1．3 两条直线的位置关系
[学习目标] 1. 能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.2. 能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系．
[知识链接]
1．直线的倾斜角的取值范围[0°，180°) ．
y 2－y 12．经过两点P 1(x 1，y 1) ，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2) 的直线的斜率k .
x 2－x 1[预习导引]
1．两条直线平行与斜率的关系
(1)如图①设两条不重合的直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；反之，若k 1＝k 2，则l 1∥l 2.
(2)如图②若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行．
2．两条直线垂直与斜率的关系
(1)；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l 1⊥l 2，l 1⊥l 2(2)如图②，若l 1与
l
2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是垂直．
要点一 两条直线平行关系的判定与应用
例1 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5) ，l 2经过点C (3，－3) ，D (8，－7) ； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M 3) ，N (－2，－3) ．
5－14
解 (1)由题意知k 1＝
5－3－2－7＋34
k 2＝.
58－3
因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. －33－23
(2)由题意知k 1＝tan60°＝3，k 2＝3.
－2－3因为k 1＝k 2，
所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．
规律方法 1. 判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等，若存在再看斜率是否相等．
2．判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件． 跟踪演练1 根据给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2) ，Q (0,5)；
(2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1) ，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)．
解 (1)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2. －1－13－4
(2)由题意知k 1＝＝1，k 2＝＝1，
－2－02－3
虽然k 1＝k 2，但是E ，F ，G ，H 四点共线，所以l 1与l 2重合． 要点二 两条直线垂直关系的判定与应用 例2 判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：
(1)l 1经过点A (－1，－2) ，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1) ，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；
(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40) ，N (10,40)．
2－(－2)1－(－1)1
解 (1)直线l 1的斜率k 1＝2，直线l 2的斜率k 2＝＝k k ＝1，故l 1与l 2
1－(－1)2－(－2)212不垂直．
3－21
(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.
20－1010(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝故l 1⊥l 2.
规律方法 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；
40－40
0，则l 2∥x 轴．
10－(－10)
(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；
(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
跟踪演练2 已知直线l 1⊥l 2，若直线l 1的倾斜角为30°，则直线l 2的斜率为________． 答案 －3
解析 由题意可知直线l 1的斜率k 1＝tan30°＝设直线l 2的斜率为k 2，则k 1·k 2＝－1， ∴k 23.
要点三 平行与垂直关系的综合应用
例3 已知A (－4,3) ，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0) 四点，若顺次连接ABCD 四点，试判定图形ABCD 的形状．
解 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置， 如图，由斜率公式可得 k AB ＝
5－31
，
2－(－4)3
3
0－31k CD ＝＝
－3－630－3
k AD ＝3，
－3－(－4)k BC ＝
3－51
＝－.
26－2
所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， 所以AB ∥CD ，
由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行． 1
又因为k AB ·k AD ＝(－3) ＝－1，
3
所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．
规律方法 (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．
(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标) 时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．
跟踪演练3 △ABC 的顶点A (5，－1) ，B (1,1)，C (2，m ) ，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．
解 若∠A 为直角，则AC ⊥
AB ，
m ＋11＋1
所以k AC ·k AB ＝－11，得m ＝－7；
2－51－5若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1， 即
1＋1m －1
1，得m ＝3； 1－52－1
若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 即
m ＋1m －1
＝－1，得m ＝±2. 2－52－1
综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±
2.
1．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝( ) 11A ．－3B ．3C ．－D. 33答案 B
解析 因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝
3－0
＝3. 3－2
2．已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( ) A ．0°B ．135°C ．90°D ．180° 答案 C
解析 ∵kl 1＝0且l 1⊥l 2，
∴kl 2不存在，直线l 2的倾斜角为90°. 3．下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 A
解析 当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确．
4．过点(3，6) ，(0,3)的直线与过点62) ，(2,0)的直线的位置关系为( ) A ．垂直 C ．重合 答案 A
B ．平行
D ．以上都不正确
解析 过点(36) ，(0,3)的直线的斜率k 1＝的斜率k 2＝
6－3
2－3；过点(62) ，(2,0)的直线3－0
2－0
3＋2. 因为k 1·k 2＝－1，所以两条直线垂直． 6－2
5．一条光线从A (3,2)发出，到x 轴上的M 点后，经x 轴反射通过点B (－1,6) ，则反射光线所在直线的斜率为__________．
解 如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′， 所以点A ′在直线MB 上． 由对称性可知A ′(3，－2) ，
6－(－2)
所以光线MB 所在直线的斜率为k A ′B ＝2.
－1－3故反射光线所在直线的斜率为－2.
1. 两直线平行或垂直的判定方法.
2.
1．3 两条直线的位置关系
[学习目标] 1. 能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.2. 能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系．
[知识链接]
1．直线的倾斜角的取值范围[0°，180°) ．
y 2－y 12．经过两点P 1(x 1，y 1) ，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2) 的直线的斜率k .
x 2－x 1[预习导引]
1．两条直线平行与斜率的关系
(1)如图①设两条不重合的直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；反之，若k 1＝k 2，则l 1∥l 2.
(2)如图②若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行．
2．两条直线垂直与斜率的关系
(1)；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l 1⊥l 2，l 1⊥l 2(2)如图②，若l 1与
l
2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是垂直．
要点一 两条直线平行关系的判定与应用
例1 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5) ，l 2经过点C (3，－3) ，D (8，－7) ； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M 3) ，N (－2，－3) ．
5－14
解 (1)由题意知k 1＝
5－3－2－7＋34
k 2＝.
58－3
因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. －33－23
(2)由题意知k 1＝tan60°＝3，k 2＝3.
－2－3因为k 1＝k 2，
所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．
规律方法 1. 判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等，若存在再看斜率是否相等．
2．判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件． 跟踪演练1 根据给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2) ，Q (0,5)；
(2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1) ，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)．
解 (1)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2. －1－13－4
(2)由题意知k 1＝＝1，k 2＝＝1，
－2－02－3
虽然k 1＝k 2，但是E ，F ，G ，H 四点共线，所以l 1与l 2重合． 要点二 两条直线垂直关系的判定与应用 例2 判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：
(1)l 1经过点A (－1，－2) ，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1) ，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；
(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40) ，N (10,40)．
2－(－2)1－(－1)1
解 (1)直线l 1的斜率k 1＝2，直线l 2的斜率k 2＝＝k k ＝1，故l 1与l 2
1－(－1)2－(－2)212不垂直．
3－21
(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.
20－1010(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝故l 1⊥l 2.
规律方法 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；
40－40
0，则l 2∥x 轴．
10－(－10)
(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；
(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
跟踪演练2 已知直线l 1⊥l 2，若直线l 1的倾斜角为30°，则直线l 2的斜率为________． 答案 －3
解析 由题意可知直线l 1的斜率k 1＝tan30°＝设直线l 2的斜率为k 2，则k 1·k 2＝－1， ∴k 23.
要点三 平行与垂直关系的综合应用
例3 已知A (－4,3) ，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0) 四点，若顺次连接ABCD 四点，试判定图形ABCD 的形状．
解 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置， 如图，由斜率公式可得 k AB ＝
5－31
，
2－(－4)3
3
0－31k CD ＝＝
－3－630－3
k AD ＝3，
－3－(－4)k BC ＝
3－51
＝－.
26－2
所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， 所以AB ∥CD ，
由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行． 1
又因为k AB ·k AD ＝(－3) ＝－1，
3
所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．
规律方法 (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．
(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标) 时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．
跟踪演练3 △ABC 的顶点A (5，－1) ，B (1,1)，C (2，m ) ，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．
解 若∠A 为直角，则AC ⊥
AB ，
m ＋11＋1
所以k AC ·k AB ＝－11，得m ＝－7；
2－51－5若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1， 即
1＋1m －1
1，得m ＝3； 1－52－1
若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 即
m ＋1m －1
＝－1，得m ＝±2. 2－52－1
综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±
2.
1．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝( ) 11A ．－3B ．3C ．－D. 33答案 B
解析 因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝
3－0
＝3. 3－2
2．已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( ) A ．0°B ．135°C ．90°D ．180° 答案 C
解析 ∵kl 1＝0且l 1⊥l 2，
∴kl 2不存在，直线l 2的倾斜角为90°. 3．下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 A
解析 当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确．
4．过点(3，6) ，(0,3)的直线与过点62) ，(2,0)的直线的位置关系为( ) A ．垂直 C ．重合 答案 A
B ．平行
D ．以上都不正确
解析 过点(36) ，(0,3)的直线的斜率k 1＝的斜率k 2＝
6－3
2－3；过点(62) ，(2,0)的直线3－0
2－0
3＋2. 因为k 1·k 2＝－1，所以两条直线垂直． 6－2
5．一条光线从A (3,2)发出，到x 轴上的M 点后，经x 轴反射通过点B (－1,6) ，则反射光线所在直线的斜率为__________．
解 如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′， 所以点A ′在直线MB 上． 由对称性可知A ′(3，－2) ，
6－(－2)
所以光线MB 所在直线的斜率为k A ′B ＝2.
－1－3故反射光线所在直线的斜率为－2.
1. 两直线平行或垂直的判定方法.
2.