函数的定义域
1、已知函数式求定义域：
例1、求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）；
（4）
解： ；（5）．
（1），即；（2），即；
（3）且，即．
（4）要使函数有意义，应满足，即． ∴函数的定义域为．
（5）要使函数有意义，应满足，即． ∴函数的定义域为． 点拨： 要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑用到不等式或不等式组，然后借助于数轴进行求解．
2、求抽象函数的定义域
讲解：求解抽象函数的定义域时一定要严格遵循原始函数的定义域，不管“”中的“x ”被什么代换，它们都得首先遵循这一“规则”，在这一“规则”之下再去求解具体的x 的范围． 例2、已知解： 的定义域为，求，的定义域．
∵的定义域为，∴， ∴ ， 即的定义域为， 由， ∴，即的定义域为．
点拨： 若的定义域为，则的定义域是的解集．
例3、已知解： 的定义域为，求，的定义域．
∵的定义域为， ∴ 即的定义域为． 又∵的定义域为， ∴，∴ 即的定义域为．
点拨：已知定义域． 的定义域，则当时，y=kx＋b 的函数值的取值集合就是的
例4、已知函数
解答： 的定义域是[a，b]，其中ab，求函数的定义域．
∵函数的定义域为[a，b]，∴a ≤x ≤b ， 若使有意义，必须有a ≤－x ≤b 即有－b ≤x ≤－a ． ∵ab，∴a
点拨： 若可求得． 的定义域为及的定义域分别为A 、B ，则有借助于数轴分析
3、函数定义域的逆用
讲解：已知函数的定义域求解其中参数的取值范围时，若定义域为R 时，可采用判别式法，若定义域为R 的一个真子集时，可采用分离变量法．
例5、已知函数
解答： 的定义域是R ，求实数k 的取值范围．
①当k=0时，函数，显然它的定义域是R ；
②当k ≠0时，由函数y 的定义域为R 可知，不等式对一切实数x 均成立，因此一定有
解得0
点拨：此题是已知函数y 的定义域，据此逆向求解函数中参数k 的取值，需要将问题准确转化成不等式问题．
例6、半径为R 的圆内接等腰梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 的函数关系式，并写出它的定义域．
解：
如图所示，AB=2R，CD 在⊙O 在半圆周上．
设腰AD=BC=x，作DE ⊥AB ．垂足为E ，连BD ．
由Rt △ADE ∽Rt △ABD ，
练习：
一、选择题
1、函数的定义域是（ ）
A ．[－2，2] B．{－2，2} C．(－∞，－2) ∪(2，＋∞) D．（－2，2）
2、若函数的定义域为[－1，2]，则函数的定义域是（ ）
A ． B．[－1，2] C．[－1，5] D．
3、已知函数
数m 的取值范围是（ ） 的定义域为A ，的定义域为B ，若=．则实
A ．（－3，－1） B．（－2，4） C．[－2，4] D．[－1，3]
二、填空题
4、已知函数的定义域为[－1，2]，那么函数的定义域是__________．
5、若函数
三、解答题
6、求下列函数的定义域： 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．
① ②
③y ＝lg(ax －2·3x )(a＞0且a ≠1)
7、解答下列各题：
（1）已知
的定义域为[0，1]，求及的定义域．
（2）设的定义域是[－2，3），求的定义域．
8、已知函数
的定义域为[－1，1]，求(a>0)的定义域．
9、设f(x)＝lg
，如果当x ∈(－∞，1]时f(x)有意义，求实数a 的取值范围．
答案：一.1.B 2.C 3.D
提示：
1、得x 2=4，x=±2．
3、由x 2－2x －8≥0得A={x|x≥4或x ≤－2}．
由1－|x－m|>0得，B={x|m－1
二.4.
解析：由得≤x ≤1．
5.
解析：当m=0，，定义域为R ，当m ≠0，由的定义域为R 知抛物线y=mx2＋4mx ＋3与x 轴无交点，即Δ=16m2－12m
6. 解：①. ②.
③ ∵a x －2·3x ＞0，∴() x ＞2.
当a ＞3时，此函数的定义域为(log2，＋∞) ；
当0＜a ＜3且a ≠1时，函数定义域为(－∞，log 2).
当a ＝3时，函数无意义．
7. 解：（1）设的定义域为[0，1]，∴0≤t ≤1．
当t=x2，可得0≤x 2≤1，∴－1≤x ≤1，∴的定义域为[－1，1]．
同理，由得， ∴的定义域是．
（2）∵的定义域是[－2，3），
∴－2≤x
8. 解：须使和都有意义． 使有意义则；使有意义则． 当时，，的定义域为；
当时，，的定义域为.
9. 解：由题设可知，不等式1＋2x ＋4x ·a>0在x ∈(－∞，1]上恒成立，
即() 2x ＋() x ＋a>0在x ∈(－∞，1]上恒成立．
设t ＝() x ，则t ≥，又设g(t)＝t 2＋t ＋a ，其对称轴为t ＝－.
只需g() ＝() 2＋＋a>0，得a>－，
所以a 的取值范围是a>－．
函数的定义域
1、已知函数式求定义域：
例1、求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）；
（4）
解： ；（5）．
（1），即；（2），即；
（3）且，即．
（4）要使函数有意义，应满足，即． ∴函数的定义域为．
（5）要使函数有意义，应满足，即． ∴函数的定义域为． 点拨： 要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑用到不等式或不等式组，然后借助于数轴进行求解．
2、求抽象函数的定义域
讲解：求解抽象函数的定义域时一定要严格遵循原始函数的定义域，不管“”中的“x ”被什么代换，它们都得首先遵循这一“规则”，在这一“规则”之下再去求解具体的x 的范围． 例2、已知解： 的定义域为，求，的定义域．
∵的定义域为，∴， ∴ ， 即的定义域为， 由， ∴，即的定义域为．
点拨： 若的定义域为，则的定义域是的解集．
例3、已知解： 的定义域为，求，的定义域．
∵的定义域为， ∴ 即的定义域为． 又∵的定义域为， ∴，∴ 即的定义域为．
点拨：已知定义域． 的定义域，则当时，y=kx＋b 的函数值的取值集合就是的
例4、已知函数
解答： 的定义域是[a，b]，其中ab，求函数的定义域．
∵函数的定义域为[a，b]，∴a ≤x ≤b ， 若使有意义，必须有a ≤－x ≤b 即有－b ≤x ≤－a ． ∵ab，∴a
点拨： 若可求得． 的定义域为及的定义域分别为A 、B ，则有借助于数轴分析
3、函数定义域的逆用
讲解：已知函数的定义域求解其中参数的取值范围时，若定义域为R 时，可采用判别式法，若定义域为R 的一个真子集时，可采用分离变量法．
例5、已知函数
解答： 的定义域是R ，求实数k 的取值范围．
①当k=0时，函数，显然它的定义域是R ；
②当k ≠0时，由函数y 的定义域为R 可知，不等式对一切实数x 均成立，因此一定有
解得0
点拨：此题是已知函数y 的定义域，据此逆向求解函数中参数k 的取值，需要将问题准确转化成不等式问题．
例6、半径为R 的圆内接等腰梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 的函数关系式，并写出它的定义域．
解：
如图所示，AB=2R，CD 在⊙O 在半圆周上．
设腰AD=BC=x，作DE ⊥AB ．垂足为E ，连BD ．
由Rt △ADE ∽Rt △ABD ，
练习：
一、选择题
1、函数的定义域是（ ）
A ．[－2，2] B．{－2，2} C．(－∞，－2) ∪(2，＋∞) D．（－2，2）
2、若函数的定义域为[－1，2]，则函数的定义域是（ ）
A ． B．[－1，2] C．[－1，5] D．
3、已知函数
数m 的取值范围是（ ） 的定义域为A ，的定义域为B ，若=．则实
A ．（－3，－1） B．（－2，4） C．[－2，4] D．[－1，3]
二、填空题
4、已知函数的定义域为[－1，2]，那么函数的定义域是__________．
5、若函数
三、解答题
6、求下列函数的定义域： 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．
① ②
③y ＝lg(ax －2·3x )(a＞0且a ≠1)
7、解答下列各题：
（1）已知
的定义域为[0，1]，求及的定义域．
（2）设的定义域是[－2，3），求的定义域．
8、已知函数
的定义域为[－1，1]，求(a>0)的定义域．
9、设f(x)＝lg
，如果当x ∈(－∞，1]时f(x)有意义，求实数a 的取值范围．
答案：一.1.B 2.C 3.D
提示：
1、得x 2=4，x=±2．
3、由x 2－2x －8≥0得A={x|x≥4或x ≤－2}．
由1－|x－m|>0得，B={x|m－1
二.4.
解析：由得≤x ≤1．
5.
解析：当m=0，，定义域为R ，当m ≠0，由的定义域为R 知抛物线y=mx2＋4mx ＋3与x 轴无交点，即Δ=16m2－12m
6. 解：①. ②.
③ ∵a x －2·3x ＞0，∴() x ＞2.
当a ＞3时，此函数的定义域为(log2，＋∞) ；
当0＜a ＜3且a ≠1时，函数定义域为(－∞，log 2).
当a ＝3时，函数无意义．
7. 解：（1）设的定义域为[0，1]，∴0≤t ≤1．
当t=x2，可得0≤x 2≤1，∴－1≤x ≤1，∴的定义域为[－1，1]．
同理，由得， ∴的定义域是．
（2）∵的定义域是[－2，3），
∴－2≤x
8. 解：须使和都有意义． 使有意义则；使有意义则． 当时，，的定义域为；
当时，，的定义域为.
9. 解：由题设可知，不等式1＋2x ＋4x ·a>0在x ∈(－∞，1]上恒成立，
即() 2x ＋() x ＋a>0在x ∈(－∞，1]上恒成立．
设t ＝() x ，则t ≥，又设g(t)＝t 2＋t ＋a ，其对称轴为t ＝－.
只需g() ＝() 2＋＋a>0，得a>－，
所以a 的取值范围是a>－．