第一讲 三垂线定理及其逆定理
要点
1．三垂线定理及其逆定理的形成和论证． 2．三垂线定理及其逆定理的简单应用． 教学过程
（一）温故知新，引入课题
我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾： 1．直线和平面垂直的定义？
2．直线和平面垂直的判定定理．
3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？
4．已知平面α和斜线l，如何作出l在平面α
上的射影？ （二）三垂线定理及其逆定理 1.三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α
求证：a⊥PO． 证明：
．改变定理的题设和结论，得到逆命题： 2. 三垂线定理及其逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理（请学生简要说明其证明方法和步骤）．
3.定理内容分析
（1）三垂线定理名称的来由．
定理中包含了三个垂直关系：PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a，
看出三垂线定理名称的来
由．
（2）从定理的条件看，关键的是直线和平面的相对位置关系，而与平面本身是否水平放置无关；在平面内的直线a与斜线或斜线的射影的位置关系关键在于垂直；这样直线a的如下四种位置关系，都是三垂线定理及其逆定理常见的情形．
（3）从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线垂直的重要命题． （4）三垂线定理及其逆定理的比较 相同点：
a. 结构相同，都是由线线垂直推证线线垂直； b .证明方法相同，都采用了线面垂直法.
不同点：
a. 用途不同，原定理用来证明空间两线垂直;而逆定理用来证明同一平面上两直线垂直；
b. 条件与结论不同，原定理是：“与射影垂直与斜线垂直”；逆定理是：“与斜线垂直与射影垂直”.
（三）初步运用
例1．已知：点O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC． 求证：PA⊥BC．
例2．（如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上．
⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF．
求证：∠BAO＝∠CAO．
练习1，如图1-91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，
求证：PB⊥AC．
例3 如图1，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求证： △ABC是锐角三角形 ．
法一：
法二：（三垂线定理）
例4 如图2，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．PH⊥平面ABC于H．求证：H点是△ABC的垂心．
由例4的演变可得例3，现在我们来看例5．
例5 如图2，△ABC中，∠BAC是锐角，PA⊥平面ABC于A，AO⊥平面PBC于O．求证：O不可能是△PBC的垂心．
例6 如图4，已知：∠AOB在平面α内，∠AOB＝60°，PO是平面α的一条斜线段，∠POA＝∠POB＝45°，PP′⊥平面α于P′，且PP′＝3．求：
（1）PO与平面α所成的角的正弦；
（2）PO的长．
我们如何利用上节课所讲的两个基本题来解这题．
因∠POA＝∠POB，所以OP′是∠AOB的平分线，∠POP′相当于θ1，θ2＝30°，θ＝45°，由cosθ·cos30°＝
1
强调：在我们脑中如果“储存”许多基本题，那么在我们解有关综合题时，就能“得心应手”．所以在平时我们一定要注意对基本题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型．．
例7
（1）直线MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线；
（2）若这个正方体的棱长为a，求异面直线A1B和B1D1的距离．
例8：:如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
A1
1B1
C
A
练习2
1.判断下列命题的真假：
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ）
⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b （ ）
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ） 2. 在正方体AC1中，
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 （四）小结：
知识内容：三垂线定理及其逆定理；
应用步骤： “一垂二射三证”
思想方法：转化思想，转化的关键是“找平面的垂线”。 （五）作业： １．（1）求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等。
（2）从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线段DB、DC，若DA=a，且∠BDA=∠CDA=60°， ∠ BDC=90 °，求BC的长。
（3）如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，要经过点E在上底面上画一条直线和C、E的连线垂直，应怎样画？
２．已知P在平面ABC内的射影是O，
若p到△ABC的三边的距离相等，则点O是 △ABC的 。 若PA=PB=PC ，则点O是△ABC的 。
若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC 的 。
探索1、已知P在平面ABC内的射影是O，O是△ABC的垂心，求证PA⊥BC，PB⊥AC。
探索2、已知P在平面ABC内的射影是O，O是△ABC的垂心，求证B在平面PAC内的射影是O’是△PAC的垂心。
探索3、已知O是锐角△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，∠BPC=９０ ° ． 求证：∠BPA= ９０ ° ，∠APC= ９０ ° 。
第一讲 三垂线定理及其逆定理
要点
1．三垂线定理及其逆定理的形成和论证． 2．三垂线定理及其逆定理的简单应用． 教学过程
（一）温故知新，引入课题
我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾： 1．直线和平面垂直的定义？
2．直线和平面垂直的判定定理．
3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？
4．已知平面α和斜线l，如何作出l在平面α
上的射影？ （二）三垂线定理及其逆定理 1.三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α
求证：a⊥PO． 证明：
．改变定理的题设和结论，得到逆命题： 2. 三垂线定理及其逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理（请学生简要说明其证明方法和步骤）．
3.定理内容分析
（1）三垂线定理名称的来由．
定理中包含了三个垂直关系：PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a，
看出三垂线定理名称的来
由．
（2）从定理的条件看，关键的是直线和平面的相对位置关系，而与平面本身是否水平放置无关；在平面内的直线a与斜线或斜线的射影的位置关系关键在于垂直；这样直线a的如下四种位置关系，都是三垂线定理及其逆定理常见的情形．
（3）从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线垂直的重要命题． （4）三垂线定理及其逆定理的比较 相同点：
a. 结构相同，都是由线线垂直推证线线垂直； b .证明方法相同，都采用了线面垂直法.
不同点：
a. 用途不同，原定理用来证明空间两线垂直;而逆定理用来证明同一平面上两直线垂直；
b. 条件与结论不同，原定理是：“与射影垂直与斜线垂直”；逆定理是：“与斜线垂直与射影垂直”.
（三）初步运用
例1．已知：点O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC． 求证：PA⊥BC．
例2．（如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上．
⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF．
求证：∠BAO＝∠CAO．
练习1，如图1-91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，
求证：PB⊥AC．
例3 如图1，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求证： △ABC是锐角三角形 ．
法一：
法二：（三垂线定理）
例4 如图2，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．PH⊥平面ABC于H．求证：H点是△ABC的垂心．
由例4的演变可得例3，现在我们来看例5．
例5 如图2，△ABC中，∠BAC是锐角，PA⊥平面ABC于A，AO⊥平面PBC于O．求证：O不可能是△PBC的垂心．
例6 如图4，已知：∠AOB在平面α内，∠AOB＝60°，PO是平面α的一条斜线段，∠POA＝∠POB＝45°，PP′⊥平面α于P′，且PP′＝3．求：
（1）PO与平面α所成的角的正弦；
（2）PO的长．
我们如何利用上节课所讲的两个基本题来解这题．
因∠POA＝∠POB，所以OP′是∠AOB的平分线，∠POP′相当于θ1，θ2＝30°，θ＝45°，由cosθ·cos30°＝
1
强调：在我们脑中如果“储存”许多基本题，那么在我们解有关综合题时，就能“得心应手”．所以在平时我们一定要注意对基本题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型．．
例7
（1）直线MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线；
（2）若这个正方体的棱长为a，求异面直线A1B和B1D1的距离．
例8：:如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
A1
1B1
C
A
练习2
1.判断下列命题的真假：
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ）
⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b （ ）
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ） 2. 在正方体AC1中，
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 （四）小结：
知识内容：三垂线定理及其逆定理；
应用步骤： “一垂二射三证”
思想方法：转化思想，转化的关键是“找平面的垂线”。 （五）作业： １．（1）求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等。
（2）从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线段DB、DC，若DA=a，且∠BDA=∠CDA=60°， ∠ BDC=90 °，求BC的长。
（3）如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，要经过点E在上底面上画一条直线和C、E的连线垂直，应怎样画？
２．已知P在平面ABC内的射影是O，
若p到△ABC的三边的距离相等，则点O是 △ABC的 。 若PA=PB=PC ，则点O是△ABC的 。
若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC 的 。
探索1、已知P在平面ABC内的射影是O，O是△ABC的垂心，求证PA⊥BC，PB⊥AC。
探索2、已知P在平面ABC内的射影是O，O是△ABC的垂心，求证B在平面PAC内的射影是O’是△PAC的垂心。
探索3、已知O是锐角△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，∠BPC=９０ ° ． 求证：∠BPA= ９０ ° ，∠APC= ９０ ° 。