疾走食肉恐龙捕食问题

疾走食肉恐龙捕食问题

摘要

本文主要讨论疾走食肉恐龙捕食双足食草恐龙的策略以及双足食草恐龙相应的逃跑策略。分两种情况：第一种是在疾走食肉恐龙是孤单的追捕者的情况下来分析；第二种是在两只疾走食肉恐龙同时进行追捕的情况下来分析。在第一种情况下，我们主要分析三种策略：直线追捕策略、斜角度追捕策略、先直线后转弯追捕策略，相应地就有直线逃跑策略，斜角度逃跑策略、先直线后转弯追捕策略。在第二种情况下，由于当三只恐龙初始位置在同一直线上的情况已经有人分析得很透彻了，在本文中我们不再做仔细的研究，而我们主要讨论三角追捕和逃跑策略，即在三只恐龙的初始位置呈三角形的情况下的追捕和逃跑策略。

在疾走食肉恐龙追捕和双足食草恐龙逃跑的过程中，我们考虑的影响因素有：疾走食肉恐龙全速追捕时的速度、双足食草恐龙全速逃跑时的速度、双足食草恐龙开始逃跑时两恐龙之间的距离、一次全速追捕的最长时间、双足食草恐龙的反应时间、两种恐龙的不同的灵活性（即转弯半径）、两种恐龙在追捕或者逃跑过程中转弯的角度关系、双足食草恐龙被捕或者成功逃跑的概率等等。通过对这些因素的研究和整合来建立模型，并通过模拟具体的数据和其他文献中相关的数据信息来检验和分析每种策略的可行性，使追捕策略或者逃跑策略取得较高的成功率。

关键词：捕食策略、逃跑策略、追捕、转弯

一、问题重述

成年的疾走食肉恐龙一般身长3米，髋高0.5米，重约45公斤，以每小时60公里的速度可持续奔跑约15秒钟，但是在以这样的速度冲刺之后，它需要停下来，通过在肌肉里增加乳酸使得体力恢复。

假定疾走食肉恐龙捕食与自己体型几乎相同的一种双足食草恐龙（Thescelosaurus neglectus），双足食草恐龙能以每小时50公里的速度长时间奔跑。

第一问：假设疾走食肉恐龙是孤单的捕猎者，建立数学模型，描述一只疾走食肉恐龙潜随和追猎一只双足食草恐龙的捕猎策略，以及被捕食者的逃避策略。假设双足食草恐龙在相距15米之内一定能觉察到疾走食肉恐龙，依赖于环境和气候条件可以在更大的范围内（一直到50米）觉察到。另外，由于身体结构和力量的缘故，疾走食肉恐龙在全速奔跑时的转弯半径是有限的，据估计，该半径是髋高的三倍。而双足食草恐龙却极其灵活，转弯半径仅为0.5米。

第二问：更符合实际地假设疾走食肉恐龙成对地去捕猎，建立新的模型，描述两只疾走食肉恐龙潜随和追猎一只双足食草恐龙的捕猎策略，以及被捕食者的逃避策略。继续使用第一问给出的其他假设。

二、问题分析

第一个问题要求我们建立数学模型来分别描述一只疾走食肉恐龙潜随和追猎一只双足食草恐龙的捕猎策略以及被捕食者的逃避策略，第二个问题要求我们建立新的模型来描述两只疾走食肉恐龙潜随和追猎一只双足食草恐龙的捕猎策略，以及被捕食者的逃避策略。

在疾走食肉恐龙潜随和追捕的过程中，它追捕的成功与否会受到疾走食肉恐龙和双足食草恐龙的体形差别、体形对奔跑速度的影响、饥饿程度对速度的影响、双足食草恐龙觉察到危险时两者之间的距离、环境和气候条件、双足食草恐龙的反应时间、疾走食肉恐龙是否以最大速度追捕、双足食草恐龙是否以最大速度逃跑、双足食草恐龙以怎样的路线逃跑、疾走食肉恐龙以怎样的路线追捕、疾走食肉恐龙和双足食草恐龙转弯时的灵活性、由直线奔跑到转弯之间的惯性、追捕过程的持续时间等因素的影响。如果所有的可能因素都考虑到，我们就无法建立较好的数学模型。因此，我们需要把问题简单化，提出以下合理的假设：

1. 疾走食肉恐龙和双足食草恐龙的体形相当；

2. 体形和饥饿程度对奔跑的速度的影响不大，可以忽略；

3. 环境和气候条件使得双足食草恐龙能在50米以内觉察到危险； 4. 在追捕的过程中，两种恐龙均以最大速度奔跑；

5. 整个追捕过程的持续时间最长为15秒，在15秒之后，追捕结束。 6. 考虑到反应时间时，以人的反应时间0.1s来进行近似的处理。 7. 反应时间不包含在追捕过程所用的时间内。

8. 追捕的地点是在广阔的平原地带，追捕不会受到任何障碍； 9. 疾走食肉恐龙和双足食草恐龙的加速时间可以忽略；

三、符号说明

疾走食肉恐龙 Velo

双足食草恐龙 Thes 疾走食肉恐龙追捕的最大速度 V1 双足食草恐龙逃跑的最大速度 V2

疾走食肉恐龙的反应时间 T1 双足食草恐龙的反应时间 T2 追捕过程持续的最长时间 T 疾走食肉恐龙成功追捕到双足食草恐龙所用的时间 T3 双足食草恐龙觉察时两者之间的距离 D0 双足食草恐龙安全转弯的最小距离 Dmin 疾走食肉恐龙的转弯半径 R1 双足食草恐龙的转弯半径 R2 疾走食肉恐龙斜角追捕时的角度 1 双足食草恐龙斜角逃跑时的角度 2 疾走食肉恐龙转弯时与恢复直线追捕时的夹角  双足食草恐龙转弯时与恢复直线逃跑时的夹角 

由题目可知，我们有：

50V1m/s （即60km/h）

3125V2m/s （即50km/h）

9T15s

T1=T20.1s 15mD050m R11.5m R20.5m

四、模型建立与求解

（1）Velo是孤单的追捕者 策略一：

Thes发现Velo后，直接沿着远离Velo的直线逃跑，Velo也沿着直线向前追。先假设Velo能够成功捕捉到Thes，，Velo成功捕捉到Thes所用的时间T315s，分以下两种情况来讨论：

1. 不考虑Thes和Velo的反应时间，于是，我们有

V1T3=V2T3+D0 …………………………………①

T3T …………………………………② 由①式，得

D0

T3=T …………………………………③

V1V2

于是，我们有

（V1V2）T …………………………………④ D0

50125m/s，V2m/s，T15s代入④式， 39

解得 D41.6m

这表明，Thes觉察时两恐龙之间的距离D0在15m~41.6m之间的时候，Velo能够成

把V1

功捕捉到Thes。而对于Thes来说，当距离D0大于41.6m的时候，它能成功逃跑。此时，

41.615

Velo能够成功捕捉到Thes的概率P10.76,而Thes能成功逃跑的概率

5015

5041.6P20.24。显然，Thes能成功逃跑的概率比Velo能够成功捕捉到Thes的概

5015

率要小得多。因此，直线逃跑策略对Thes不利。

2. 考虑Thes和Velo的反应时间，即Thes察觉危险后再经过反应时间才采取逃跑的行动，而Velo在发觉Thes开始逃跑也经过反应时间才采取追捕行动。这里，我们以反应时间T1=T20.1s来计算，则有

（T3T2)+D0 …………………………………⑤ V1（T3+T1）=V2

整理得

D0（V1V2）TV1T1V2T2 …………………………………⑥

50125

把V1m/s，V2m/s，T15s，T1=T20.1s代入⑥式，

39

解得 D041.9m

因为41.9m＞41.6m，所以考虑Thes和Velo的反应时间的时候，Velo能够成功捕捉到Thes的概率的可能性会变得更大一点。从实际情况来看，Thes和Velo是有一定反应时间的，这更进一步表明直线逃跑策略对Thes不利。

策略二：

Thes发现Velo后，Thes和Velo以全速逃跑或者追捕，且两者的速度成一定的夹角，如图一所示（方便起见，这里不考虑两者的反应时间）：

V 图一

点T和点V分别代表Thes和Velo的初始位置，当Thes发现潜伏着的Velo的时候，Thes开始向着T→A的方向逃跑，而Velo也沿着V→A的方向追捕，假设在点A的时候，Velo成功捕捉到Thes。

在图中，设∠TVA=1，∠VTA=2。由分析可知，在逃跑过程中，Thes的逃跑路线TA与线段VT的夹角2要满足90°＜2＜180°的时候，这种策略才会对Thes有利。

在△TVA中，由正弦定理，我们有

从而，有

TAVA

…………………………………⑦ 

sin1sin2

sin1TA

 …………………………………⑧ sin2VA

50125

而TA=V2T3，VA=V1T3，V1m/s，V2m/s,代入⑧式，得

39

sin1V25

 …………………………………⑨

sin2V16

由⑨式可知，角度1与2之间的关系式与追捕时间T3无关，只与两者的速度的大小有关。这表明，Thes的逃跑路线TA与线段VT的夹角2与Velo的追捕路线与线段VT的夹角1满足⑨式的关系时，Velo能够在15s内成功捕捉到Thes的可能性相当大。此时对Velo很有利，对Thes非常不利。

sin15sin15

＜时，时当这时Velo能够在15s内成功捕捉到Thes的可能性比sin26sin26

sin15

＞时，这时Velo能够在15s内成功捕捉到Thes的可能性比进一步增大；当

sin26

sin15

时要小一些；当11802时，Velo的追捕路线与Thes的逃跑路线平行或sin26

者逐渐远离，此时Velo无法成功捕捉到Thes。

策略三：

Thes发现Velo后，先沿着策略一的直线逃跑一段距离再转弯，而Velo也同时转弯。此时，追捕路线会有以下四种情况：

1. 如图二所示：

EK

C

图二

如图二所示，点A为Velo的初始位置，点B为Thes的初始位置，当B处的Thes发现在A处的Velo之后，Thes沿着BK的路线直跑，Velo也沿着相同的方向向前追捕。Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KEM逃跑，而Velo沿着弧CFM追捕。Thes的转弯半径R20.5m，Velo的转弯半径R11.5m，如果他们在M点相遇，假设追捕过程持续的时间在15s之内，则此时Thes被捕。

2. 如图三所示：

C

图三

图三中，Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KGE逃跑，而Velo沿着弧CFM追捕。Velo到达点E时恢复直线逃跑（即沿着E→N的方向逃跑）。在点N处，Velo和Thes相遇，Thes被捕捉。

3. 如图四（1）（2）所示：

N

C

图四（1）

K

C

图四（2）

图四中，Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KEM逃跑，而Velo沿着弧CMF（图四（2）中为弧CFM）追捕。Velo到达点E时恢复直线逃跑（即沿着E→N的方向逃跑）,而Velo在点F处恢复直线追捕（即沿着F→N的方向追捕）。此时，EN与AK成90°角。在点N处，Velo和Thes相遇，Thes被捕捉。比较图四（1）和图四（2），我们很容易知道，在图四（2）中，Velo和Thes很快就相遇了，也就是说此时Velo能很快地抓到Thes。这对Thes非常不利。

4. 如图五所示：

K

C

图五

图五中，同样地，Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KEM逃跑，而Velo沿着弧CFM追捕。Velo到达点E时恢复直线逃跑（即沿着E→N的方向逃跑）,由于受到灵活性的影响，Velo只有在点F处恢复直线追捕（即沿着F→N的方向追捕）时才最有利。如果Velo在点G处开始沿着平行于直线EN的直线GH追捕，则Velo无法追捕到Thes。

比较以上四种情况可知，在图二、图三中，Thes很快就会被Velo捕捉到，如果Thes足够聪明的话，它是不会选择图二、图三中的逃跑路线的。对于图四，如果Velo足够聪明，它能预测到Thes在转弯之后会沿着垂直于直线AK的方向（E→N）逃跑，那么它选择图四（2）时更容易成功追捕到Thes。而在图四（1）中，如果Velo不能预测到Thes在转弯之后会沿着垂直于直线AK的方向（E→N）逃跑的话，Velo就需要花更多的时间进行追捕，这种路线会对Thes有利一些。在图五中，Velo追捕的路程比较长，所以这种情况下对Thes比较有利。总的来说，以上四种情况中，相比之下，图五的路线对Thes更有利一些。因此，我们着重讨论图五这种逃跑路线。

如图五所示，点A为Velo的初始位置，点B为Thes的初始位置，当B处的Thes发现在A处的Velo之后，Thes沿着BK的路线直跑，Velo也沿着相同的方向向前追捕。Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KEM逃跑，而Velo沿着弧CFM追捕。Velo到达点E时恢复直线逃跑（即沿着E→N的方向逃跑）,由于受到灵活性的影响，Velo只有在点F处恢复直线追捕（即沿着F→N的方向追捕）时才最有利。最后Velo和Thes在点N处相遇，如果整个追捕时间在15s之内时，此时Thes被捕，追捕过程结束。如果在15s之后，Velo还没到达点N，那么Thes就可以成功逃脱了。（此过程中假设Velo足够聪明，不会点G处开始沿着平行于直线EN的直线GH追捕。）

由图以及上面的符号说明可知，在图五中，AB=D0，CK=Dmin，∠CO1F=，∠KO2E=。下面我们讨论以下两个问题：

第一问，Thes应该在至少离Velo多远的距离时就必须转弯，即安全转弯的最小距离Dmin为多少时，Thes开始转弯对其本身最有利，使得Thes不会在点K就被Velo捕获；

第二问，当和分别为多少或者它们共同满足怎样的关系时恢复直线逃跑或者直线追捕对它们各自本身有利。

对于第一问，我们考虑反应时间对其的影响。当Velo很接近Thes时，Thes开始转弯。如果此时Thes在反应时间内不转弯，那么Velo在下一刻就会成功捕获到Thes。从而我们得到，要使得此时处在点K的Thes有逃生的可能，需有

Dmin=V1T2 …………………………………⑩

50

把V1m/s，T2≈0.1s代入⑩式，解得

3

Dmin≈1.67m

因此，当两者的最小距离约为1.67m的时候，Thes必须采取转弯行动才能有逃生的机会。

对于第二问，我们已经知道，Thes的转弯半径R20.5m，Velo的转弯半径R11.5m。

策略四：

Thes发现Velo后，先沿着策略一的直线逃跑一段距离再转弯，此时考虑Velo转弯前的惯性和它的反应时间对转弯时间的影响，所以Velo不是和Thes同时转弯，而是在Thes转弯后才转弯。此时，我们有以下两种追捕路线，如图六（1）、图六（2）所示：

K

N

图六（1）

K

N

图六（2）

在图六中，同策略三中的假设，点A为Velo的初始位置，点B为Thes的初始位置，当B处的Thes发现在A处的Velo之后，Thes沿着BK的路线直跑，Velo也沿着相同的方向向前追捕。Thes到达K点后再转弯。Velo之后再转弯。转弯之后，Thes沿着弧KGE逃跑，到点E处恢复直线逃跑策略；Velo沿着弧K(M)HF追捕，并在点F处恢复直线追捕策略。最后两者在点N处相遇，如果整个追捕过程所用时间在15s之内（包括15s），那么此时Thes被捕，追捕结束；如果整个追捕过程所用时间超过15s，那么此时Thes有可能逃脱，追捕结束。Thes的转弯半径R20.5m，Velo的转弯半径R11.5m。在Thes转弯后，由于Velo会受到惯性以及反应时间的影响，所以会有图六中两种情况：

1. 如图六（1）， Thes在点K转弯时，Velo正处在点C处。Velo也在达到K点时再转弯，转弯之后，Thes沿着弧KGE逃跑，而Velo沿着弧KHF追捕。，最后它们在N点相遇，假设追捕过程持续的时间在15s之内，则此时Thes被捕。此时，要使得Velo也在达到K点时再转弯，那么在Thes转弯前的那一瞬间，两者之间的距离CK肯定要大于策略三中求得的最小距离Dmin≈1.67m，即CK＞Dmin≈1.67m。

2. 如图六（2），Thes在点K转弯时，Velo正处在点C处。经过惯性和反应时间之后，Velo在点K上侧的点M处开始转弯，并沿着弧MHF追捕。此时，要使得Velo在达到M点时再转弯，那么在Thes转弯前的那一瞬间，两者之间的距离CK肯定要大于策略三中求得的最小距离Dmin≈1.67m，即CK＞Dmin≈1.67m。

由以上的分析，我们可以把这两种路线归结图六（2）这种情况中去。

基于对以上几种情况的分析，可以得到如图六所示的优化捕食策略图形：

图六

这是对于聪明的捕食者与被捕食者所设计的优化捕食策略图形，图中的小正方形代表疾走肉食恐龙（Velo），小圆形代表双足食草恐龙(Thes)，两者都沿着最短路径奔跑，我们假设一开始Thes在初始距离D0时发现了Velo，然后就开始全速奔跑，如果两只恐龙都沿直线奔跑，这对Thes不利，则Thes就会在跑过一段时间之后在Velo到达Dmin时就进行转弯，而在Thes转弯的同时，Velo已经预测到了Thes会在那里转弯，那么就可以与Thes同时转弯。这样一来，如果Thes没有在转弯中被捕食者抓住，则它们会继续

追捕行为。经过几秒之后，Velo逼近到接近Dmin又再次让Thes感觉到不得不转弯时，Thes再次转弯时，可以适当地拉开它们的距离，此时Velo找到最近的距离在转弯之后，找到最短的路径，这样就可以弥补拉大的距离，这时有可能抓到Thes；如果还不可以，就又会消耗持续几秒时间，接着就是直线追捕，这时Velo也有可能追捕到Thes.由于我们假设了Velo在追捕过程中经过15秒之后就结束，故而大概转过两个弯之后追捕行动就即将结束了。其中，Velo全程跑了250米，Thes跑了208.3米，每经过一秒，它们的距离就会缩短2.7米左右。我们从上述的图形中发现：当Thes转弯越多时，它被捕食者Velo抓住的概率就越低。

（2）Velo成双捕食，它们可以利用数量上的优势，弥补机动上的不足：

由于Velo成双捕食的时候，模型会变得比较复杂，因此，我们只考虑以下几种比较简单的策略。

策略一：Velo在Thes两侧

1. 两只Velo从Thes两侧同时靠近直到被Thes发现，这时Thes已经在包围圈之中。如图八所示：

BVelo1

Thes

Velo2

B

Velo1

Velo2

图八

假设两只Velo距Thes分别为D1，D2，若Thes只发现较近的Velo2，则其会往另一只Velo2的方向直线逃跑，如图八中方向O→A，这样Thes被捕获的概率增大；若Thes同时发现两只Velo，则其会往两者垂线方向(图中O→B方向)逃跑，对于Thes来

2

说，它被捕的可能性会降低。此时，考虑15秒内D12502208219236，即D1

2. 两只Velo直接发起围攻，此时Thes可以从与两只Velo垂直的方向逃跑，在Velo靠近到一定距离的时候，Thes应该转弯来逃避追捕以增加逃亡概率。

3. Velo2停留在原处，Velo1从相反方向不断悄悄靠近；当Thes发现时，靠近的

Velo1发起追捕，迫使Thes向另一只的方向移动，直到发现潜伏的Velo2，则其会往两者垂线逃跑，停留的Velo2根据Thes的移动方向来追捕。同样的如果Thes直线逃跑，被捕捉的概率很大，而只有不断改变逃跑方向才可以增加逃跑概率。如图九所示，箭头方向表示逃跑或者追捕的方向：

Velo1

D1

Velo2

Velo1

Velo2

图九

策略二：Velo在Thes同侧 1. Thes沿着两只Velo的垂线逃跑，两只Velo预测方向追赶，若Thes一直直线逃跑，被捕捉的可能性增大，故Thes在Velo接近时转弯。（可参考第一部分）

2. 一只Velo原地停留，另一只绕到另一侧，直到被Thes发现会形成一个圆圈，这时问题可以转化为1a中的情况。

（五）灵敏度分析与结果

通过各种策略模拟，我们可以得知在捕食者与被捕食者相距超过41.6米时，Thes直线逃脱的概率很大，而且在考虑了两者的反应时间是0.1s后，直线逃跑对于Thes不利。综合考虑0.1s的反应时间后，我们得出双足食草恐龙安全转弯的最小距离为1.67米。如果这个距离过小，则可能导致双足食草恐龙来不及转弯而被捕杀，如果这个距离过大，则可能导致没有通过直线奔跑来消耗食肉恐龙的耐力，被捕杀的概率也会增大。我们选择的这个反应时间0.1s是参照人体的反应时间，不是很合理，实际上应该在0.05~0.1s之间。如果是0.05s，则最小转弯距离大概是0.83米，这个数据与我们得到

的结果还是有一定的差距。

在策略2中我们无法得知两只恐龙的初始距离，同时我们也无法模拟Velo对Thes逃跑路线的预测，所以我们只能猜测Thes的逃跑方向，并让Velo根据Thes的逃跑方向改变追捕方向，这个是不实际的，毕竟Velo没有那么高的智慧，而且依靠预测的准确性也不高。

在策略3中我们模拟了四种追捕情况，这几种追捕情况都可以归结为求Thes的最佳逃跑路线，这里涉及到Thes在哪个角度恢复直线奔跑，同样的我们也要考虑Velo的最佳追捕路线以及Velo在哪个角度恢复直线追捕捕获的概率最大，由于我们缺乏许多重要数据的支撑，而且这个模型也比较复杂，最终也只是一个概括性的描述。

（六）模型优缺点和改进方向

本模型的最大优点是考虑了反应时间对最小转弯距离的影响，这将使得误差尽可能的减小，在讨论单个Velo追捕问题是追捕策略及其相应的逃跑策略相对的全面，在考虑两只Velo追捕问题时我们讨论了同侧和两侧，比较全面的分析追捕逃跑过程。

由于我们缺乏很多重要数据，例如Thes发现Velo时的距离，Velo的反应时间也近似的看成0.1s，这些必定会影响到模型的准确性。此外，我们没有很好的利用题目所给的数据，例如Velo的体重，身长等，这些影响Velo灵活性的因素也会对捕猎策略造成影响。在两只Velo围捕Thes时也无法得到Thes会在何时发现Velo，还有发现几只Velo等条件。还有，我们没能很好的编写程序支撑我们的设想，这些都需要我们改进。

如果能够模拟求出Thes的最小转弯距离的图像，并能够编写出能得到Thes最佳逃跑路线与Velo追捕路线的程序，我们的结果会更加完善。

疾走食肉恐龙捕食问题

摘要

本文主要讨论疾走食肉恐龙捕食双足食草恐龙的策略以及双足食草恐龙相应的逃跑策略。分两种情况：第一种是在疾走食肉恐龙是孤单的追捕者的情况下来分析；第二种是在两只疾走食肉恐龙同时进行追捕的情况下来分析。在第一种情况下，我们主要分析三种策略：直线追捕策略、斜角度追捕策略、先直线后转弯追捕策略，相应地就有直线逃跑策略，斜角度逃跑策略、先直线后转弯追捕策略。在第二种情况下，由于当三只恐龙初始位置在同一直线上的情况已经有人分析得很透彻了，在本文中我们不再做仔细的研究，而我们主要讨论三角追捕和逃跑策略，即在三只恐龙的初始位置呈三角形的情况下的追捕和逃跑策略。

在疾走食肉恐龙追捕和双足食草恐龙逃跑的过程中，我们考虑的影响因素有：疾走食肉恐龙全速追捕时的速度、双足食草恐龙全速逃跑时的速度、双足食草恐龙开始逃跑时两恐龙之间的距离、一次全速追捕的最长时间、双足食草恐龙的反应时间、两种恐龙的不同的灵活性（即转弯半径）、两种恐龙在追捕或者逃跑过程中转弯的角度关系、双足食草恐龙被捕或者成功逃跑的概率等等。通过对这些因素的研究和整合来建立模型，并通过模拟具体的数据和其他文献中相关的数据信息来检验和分析每种策略的可行性，使追捕策略或者逃跑策略取得较高的成功率。

关键词：捕食策略、逃跑策略、追捕、转弯

一、问题重述

成年的疾走食肉恐龙一般身长3米，髋高0.5米，重约45公斤，以每小时60公里的速度可持续奔跑约15秒钟，但是在以这样的速度冲刺之后，它需要停下来，通过在肌肉里增加乳酸使得体力恢复。

假定疾走食肉恐龙捕食与自己体型几乎相同的一种双足食草恐龙（Thescelosaurus neglectus），双足食草恐龙能以每小时50公里的速度长时间奔跑。

第一问：假设疾走食肉恐龙是孤单的捕猎者，建立数学模型，描述一只疾走食肉恐龙潜随和追猎一只双足食草恐龙的捕猎策略，以及被捕食者的逃避策略。假设双足食草恐龙在相距15米之内一定能觉察到疾走食肉恐龙，依赖于环境和气候条件可以在更大的范围内（一直到50米）觉察到。另外，由于身体结构和力量的缘故，疾走食肉恐龙在全速奔跑时的转弯半径是有限的，据估计，该半径是髋高的三倍。而双足食草恐龙却极其灵活，转弯半径仅为0.5米。

第二问：更符合实际地假设疾走食肉恐龙成对地去捕猎，建立新的模型，描述两只疾走食肉恐龙潜随和追猎一只双足食草恐龙的捕猎策略，以及被捕食者的逃避策略。继续使用第一问给出的其他假设。

二、问题分析

第一个问题要求我们建立数学模型来分别描述一只疾走食肉恐龙潜随和追猎一只双足食草恐龙的捕猎策略以及被捕食者的逃避策略，第二个问题要求我们建立新的模型来描述两只疾走食肉恐龙潜随和追猎一只双足食草恐龙的捕猎策略，以及被捕食者的逃避策略。

在疾走食肉恐龙潜随和追捕的过程中，它追捕的成功与否会受到疾走食肉恐龙和双足食草恐龙的体形差别、体形对奔跑速度的影响、饥饿程度对速度的影响、双足食草恐龙觉察到危险时两者之间的距离、环境和气候条件、双足食草恐龙的反应时间、疾走食肉恐龙是否以最大速度追捕、双足食草恐龙是否以最大速度逃跑、双足食草恐龙以怎样的路线逃跑、疾走食肉恐龙以怎样的路线追捕、疾走食肉恐龙和双足食草恐龙转弯时的灵活性、由直线奔跑到转弯之间的惯性、追捕过程的持续时间等因素的影响。如果所有的可能因素都考虑到，我们就无法建立较好的数学模型。因此，我们需要把问题简单化，提出以下合理的假设：

1. 疾走食肉恐龙和双足食草恐龙的体形相当；

2. 体形和饥饿程度对奔跑的速度的影响不大，可以忽略；

3. 环境和气候条件使得双足食草恐龙能在50米以内觉察到危险； 4. 在追捕的过程中，两种恐龙均以最大速度奔跑；

5. 整个追捕过程的持续时间最长为15秒，在15秒之后，追捕结束。 6. 考虑到反应时间时，以人的反应时间0.1s来进行近似的处理。 7. 反应时间不包含在追捕过程所用的时间内。

8. 追捕的地点是在广阔的平原地带，追捕不会受到任何障碍； 9. 疾走食肉恐龙和双足食草恐龙的加速时间可以忽略；

三、符号说明

疾走食肉恐龙 Velo

双足食草恐龙 Thes 疾走食肉恐龙追捕的最大速度 V1 双足食草恐龙逃跑的最大速度 V2

疾走食肉恐龙的反应时间 T1 双足食草恐龙的反应时间 T2 追捕过程持续的最长时间 T 疾走食肉恐龙成功追捕到双足食草恐龙所用的时间 T3 双足食草恐龙觉察时两者之间的距离 D0 双足食草恐龙安全转弯的最小距离 Dmin 疾走食肉恐龙的转弯半径 R1 双足食草恐龙的转弯半径 R2 疾走食肉恐龙斜角追捕时的角度 1 双足食草恐龙斜角逃跑时的角度 2 疾走食肉恐龙转弯时与恢复直线追捕时的夹角  双足食草恐龙转弯时与恢复直线逃跑时的夹角 

由题目可知，我们有：

50V1m/s （即60km/h）

3125V2m/s （即50km/h）

9T15s

T1=T20.1s 15mD050m R11.5m R20.5m

四、模型建立与求解

（1）Velo是孤单的追捕者 策略一：

Thes发现Velo后，直接沿着远离Velo的直线逃跑，Velo也沿着直线向前追。先假设Velo能够成功捕捉到Thes，，Velo成功捕捉到Thes所用的时间T315s，分以下两种情况来讨论：

1. 不考虑Thes和Velo的反应时间，于是，我们有

V1T3=V2T3+D0 …………………………………①

T3T …………………………………② 由①式，得

D0

T3=T …………………………………③

V1V2

于是，我们有

（V1V2）T …………………………………④ D0

50125m/s，V2m/s，T15s代入④式， 39

解得 D41.6m

这表明，Thes觉察时两恐龙之间的距离D0在15m~41.6m之间的时候，Velo能够成

把V1

功捕捉到Thes。而对于Thes来说，当距离D0大于41.6m的时候，它能成功逃跑。此时，

41.615

Velo能够成功捕捉到Thes的概率P10.76,而Thes能成功逃跑的概率

5015

5041.6P20.24。显然，Thes能成功逃跑的概率比Velo能够成功捕捉到Thes的概

5015

率要小得多。因此，直线逃跑策略对Thes不利。

2. 考虑Thes和Velo的反应时间，即Thes察觉危险后再经过反应时间才采取逃跑的行动，而Velo在发觉Thes开始逃跑也经过反应时间才采取追捕行动。这里，我们以反应时间T1=T20.1s来计算，则有

（T3T2)+D0 …………………………………⑤ V1（T3+T1）=V2

整理得

D0（V1V2）TV1T1V2T2 …………………………………⑥

50125

把V1m/s，V2m/s，T15s，T1=T20.1s代入⑥式，

39

解得 D041.9m

因为41.9m＞41.6m，所以考虑Thes和Velo的反应时间的时候，Velo能够成功捕捉到Thes的概率的可能性会变得更大一点。从实际情况来看，Thes和Velo是有一定反应时间的，这更进一步表明直线逃跑策略对Thes不利。

策略二：

Thes发现Velo后，Thes和Velo以全速逃跑或者追捕，且两者的速度成一定的夹角，如图一所示（方便起见，这里不考虑两者的反应时间）：

V 图一

点T和点V分别代表Thes和Velo的初始位置，当Thes发现潜伏着的Velo的时候，Thes开始向着T→A的方向逃跑，而Velo也沿着V→A的方向追捕，假设在点A的时候，Velo成功捕捉到Thes。

在图中，设∠TVA=1，∠VTA=2。由分析可知，在逃跑过程中，Thes的逃跑路线TA与线段VT的夹角2要满足90°＜2＜180°的时候，这种策略才会对Thes有利。

在△TVA中，由正弦定理，我们有

从而，有

TAVA

…………………………………⑦ 

sin1sin2

sin1TA

 …………………………………⑧ sin2VA

50125

而TA=V2T3，VA=V1T3，V1m/s，V2m/s,代入⑧式，得

39

sin1V25

 …………………………………⑨

sin2V16

由⑨式可知，角度1与2之间的关系式与追捕时间T3无关，只与两者的速度的大小有关。这表明，Thes的逃跑路线TA与线段VT的夹角2与Velo的追捕路线与线段VT的夹角1满足⑨式的关系时，Velo能够在15s内成功捕捉到Thes的可能性相当大。此时对Velo很有利，对Thes非常不利。

sin15sin15

＜时，时当这时Velo能够在15s内成功捕捉到Thes的可能性比sin26sin26

sin15

＞时，这时Velo能够在15s内成功捕捉到Thes的可能性比进一步增大；当

sin26

sin15

时要小一些；当11802时，Velo的追捕路线与Thes的逃跑路线平行或sin26

者逐渐远离，此时Velo无法成功捕捉到Thes。

策略三：

Thes发现Velo后，先沿着策略一的直线逃跑一段距离再转弯，而Velo也同时转弯。此时，追捕路线会有以下四种情况：

1. 如图二所示：

EK

C

图二

如图二所示，点A为Velo的初始位置，点B为Thes的初始位置，当B处的Thes发现在A处的Velo之后，Thes沿着BK的路线直跑，Velo也沿着相同的方向向前追捕。Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KEM逃跑，而Velo沿着弧CFM追捕。Thes的转弯半径R20.5m，Velo的转弯半径R11.5m，如果他们在M点相遇，假设追捕过程持续的时间在15s之内，则此时Thes被捕。

2. 如图三所示：

C

图三

图三中，Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KGE逃跑，而Velo沿着弧CFM追捕。Velo到达点E时恢复直线逃跑（即沿着E→N的方向逃跑）。在点N处，Velo和Thes相遇，Thes被捕捉。

3. 如图四（1）（2）所示：

N

C

图四（1）

K

C

图四（2）

图四中，Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KEM逃跑，而Velo沿着弧CMF（图四（2）中为弧CFM）追捕。Velo到达点E时恢复直线逃跑（即沿着E→N的方向逃跑）,而Velo在点F处恢复直线追捕（即沿着F→N的方向追捕）。此时，EN与AK成90°角。在点N处，Velo和Thes相遇，Thes被捕捉。比较图四（1）和图四（2），我们很容易知道，在图四（2）中，Velo和Thes很快就相遇了，也就是说此时Velo能很快地抓到Thes。这对Thes非常不利。

4. 如图五所示：

K

C

图五

图五中，同样地，Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KEM逃跑，而Velo沿着弧CFM追捕。Velo到达点E时恢复直线逃跑（即沿着E→N的方向逃跑）,由于受到灵活性的影响，Velo只有在点F处恢复直线追捕（即沿着F→N的方向追捕）时才最有利。如果Velo在点G处开始沿着平行于直线EN的直线GH追捕，则Velo无法追捕到Thes。

比较以上四种情况可知，在图二、图三中，Thes很快就会被Velo捕捉到，如果Thes足够聪明的话，它是不会选择图二、图三中的逃跑路线的。对于图四，如果Velo足够聪明，它能预测到Thes在转弯之后会沿着垂直于直线AK的方向（E→N）逃跑，那么它选择图四（2）时更容易成功追捕到Thes。而在图四（1）中，如果Velo不能预测到Thes在转弯之后会沿着垂直于直线AK的方向（E→N）逃跑的话，Velo就需要花更多的时间进行追捕，这种路线会对Thes有利一些。在图五中，Velo追捕的路程比较长，所以这种情况下对Thes比较有利。总的来说，以上四种情况中，相比之下，图五的路线对Thes更有利一些。因此，我们着重讨论图五这种逃跑路线。

如图五所示，点A为Velo的初始位置，点B为Thes的初始位置，当B处的Thes发现在A处的Velo之后，Thes沿着BK的路线直跑，Velo也沿着相同的方向向前追捕。Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KEM逃跑，而Velo沿着弧CFM追捕。Velo到达点E时恢复直线逃跑（即沿着E→N的方向逃跑）,由于受到灵活性的影响，Velo只有在点F处恢复直线追捕（即沿着F→N的方向追捕）时才最有利。最后Velo和Thes在点N处相遇，如果整个追捕时间在15s之内时，此时Thes被捕，追捕过程结束。如果在15s之后，Velo还没到达点N，那么Thes就可以成功逃脱了。（此过程中假设Velo足够聪明，不会点G处开始沿着平行于直线EN的直线GH追捕。）

由图以及上面的符号说明可知，在图五中，AB=D0，CK=Dmin，∠CO1F=，∠KO2E=。下面我们讨论以下两个问题：

第一问，Thes应该在至少离Velo多远的距离时就必须转弯，即安全转弯的最小距离Dmin为多少时，Thes开始转弯对其本身最有利，使得Thes不会在点K就被Velo捕获；

第二问，当和分别为多少或者它们共同满足怎样的关系时恢复直线逃跑或者直线追捕对它们各自本身有利。

对于第一问，我们考虑反应时间对其的影响。当Velo很接近Thes时，Thes开始转弯。如果此时Thes在反应时间内不转弯，那么Velo在下一刻就会成功捕获到Thes。从而我们得到，要使得此时处在点K的Thes有逃生的可能，需有

Dmin=V1T2 …………………………………⑩

50

把V1m/s，T2≈0.1s代入⑩式，解得

3

Dmin≈1.67m

因此，当两者的最小距离约为1.67m的时候，Thes必须采取转弯行动才能有逃生的机会。

对于第二问，我们已经知道，Thes的转弯半径R20.5m，Velo的转弯半径R11.5m。

策略四：

Thes发现Velo后，先沿着策略一的直线逃跑一段距离再转弯，此时考虑Velo转弯前的惯性和它的反应时间对转弯时间的影响，所以Velo不是和Thes同时转弯，而是在Thes转弯后才转弯。此时，我们有以下两种追捕路线，如图六（1）、图六（2）所示：

K

N

图六（1）

K

N

图六（2）

在图六中，同策略三中的假设，点A为Velo的初始位置，点B为Thes的初始位置，当B处的Thes发现在A处的Velo之后，Thes沿着BK的路线直跑，Velo也沿着相同的方向向前追捕。Thes到达K点后再转弯。Velo之后再转弯。转弯之后，Thes沿着弧KGE逃跑，到点E处恢复直线逃跑策略；Velo沿着弧K(M)HF追捕，并在点F处恢复直线追捕策略。最后两者在点N处相遇，如果整个追捕过程所用时间在15s之内（包括15s），那么此时Thes被捕，追捕结束；如果整个追捕过程所用时间超过15s，那么此时Thes有可能逃脱，追捕结束。Thes的转弯半径R20.5m，Velo的转弯半径R11.5m。在Thes转弯后，由于Velo会受到惯性以及反应时间的影响，所以会有图六中两种情况：

1. 如图六（1）， Thes在点K转弯时，Velo正处在点C处。Velo也在达到K点时再转弯，转弯之后，Thes沿着弧KGE逃跑，而Velo沿着弧KHF追捕。，最后它们在N点相遇，假设追捕过程持续的时间在15s之内，则此时Thes被捕。此时，要使得Velo也在达到K点时再转弯，那么在Thes转弯前的那一瞬间，两者之间的距离CK肯定要大于策略三中求得的最小距离Dmin≈1.67m，即CK＞Dmin≈1.67m。

2. 如图六（2），Thes在点K转弯时，Velo正处在点C处。经过惯性和反应时间之后，Velo在点K上侧的点M处开始转弯，并沿着弧MHF追捕。此时，要使得Velo在达到M点时再转弯，那么在Thes转弯前的那一瞬间，两者之间的距离CK肯定要大于策略三中求得的最小距离Dmin≈1.67m，即CK＞Dmin≈1.67m。

由以上的分析，我们可以把这两种路线归结图六（2）这种情况中去。

基于对以上几种情况的分析，可以得到如图六所示的优化捕食策略图形：

图六

这是对于聪明的捕食者与被捕食者所设计的优化捕食策略图形，图中的小正方形代表疾走肉食恐龙（Velo），小圆形代表双足食草恐龙(Thes)，两者都沿着最短路径奔跑，我们假设一开始Thes在初始距离D0时发现了Velo，然后就开始全速奔跑，如果两只恐龙都沿直线奔跑，这对Thes不利，则Thes就会在跑过一段时间之后在Velo到达Dmin时就进行转弯，而在Thes转弯的同时，Velo已经预测到了Thes会在那里转弯，那么就可以与Thes同时转弯。这样一来，如果Thes没有在转弯中被捕食者抓住，则它们会继续

追捕行为。经过几秒之后，Velo逼近到接近Dmin又再次让Thes感觉到不得不转弯时，Thes再次转弯时，可以适当地拉开它们的距离，此时Velo找到最近的距离在转弯之后，找到最短的路径，这样就可以弥补拉大的距离，这时有可能抓到Thes；如果还不可以，就又会消耗持续几秒时间，接着就是直线追捕，这时Velo也有可能追捕到Thes.由于我们假设了Velo在追捕过程中经过15秒之后就结束，故而大概转过两个弯之后追捕行动就即将结束了。其中，Velo全程跑了250米，Thes跑了208.3米，每经过一秒，它们的距离就会缩短2.7米左右。我们从上述的图形中发现：当Thes转弯越多时，它被捕食者Velo抓住的概率就越低。

（2）Velo成双捕食，它们可以利用数量上的优势，弥补机动上的不足：

由于Velo成双捕食的时候，模型会变得比较复杂，因此，我们只考虑以下几种比较简单的策略。

策略一：Velo在Thes两侧

1. 两只Velo从Thes两侧同时靠近直到被Thes发现，这时Thes已经在包围圈之中。如图八所示：

BVelo1

Thes

Velo2

B

Velo1

Velo2

图八

假设两只Velo距Thes分别为D1，D2，若Thes只发现较近的Velo2，则其会往另一只Velo2的方向直线逃跑，如图八中方向O→A，这样Thes被捕获的概率增大；若Thes同时发现两只Velo，则其会往两者垂线方向(图中O→B方向)逃跑，对于Thes来

2

说，它被捕的可能性会降低。此时，考虑15秒内D12502208219236，即D1

2. 两只Velo直接发起围攻，此时Thes可以从与两只Velo垂直的方向逃跑，在Velo靠近到一定距离的时候，Thes应该转弯来逃避追捕以增加逃亡概率。

3. Velo2停留在原处，Velo1从相反方向不断悄悄靠近；当Thes发现时，靠近的

Velo1发起追捕，迫使Thes向另一只的方向移动，直到发现潜伏的Velo2，则其会往两者垂线逃跑，停留的Velo2根据Thes的移动方向来追捕。同样的如果Thes直线逃跑，被捕捉的概率很大，而只有不断改变逃跑方向才可以增加逃跑概率。如图九所示，箭头方向表示逃跑或者追捕的方向：

Velo1

D1

Velo2

Velo1

Velo2

图九

策略二：Velo在Thes同侧 1. Thes沿着两只Velo的垂线逃跑，两只Velo预测方向追赶，若Thes一直直线逃跑，被捕捉的可能性增大，故Thes在Velo接近时转弯。（可参考第一部分）

2. 一只Velo原地停留，另一只绕到另一侧，直到被Thes发现会形成一个圆圈，这时问题可以转化为1a中的情况。

（五）灵敏度分析与结果

通过各种策略模拟，我们可以得知在捕食者与被捕食者相距超过41.6米时，Thes直线逃脱的概率很大，而且在考虑了两者的反应时间是0.1s后，直线逃跑对于Thes不利。综合考虑0.1s的反应时间后，我们得出双足食草恐龙安全转弯的最小距离为1.67米。如果这个距离过小，则可能导致双足食草恐龙来不及转弯而被捕杀，如果这个距离过大，则可能导致没有通过直线奔跑来消耗食肉恐龙的耐力，被捕杀的概率也会增大。我们选择的这个反应时间0.1s是参照人体的反应时间，不是很合理，实际上应该在0.05~0.1s之间。如果是0.05s，则最小转弯距离大概是0.83米，这个数据与我们得到

的结果还是有一定的差距。

在策略2中我们无法得知两只恐龙的初始距离，同时我们也无法模拟Velo对Thes逃跑路线的预测，所以我们只能猜测Thes的逃跑方向，并让Velo根据Thes的逃跑方向改变追捕方向，这个是不实际的，毕竟Velo没有那么高的智慧，而且依靠预测的准确性也不高。

在策略3中我们模拟了四种追捕情况，这几种追捕情况都可以归结为求Thes的最佳逃跑路线，这里涉及到Thes在哪个角度恢复直线奔跑，同样的我们也要考虑Velo的最佳追捕路线以及Velo在哪个角度恢复直线追捕捕获的概率最大，由于我们缺乏许多重要数据的支撑，而且这个模型也比较复杂，最终也只是一个概括性的描述。

（六）模型优缺点和改进方向

本模型的最大优点是考虑了反应时间对最小转弯距离的影响，这将使得误差尽可能的减小，在讨论单个Velo追捕问题是追捕策略及其相应的逃跑策略相对的全面，在考虑两只Velo追捕问题时我们讨论了同侧和两侧，比较全面的分析追捕逃跑过程。

由于我们缺乏很多重要数据，例如Thes发现Velo时的距离，Velo的反应时间也近似的看成0.1s，这些必定会影响到模型的准确性。此外，我们没有很好的利用题目所给的数据，例如Velo的体重，身长等，这些影响Velo灵活性的因素也会对捕猎策略造成影响。在两只Velo围捕Thes时也无法得到Thes会在何时发现Velo，还有发现几只Velo等条件。还有，我们没能很好的编写程序支撑我们的设想，这些都需要我们改进。

如果能够模拟求出Thes的最小转弯距离的图像，并能够编写出能得到Thes最佳逃跑路线与Velo追捕路线的程序，我们的结果会更加完善。