M 这是著名的 设火箭的质量为M0时，其速度为 v v + u ln M 0 齐奥尔科夫 = 0 v0，可得C = v0 + ulnM0，因此 M 斯基公式。 火箭质量从M0减少到M时，火箭的速度则由v0增加到v。 如果火箭开始飞行时速度为零，质量为M0，燃料烧尽时火箭 剩下的质量为m0，由上式可计算火箭能够达到的最大速度。 M0/m0称为质量比，火箭的喷气速度越大， 质量比越大，所能达到的速度就越大。 但是这两项都 受到技术限制。
火箭起飞时,第一级火箭开始工作；当燃料烧尽后，第一级的 外壳就自动脱落，第二级火箭接着工作，使火箭进一步加速。 这就是多级火 前一级火箭脱落，使后一级火箭减负，提 高了质量比，因而可获得更大的最终速度。 箭的工作原理。
{范例3.8} 火箭发射的高度，速度和加速度
假设火箭在地球表面向上发射，其初速度为零，初始质量为M0。 取向上的方向为正，经过飞行时间t，火箭剩下的 质量为M = M0 - αt，α是燃料燃烧的速率dm/dt； 重力加速度g使火箭速度减少gt， M0 = u ln − gt v 因此火箭在地面上发射的速度为 M 0 −αt 依速度公式v = dz/dt，可得dz = [ulnM0 – uln(M0 – αt) – gt]dt，
1 2 z 积分得= ut ln M 0 + α [( M 0 − α t ) ln( M 0
− α t ) + α t ] − 2 gt + C ′
M 0 ln M 0 当t = 0时，z = 0，可得 火箭上升的高度为 α u 1 2 z = ut (1 + ln M 0 ) + [( M 0 − α t ) ln( M 0 − α t ) − M 0 ln M 0 ] − gt 2 α αu 否则，火箭 火箭的加 = dv a = −g dt M 0 − α t 无法起飞。 速度为 当t = 0时，由于a > 0，必有条件αu > M0g， C′ = − u
u
火箭的速度随时间的延长而加速 增加，最后的速度达到235.3m/s。
火箭的高度随时间的延长也是加速 增加的，最后的高度达到5931m。
火箭一点火，加速度就不为零，约为 2.2m/s2；火箭的加速度随时间的延长仍然 是加速增加的，最后的加速度接近6m/s2。
{范例3.8} 火箭发射的高度，速度和加速度
火箭是一种利用燃料燃烧后喷出的气体产生的反冲推力 的发动机。如果火箭在自由空间飞行，不受引力或空气 阻力等任何外力的影响，其飞行速度公式是什么？ 如果火箭在地球表面从静止竖直向上发射，燃料的燃 烧速率为α，在不太高的范围内，不计空气阻力，其飞 行速度公式是什么？高度和加速度的公式是什么？ 假设火箭发射前的质量为M0 = 2.5×106kg，燃料的燃烧速 率为α = 1.0×104kg/s，燃料燃烧后喷出的气体相对火箭的 速率为u = 3.0×103m/s，火箭点燃的60s内，高度、速度 和加速度随时间变化的规律是什么？最后达到什么值？
{范例3.8} 火箭发射的高度，速度和加速度
[解析]在无重力的空间，把火箭和剩下的燃料作为研究对象。 如图所示，在t时刻火箭的质量为M， 速度大小为v，则动量大小为p = Mv。 经过时间dt，火箭喷出质量为dm的气体， 喷出的速度相对火箭为定值u，相对自由 空间的速度为v - u，动量为(v - u)dm。 火箭的质量为M – dm，速度增为 v + dv，动量为(M - dm)(v + dv)。 总动量为p' = (M - dm)(v + dv) + (v - u)dm。 由于M0 = M + m，所以dm = -dM。 M dm u M-dm v-u v u v v+dv
即火箭喷出的质量等于其质量的减小量。 根据动量守恒定律得Mv = (M + dM)(v + dv) - (v - u)dM。 化简后略去二阶无穷小量dMdv，可得Mdv + udM = 0。
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Mdv + udM = 0 dM 积分得v = -ulnM + C 分离变量得 dv = −u M 这是著名的 设火箭的质量为M0时，其速度为 v v + u ln M 0 齐奥尔科夫 = 0 v0，可得C = v0 + ulnM0，因此 M 斯基公式。 火箭质量从M0减少到M时，火箭的速度则由v0增加到v。 如果火箭开始飞行时速度为零，质量为M0，燃料烧尽时火箭 剩下的质量为m0，由上式可计算火箭能够达到的最大速度。 M0/m0称为质量比，火箭的喷气速度越大， 质量比越大，所能达到的速度就越大。 但是这两项都 受到技术限制。
火箭起飞时,第一级火箭开始工作；当燃料烧尽后，第一级的 外壳就自动脱落，第二级火箭接着工作，使火箭进一步加速。 这就是多级火 前一级火箭脱落，使后一级火箭减负，提 高了质量比，因而可获得更大的最终速度。 箭的工作原理。
{范例3.8} 火箭发射的高度，速度和加速度
假设火箭在地球表面向上发射，其初速度为零，初始质量为M0。 取向上的方向为正，经过飞行时间t，火箭剩下的 质量为M = M0 - αt，α是燃料燃烧的速率dm/dt； 重力加速度g使火箭速度减少gt， M0 = u ln − gt v 因此火箭在地面上发射的速度为 M 0 −αt 依速度公式v = dz/dt，可得dz = [ulnM0 – uln(M0 – αt) – gt]dt，
1 2 z 积分得= ut ln M 0 + α [( M 0 − α t ) ln( M 0
− α t ) + α t ] − 2 gt + C ′
M 0 ln M 0 当t = 0时，z = 0，可得 火箭上升的高度为 α u 1 2 z = ut (1 + ln M 0 ) + [( M 0 − α t ) ln( M 0 − α t ) − M 0 ln M 0 ] − gt 2 α αu 否则，火箭 火箭的加 = dv a = −g dt M 0 − α t 无法起飞。 速度为 当t = 0时，由于a > 0，必有条件αu > M0g， C′ = − u
u
火箭的速度随时间的延长而加速 增加，最后的速度达到235.3m/s。
火箭的高度随时间的延长也是加速 增加的，最后的高度达到5931m。
火箭一点火，加速度就不为零，约为 2.2m/s2；火箭的加速度随时间的延长仍然 是加速增加的，最后的加速度接近6m/s2。