1. 如图，在四棱锥A -EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，
EF ∥BC ，BC =4，EF =2a ，∠EBC =∠FCB =60︒，O 为EF 的中点．
(Ⅰ) 求证：AO ⊥BE ；
(Ⅱ) 求二面角F -AE -
B 的余弦值；-
54 3
(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．a =
A
F
C
E
B
2. 如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD =PC =4，
AB =6，BC =3. 点E 是CD 边的中点，点F 、G 分别在线段AB 、BC 上，且
AF =2FB ，CG =2GB .
图2
（1）证明：PE ⊥FG ；
（2）求二面角P -AD -C 的正切值；（2
（3
（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.
3. 如图所示，在多面体A 1B 1D 1DCBA ，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1, ABCD 均为正方形，
E 为B 1D 1的中点，过A 1, D , E 的平面交CD 1于F （1）证明：EF //B 1C 1
(2)求二面角E -A 1D -B 1余弦值. 根号6/3
4. 如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ^平面BEC ，BE ^EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.
(Ⅰ) 求证：GF
//平面ADE ； (Ⅱ) 求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．
【答案】(Ⅰ) 详见解析；(Ⅱ)
2． 3
5. 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠BAD =
π
2
，AB=BC =1，
AD =2，E是AD 的中点，O是AC 与BE的交点．将∆ABE沿BE折起到
∆A1BE
的位置，如图2．
（I ）证明：CD ⊥平面A1OC ；
（II ）若平面A1BE⊥平面BCD E，求平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值．
【答案】（I ）证明见解析；（II ）
． 3
AB ⊥AC , AB =
1, 6. 如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ,
AC =AA 1=2, AD =CD 且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点.
(I)求证：MN 平面ABCD ； (II)求二面角D 1-AC -B 1的正弦值；
(III)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为段A 1E 的长
1
，求线3
【答案】(I)见解析； (II)
； (III)
2. 7. 如图，在三棱台DEF -ABC 中，
AB =2DE , G , H 分别为AC , BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD //平面FGH ；
（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC , AB ⊥BC , CF =DE , ∠BAC =45, 求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小.60
8. 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC =CC 1，设AB 1的中点为D ，
B 1C BC 1=E . 求证：（1）DE //平面AA 1C 1C ；
（2）BC 1⊥AB 1.
9. 如图, 四棱锥P -ABCD 中, PA ⊥底面ABCD ,
BC =CD =2, AC =4, ∠ACB =∠ACD =
π
3
, F 为PC 的中点, AF ⊥PB .
(1)求PA 的长; (2)求二面角B -
AF -D 的正弦值.
10. 如图, 在四面体A -BCD 中, AD ⊥平面BCD , BC ⊥CD , AD =2, BD =22. M
是AD 的中点, P 是BM 的中点, 点Q 在线段AC 上, 且AQ =3QC .
(1)证明:PQ //平面BCD ;(2)若二面角C -BM -D 的大小为600, 求∠BDC 的大小
.
A M
B
（第20题图）
D
11. 如图1, 在等腰直角三角形ABC 中, ∠A =90︒, BC =6, D , E 分别是AC , AB 上的点
,
CD =BE =O 为BC 的中点. 将∆ADE 沿DE 折起, 得到如图2所示的四棱锥
A '-BCDE ,
其中A 'O =(Ⅰ) 证明:A 'O ⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A '-CD -B 的平面角的余弦值.
. O
B
A '
图1
图2
12. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点
求证：（1）直线EF ∥平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD
A
13. 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB+AD=4，CD=2，∠CDA =45︒．（I ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ； （II ）设AB=AP
．
（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为30︒，求线段AB 的长；
14. 如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，
且∠DAB=60︒，PA =PD =,PB=2, E,F 分别是BC,PC
的中点．
（1） 证明：AD ⊥平面
DEF;
（
2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．
15. 如图5，在圆锥PO 中，已知PO O 的直径AB =2, C 是AB 的中点，
D 为AC 的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD ⊥平面PAC ;
B -PA -C 5（Ⅱ）求二面角的余弦值。
16.
如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥
1
QA ，QA=AB=2PD ．
（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值．
17. 如图，四棱锥S -ABCD 中， AB ⊥CD , BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，
AB =BC =2, CD =SD =1．
（Ⅰ）证明：SD ⊥平面SAB ;
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．
18. 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60︒，
AB =2AD ，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA ⊥BD ；
（II ）若PD=AD，求二面角A-PB-C 的余弦值．
19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90
︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ. ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ, 求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
20. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D 是棱CC1上的一P 是AD 的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA ． （I ）求证：CD=C1D：
（II ）求二面角A-A1D-B 的平面角的余弦值； （Ⅲ）求点C 到平面B1DP 的距离．
21. 如题（19）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，
AD =CD ，∠CAD =30︒．
（Ⅰ）若AD =2，AB =2BC ，求四面体ABCD 的体积；
（Ⅱ）若二面角C -AB -D 为60︒，求异面直线AD
与BC 所成角的余弦值．
22. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2
(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；
(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；
(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．
图1 C
B
图2
23. 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝2，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .
(1)证明：PC ⊥平面BED ；
(2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．
24. 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，
P A ＝AD ＝2，AC ＝1.
(1)证明PC ⊥AD ；
(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；
(3)设E 与棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．
25. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．
(1)求证：B 1E ⊥AD 1；
(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；
(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．
A 1
B 1
B
26. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．
(1)证明：CD ⊥平面P AE ；
(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．
A
1. 如图，在四棱锥A -EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，
EF ∥BC ，BC =4，EF =2a ，∠EBC =∠FCB =60︒，O 为EF 的中点．
(Ⅰ) 求证：AO ⊥BE ；
(Ⅱ) 求二面角F -AE -
B 的余弦值；-
54 3
(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．a =
A
F
C
E
B
2. 如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD =PC =4，
AB =6，BC =3. 点E 是CD 边的中点，点F 、G 分别在线段AB 、BC 上，且
AF =2FB ，CG =2GB .
图2
（1）证明：PE ⊥FG ；
（2）求二面角P -AD -C 的正切值；（2
（3
（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.
3. 如图所示，在多面体A 1B 1D 1DCBA ，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1, ABCD 均为正方形，
E 为B 1D 1的中点，过A 1, D , E 的平面交CD 1于F （1）证明：EF //B 1C 1
(2)求二面角E -A 1D -B 1余弦值. 根号6/3
4. 如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ^平面BEC ，BE ^EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.
(Ⅰ) 求证：GF
//平面ADE ； (Ⅱ) 求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．
【答案】(Ⅰ) 详见解析；(Ⅱ)
2． 3
5. 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠BAD =
π
2
，AB=BC =1，
AD =2，E是AD 的中点，O是AC 与BE的交点．将∆ABE沿BE折起到
∆A1BE
的位置，如图2．
（I ）证明：CD ⊥平面A1OC ；
（II ）若平面A1BE⊥平面BCD E，求平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值．
【答案】（I ）证明见解析；（II ）
． 3
AB ⊥AC , AB =
1, 6. 如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ,
AC =AA 1=2, AD =CD 且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点.
(I)求证：MN 平面ABCD ； (II)求二面角D 1-AC -B 1的正弦值；
(III)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为段A 1E 的长
1
，求线3
【答案】(I)见解析； (II)
； (III)
2. 7. 如图，在三棱台DEF -ABC 中，
AB =2DE , G , H 分别为AC , BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD //平面FGH ；
（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC , AB ⊥BC , CF =DE , ∠BAC =45, 求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小.60
8. 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC =CC 1，设AB 1的中点为D ，
B 1C BC 1=E . 求证：（1）DE //平面AA 1C 1C ；
（2）BC 1⊥AB 1.
9. 如图, 四棱锥P -ABCD 中, PA ⊥底面ABCD ,
BC =CD =2, AC =4, ∠ACB =∠ACD =
π
3
, F 为PC 的中点, AF ⊥PB .
(1)求PA 的长; (2)求二面角B -
AF -D 的正弦值.
10. 如图, 在四面体A -BCD 中, AD ⊥平面BCD , BC ⊥CD , AD =2, BD =22. M
是AD 的中点, P 是BM 的中点, 点Q 在线段AC 上, 且AQ =3QC .
(1)证明:PQ //平面BCD ;(2)若二面角C -BM -D 的大小为600, 求∠BDC 的大小
.
A M
B
（第20题图）
D
11. 如图1, 在等腰直角三角形ABC 中, ∠A =90︒, BC =6, D , E 分别是AC , AB 上的点
,
CD =BE =O 为BC 的中点. 将∆ADE 沿DE 折起, 得到如图2所示的四棱锥
A '-BCDE ,
其中A 'O =(Ⅰ) 证明:A 'O ⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A '-CD -B 的平面角的余弦值.
. O
B
A '
图1
图2
12. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点
求证：（1）直线EF ∥平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD
A
13. 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB+AD=4，CD=2，∠CDA =45︒．（I ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ； （II ）设AB=AP
．
（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为30︒，求线段AB 的长；
14. 如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，
且∠DAB=60︒，PA =PD =,PB=2, E,F 分别是BC,PC
的中点．
（1） 证明：AD ⊥平面
DEF;
（
2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．
15. 如图5，在圆锥PO 中，已知PO O 的直径AB =2, C 是AB 的中点，
D 为AC 的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD ⊥平面PAC ;
B -PA -C 5（Ⅱ）求二面角的余弦值。
16.
如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥
1
QA ，QA=AB=2PD ．
（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值．
17. 如图，四棱锥S -ABCD 中， AB ⊥CD , BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，
AB =BC =2, CD =SD =1．
（Ⅰ）证明：SD ⊥平面SAB ;
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．
18. 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60︒，
AB =2AD ，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA ⊥BD ；
（II ）若PD=AD，求二面角A-PB-C 的余弦值．
19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90
︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ. ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ, 求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
20. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D 是棱CC1上的一P 是AD 的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA ． （I ）求证：CD=C1D：
（II ）求二面角A-A1D-B 的平面角的余弦值； （Ⅲ）求点C 到平面B1DP 的距离．
21. 如题（19）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，
AD =CD ，∠CAD =30︒．
（Ⅰ）若AD =2，AB =2BC ，求四面体ABCD 的体积；
（Ⅱ）若二面角C -AB -D 为60︒，求异面直线AD
与BC 所成角的余弦值．
22. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2
(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；
(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；
(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．
图1 C
B
图2
23. 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝2，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .
(1)证明：PC ⊥平面BED ；
(2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．
24. 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，
P A ＝AD ＝2，AC ＝1.
(1)证明PC ⊥AD ；
(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；
(3)设E 与棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．
25. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．
(1)求证：B 1E ⊥AD 1；
(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；
(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．
A 1
B 1
B
26. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．
(1)证明：CD ⊥平面P AE ；
(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．
A