场强计算与高斯定理习题课

场强计算与高斯定理习题课

例：无限长均匀带电直线的电场（），E



2 0r

解：

 dldl O dl

SEdS =S

EcosdS， =侧

EcosdS，

+左

EcosdS， +右

EcosdS， =EdS=E2rl=

l

侧，Er

020问题1、高斯面只包围了部分电荷，求出的场强是这一 部分电荷的场强还是整根均匀带电直线的场强？ 问题2、对于一段有限长均匀带电直线段，能否用该方法 求其场强？

l

SEdS=

1  

无限长均匀 两个无限长均 无限长均匀 无限长均匀带 带电圆柱面 匀带电圆柱面 带电圆柱体 电空心圆柱体 轴对称电场

1

例：无限大均匀带电平面的电场（），E



20

解：

EdS S

=EcosdS

S



=EcosdSE

侧

+Ecos左

+Ecos右

S，E 020

例： 

E

 E E E E E

I， II III 求：电场分布

解：EEE

I、E0

 II、EEE

20200

III、E0

=0+ES+ES=2ES=

2

0 

1、S

EdS1

0

qi

内

仅与q

i有关，E与所有电荷及其分布有关

内

2、如果已知，q

i0S

EdS0

内

但仅由和高斯定理不能完全确定高斯面内电荷分布 如=0，qi0

内

判断下面几种说法的正确性： （1）

如果高斯面上E

处处为零，则高斯面内必无电荷 S

EdS

0，qi0

内

QQ S

（2）

如果高斯面内无电荷，则高斯面上E

处处为零

q1q

i0，EdSi=0E0

内

S

0

内

（3）

如果高斯面上E

处处不为零，则高斯面内必有电荷 （4）

如果高斯面内有电荷，则高斯面上E

处处不为零

3

由高斯定理求电场强度的思路：

电荷分布的对称性电场分布的对称性



适当的选取高斯面（，EnE//n） 

将E从积分号内提出，化积分方程为代数方程求E

补偿法求电场强度

例：带有圆孔的无限大均匀带电平面 求：圆孔轴线上的电场强度

+ =

x

解：Ex sgnx(sgnx=

2222020xR0

例：均匀带电圆盘轴线上的电场

 = R

解：Ex(sgnx(sgnx

2020 =

x()

222220xRxR21

例：均匀带电球体内挖去一小球

求：小球腔中的电场

EP=()=

30303030

4

小球腔内是均匀电场

E



3OO，方向OO 0

例：求通过圆锥侧面的电通量解：

侧侧

EdS

S

EdS

=侧EdSq

底EdS

q

侧

底 R0底

dS底

EcosdS 底E

dS2rdr，E

q422，cosh/2

0[r(h/2)]r2(h/2)

2Rqh/2底04[r2(h/2)20]r2(h/2)22rdr

=qhRrdr

qh1R4h/2)2]3/2=4(00[r2(0r2(h/2)

2)0 =

qhh4(12)=q2q

0R2(h/2)2h040R2

(h/2)

2

qqqh

侧底=2

0040R2(h/2)

2

例：无限长均匀带电半圆柱面 沿轴向单位长度带电 求：轴线上电场强度

解：R，dE

2 0R

dl

Rdl dE1

2RRdl222

dl 00R

dExdEcos dEydEsin

ExdExdEcos

=

022

2Rdcos， 0R

5

=



sin0 2

020R

EydEydEsin



=



= Rdsincos2222020R020R0R

EExiEyj2j

0R

例：图为一球对称电荷分布的静电场的E~r曲线

请指出它是下面哪一种带电体产生的？ （1）

半径为R的均匀带电球面 （2）

半径为R的均匀带电球体 （3）

半径为R，电荷体密度Ar（A为常数） 的非均匀带电球体 （4）

A

半径为R，电荷体密度（A为常数）

r

的非均匀带电球体 解：（1）、rR，E0，（2）rR，E

1 （3）、EdSE4r2

S



r 30

dV4r2dr dqdVAr4r2dr 内

0

q

i

qdq4Ar3dr 04

r

=Ar， 1A2

E4r2Ar4，Er（rR）

0401

（4）EdSE4r2qi

S

0

内

dV4r2dr

6

dqdV

A

4r2dr4Ardr r

r0

qdq4Ardr

=2Ar2

1A

E4r22Ar2，E（常数）（rR）

020

7

场强计算与高斯定理习题课

例：无限长均匀带电直线的电场（），E



2 0r

解：

 dldl O dl

SEdS =S

EcosdS， =侧

EcosdS，

+左

EcosdS， +右

EcosdS， =EdS=E2rl=

l

侧，Er

020问题1、高斯面只包围了部分电荷，求出的场强是这一 部分电荷的场强还是整根均匀带电直线的场强？ 问题2、对于一段有限长均匀带电直线段，能否用该方法 求其场强？

l

SEdS=

1  

无限长均匀 两个无限长均 无限长均匀 无限长均匀带 带电圆柱面 匀带电圆柱面 带电圆柱体 电空心圆柱体 轴对称电场

1

例：无限大均匀带电平面的电场（），E



20

解：

EdS S

=EcosdS

S



=EcosdSE

侧

+Ecos左

+Ecos右

S，E 020

例： 

E

 E E E E E

I， II III 求：电场分布

解：EEE

I、E0

 II、EEE

20200

III、E0

=0+ES+ES=2ES=

2

0 

1、S

EdS1

0

qi

内

仅与q

i有关，E与所有电荷及其分布有关

内

2、如果已知，q

i0S

EdS0

内

但仅由和高斯定理不能完全确定高斯面内电荷分布 如=0，qi0

内

判断下面几种说法的正确性： （1）

如果高斯面上E

处处为零，则高斯面内必无电荷 S

EdS

0，qi0

内

QQ S

（2）

如果高斯面内无电荷，则高斯面上E

处处为零

q1q

i0，EdSi=0E0

内

S

0

内

（3）

如果高斯面上E

处处不为零，则高斯面内必有电荷 （4）

如果高斯面内有电荷，则高斯面上E

处处不为零

3

由高斯定理求电场强度的思路：

电荷分布的对称性电场分布的对称性



适当的选取高斯面（，EnE//n） 

将E从积分号内提出，化积分方程为代数方程求E

补偿法求电场强度

例：带有圆孔的无限大均匀带电平面 求：圆孔轴线上的电场强度

+ =

x

解：Ex sgnx(sgnx=

2222020xR0

例：均匀带电圆盘轴线上的电场

 = R

解：Ex(sgnx(sgnx

2020 =

x()

222220xRxR21

例：均匀带电球体内挖去一小球

求：小球腔中的电场

EP=()=

30303030

4

小球腔内是均匀电场

E



3OO，方向OO 0

例：求通过圆锥侧面的电通量解：

侧侧

EdS

S

EdS

=侧EdSq

底EdS

q

侧

底 R0底

dS底

EcosdS 底E

dS2rdr，E

q422，cosh/2

0[r(h/2)]r2(h/2)

2Rqh/2底04[r2(h/2)20]r2(h/2)22rdr

=qhRrdr

qh1R4h/2)2]3/2=4(00[r2(0r2(h/2)

2)0 =

qhh4(12)=q2q

0R2(h/2)2h040R2

(h/2)

2

qqqh

侧底=2

0040R2(h/2)

2

例：无限长均匀带电半圆柱面 沿轴向单位长度带电 求：轴线上电场强度

解：R，dE

2 0R

dl

Rdl dE1

2RRdl222

dl 00R

dExdEcos dEydEsin

ExdExdEcos

=

022

2Rdcos， 0R

5

=



sin0 2

020R

EydEydEsin



=



= Rdsincos2222020R020R0R

EExiEyj2j

0R

例：图为一球对称电荷分布的静电场的E~r曲线

请指出它是下面哪一种带电体产生的？ （1）

半径为R的均匀带电球面 （2）

半径为R的均匀带电球体 （3）

半径为R，电荷体密度Ar（A为常数） 的非均匀带电球体 （4）

A

半径为R，电荷体密度（A为常数）

r

的非均匀带电球体 解：（1）、rR，E0，（2）rR，E

1 （3）、EdSE4r2

S



r 30

dV4r2dr dqdVAr4r2dr 内

0

q

i

qdq4Ar3dr 04

r

=Ar， 1A2

E4r2Ar4，Er（rR）

0401

（4）EdSE4r2qi

S

0

内

dV4r2dr

6

dqdV

A

4r2dr4Ardr r

r0

qdq4Ardr

=2Ar2

1A

E4r22Ar2，E（常数）（rR）

020

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