试分析图示体系的几何构造, 求计算自由度W , 判断多余约束数
解：
杆件1（左侧）与基础刚接，组成扩大刚片1。
杆件2（中间）与刚片1以及支杆间的连接符合铰结三角形规律, 组成扩大刚片2。 杆件（右侧）与刚片2以及支杆间的连接也符合铰结三角形规律。因此该体系为 无多余约束的几何不变体系
结点约束杆件计算自由度公式(建议用于有刚结点的结构)
W =3m -(3g +2h +b )
其中
刚片个数m =3 单刚结点个数g =1 单铰(hinge)个数h =2 单链杆个数b =2 代入得W =0
试分析图示体系的几何构造, 求计算自由度W , 判断多余约束数
答
根据铰结三角形规律，可将cd 和ef 杆以外的部分视为一个扩大刚片，cd 和ef 杆是多余的单链杆，所以整个体系是有多余约束的几何不变体系。
杆件约束结点计算自由度公式(建议用于无刚结点的桁架结构)
W =2j -b =2*7-16=-2
（注意j 是铰结点数，不包含支座处的四个铰。
AE 和BF 各等于3个单链杆，其余均为一个单链杆，所以单链杆总数为16）
由于体系是不变体系，所以有2个多余约束
（1）试求图示静定多跨梁支座A ，B ，C 的反力。 （2）试作剪力图和弯矩图。
解：(1)将多跨梁拆成下图所示两个简单梁。
(有1个铰结点D ，可以拆成2个简单梁。由于右侧CD 梁需添加支座，所以CD 梁为附属部分，
左侧的为基本部分，应先计算右侧的附属CD 梁) 对于CD 梁，利用对称性得支座反力：
F R C =F RD =
120
kN =60kN (↑) 2
120kN /m
将所求的D 支座反力的反向力作用于左侧梁的D 端 对于左侧的AD 梁，由
F RB =
∑M
A
=0得
40*8*4+60*10
kN =235k N (↑)
8
y
由
∑F
=0得
F RA =(40*8+60-235)kN =145k N (↑)
（2）
剪力图
弯矩图
AB 段极值弯矩：*3.625*145=263kNm （下拉）
12
(a) (b) (c)
附属2
支座反力。利用所求支座反力得出图(b)和(c)所示弯矩图和剪力图。
4kN/m静定刚架的受力分析计算
（1）试求图示静定刚架支座A 、B 、C 的反力。 （2）试作剪力图、弯矩图。 解：（1）
将原结构分为下列两个刚架，左侧为附属， 右侧为基本部分。左侧刚架的支座竖向反力为
F yA =F yD =
4*3
=6kN (↑) 2
yD =64kN/m
水平反力为0。将支座D 反力的反向力作用于 右侧刚架的D 端，得以下平衡方程
1
M =F *4-6*5-*4*52=0∑C yB
2
∑F y =F yB +F yC -6-4*5=0 ∑F x =F xB -F xC =0
取E 结点右侧作隔离体，得平衡方程
F 1R
M =F *4-*4*22+6*2=0 ∑E xC
2由以上解得
F yB =20kN (↑) F xB =1kN (→)
, ,
F yC =6kN (↑) F xC =1kN (←)
（2）
Q M 图
静定刚架的受力分析计算
解：利用对称性求得支座A 与B F yA =F yB =
1*12
k N =6kN (↑) 2
取左半边为隔离体作为分析对象 由
∑M
L C
=0得支座A 水平反力
1
6*6-*1*62
F xA =kN =3kN (→) 8
结点D 弯矩
M D =-(3*1) k Nm =-3k N m
结点E 弯矩
（外侧受拉）
M E =(
-3*4-3*1.5+6*3)k Nm =1.5k Nm
剪力和轴力计算：DE 杆:sin ϕ1=2
（内侧受拉）
kN
,
cos ϕ1=2
⎧⎪F QDE ⎫⎪⎡cos ϕ1-sin ϕ1⎤⎧6⎫⎡22⎤⎧6⎫⎧2.12⎫
⎥⎨⎬=⎨⎨⎬=⎢⎨⎬=⎢⎬kN ⎥
⎪F NDE ⎭⎪⎣-sin
ϕ1-cos ϕ1⎦⎩3⎭⎢⎩⎣22⎥⎦⎩3⎭⎩-6.36⎭⎧F QED ⎪⎫⎡22⎤⎧3⎫⎧0⎫⎪
==⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎨⎬kN
3-4.24⎪⎭⎩F NED ⎪⎭⎢⎣22⎥⎦⎩⎭⎩EC 杆:sin ϕ2=
3=0.555,
cos ϕ2=
=0.832
⎧F QEC ⎪⎫⎡0.832-0.555⎤⎧3⎫⎧0.83⎫⎪⎨⎬=⎢⎥⎨3⎬=⎨-4.16⎬kN -0.555-0.832⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩F NCE ⎭
⎧⎪F QEC ⎫⎪⎡0.832-0.555⎤⎧0⎫⎧-1.67⎫⎨⎬=⎢⎥⎨3⎬=⎨-2.5⎬kN -0.555-0. 832F ⎪⎦⎩⎭⎩⎭⎩NCE ⎪⎭⎣
6.366
试用结点法求图示桁架中各杆的轴力（拉力为正），并标注计算结果。
解：
由以下平衡方程
∑F x
=F xA
+F xB
=0∑F y
=F yA -15*3=0
∑
M A
=15*4+15*8+15*12-F
xB
*3=0
得支座反力
F xA =120kN (←) F yA =45kN (↑) F xB =120kN (→)
CD 杆是结点单杆且结点C 处无荷载作用，所以是零杆。 依次作结点G ，F ，E ，C ，B ，A 的隔离体图 由平衡方程∑F x =0,
∑F
y
=0可得各杆轴力
内力标注（单位:kN ）
结点G （单位：KN ）E （单位：结点KN ）
试用截面法求图示桁架中1、2、3杆的轴力F N 1、F N 2、F N 3（拉力为正）。
解：
作截面切断1、2、3杆作隔离体。 由平衡条件
∑M C
=F N 1
=0∑M D
=F N 3
*2+=0
∑F =F cos30o
+F cos30o
x
N 1
N 2
+F N 3
=0 ∑F =F 1
sin 30o
-F N 2
sin 30o
y
N -20=0
解得
F N 1=30kN F N 2=-10kN
F N 3=-
N 3
图示对称组合结构由梁式杆CD 、CE 和其他链杆组成。 （1）试求链杆AB 、AD 、AF 的轴力
（2）试作梁式杆CD 的弯矩图，剪力图，轴力图。
解：（1）
利用对称性得支座反力
1
KN/m
F yA =F yB
1
=*1KN /m *16m =8KN (↑) 2
截断对称中心取左边作隔离体， (注：不能截断梁式杆CD 和CE ) 平衡方程：
∑M
L C
=8KN *6m -
1
*1KN /m *(8m ) 2-F NAB *4m =0
2
解得AB 杆的轴力为F NAB =4KN 作结点A 的隔离体图可得：
F NAF =-10K N F xAD =4KN F NAD =F xAD
=N
(2)
由隔离体图可得截面F 的弯矩
M F =(4*2.25-6*3)KN ⋅m =-9KN ⋅m
（上拉）
9KNm
C
KNm
D
CD 杆弯矩图
剪力与轴力的计算。设DC 杆与水平线的夹角为α
sin α=
=0.351, cos α=
=0.936
⎡cos α
坐标转换矩阵⎢-sin α⎣
1
KN/m
-sin α⎤⎡0.936-0.351⎤
=⎢⎥-cos α⎥⎦⎣-0.351-0.936⎦
⎧F QDF ⎪⎫⎡0.936-0.351⎤⎧-2⎫⎧-3.276⎫⎪
⎨⎬=⎢⎥⎨4⎬=⎨-3.042⎬ -0.351-0.936F ⎪NDF ⎭⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩
⎧⎪F QFD ⎫⎪⎡0.936-0.351⎤⎧-4⎫⎧-5.148⎫ ⎨⎬=⎢⎥⎨4⎬=⎨-2.34⎬-0.351-0.936⎪⎦⎩⎭⎩⎭⎩F NFD ⎪⎭⎣⎧F QFC ⎪⎫⎡0.936-0.351⎤⎧6⎫⎧4.212⎫⎪⎨⎬=⎢⎨⎬=⎨⎬ ⎥⎪F NFC ⎭⎪⎣-0.351-0.936⎦⎩4⎭⎩-5.85⎭⎩
⎧⎪F QCF ⎫⎪⎡0.936-0.351⎤⎧0⎫⎧-1.404⎫ ⎨⎬=⎢⎨⎬=⎨⎬⎥-0.351-0.9364-3.744F ⎪⎪⎦⎩⎭⎩⎭⎩NCF ⎭⎣
列表计算
CD 杆轴力图(kN )
图示三铰拱轴线是以支座A 为坐标原点的抛物线y =（1）求支座反力F VA 、F VB 、F H
（2）求拱截面E 的弯矩、剪力、轴力 （3）求拱截面D 左右两侧的剪力、轴力 （4）作内力图（八等分描点，列表计算） 解：(1)由平衡方程
4f
x (l -x ) l 2
(l =16m , f =4m ) 。试：
∑M A =-F VB *16+10*4=0∑F y =F VA +F VB -F p =0
得F VA
=7.5kN (↑)
R C
,
F VB =2.5kN (↑)
取铰结点C 的右边作隔离体 由
∑M
=F H *4-F VB *8=0
得F H
=5kN (→←)
-12
x +x 16
(2) 由已知条件代入得拱轴线方程为y =
切线方程为tan ϕ=
dy -1=x +1 dx 8
y (x =12) =3m ,
所以sin ϕ
tan ϕ=
dy dx
=-0.5
x =12
=
=-0.447
, cos ϕ=
=0.894
同跨简支梁的E 截面内力F QE =-2.5kN
0M E =2.5*4=10kNm
M E =M E -F H y =10-5*3=-5kNm （上拉）
⎧F QE ⎫⎡0.8940.447⎤⎧-2.5⎫⎧0⎫⎧⎫⎡cos ϕ-sin ϕ⎤⎪⎪F QE ⎪⎪
⎨⎬=⎢⎨⎬=⎢⎨⎬=⎨⎬⎥⎥-sin ϕ-cos ϕ0.447-0.8945-5. 6F F ⎪NE ⎭⎪⎣⎦⎪⎦⎩⎭⎩⎭ ⎩⎩H ⎪⎭⎣
（3）
y (x =4) =3m ,
所以sin ϕ
tan ϕ=
dy dx
=0.5
x =12
=
=0.447, cos ϕ=
=0.894
0M D =7.5*4=30kNm
L 0
同跨简支梁的D 截面内力F QD =7.5kN R 0
F QD =-2.5kN
M D =M D -F H y =30-5*3=15k N m （下拉）
D 截面左边
L ⎧⎪F Q D ⎫⎪⎡0.894-0.447⎤⎧7.5⎫⎧4.47⎫⎨L ⎬=⎢⎥⎨5⎬=⎨-7.82⎬F p
-0.447-0. 894⎦⎩⎭⎩⎭ ⎪⎪⎣⎩F ND ⎭
D 截面右边
R
⎧⎪F QD ⎫⎪⎡0.894-0.447⎤⎧-2.5⎫⎧-4.47⎫⎨R ⎬=⎢⎨⎬=⎨⎬F p ⎥⎪⎪⎣-0.447-0.894⎦⎩5⎭⎩-3.35⎭⎩F ND ⎭
（4）列表计算八等分点上各截面的内力：
试分析图示体系的几何构造, 求计算自由度W , 判断多余约束数
解：
杆件1（左侧）与基础刚接，组成扩大刚片1。
杆件2（中间）与刚片1以及支杆间的连接符合铰结三角形规律, 组成扩大刚片2。 杆件（右侧）与刚片2以及支杆间的连接也符合铰结三角形规律。因此该体系为 无多余约束的几何不变体系
结点约束杆件计算自由度公式(建议用于有刚结点的结构)
W =3m -(3g +2h +b )
其中
刚片个数m =3 单刚结点个数g =1 单铰(hinge)个数h =2 单链杆个数b =2 代入得W =0
试分析图示体系的几何构造, 求计算自由度W , 判断多余约束数
答
根据铰结三角形规律，可将cd 和ef 杆以外的部分视为一个扩大刚片，cd 和ef 杆是多余的单链杆，所以整个体系是有多余约束的几何不变体系。
杆件约束结点计算自由度公式(建议用于无刚结点的桁架结构)
W =2j -b =2*7-16=-2
（注意j 是铰结点数，不包含支座处的四个铰。
AE 和BF 各等于3个单链杆，其余均为一个单链杆，所以单链杆总数为16）
由于体系是不变体系，所以有2个多余约束
（1）试求图示静定多跨梁支座A ，B ，C 的反力。 （2）试作剪力图和弯矩图。
解：(1)将多跨梁拆成下图所示两个简单梁。
(有1个铰结点D ，可以拆成2个简单梁。由于右侧CD 梁需添加支座，所以CD 梁为附属部分，
左侧的为基本部分，应先计算右侧的附属CD 梁) 对于CD 梁，利用对称性得支座反力：
F R C =F RD =
120
kN =60kN (↑) 2
120kN /m
将所求的D 支座反力的反向力作用于左侧梁的D 端 对于左侧的AD 梁，由
F RB =
∑M
A
=0得
40*8*4+60*10
kN =235k N (↑)
8
y
由
∑F
=0得
F RA =(40*8+60-235)kN =145k N (↑)
（2）
剪力图
弯矩图
AB 段极值弯矩：*3.625*145=263kNm （下拉）
12
(a) (b) (c)
附属2
支座反力。利用所求支座反力得出图(b)和(c)所示弯矩图和剪力图。
4kN/m静定刚架的受力分析计算
（1）试求图示静定刚架支座A 、B 、C 的反力。 （2）试作剪力图、弯矩图。 解：（1）
将原结构分为下列两个刚架，左侧为附属， 右侧为基本部分。左侧刚架的支座竖向反力为
F yA =F yD =
4*3
=6kN (↑) 2
yD =64kN/m
水平反力为0。将支座D 反力的反向力作用于 右侧刚架的D 端，得以下平衡方程
1
M =F *4-6*5-*4*52=0∑C yB
2
∑F y =F yB +F yC -6-4*5=0 ∑F x =F xB -F xC =0
取E 结点右侧作隔离体，得平衡方程
F 1R
M =F *4-*4*22+6*2=0 ∑E xC
2由以上解得
F yB =20kN (↑) F xB =1kN (→)
, ,
F yC =6kN (↑) F xC =1kN (←)
（2）
Q M 图
静定刚架的受力分析计算
解：利用对称性求得支座A 与B F yA =F yB =
1*12
k N =6kN (↑) 2
取左半边为隔离体作为分析对象 由
∑M
L C
=0得支座A 水平反力
1
6*6-*1*62
F xA =kN =3kN (→) 8
结点D 弯矩
M D =-(3*1) k Nm =-3k N m
结点E 弯矩
（外侧受拉）
M E =(
-3*4-3*1.5+6*3)k Nm =1.5k Nm
剪力和轴力计算：DE 杆:sin ϕ1=2
（内侧受拉）
kN
,
cos ϕ1=2
⎧⎪F QDE ⎫⎪⎡cos ϕ1-sin ϕ1⎤⎧6⎫⎡22⎤⎧6⎫⎧2.12⎫
⎥⎨⎬=⎨⎨⎬=⎢⎨⎬=⎢⎬kN ⎥
⎪F NDE ⎭⎪⎣-sin
ϕ1-cos ϕ1⎦⎩3⎭⎢⎩⎣22⎥⎦⎩3⎭⎩-6.36⎭⎧F QED ⎪⎫⎡22⎤⎧3⎫⎧0⎫⎪
==⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎨⎬kN
3-4.24⎪⎭⎩F NED ⎪⎭⎢⎣22⎥⎦⎩⎭⎩EC 杆:sin ϕ2=
3=0.555,
cos ϕ2=
=0.832
⎧F QEC ⎪⎫⎡0.832-0.555⎤⎧3⎫⎧0.83⎫⎪⎨⎬=⎢⎥⎨3⎬=⎨-4.16⎬kN -0.555-0.832⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩F NCE ⎭
⎧⎪F QEC ⎫⎪⎡0.832-0.555⎤⎧0⎫⎧-1.67⎫⎨⎬=⎢⎥⎨3⎬=⎨-2.5⎬kN -0.555-0. 832F ⎪⎦⎩⎭⎩⎭⎩NCE ⎪⎭⎣
6.366
试用结点法求图示桁架中各杆的轴力（拉力为正），并标注计算结果。
解：
由以下平衡方程
∑F x
=F xA
+F xB
=0∑F y
=F yA -15*3=0
∑
M A
=15*4+15*8+15*12-F
xB
*3=0
得支座反力
F xA =120kN (←) F yA =45kN (↑) F xB =120kN (→)
CD 杆是结点单杆且结点C 处无荷载作用，所以是零杆。 依次作结点G ，F ，E ，C ，B ，A 的隔离体图 由平衡方程∑F x =0,
∑F
y
=0可得各杆轴力
内力标注（单位:kN ）
结点G （单位：KN ）E （单位：结点KN ）
试用截面法求图示桁架中1、2、3杆的轴力F N 1、F N 2、F N 3（拉力为正）。
解：
作截面切断1、2、3杆作隔离体。 由平衡条件
∑M C
=F N 1
=0∑M D
=F N 3
*2+=0
∑F =F cos30o
+F cos30o
x
N 1
N 2
+F N 3
=0 ∑F =F 1
sin 30o
-F N 2
sin 30o
y
N -20=0
解得
F N 1=30kN F N 2=-10kN
F N 3=-
N 3
图示对称组合结构由梁式杆CD 、CE 和其他链杆组成。 （1）试求链杆AB 、AD 、AF 的轴力
（2）试作梁式杆CD 的弯矩图，剪力图，轴力图。
解：（1）
利用对称性得支座反力
1
KN/m
F yA =F yB
1
=*1KN /m *16m =8KN (↑) 2
截断对称中心取左边作隔离体， (注：不能截断梁式杆CD 和CE ) 平衡方程：
∑M
L C
=8KN *6m -
1
*1KN /m *(8m ) 2-F NAB *4m =0
2
解得AB 杆的轴力为F NAB =4KN 作结点A 的隔离体图可得：
F NAF =-10K N F xAD =4KN F NAD =F xAD
=N
(2)
由隔离体图可得截面F 的弯矩
M F =(4*2.25-6*3)KN ⋅m =-9KN ⋅m
（上拉）
9KNm
C
KNm
D
CD 杆弯矩图
剪力与轴力的计算。设DC 杆与水平线的夹角为α
sin α=
=0.351, cos α=
=0.936
⎡cos α
坐标转换矩阵⎢-sin α⎣
1
KN/m
-sin α⎤⎡0.936-0.351⎤
=⎢⎥-cos α⎥⎦⎣-0.351-0.936⎦
⎧F QDF ⎪⎫⎡0.936-0.351⎤⎧-2⎫⎧-3.276⎫⎪
⎨⎬=⎢⎥⎨4⎬=⎨-3.042⎬ -0.351-0.936F ⎪NDF ⎭⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩
⎧⎪F QFD ⎫⎪⎡0.936-0.351⎤⎧-4⎫⎧-5.148⎫ ⎨⎬=⎢⎥⎨4⎬=⎨-2.34⎬-0.351-0.936⎪⎦⎩⎭⎩⎭⎩F NFD ⎪⎭⎣⎧F QFC ⎪⎫⎡0.936-0.351⎤⎧6⎫⎧4.212⎫⎪⎨⎬=⎢⎨⎬=⎨⎬ ⎥⎪F NFC ⎭⎪⎣-0.351-0.936⎦⎩4⎭⎩-5.85⎭⎩
⎧⎪F QCF ⎫⎪⎡0.936-0.351⎤⎧0⎫⎧-1.404⎫ ⎨⎬=⎢⎨⎬=⎨⎬⎥-0.351-0.9364-3.744F ⎪⎪⎦⎩⎭⎩⎭⎩NCF ⎭⎣
列表计算
CD 杆轴力图(kN )
图示三铰拱轴线是以支座A 为坐标原点的抛物线y =（1）求支座反力F VA 、F VB 、F H
（2）求拱截面E 的弯矩、剪力、轴力 （3）求拱截面D 左右两侧的剪力、轴力 （4）作内力图（八等分描点，列表计算） 解：(1)由平衡方程
4f
x (l -x ) l 2
(l =16m , f =4m ) 。试：
∑M A =-F VB *16+10*4=0∑F y =F VA +F VB -F p =0
得F VA
=7.5kN (↑)
R C
,
F VB =2.5kN (↑)
取铰结点C 的右边作隔离体 由
∑M
=F H *4-F VB *8=0
得F H
=5kN (→←)
-12
x +x 16
(2) 由已知条件代入得拱轴线方程为y =
切线方程为tan ϕ=
dy -1=x +1 dx 8
y (x =12) =3m ,
所以sin ϕ
tan ϕ=
dy dx
=-0.5
x =12
=
=-0.447
, cos ϕ=
=0.894
同跨简支梁的E 截面内力F QE =-2.5kN
0M E =2.5*4=10kNm
M E =M E -F H y =10-5*3=-5kNm （上拉）
⎧F QE ⎫⎡0.8940.447⎤⎧-2.5⎫⎧0⎫⎧⎫⎡cos ϕ-sin ϕ⎤⎪⎪F QE ⎪⎪
⎨⎬=⎢⎨⎬=⎢⎨⎬=⎨⎬⎥⎥-sin ϕ-cos ϕ0.447-0.8945-5. 6F F ⎪NE ⎭⎪⎣⎦⎪⎦⎩⎭⎩⎭ ⎩⎩H ⎪⎭⎣
（3）
y (x =4) =3m ,
所以sin ϕ
tan ϕ=
dy dx
=0.5
x =12
=
=0.447, cos ϕ=
=0.894
0M D =7.5*4=30kNm
L 0
同跨简支梁的D 截面内力F QD =7.5kN R 0
F QD =-2.5kN
M D =M D -F H y =30-5*3=15k N m （下拉）
D 截面左边
L ⎧⎪F Q D ⎫⎪⎡0.894-0.447⎤⎧7.5⎫⎧4.47⎫⎨L ⎬=⎢⎥⎨5⎬=⎨-7.82⎬F p
-0.447-0. 894⎦⎩⎭⎩⎭ ⎪⎪⎣⎩F ND ⎭
D 截面右边
R
⎧⎪F QD ⎫⎪⎡0.894-0.447⎤⎧-2.5⎫⎧-4.47⎫⎨R ⎬=⎢⎨⎬=⎨⎬F p ⎥⎪⎪⎣-0.447-0.894⎦⎩5⎭⎩-3.35⎭⎩F ND ⎭
（4）列表计算八等分点上各截面的内力：