图形变化
【热身训练】
1．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C ，D 分别落在C '，D '的位置上，EC ' 交AD 于点G ．已知∠EFG =58°，那么∠BEG = °．
2．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如右图的位置，若∠AOD =110︒，则
∠BOC =
'
A
F
D
B C
C 'G
B
E
C
F
C '
3．长方形纸片ABCD 中，AD =4cm ，AB =10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE = cm ．
4．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3＝________________． 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，∠A
△ACM 折叠，使点A 落在点D 处．如果CD 恰好与AB 垂直，则∠A =
D
6、如图，直线y =-
4
x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针3
旋转90°后得到△AO 'B '，则点B '的坐标是 ．
【典型例题】
【例1】如图，方格纸中有三个点A ，B ，C ，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形
的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【例2】如图Rt △ABO 中，∠A =30 ，OB =2，如果将Rt △ABO 在坐标平面内，绕原点O 按顺时针方向旋转到OA 'B '的位置． （1）求点B '的坐标．
（2）求顶点A 从开始到A '点结束经过的路径长．
x
【例3】如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到
△A 'C 'D '．
（1）证明△A 'AD '≌△CC 'B ；
（2）若∠ACB =30°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC 'D '是菱形，并请说明理由．
'
A
B
C
【例4】已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：△BCG ≌△DCE ；
（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由．
【例5】如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB ∥DC ，∠A =90，CD >AD ，将纸片
D 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片．
A
D F E
E 'B
C
（1）求证：四边形ADEF 是正方形；
（2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果BG =CD ，试说明四边形GBCE 是等腰梯形． E D
B A
G F
【例6】如图等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，点P 是腰DC 上的一个动点（P 与D 、C 不重合），点E 、F 、G 分别是线段BC 、PC 、BP 的中点． ⑴试探索四边形EFPG 的形状，并说明理由；
⑵若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC 为何值时，四边形EFPG 是矩形？并加以证明.
【例7】如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交斜边于点E ，CC ' 的延长线交BB ' 于点F ． （1）证明：△ACE ∽△FBE ；
（2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由．
A G
B
E
D
P
F C
B
C' F
B'
C A
【例8】如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；(4分)
（2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由；(4分)
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB=a，BC=b（a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值；若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．(6分)
G
D F
M B E C N
图（1）
D
F
M B E C N
图（2）
问题解决
如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当
F
D
CE 1
=时，求CD 2
B
E
AM
的值． BN
类比归纳
在图（1）中，若
N 图（1）
C
CE 1AM CE 1AM
则的值等于 ；若则的值等=，=，
CD 3BN CD 4BN CE 1AM
于 ；若，则的值等于 ．（用含n 的式子表示） =（n 为整数）
CD n BN
图形变化
【热身训练】
1．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C ，D 分别落在C '，D '的位置上，EC ' 交AD 于点G ．已知∠EFG =58°，那么∠BEG = °．
2．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如右图的位置，若∠AOD =110︒，则
∠BOC =
'
A
F
D
B C
C 'G
B
E
C
F
C '
3．长方形纸片ABCD 中，AD =4cm ，AB =10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE = cm ．
4．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3＝________________． 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，∠A
△ACM 折叠，使点A 落在点D 处．如果CD 恰好与AB 垂直，则∠A =
D
6、如图，直线y =-
4
x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针3
旋转90°后得到△AO 'B '，则点B '的坐标是 ．
【典型例题】
【例1】如图，方格纸中有三个点A ，B ，C ，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形
的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【例2】如图Rt △ABO 中，∠A =30 ，OB =2，如果将Rt △ABO 在坐标平面内，绕原点O 按顺时针方向旋转到OA 'B '的位置． （1）求点B '的坐标．
（2）求顶点A 从开始到A '点结束经过的路径长．
x
【例3】如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到
△A 'C 'D '．
（1）证明△A 'AD '≌△CC 'B ；
（2）若∠ACB =30°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC 'D '是菱形，并请说明理由．
'
A
B
C
【例4】已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：△BCG ≌△DCE ；
（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由．
【例5】如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB ∥DC ，∠A =90，CD >AD ，将纸片
D 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片．
A
D F E
E 'B
C
（1）求证：四边形ADEF 是正方形；
（2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果BG =CD ，试说明四边形GBCE 是等腰梯形． E D
B A
G F
【例6】如图等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，点P 是腰DC 上的一个动点（P 与D 、C 不重合），点E 、F 、G 分别是线段BC 、PC 、BP 的中点． ⑴试探索四边形EFPG 的形状，并说明理由；
⑵若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC 为何值时，四边形EFPG 是矩形？并加以证明.
【例7】如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交斜边于点E ，CC ' 的延长线交BB ' 于点F ． （1）证明：△ACE ∽△FBE ；
（2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由．
A G
B
E
D
P
F C
B
C' F
B'
C A
【例8】如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；(4分)
（2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由；(4分)
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB=a，BC=b（a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值；若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．(6分)
G
D F
M B E C N
图（1）
D
F
M B E C N
图（2）
问题解决
如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当
F
D
CE 1
=时，求CD 2
B
E
AM
的值． BN
类比归纳
在图（1）中，若
N 图（1）
C
CE 1AM CE 1AM
则的值等于 ；若则的值等=，=，
CD 3BN CD 4BN CE 1AM
于 ；若，则的值等于 ．（用含n 的式子表示） =（n 为整数）
CD n BN