二次根式教材分析
（一）课程学习目标
1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；
2．了解最简二次根式的概念；
3．理解二次根式的性质：
（1）a(a≥0)是非负数；（2）a)2=a(a≥0)；（3）a2=a(a≥0)； 4．掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）；
5．了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。
（二）知识结构框图
本章知识结构框图如下：
注意：有关a的取值及讨论.
（三）课时安排
本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：
16．1 二次根式 约2课时 16．2 二次根式的乘除 约2课时 16．3 二次根式的加减 约3课时 数学活动、小结 约3课时
（四）内容安排
本章是在第10章的基础上，进一步研究二次根式的概念、性质和运算。本章重点是二次根式的化简和运算，难点是正确理解二次根式的性质和运算法则的合理性，学习本章的关键是理解二次根式的概念和性质，它们是学习二次根式的化简与运算的依据。第10章“实数”中，我们学习了平方根、算术平方根的概念，以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系求非负数的平方根和算术平方根的方法。
全章分为三节，第一节研究了二次根式的概念和性质。教科书首先给出四个实际问题，要求学生根据已学的平方根和算术平方根的知识写出这四个问题的答案，并分析所得结果在表达式上的特点，由此引出二次根式的概念。在二次根式的概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求，教科书结合例题对此进行了较详细的分析。接下去，教科书采用由特
殊到一般的方法，归纳给出了二次根式的性质a)2=a(a≥0)，并根据算术平方根的定义对这条性质进行了分析，对于二次根式的性质a2=a(a≥0)，教科书同样采用了让学生通过具体计算，分析运算过程和运算结果，最后归纳得出一般结论的方法进行研究。第一节的内容是学习后两节内容的直接基础。
第二节的内容是二次根式的乘除运算。本节首先研究了二次根式的乘法运算，教科书通过设置探究栏目，要求学生利用二次根式的性质和计算器等进行一些具体运算，发现a2=a(a≥0)之间的关系，从而由特殊到一般地归纳得出二次根式乘法的运算法则，继而得到积的算术平方根的性质，引出化简二次根式的方法。对于二次根式的除法运算，类似于乘法运算，教科书也采用了由特殊到一般的方法，通过归纳得出二次根式除法的运算法则，继而得到商的二次根式的性质，进一步完善化简二次根式的方法。本节最后，教科书结合本章例题，给出了最简二次根式的概念，明确了化简二次根式的方向，并为下一节学习二次根式的加减运算作好铺垫。
第三节是二次根式的加减运算。在实际生活中会遇到二次根式的加减运算，因此教科书首先结合一个实际问题引出二次根式的加法，然后结合第10章的结论“在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立”，并利用分配律得出了二次根式的加减运算法则。本节最后，在基本的二次根式的乘、除、加、减运算的基础上，教科书通过几个例题研究了二次根式的混合运算，突出了二次根式与整式之间的关系，体现了整式的运算性质、公式和法则与二次根式相关内容的一致性。
本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备．
五、学法教法建议
1．注意加强知识间的纵向联系
本章内容属于“数与代数”这个领域，对于实数的内容，本套教科书主要分为两章学习，分别是七年级下册的第5章“实数”和本章“二次根式”。在“实数”一章中，主要研究了平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，通过第5章的学习，学生对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数范围，并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受，这些为本章的学习打下了基础。因此，教学时要注意与已有经验的联系，要在“实数”一章的基础上进行教学。例如，对于二次根式的加减运算，在“实数”一章中，为了让学生对“有理数的运算律和运算法则在实数的范围内仍然成立”有所体验，教科书以二次根式的加减运算为例对这个结论进行了说明，这样实际上在“实数”一章中，学生对二次根式的加减运算已经有所接触，本章在此基础上利用分配律给出了加减法的运算法则，使学生进一步体会运
算律在数的扩充过程中的一致性。
2．加强与实际的联系
研究二次根式的运算既是数学内部的需要，也是实际的需要，教材注意了与实际的联系。例如，二次根式概念的引入是结合四个实际问题展开的，二次根式的加法运算是结合实际中裁截板材问题引出的，另外本章也有较多的应用本章内容解决实际问题的例题和习题，如计算钢材问题、确定纸张规格问题、电视塔的传播半径问题等等。因此教学时注意联系实际，对于一些重要的概念和运算可以紧密结合实际生活展开，使学生在解决实际问题的过程中，认识二次根式的有关概念和运算。
3．加大学生探索空间，体现由特殊到一般的认识过程
根据本章内容的特点，对于一些重要结论，编写时注意了让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程。例如，对于二次根式的乘法法则，教科书首先让学生利用二次根式的概念和性质进行几个具体的计算，其中有两个二次根式相乘的问题，也有积的算术平方根的问题，学生通过具体计算，并观察所得结果发现二次根式相乘与积的算术平方根之间的关系，并利用发现的规律进行计算，然后利用计算器进行验证，最后归纳得出二次根式的乘法运算法则，这个过程实际上让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程；再如，二次根式的除法运算法则也是采用通过学生的探索活动，由特殊到一般地归纳得出结论的方法。由于本章内容与以前所学的实数内容有较多联系，在思考问题的方法上与整式的内容又有很多相通之处，因此，教学中，可以结合具体内容，给学生尽可能多地留出探索交流的空间，例如，对于第三节中的例6，可以让学生自己探索，发现整式的平方差公式在二次根式的运算中也成立。通过这样的探究活动发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，掌握认识事物的一般规律．
4．适当加强练习，为后续学习打好基础
本章内容属于“数与代数”领域中较基础的内容，尤其是二次根式的加、减、乘、除运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数的重要基础，例如在“解直角三角形”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到将二次根式化成最简二次根式以及二次根式的加减运算，在“一元二次方程”中，利用公式法解方程时，会用到二次根式的性质，在“二次函数”一章中，判断二次函数的图象与x轴是否有交点时，会遇到根的判别式中被开方数小于0的情形，这里需要深刻理解二次根式的意义。再有，本章主要内容是二次根式的化简和运算，掌握化简的方法和运算规律需要一定的训练。因此，教学中可以适当增加练习，使学生较好地理解二次根式的意义，较好地掌握二次根式的性质和运算，为后续的学习打下良好的基础，也为后续学习作好知识准备。
本章内容与“整式”“勾股定理”等联系紧密，在加强练习的过程中，注意知识之间的相互联系，提高综合应用的能力。
5．引导学生理解数学的本质
本章的重点是让学生理解二次根式的性质和运算，并会熟练运用法则进行运算。本章编写时，注重说明性质和法则成立的合理性，突出了它们的数学本质。对于概念，教材淡化概念名词，突出概念实质。例如，本章在介绍二次根式的乘除运算时，没有给出分母有理化的
概念，而是结合具体例子说明了分母有理化的要求，再如，对于二次根式的加减运算，迴避了同类二次根式的概念，突出强调了运算时先将二次根式化成最简二次根式再进行合并的方法。这样处理内容的目的是使学生将学习的重点放在理解数学的本质上来。因此，教学中注意体会教材的编写意图，培养学生的数学能力。
二次根式教材分析
（一）课程学习目标
1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；
2．了解最简二次根式的概念；
3．理解二次根式的性质：
（1）a(a≥0)是非负数；（2）a)2=a(a≥0)；（3）a2=a(a≥0)； 4．掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）；
5．了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。
（二）知识结构框图
本章知识结构框图如下：
注意：有关a的取值及讨论.
（三）课时安排
本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：
16．1 二次根式 约2课时 16．2 二次根式的乘除 约2课时 16．3 二次根式的加减 约3课时 数学活动、小结 约3课时
（四）内容安排
本章是在第10章的基础上，进一步研究二次根式的概念、性质和运算。本章重点是二次根式的化简和运算，难点是正确理解二次根式的性质和运算法则的合理性，学习本章的关键是理解二次根式的概念和性质，它们是学习二次根式的化简与运算的依据。第10章“实数”中，我们学习了平方根、算术平方根的概念，以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系求非负数的平方根和算术平方根的方法。
全章分为三节，第一节研究了二次根式的概念和性质。教科书首先给出四个实际问题，要求学生根据已学的平方根和算术平方根的知识写出这四个问题的答案，并分析所得结果在表达式上的特点，由此引出二次根式的概念。在二次根式的概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求，教科书结合例题对此进行了较详细的分析。接下去，教科书采用由特
殊到一般的方法，归纳给出了二次根式的性质a)2=a(a≥0)，并根据算术平方根的定义对这条性质进行了分析，对于二次根式的性质a2=a(a≥0)，教科书同样采用了让学生通过具体计算，分析运算过程和运算结果，最后归纳得出一般结论的方法进行研究。第一节的内容是学习后两节内容的直接基础。
第二节的内容是二次根式的乘除运算。本节首先研究了二次根式的乘法运算，教科书通过设置探究栏目，要求学生利用二次根式的性质和计算器等进行一些具体运算，发现a2=a(a≥0)之间的关系，从而由特殊到一般地归纳得出二次根式乘法的运算法则，继而得到积的算术平方根的性质，引出化简二次根式的方法。对于二次根式的除法运算，类似于乘法运算，教科书也采用了由特殊到一般的方法，通过归纳得出二次根式除法的运算法则，继而得到商的二次根式的性质，进一步完善化简二次根式的方法。本节最后，教科书结合本章例题，给出了最简二次根式的概念，明确了化简二次根式的方向，并为下一节学习二次根式的加减运算作好铺垫。
第三节是二次根式的加减运算。在实际生活中会遇到二次根式的加减运算，因此教科书首先结合一个实际问题引出二次根式的加法，然后结合第10章的结论“在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立”，并利用分配律得出了二次根式的加减运算法则。本节最后，在基本的二次根式的乘、除、加、减运算的基础上，教科书通过几个例题研究了二次根式的混合运算，突出了二次根式与整式之间的关系，体现了整式的运算性质、公式和法则与二次根式相关内容的一致性。
本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备．
五、学法教法建议
1．注意加强知识间的纵向联系
本章内容属于“数与代数”这个领域，对于实数的内容，本套教科书主要分为两章学习，分别是七年级下册的第5章“实数”和本章“二次根式”。在“实数”一章中，主要研究了平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，通过第5章的学习，学生对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数范围，并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受，这些为本章的学习打下了基础。因此，教学时要注意与已有经验的联系，要在“实数”一章的基础上进行教学。例如，对于二次根式的加减运算，在“实数”一章中，为了让学生对“有理数的运算律和运算法则在实数的范围内仍然成立”有所体验，教科书以二次根式的加减运算为例对这个结论进行了说明，这样实际上在“实数”一章中，学生对二次根式的加减运算已经有所接触，本章在此基础上利用分配律给出了加减法的运算法则，使学生进一步体会运
算律在数的扩充过程中的一致性。
2．加强与实际的联系
研究二次根式的运算既是数学内部的需要，也是实际的需要，教材注意了与实际的联系。例如，二次根式概念的引入是结合四个实际问题展开的，二次根式的加法运算是结合实际中裁截板材问题引出的，另外本章也有较多的应用本章内容解决实际问题的例题和习题，如计算钢材问题、确定纸张规格问题、电视塔的传播半径问题等等。因此教学时注意联系实际，对于一些重要的概念和运算可以紧密结合实际生活展开，使学生在解决实际问题的过程中，认识二次根式的有关概念和运算。
3．加大学生探索空间，体现由特殊到一般的认识过程
根据本章内容的特点，对于一些重要结论，编写时注意了让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程。例如，对于二次根式的乘法法则，教科书首先让学生利用二次根式的概念和性质进行几个具体的计算，其中有两个二次根式相乘的问题，也有积的算术平方根的问题，学生通过具体计算，并观察所得结果发现二次根式相乘与积的算术平方根之间的关系，并利用发现的规律进行计算，然后利用计算器进行验证，最后归纳得出二次根式的乘法运算法则，这个过程实际上让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程；再如，二次根式的除法运算法则也是采用通过学生的探索活动，由特殊到一般地归纳得出结论的方法。由于本章内容与以前所学的实数内容有较多联系，在思考问题的方法上与整式的内容又有很多相通之处，因此，教学中，可以结合具体内容，给学生尽可能多地留出探索交流的空间，例如，对于第三节中的例6，可以让学生自己探索，发现整式的平方差公式在二次根式的运算中也成立。通过这样的探究活动发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，掌握认识事物的一般规律．
4．适当加强练习，为后续学习打好基础
本章内容属于“数与代数”领域中较基础的内容，尤其是二次根式的加、减、乘、除运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数的重要基础，例如在“解直角三角形”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到将二次根式化成最简二次根式以及二次根式的加减运算，在“一元二次方程”中，利用公式法解方程时，会用到二次根式的性质，在“二次函数”一章中，判断二次函数的图象与x轴是否有交点时，会遇到根的判别式中被开方数小于0的情形，这里需要深刻理解二次根式的意义。再有，本章主要内容是二次根式的化简和运算，掌握化简的方法和运算规律需要一定的训练。因此，教学中可以适当增加练习，使学生较好地理解二次根式的意义，较好地掌握二次根式的性质和运算，为后续的学习打下良好的基础，也为后续学习作好知识准备。
本章内容与“整式”“勾股定理”等联系紧密，在加强练习的过程中，注意知识之间的相互联系，提高综合应用的能力。
5．引导学生理解数学的本质
本章的重点是让学生理解二次根式的性质和运算，并会熟练运用法则进行运算。本章编写时，注重说明性质和法则成立的合理性，突出了它们的数学本质。对于概念，教材淡化概念名词，突出概念实质。例如，本章在介绍二次根式的乘除运算时，没有给出分母有理化的
概念，而是结合具体例子说明了分母有理化的要求，再如，对于二次根式的加减运算，迴避了同类二次根式的概念，突出强调了运算时先将二次根式化成最简二次根式再进行合并的方法。这样处理内容的目的是使学生将学习的重点放在理解数学的本质上来。因此，教学中注意体会教材的编写意图，培养学生的数学能力。