1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1. 已知：如图1
求证：DE ＝ 分析：由∆ABC 连结CD ，易得CD = 证明：连结CD
AC =BC ∴∠A =∠B
∠ACB =90︒，AD =DB
∴CD =BD =AD ，∠DCB =∠B =∠A AE =CF ，∠A =∠DCB ，AD =CD
∴∆A D E ≅∆CDF
∴DE =DF
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证∆EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。
例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。 求证：∠E ＝∠F
AB =CD ，BC =AD ，AC =CA ∴∆ABC ≅∆CDA (SSS ) ∴∠B =∠D
AB =CD ，AE =CF
∴BE =DF
在∆BCE 和∆DAF 中，
⎧BE =DF ⎪
⎨∠B =∠D ⎪BC =DA ⎩
∴∆BCE ≅∆DAF (SAS )
∴∠E =∠F
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。
2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
例3. 如图3所示，设BP 、CQ 是∆ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。
求证：KH ∥BC
AH 知KH ∥BC 。
证明：延长AH 交BC 于N ，延长AK 交BC 于M ∵BH 平分∠ABC ∴∠ABH =∠NBH 又BH ⊥AH
=∠N H B =90︒ ∴∠A H B
BH ＝BH
∴∆ABH ≅∆NBH (ASA ) ∴BA =BN ，AH =HN
同理，CA ＝CM ，AK ＝KM ∴KH 是∆AMN 的中位线 ∴KH //MN 即KH//BC
说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。
例4. 已知：如图4所示，AB ＝AC ，∠A =90︒，AE =BF ，BD =DC 。 求证：FD ⊥ED
证明一：连结AD
AB =AC ，BD ∴∠1+∠2=90 ∠BAC =90︒，BD =DC
∴BD =AD
∴∠B =∠DAB =∠DAE
在∆ADE 和∆BDF 中，
AE =BF ，∠B =∠DAE ，AD =BD ∴∆ADE ≅∆BDF
∴∠3=∠1
∴∠3+∠2=90︒∴FD ⊥ED
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。
证明二：如图5
BD =DC
∠BDM =∠CDE ，DM =DE ∴∆BDM ≅∆CDE ∴CE =BM ，∠C =∠CBM ∴BM //AC
∠A =90︒
∴∠ABM =90︒=∠A
AB =AC ，BF =AE ∴AF =CE =BM
∴∆AEF ≅∆BFM ∴FE =FM
DM =DE
∴FD ⊥ED
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。
（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90°。
3、证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）
例5. 已知：如图6所示在∆ABC 中，∠B =60︒，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。
60︒，
知∠5+∠6=60︒，∠1=60︒，∠2+∠3=120︒。∴∠1=∠2=∠3=∠4=60︒，得：
∆FOC ≅∆DOC ，∴FC =DC
证明：在AC 上截取AF ＝AE
∠BAD =∠CAD ，AO =AO
∴∆AEO ≅∆AFO (SAS )
∴∠4=∠2
又∠B =60︒
∴∠5+∠6=60︒∴∠1=60︒
∴∠2+∠3=120︒
∴∠1=∠2=∠3=∠4=60︒∴∆FOC ≅∆DOC (AAS ) ∴FC =DC
即AC =AE +CD
（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）
例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠EAF =45︒。 求证：EF ＝BE ＋
分析：使BG ＝DF 。
证明：延长CB 至 在正方形ABCD 中，∠ABG =∠D =90︒，AB =AD
∴∆ABG ≅∆ADF (SAS ) ∴AG =AF ，∠1=∠3
又∠EAF =45︒
∴∠2+∠3=45︒
∴∠2+∠1=45︒∴GE =EF
∴EF =BE +DF
即∠GAE ＝∠FAE
4、中考题：
如图8所示，已知∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝
又AE ＝BD
∴AE =FD =BF ∴BA =AF =EF
即EF ＝AC
AC //FD
∴∠EAC =∠EFD
∴∆EAC ≅∆DFE (SAS )
∴EC =ED
题型展示：
证明几何不等式：
例题：已知：如图9所示，∠1=∠2，AB >AC 。 求证：BD >DC
∴BD =DE ，∠E =∠B ∠DCE >∠B ∴∠DCE >∠E
∴BD >DF ∴BD >DC
说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。
【实战模拟】
1. 已知：如图11所示，∆ABC 中，∠C =90︒，D 是AB 上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有AC =AD =CE 。求证：DE =
1
CD 2
2. 已知：如图 求证：BC ＝
3. 已知：如图13所示，过∆ABC 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过B 、C 作此射线的垂线BP 和CQ 。设M 为BC 的中点。 求证：MP ＝MQ
4. ∆ABC 中，∠BAC =90︒，AD ⊥BC 于D ，求证：AD
(AB +AC +BC ) 4
【试题答案】
1. 证明：取
AC =AD
∴AF ⊥CD ∴∠AFC = 又∠1+∠4=90︒，∠1+∠3=90︒
∴∠4=∠3
AC =CE
∴∆ACF ≅∆CED (ASA )
∴CF =ED
1∴DE =CD 2
2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截
⎧CB =CE ⎪ ⎨∠BCD =∠ECD
⎪CD =CD ⎩
∴∆CBD ≅∆CED
∴∠B =∠E
∠BAC =2∠B
∴∠BAC =2∠E
又∠BAC =∠ADE +∠E ∴∠A D E =∠E ，∴AD =AE
∴BC =CE =
3. 证明：延长PM CQ ⊥AP ，BP ∴BP //CQ ∴∠PBM =∠ 又BM =CM ， ∴∆BPM ≅∆CRM ∴PM =RM
∴QM 是Rt ∆QPR 斜边上的中线 ∴MP =MQ
1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1. 已知：如图1
求证：DE ＝ 分析：由∆ABC 连结CD ，易得CD = 证明：连结CD
AC =BC ∴∠A =∠B
∠ACB =90︒，AD =DB
∴CD =BD =AD ，∠DCB =∠B =∠A AE =CF ，∠A =∠DCB ，AD =CD
∴∆A D E ≅∆CDF
∴DE =DF
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证∆EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。
例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。 求证：∠E ＝∠F
AB =CD ，BC =AD ，AC =CA ∴∆ABC ≅∆CDA (SSS ) ∴∠B =∠D
AB =CD ，AE =CF
∴BE =DF
在∆BCE 和∆DAF 中，
⎧BE =DF ⎪
⎨∠B =∠D ⎪BC =DA ⎩
∴∆BCE ≅∆DAF (SAS )
∴∠E =∠F
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。
2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
例3. 如图3所示，设BP 、CQ 是∆ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。
求证：KH ∥BC
AH 知KH ∥BC 。
证明：延长AH 交BC 于N ，延长AK 交BC 于M ∵BH 平分∠ABC ∴∠ABH =∠NBH 又BH ⊥AH
=∠N H B =90︒ ∴∠A H B
BH ＝BH
∴∆ABH ≅∆NBH (ASA ) ∴BA =BN ，AH =HN
同理，CA ＝CM ，AK ＝KM ∴KH 是∆AMN 的中位线 ∴KH //MN 即KH//BC
说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。
例4. 已知：如图4所示，AB ＝AC ，∠A =90︒，AE =BF ，BD =DC 。 求证：FD ⊥ED
证明一：连结AD
AB =AC ，BD ∴∠1+∠2=90 ∠BAC =90︒，BD =DC
∴BD =AD
∴∠B =∠DAB =∠DAE
在∆ADE 和∆BDF 中，
AE =BF ，∠B =∠DAE ，AD =BD ∴∆ADE ≅∆BDF
∴∠3=∠1
∴∠3+∠2=90︒∴FD ⊥ED
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。
证明二：如图5
BD =DC
∠BDM =∠CDE ，DM =DE ∴∆BDM ≅∆CDE ∴CE =BM ，∠C =∠CBM ∴BM //AC
∠A =90︒
∴∠ABM =90︒=∠A
AB =AC ，BF =AE ∴AF =CE =BM
∴∆AEF ≅∆BFM ∴FE =FM
DM =DE
∴FD ⊥ED
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。
（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90°。
3、证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）
例5. 已知：如图6所示在∆ABC 中，∠B =60︒，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。
60︒，
知∠5+∠6=60︒，∠1=60︒，∠2+∠3=120︒。∴∠1=∠2=∠3=∠4=60︒，得：
∆FOC ≅∆DOC ，∴FC =DC
证明：在AC 上截取AF ＝AE
∠BAD =∠CAD ，AO =AO
∴∆AEO ≅∆AFO (SAS )
∴∠4=∠2
又∠B =60︒
∴∠5+∠6=60︒∴∠1=60︒
∴∠2+∠3=120︒
∴∠1=∠2=∠3=∠4=60︒∴∆FOC ≅∆DOC (AAS ) ∴FC =DC
即AC =AE +CD
（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）
例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠EAF =45︒。 求证：EF ＝BE ＋
分析：使BG ＝DF 。
证明：延长CB 至 在正方形ABCD 中，∠ABG =∠D =90︒，AB =AD
∴∆ABG ≅∆ADF (SAS ) ∴AG =AF ，∠1=∠3
又∠EAF =45︒
∴∠2+∠3=45︒
∴∠2+∠1=45︒∴GE =EF
∴EF =BE +DF
即∠GAE ＝∠FAE
4、中考题：
如图8所示，已知∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝
又AE ＝BD
∴AE =FD =BF ∴BA =AF =EF
即EF ＝AC
AC //FD
∴∠EAC =∠EFD
∴∆EAC ≅∆DFE (SAS )
∴EC =ED
题型展示：
证明几何不等式：
例题：已知：如图9所示，∠1=∠2，AB >AC 。 求证：BD >DC
∴BD =DE ，∠E =∠B ∠DCE >∠B ∴∠DCE >∠E
∴BD >DF ∴BD >DC
说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。
【实战模拟】
1. 已知：如图11所示，∆ABC 中，∠C =90︒，D 是AB 上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有AC =AD =CE 。求证：DE =
1
CD 2
2. 已知：如图 求证：BC ＝
3. 已知：如图13所示，过∆ABC 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过B 、C 作此射线的垂线BP 和CQ 。设M 为BC 的中点。 求证：MP ＝MQ
4. ∆ABC 中，∠BAC =90︒，AD ⊥BC 于D ，求证：AD
(AB +AC +BC ) 4
【试题答案】
1. 证明：取
AC =AD
∴AF ⊥CD ∴∠AFC = 又∠1+∠4=90︒，∠1+∠3=90︒
∴∠4=∠3
AC =CE
∴∆ACF ≅∆CED (ASA )
∴CF =ED
1∴DE =CD 2
2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截
⎧CB =CE ⎪ ⎨∠BCD =∠ECD
⎪CD =CD ⎩
∴∆CBD ≅∆CED
∴∠B =∠E
∠BAC =2∠B
∴∠BAC =2∠E
又∠BAC =∠ADE +∠E ∴∠A D E =∠E ，∴AD =AE
∴BC =CE =
3. 证明：延长PM CQ ⊥AP ，BP ∴BP //CQ ∴∠PBM =∠ 又BM =CM ， ∴∆BPM ≅∆CRM ∴PM =RM
∴QM 是Rt ∆QPR 斜边上的中线 ∴MP =MQ