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第十一讲：一次函数归类总结
二元一次方程与一次函数
例题1. 某校九年级（2）班40名同学这“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表：
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，假设（x ，y ）是两个一次函数图象的交点，则这两个一次函数解析式分别是（ ）
变式练习：十堰市五堰商场为了增加销售额，推出“五月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡五月份在该商场一次性购物超过50元以上者，超过50元的部分按9折优惠”．在大酬宾活动中，李明到该商场为单位购买单价为30元的办公用品x 件（x ＞2），则应付货款y （元）与商品件数x 的函数关系式是（ ）
例题2. （1）下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x ﹣2y=2的解是（ ）
（2）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次 函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
基础练习：1．一次函数y=kx+b（k ，b 为常数，且k≠0）的图象如图所示， 根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（ ） 2．直线y=2x+b与x 轴的交点坐标是（2，0），则关于x 的方程2x+b=0的解是（ ） 3．小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应
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的两个一次函数的图象l 1、l 2，如图所示，他解的这个方程组是（ ）
例题3．（1）如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于 点P （﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是 __． （2）．如图，已知直线y=ax﹣b ，则关于x 的 方程ax ﹣1=b的解x= _________ ．
基础练习1. 已知关于x 的方程ax ﹣5=7的解为x=1，则一次函数y=ax﹣12与x 轴交点的坐标为 ____ ． 2．已知一次函数y=x+2与一次函数y=mx+n的图象交于点P （a ，﹣2），则关于x 的方程x+2=mx+n的解
是 __ ．
3. 一次函数y=kx+b的图象上一部分点的坐标见下表：
正比例函数的关系式为y=x，则方程组解为x= _________ ，y= _________ ． 一次函数图象与解析式
例题4.1已知直线l 与直线y=﹣2x+m交于点（2，0），且与直线y=3x平行，求m 的值及直线l 的解析式．
例题4.2．已知直线y=kx+b与直线y=﹣3x 平行且过点（3，3）．
（1）求k ，b 的值；
（2）若直线y=kx+b分别与x ，y 轴交于点A ，B ．若点P （x ，y ）在直线AB 上，且△POB为等腰三角形．求出所有符合条件的P 的坐标．
例题4.3. 已知两直线L 1：y=k1x+b1，L 2：y=k2x+b2，若L 1⊥L2，则有k 1•k2=﹣1． （1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，求k ； （2）直线经过A （2，3），且与y=
基础练习：
的
x+3垂直，求解析式．
1. 如图，已知直线l 1：y=2x+3，直线l 2：y=﹣x+5， 直线l 1、l 2分别交x 轴于B 、C 两点，l 1、l 2相交于点A ． （1）求A 、B 、C 三点坐标； （2）求△ABC的面积．
2. 如图，直线l 1与l 2相交于点P ，l 1的函数表达式为y=2x+3，点P 的横坐标为﹣1，且l 2交y 轴于点A （0，﹣1）．求直线l 2的函数表达式．
3. 已知，如图，直线y=8﹣2x 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，直线y=x+b与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，如果两直线交于点P ，且AC ：CO=3：5（AO ＞CO ）． （1）求点A 、B 的坐标； （2）求四边形COBP 的面积S ．
4．直线a ：y=x+2和直线b ：y=﹣x+4相交于点A ，分别与x 轴相交于点B 和点C ，与y 轴相交于点D 和点E ．
（1）求△ABC的面积； （2）求四边形ADOC 的面积．
5. 如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与函数y=x的图象交于点M ，点M 的横坐标为2，在x 轴上有一点P （a ，0）（其中a ＞2），过点P 作x 轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C 、D ． （1）求点A 的坐标； （2）若OB=CD，求a 的值．
一次函数的应用
例题5.1在函数中，我们把关于x 的一次函数y=ax+b与y=bx+a称为一对交换函数，如y=3x+1与与y=x+3是一对交换函数．称函数y=3x+1与是函数y=x+3的交换函数． （1）求函数y=（2）若函数y=
例题5.2. 已知点P （x 0，y 0）和直线y=kx+b，则点P 到直线y=kx+b的距离公式d=
计算．
x+4与交换函数的图象的交点坐标；
x+b（b 为常数）与交换函数的图象及纵轴所围三角形的面积为4，求b 的值．
例如：求点P （﹣2，1）到直线y=x+1的距离．
解：因为直线y=x+1可变形为x ﹣y+1=0，其中k=1，b=1． 所以点P （﹣2，1）到直线y=x+1的距离为d=
=
=
=
．
根据以上材料，求：
（1）点P （1，1）到直线y=3x﹣2的距离，并说明点P 与直线的位置关系； （2）点P （2，﹣1）到直线y=2x﹣1的距离；
（3）已知直线y=﹣x+1与y=﹣x+3平行，求这两条直线的距离．
例题5.3. 直线l 1：y=3x+n与直线l 2：y=kx相交于点B （﹣2，1）．
（1）n= _________ ，k= _________ ，直线y=3x+n与y 轴交点的坐标为 _________ ； （2）若平行于y 轴的直线x=t分别交直线l 1和l 2于点C 、D （点C 位于点D 的上方），是否存在t ，使得在y 轴上存在点P ，以点P 、C 、D 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出t 的值及相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
例题5.4. 小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y 1（米）、y 2（米）与小明出发的时间x （分）的函数关系如图．
（1）图中a= _________ ，b= _________ ； （2）求小明的爸爸下山所用的时间．
变式练习：甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h ，并且甲车途中休息了0.5h ，如图是甲乙两车行驶的距离y （km ）与时间x （h ）的函数图象． （1）求出图中m ，a 的值；
（2）求出甲车行驶路程y （km ）与时间x （h ）的函数解析式，并写出相应的x 的取值范围； （3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km ．
例题5.5. 一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发．不久，第二列快车也从甲地发往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分后，第二列快车与慢车相遇．设慢车行驶的时间为x （单位：时），慢车与第一、第二列快车之间的距离y （单位：千米）与x （单位：时）之间的函数关系如图1、图2，根据图象信息解答下列问题： （1）甲、乙两地之间的距离为 _________ 千米．
（2）求图1中线段CD 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． （3）请直接在图2中的（ ）内填上正确的数．
变式练习1：一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h ，两车之间的距离为y km，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象解决以下问题： （1）慢车的速度为 _____ km/h，快车的速度为 ____ km/h； （2）解释图中点D 的实际意义并求出点D 的坐标； （3）求当x 为多少时，两车之间的距离为300km ．
变式练习2. 已知 A、B 两地相距630千米，在A 、B 之间有汽车站C 站，如图1所示．客车由A 地驶向C 站、货车由B 地驶向A 地，两车同时出发，匀速行驶，货车的速度是客车速度的．图2是客、货车离C 站的路程y 1、y 2（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象． （1）求客、货两车的速度； （2）求两小时后，货车离C 站的路程 y 2与行驶时间x 之间的函数关系式； （3）求E 点坐标，并说明点E 的实际意义．
变式练习3. 甲、乙两车同时从M 地出发，以各自的速度匀速向N 地行驶．甲车先到达N 地，停留1h 后按原路以原速匀速返回，直到两车相遇，乙车的速度为50km/h．如图是两车之间的距离y （km ）与乙车行驶时间x （h ）之间的函数图象．
（1）甲车的速度是 _________ km/h，M 、N 两地之间相距 _________ km ； （2）求两车相遇时乙车行驶的时间； （3）求线段AB 所在直线解析式．
例题5.6. 为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20吨时，按每吨2元计费；每月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费，设每户家庭每月用水量为x 吨时，应交水费y 元． （1）分别求出0≤x≤20和x ＞20时，y 与x 之间的函数表达式；
（2）小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？
变式练习1：为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费. 设某户每月用水量为x （立方米），应交水费为y (元).
(1)分别写出未超过7立方米和多于7立方米时，y 与x 的函数关系式; (2)如果某家5月份共交水费17.9元，求这家本月用水多少立方米？
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变式练习2：为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6立方米时，水费按每立方米a 元收费；超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a 元收费，超过的部分每立方米按c 元收费．该市某户今年3，4月份的用水量和水费如下表所示：
设某户该月用水量为x （立方米），应交水费y （元）．
（1）求a ，c 的值，并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时，y 与x 之间的关系式； （2）若该户5月份的用水量为8立方米，求该户5月份的水费是多少元？
变式练习3. 为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y （元）与用电量x （度）间的函数关系式． （1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：
（2）小明家某月用电120度，需交电费 ____________元；
（3）求第二档每月电费y （元）与用电量x （度）之间的函数关系式；
（4）在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m 元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m 的值．
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第十一讲：一次函数归类总结
二元一次方程与一次函数
例题1. 某校九年级（2）班40名同学这“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表：
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，假设（x ，y ）是两个一次函数图象的交点，则这两个一次函数解析式分别是（ ）
变式练习：十堰市五堰商场为了增加销售额，推出“五月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡五月份在该商场一次性购物超过50元以上者，超过50元的部分按9折优惠”．在大酬宾活动中，李明到该商场为单位购买单价为30元的办公用品x 件（x ＞2），则应付货款y （元）与商品件数x 的函数关系式是（ ）
例题2. （1）下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x ﹣2y=2的解是（ ）
（2）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次 函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
基础练习：1．一次函数y=kx+b（k ，b 为常数，且k≠0）的图象如图所示， 根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（ ） 2．直线y=2x+b与x 轴的交点坐标是（2，0），则关于x 的方程2x+b=0的解是（ ） 3．小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应
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的两个一次函数的图象l 1、l 2，如图所示，他解的这个方程组是（ ）
例题3．（1）如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于 点P （﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是 __． （2）．如图，已知直线y=ax﹣b ，则关于x 的 方程ax ﹣1=b的解x= _________ ．
基础练习1. 已知关于x 的方程ax ﹣5=7的解为x=1，则一次函数y=ax﹣12与x 轴交点的坐标为 ____ ． 2．已知一次函数y=x+2与一次函数y=mx+n的图象交于点P （a ，﹣2），则关于x 的方程x+2=mx+n的解
是 __ ．
3. 一次函数y=kx+b的图象上一部分点的坐标见下表：
正比例函数的关系式为y=x，则方程组解为x= _________ ，y= _________ ． 一次函数图象与解析式
例题4.1已知直线l 与直线y=﹣2x+m交于点（2，0），且与直线y=3x平行，求m 的值及直线l 的解析式．
例题4.2．已知直线y=kx+b与直线y=﹣3x 平行且过点（3，3）．
（1）求k ，b 的值；
（2）若直线y=kx+b分别与x ，y 轴交于点A ，B ．若点P （x ，y ）在直线AB 上，且△POB为等腰三角形．求出所有符合条件的P 的坐标．
例题4.3. 已知两直线L 1：y=k1x+b1，L 2：y=k2x+b2，若L 1⊥L2，则有k 1•k2=﹣1． （1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，求k ； （2）直线经过A （2，3），且与y=
基础练习：
的
x+3垂直，求解析式．
1. 如图，已知直线l 1：y=2x+3，直线l 2：y=﹣x+5， 直线l 1、l 2分别交x 轴于B 、C 两点，l 1、l 2相交于点A ． （1）求A 、B 、C 三点坐标； （2）求△ABC的面积．
2. 如图，直线l 1与l 2相交于点P ，l 1的函数表达式为y=2x+3，点P 的横坐标为﹣1，且l 2交y 轴于点A （0，﹣1）．求直线l 2的函数表达式．
3. 已知，如图，直线y=8﹣2x 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，直线y=x+b与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，如果两直线交于点P ，且AC ：CO=3：5（AO ＞CO ）． （1）求点A 、B 的坐标； （2）求四边形COBP 的面积S ．
4．直线a ：y=x+2和直线b ：y=﹣x+4相交于点A ，分别与x 轴相交于点B 和点C ，与y 轴相交于点D 和点E ．
（1）求△ABC的面积； （2）求四边形ADOC 的面积．
5. 如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与函数y=x的图象交于点M ，点M 的横坐标为2，在x 轴上有一点P （a ，0）（其中a ＞2），过点P 作x 轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C 、D ． （1）求点A 的坐标； （2）若OB=CD，求a 的值．
一次函数的应用
例题5.1在函数中，我们把关于x 的一次函数y=ax+b与y=bx+a称为一对交换函数，如y=3x+1与与y=x+3是一对交换函数．称函数y=3x+1与是函数y=x+3的交换函数． （1）求函数y=（2）若函数y=
例题5.2. 已知点P （x 0，y 0）和直线y=kx+b，则点P 到直线y=kx+b的距离公式d=
计算．
x+4与交换函数的图象的交点坐标；
x+b（b 为常数）与交换函数的图象及纵轴所围三角形的面积为4，求b 的值．
例如：求点P （﹣2，1）到直线y=x+1的距离．
解：因为直线y=x+1可变形为x ﹣y+1=0，其中k=1，b=1． 所以点P （﹣2，1）到直线y=x+1的距离为d=
=
=
=
．
根据以上材料，求：
（1）点P （1，1）到直线y=3x﹣2的距离，并说明点P 与直线的位置关系； （2）点P （2，﹣1）到直线y=2x﹣1的距离；
（3）已知直线y=﹣x+1与y=﹣x+3平行，求这两条直线的距离．
例题5.3. 直线l 1：y=3x+n与直线l 2：y=kx相交于点B （﹣2，1）．
（1）n= _________ ，k= _________ ，直线y=3x+n与y 轴交点的坐标为 _________ ； （2）若平行于y 轴的直线x=t分别交直线l 1和l 2于点C 、D （点C 位于点D 的上方），是否存在t ，使得在y 轴上存在点P ，以点P 、C 、D 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出t 的值及相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
例题5.4. 小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y 1（米）、y 2（米）与小明出发的时间x （分）的函数关系如图．
（1）图中a= _________ ，b= _________ ； （2）求小明的爸爸下山所用的时间．
变式练习：甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h ，并且甲车途中休息了0.5h ，如图是甲乙两车行驶的距离y （km ）与时间x （h ）的函数图象． （1）求出图中m ，a 的值；
（2）求出甲车行驶路程y （km ）与时间x （h ）的函数解析式，并写出相应的x 的取值范围； （3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km ．
例题5.5. 一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发．不久，第二列快车也从甲地发往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分后，第二列快车与慢车相遇．设慢车行驶的时间为x （单位：时），慢车与第一、第二列快车之间的距离y （单位：千米）与x （单位：时）之间的函数关系如图1、图2，根据图象信息解答下列问题： （1）甲、乙两地之间的距离为 _________ 千米．
（2）求图1中线段CD 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． （3）请直接在图2中的（ ）内填上正确的数．
变式练习1：一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h ，两车之间的距离为y km，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象解决以下问题： （1）慢车的速度为 _____ km/h，快车的速度为 ____ km/h； （2）解释图中点D 的实际意义并求出点D 的坐标； （3）求当x 为多少时，两车之间的距离为300km ．
变式练习2. 已知 A、B 两地相距630千米，在A 、B 之间有汽车站C 站，如图1所示．客车由A 地驶向C 站、货车由B 地驶向A 地，两车同时出发，匀速行驶，货车的速度是客车速度的．图2是客、货车离C 站的路程y 1、y 2（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象． （1）求客、货两车的速度； （2）求两小时后，货车离C 站的路程 y 2与行驶时间x 之间的函数关系式； （3）求E 点坐标，并说明点E 的实际意义．
变式练习3. 甲、乙两车同时从M 地出发，以各自的速度匀速向N 地行驶．甲车先到达N 地，停留1h 后按原路以原速匀速返回，直到两车相遇，乙车的速度为50km/h．如图是两车之间的距离y （km ）与乙车行驶时间x （h ）之间的函数图象．
（1）甲车的速度是 _________ km/h，M 、N 两地之间相距 _________ km ； （2）求两车相遇时乙车行驶的时间； （3）求线段AB 所在直线解析式．
例题5.6. 为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20吨时，按每吨2元计费；每月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费，设每户家庭每月用水量为x 吨时，应交水费y 元． （1）分别求出0≤x≤20和x ＞20时，y 与x 之间的函数表达式；
（2）小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？
变式练习1：为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费. 设某户每月用水量为x （立方米），应交水费为y (元).
(1)分别写出未超过7立方米和多于7立方米时，y 与x 的函数关系式; (2)如果某家5月份共交水费17.9元，求这家本月用水多少立方米？
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变式练习2：为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6立方米时，水费按每立方米a 元收费；超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a 元收费，超过的部分每立方米按c 元收费．该市某户今年3，4月份的用水量和水费如下表所示：
设某户该月用水量为x （立方米），应交水费y （元）．
（1）求a ，c 的值，并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时，y 与x 之间的关系式； （2）若该户5月份的用水量为8立方米，求该户5月份的水费是多少元？
变式练习3. 为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y （元）与用电量x （度）间的函数关系式． （1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：
（2）小明家某月用电120度，需交电费 ____________元；
（3）求第二档每月电费y （元）与用电量x （度）之间的函数关系式；
（4）在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m 元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m 的值．