第12章 全等三角形
小专题(五) 构造全等三角形的方法技巧
方法1 利用补形构造全等三角形
1
1．已知：如图，在△ABC中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 平分∠BAC，B E⊥AE，求证：BE ＝AD.
2
方法2 利用“截长补短法”构造全等三角形
2．如图，在△ABC中，AD 平分∠BAC，∠C ＝2∠B ，试判断AB ，AC ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法)
3．如图，在△ABC中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC和∠ACB，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明．
4．如图，AD ∥BC ，DC ⊥AD，AE 平分∠BAD，E 是DC 的中点．问：AD ，BC ，AB 之间有何关系？并说明理由．
5. 问题背景：
如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF＝60°. 探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G. 使DG ＝BE. 连接AG ，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________________；
(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D＝180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF＝1
BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 2
方法3 利用“倍长中线法”构造全等三角形
6．已知△ABC中，AB ＝4 cm，BC ＝6 cm，BD 是AC 边上的中线，求BD 的取值范围．
1
7．已知：如图，AD ，AE 分别是△ABC和△ABD的中线，且BA ＝BD. 求证：AE ＝AC.
2
8．如图，AB ＝AE ，AB ⊥AE ，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE ＝
2AM.
小专题(五) 构造全等三角形的方法技巧
1．延长AC 、BE 交于点F ，∵∠ACB ＝90°，BE ⊥AE ， ∴∠CAD ＋∠CDA＝90°，∠EDB ＋∠EBD＝90°. ∵∠CDA ＝∠EDB，
∴∠CAD ＝∠EBD，即∠CAD＝∠CBF. ⎧∠CAD＝∠CBF，在△ADC和△BFC中，⎪
⎨AC ＝BC ，
⎪⎩∠ACD ＝∠BCF，∴△ADC ≌△BFC. ∴AD ＝BF.
⎧在△AEF和△AEB中，⎪
∠FAE＝∠BAE，⎨AE ＝AE ，
⎪⎩∠AEF ＝∠AEB，∴△AEF ≌△AEB. ∴BE ＝EF ，即BE 1
2∴BE ＝1
2AD.
2.AB ＝AC ＋CD.
理由如下：方法1：在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE . 易证△AED≌△ACD(SAS) ，∴ED ＝CD ，∠AED ＝∠C.
∵∠AED ＝∠B＋∠EDB，∴∠C ＝∠AED＝∠B＋∠EDB. 又∵∠C＝2∠B， ∴∠B ＝∠EDB.∴BE＝DE. ∴AB＝AE ＋BE ＝AC ＋DE ＝AC ＋
CD.
方法2：延长AC 到点F ，使CF ＝CD ，连接DF.
∵CF ＝CD ，∴∠CDF ＝∠F.
∵∠ACB＝∠CDF＋∠F，∴∠ACB ＝2∠F. 又∵∠ACB＝2∠B，∴∠B ＝∠F. 又∵∠BAD＝∠FAD，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△AFD(AAS)．
∴AB＝AF.∴AB＝AF ＝AC ＋CF ＝AC ＋CD. 3. 证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF. ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBO ＝∠FBO. ∴△EBO≌△FBO. ∴∠EOB ＝∠FOB.
∵∠A＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠BOC ＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－1
2(180°－∠A)＝120°.
∴∠EOB ＝∠DOC＝60°.
∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝∠DOC＝60°. ∵CE 平分∠DCB， ∴∠DCO ＝∠FCO. ∴△DCO≌△FCO.
∴CD＝CF.∴BC＝BF ＋CF ＝BE ＋CD.
4.AB ＝AD ＋BC. 理由：作EF⊥AB于F ，连接BE. ∵AE平分∠BAD，DC ⊥AD ，EF ⊥AB ， ∴EF ＝DE.
∵DE＝CE ，∴EC ＝EF.
∴Rt △BFE ≌Rt △BCE(HL)．∴BF＝BC . 同理可证：AF ＝AD.
∴AD＋BC ＝AF ＋BF ＝AB ，即AB ＝AD ＋BC.
5.(1)EF＝BE ＋DF (2)EF＝BE ＋DF 仍然成立．证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， ∵∠B ＋∠ADC＝180°，∠ADC ＋∠ADG＝180°，
⎧BE ＝DG ，∴∠B ＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，⎪
⎨∠B ＝∠ADG，
⎪⎩AB ＝AD ，∴△ABE ≌△ADG(SAS)．∴AE＝AG ，∠BAE ＝∠DAG. 1
2
BAD ，
∴∠GAF ＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.∴∠EAF＝∠GAF. ⎧AE ＝AG ，在△AEF和△AGF中，⎪
⎨∠EAF ＝∠GAF，
⎪⎩AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG. ∵FG＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF. 6. 延长BD 至E ，使DE ＝BD. 连接CE. ∵BD是AC 边上的中线，∴AD ＝CD.
∵∠BDA ＝∠EDC，∴△BDA ≌△EDC(SAS)．∴CE＝AB.
在△CBE中，BC －CE
∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE ≌△FDE. ∴∠B ＝∠BDF，AB ＝DF. ∵BA＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA，BD ＝DF.
∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC ＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF ＝∠ADC. ∵AD是△ABC的中线，∴BD ＝CD.∴DF＝CD.
∴△ADF≌△ADC(SAS) ．∴AC＝AF ＝2AE ，即AE ＝1
2AC.
8. 延长AM 至N ，使MN ＝AM ，连接BN ， ∵点M 为BC 的中点，∴BM ＝CM.
又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AMC ≌△NMB(SAS)．
∴AC＝BN ，∠C ＝∠NBM，∠ABN ＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD. 又∵BN＝AC ＝AD ，AB ＝EA ，∴△ABN ≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA. 又AM ＝MN ，∴DE ＝2AM.
第12章 全等三角形
小专题(五) 构造全等三角形的方法技巧
方法1 利用补形构造全等三角形
1
1．已知：如图，在△ABC中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 平分∠BAC，B E⊥AE，求证：BE ＝AD.
2
方法2 利用“截长补短法”构造全等三角形
2．如图，在△ABC中，AD 平分∠BAC，∠C ＝2∠B ，试判断AB ，AC ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法)
3．如图，在△ABC中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC和∠ACB，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明．
4．如图，AD ∥BC ，DC ⊥AD，AE 平分∠BAD，E 是DC 的中点．问：AD ，BC ，AB 之间有何关系？并说明理由．
5. 问题背景：
如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF＝60°. 探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G. 使DG ＝BE. 连接AG ，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________________；
(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D＝180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF＝1
BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 2
方法3 利用“倍长中线法”构造全等三角形
6．已知△ABC中，AB ＝4 cm，BC ＝6 cm，BD 是AC 边上的中线，求BD 的取值范围．
1
7．已知：如图，AD ，AE 分别是△ABC和△ABD的中线，且BA ＝BD. 求证：AE ＝AC.
2
8．如图，AB ＝AE ，AB ⊥AE ，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE ＝
2AM.
小专题(五) 构造全等三角形的方法技巧
1．延长AC 、BE 交于点F ，∵∠ACB ＝90°，BE ⊥AE ， ∴∠CAD ＋∠CDA＝90°，∠EDB ＋∠EBD＝90°. ∵∠CDA ＝∠EDB，
∴∠CAD ＝∠EBD，即∠CAD＝∠CBF. ⎧∠CAD＝∠CBF，在△ADC和△BFC中，⎪
⎨AC ＝BC ，
⎪⎩∠ACD ＝∠BCF，∴△ADC ≌△BFC. ∴AD ＝BF.
⎧在△AEF和△AEB中，⎪
∠FAE＝∠BAE，⎨AE ＝AE ，
⎪⎩∠AEF ＝∠AEB，∴△AEF ≌△AEB. ∴BE ＝EF ，即BE 1
2∴BE ＝1
2AD.
2.AB ＝AC ＋CD.
理由如下：方法1：在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE . 易证△AED≌△ACD(SAS) ，∴ED ＝CD ，∠AED ＝∠C.
∵∠AED ＝∠B＋∠EDB，∴∠C ＝∠AED＝∠B＋∠EDB. 又∵∠C＝2∠B， ∴∠B ＝∠EDB.∴BE＝DE. ∴AB＝AE ＋BE ＝AC ＋DE ＝AC ＋
CD.
方法2：延长AC 到点F ，使CF ＝CD ，连接DF.
∵CF ＝CD ，∴∠CDF ＝∠F.
∵∠ACB＝∠CDF＋∠F，∴∠ACB ＝2∠F. 又∵∠ACB＝2∠B，∴∠B ＝∠F. 又∵∠BAD＝∠FAD，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△AFD(AAS)．
∴AB＝AF.∴AB＝AF ＝AC ＋CF ＝AC ＋CD. 3. 证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF. ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBO ＝∠FBO. ∴△EBO≌△FBO. ∴∠EOB ＝∠FOB.
∵∠A＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠BOC ＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－1
2(180°－∠A)＝120°.
∴∠EOB ＝∠DOC＝60°.
∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝∠DOC＝60°. ∵CE 平分∠DCB， ∴∠DCO ＝∠FCO. ∴△DCO≌△FCO.
∴CD＝CF.∴BC＝BF ＋CF ＝BE ＋CD.
4.AB ＝AD ＋BC. 理由：作EF⊥AB于F ，连接BE. ∵AE平分∠BAD，DC ⊥AD ，EF ⊥AB ， ∴EF ＝DE.
∵DE＝CE ，∴EC ＝EF.
∴Rt △BFE ≌Rt △BCE(HL)．∴BF＝BC . 同理可证：AF ＝AD.
∴AD＋BC ＝AF ＋BF ＝AB ，即AB ＝AD ＋BC.
5.(1)EF＝BE ＋DF (2)EF＝BE ＋DF 仍然成立．证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， ∵∠B ＋∠ADC＝180°，∠ADC ＋∠ADG＝180°，
⎧BE ＝DG ，∴∠B ＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，⎪
⎨∠B ＝∠ADG，
⎪⎩AB ＝AD ，∴△ABE ≌△ADG(SAS)．∴AE＝AG ，∠BAE ＝∠DAG. 1
2
BAD ，
∴∠GAF ＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.∴∠EAF＝∠GAF. ⎧AE ＝AG ，在△AEF和△AGF中，⎪
⎨∠EAF ＝∠GAF，
⎪⎩AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG. ∵FG＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF. 6. 延长BD 至E ，使DE ＝BD. 连接CE. ∵BD是AC 边上的中线，∴AD ＝CD.
∵∠BDA ＝∠EDC，∴△BDA ≌△EDC(SAS)．∴CE＝AB.
在△CBE中，BC －CE
∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE ≌△FDE. ∴∠B ＝∠BDF，AB ＝DF. ∵BA＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA，BD ＝DF.
∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC ＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF ＝∠ADC. ∵AD是△ABC的中线，∴BD ＝CD.∴DF＝CD.
∴△ADF≌△ADC(SAS) ．∴AC＝AF ＝2AE ，即AE ＝1
2AC.
8. 延长AM 至N ，使MN ＝AM ，连接BN ， ∵点M 为BC 的中点，∴BM ＝CM.
又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AMC ≌△NMB(SAS)．
∴AC＝BN ，∠C ＝∠NBM，∠ABN ＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD. 又∵BN＝AC ＝AD ，AB ＝EA ，∴△ABN ≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA. 又AM ＝MN ，∴DE ＝2AM.