数学开放性问题教学功能浅析（一）
专题讲座稿（三）
数学开放题是70年代开始出现的一种新题型，其社会背景是新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出有更高数学素养、具有更强的创造能力的人，她被人们认为是最富有教育价值的一种数学问题的题型。教育部《中考改革指导意见》明确指出：“理科在试卷中适当增加开放性试题，培养学生的创新能力，初步体现素质教育的要求。”因此，在中考中引入开放性试题，对数学科教学提出了一个新的课题。数学开放性问题指条件和结论不完备或不确定、解题策略多样化的题目，它一般需要学生通过观察、试验、估计、猜测、类比和归纳等才能解决，对学生具有挑战性和探究性。笔者经过十多年的教学实践深刻认识到：把数学开放性问题引入教学中，是提高课堂教学质量的重要而有效的途径，对全面提高学生的数学素养具有重要的作用。
一、激活认知内驱力，促进学生自主学习
国际数学教育委员会指出：“培养学生对数学的积极态度是中小学数学的一个共同目的，帮助学生体验这种智力的欢乐是达到目的的一种手段，然而实际上任何学校这种欢乐都是有限的。也许在数学课堂更多地进行没有固定答案的研讨的趋势，将会使更多的学生首次体验到科学女皇赋予该学科的美感。”
认知内驱力是学习动机的重要组成部分，它直接指向学习活动本身，是一种了解和理解的需要——要求掌握知识的需要、系统地阐述问题并解决问题的需要。它派生于探求、操作、领会及应付等心理素质，但在学习
活动中受到激活、增强和系统培养。在数学学习中，认知内驱力是头等重要的内部动机，且随学生年龄增大而表现得越发明显。初中生常把自己当作是或希望自己是一个探究者和发现者，有较强的好奇心，而好奇心是对不确定性或模棱两可情况的一种反映，具有适度不确定性的开放性问题是激起学生探究活动的最好素材，它能满足学生成为探究者、发现者的愿望。
例1 如图，∠1=∠2，为了使△ABC≌△ABD，必须补充一个条件，请补上这个条件。
学生的答案多种多样，但有的成立，有的不成立。那么，在众多的答案(涉及边，角，周长，面积，相似，对称，外接圆、内切圆半径…)中哪些是成立的？哪些是不成立的？这道似乎简单而又富有研究价值的开放性问题能有效激发学生的探究欲望。我们把它作为一个探究性问题进行教学，效果非常显著。
二、提高认知水平，培养探究习惯和思维品质
认知心理学告诉我们，有意义学习的深入，依赖于学生对认知对象理解的加深，认知程度的提高，而学生学习的重要目的之一乃是本身理解能
力与认知水平的提高。恰当的开放性问题是实现这一目标的有效途径。
例2 在学习三角形全等的判定定理时，提出如下两个问题：
问题一：有两边和一角对应相等的两个三角形全等吗？(若这个角是两边的夹角，则这两个三角形全等；若这个角是其中一边的对角：①当这个角是直角时，这两个三角形全等；②当这个角是顿角时，这两个三角形全等；③当这个角是锐角时，这两个三角形不全等。)
问题二：有五个元素(边、角)分别相等的两个三角形全等吗？(绝大多数的学生认为一定全等，当他们知道“五个元素”是“分别相等”而不是“对应相等”时，大多数的学生仍然认为一定全等，究其原因是：两个三角形共六个元素，一般只要三个元素对应相等，两个三角形就全等，而现在有五个元素分别相等，即使“不对应”也会全等，直至经过一番探索，举出反例时，才恍然大悟！)。
对于这两个问题，学生十分积极发表自己的见解，但表现出不同的认知水平，在教师的启导下，经过辩论、探讨，学生从模糊到清晰，明显提高了对问题理解的深度及认知水平。
三、体验探究数学问题的思想方法，促进良好认知结构的形成
认知心理学的核心论点是：学习是认知结构的组织和再组织。学生有效学习的最终结果必然是在自己的头脑里构建有成效的认知结构，这个结构具有稳定性、清晰性和可利用性。研究表明，大量的题型复制、繁难的习题求解演示和解题术的记忆与重复等活动并不能导致这三种特征的获得，而功能性较强的思想方法、具有发现意义的思维活动过程和富有条理性的认知策略的开放性问题则对这三种特征的获得具有积极的意义。
例3 ⑴顺次连结△ABC各边中点得到△DEF，你可发现哪些结论？(△DEF≌△ADE≌△DBF≌△EFC，△DEF∽△ABC，△DEF的周长是△ABC的一半，S△DEF=1/2S△ABC)。⑵若把三角形改为四边形，即顺次连结四边形ABCD各边中点得到四边形MNPQ，你可发现哪些结论？(MNPQ为平行四边形，MP与NQ互相平分，SABCD=2SMNPQ)。若ABCD是平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，则MNPQ是什么四边形？为了使MNPQ是矩形、菱形、正方形，则ABCD必须满足什么条件？
对这两个问题学生需要经过观察、试验(特殊验证)、估计、猜测、类比和归纳等才能发现结论。这种亲身体验“发现”的过程，是一种研究策略的缩影，符合学生的认识规律，有利于学生体会数学知识之间的有机联系，形成良好的认知结构。数学开放性问题的教学过程是学生主动构建、积极参与的过程，有利于培养学生的数学意识，发展学生的数感，真正学会“数学地思维”；数学开放性问题的教学过程，也是学生探索和创造的过程，有利于培养学生的探索开拓精神和创造能力。
数学开放性问题教学功能浅析（一）
专题讲座稿（三）
数学开放题是70年代开始出现的一种新题型，其社会背景是新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出有更高数学素养、具有更强的创造能力的人，她被人们认为是最富有教育价值的一种数学问题的题型。教育部《中考改革指导意见》明确指出：“理科在试卷中适当增加开放性试题，培养学生的创新能力，初步体现素质教育的要求。”因此，在中考中引入开放性试题，对数学科教学提出了一个新的课题。数学开放性问题指条件和结论不完备或不确定、解题策略多样化的题目，它一般需要学生通过观察、试验、估计、猜测、类比和归纳等才能解决，对学生具有挑战性和探究性。笔者经过十多年的教学实践深刻认识到：把数学开放性问题引入教学中，是提高课堂教学质量的重要而有效的途径，对全面提高学生的数学素养具有重要的作用。
一、激活认知内驱力，促进学生自主学习
国际数学教育委员会指出：“培养学生对数学的积极态度是中小学数学的一个共同目的，帮助学生体验这种智力的欢乐是达到目的的一种手段，然而实际上任何学校这种欢乐都是有限的。也许在数学课堂更多地进行没有固定答案的研讨的趋势，将会使更多的学生首次体验到科学女皇赋予该学科的美感。”
认知内驱力是学习动机的重要组成部分，它直接指向学习活动本身，是一种了解和理解的需要——要求掌握知识的需要、系统地阐述问题并解决问题的需要。它派生于探求、操作、领会及应付等心理素质，但在学习
活动中受到激活、增强和系统培养。在数学学习中，认知内驱力是头等重要的内部动机，且随学生年龄增大而表现得越发明显。初中生常把自己当作是或希望自己是一个探究者和发现者，有较强的好奇心，而好奇心是对不确定性或模棱两可情况的一种反映，具有适度不确定性的开放性问题是激起学生探究活动的最好素材，它能满足学生成为探究者、发现者的愿望。
例1 如图，∠1=∠2，为了使△ABC≌△ABD，必须补充一个条件，请补上这个条件。
学生的答案多种多样，但有的成立，有的不成立。那么，在众多的答案(涉及边，角，周长，面积，相似，对称，外接圆、内切圆半径…)中哪些是成立的？哪些是不成立的？这道似乎简单而又富有研究价值的开放性问题能有效激发学生的探究欲望。我们把它作为一个探究性问题进行教学，效果非常显著。
二、提高认知水平，培养探究习惯和思维品质
认知心理学告诉我们，有意义学习的深入，依赖于学生对认知对象理解的加深，认知程度的提高，而学生学习的重要目的之一乃是本身理解能
力与认知水平的提高。恰当的开放性问题是实现这一目标的有效途径。
例2 在学习三角形全等的判定定理时，提出如下两个问题：
问题一：有两边和一角对应相等的两个三角形全等吗？(若这个角是两边的夹角，则这两个三角形全等；若这个角是其中一边的对角：①当这个角是直角时，这两个三角形全等；②当这个角是顿角时，这两个三角形全等；③当这个角是锐角时，这两个三角形不全等。)
问题二：有五个元素(边、角)分别相等的两个三角形全等吗？(绝大多数的学生认为一定全等，当他们知道“五个元素”是“分别相等”而不是“对应相等”时，大多数的学生仍然认为一定全等，究其原因是：两个三角形共六个元素，一般只要三个元素对应相等，两个三角形就全等，而现在有五个元素分别相等，即使“不对应”也会全等，直至经过一番探索，举出反例时，才恍然大悟！)。
对于这两个问题，学生十分积极发表自己的见解，但表现出不同的认知水平，在教师的启导下，经过辩论、探讨，学生从模糊到清晰，明显提高了对问题理解的深度及认知水平。
三、体验探究数学问题的思想方法，促进良好认知结构的形成
认知心理学的核心论点是：学习是认知结构的组织和再组织。学生有效学习的最终结果必然是在自己的头脑里构建有成效的认知结构，这个结构具有稳定性、清晰性和可利用性。研究表明，大量的题型复制、繁难的习题求解演示和解题术的记忆与重复等活动并不能导致这三种特征的获得，而功能性较强的思想方法、具有发现意义的思维活动过程和富有条理性的认知策略的开放性问题则对这三种特征的获得具有积极的意义。
例3 ⑴顺次连结△ABC各边中点得到△DEF，你可发现哪些结论？(△DEF≌△ADE≌△DBF≌△EFC，△DEF∽△ABC，△DEF的周长是△ABC的一半，S△DEF=1/2S△ABC)。⑵若把三角形改为四边形，即顺次连结四边形ABCD各边中点得到四边形MNPQ，你可发现哪些结论？(MNPQ为平行四边形，MP与NQ互相平分，SABCD=2SMNPQ)。若ABCD是平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，则MNPQ是什么四边形？为了使MNPQ是矩形、菱形、正方形，则ABCD必须满足什么条件？
对这两个问题学生需要经过观察、试验(特殊验证)、估计、猜测、类比和归纳等才能发现结论。这种亲身体验“发现”的过程，是一种研究策略的缩影，符合学生的认识规律，有利于学生体会数学知识之间的有机联系，形成良好的认知结构。数学开放性问题的教学过程是学生主动构建、积极参与的过程，有利于培养学生的数学意识，发展学生的数感，真正学会“数学地思维”；数学开放性问题的教学过程，也是学生探索和创造的过程，有利于培养学生的探索开拓精神和创造能力。