第16卷第6期
2003年11月重庆教育学院学报Journal of Chongqing College of Education V ol. 16No. 6N ove. 2003文章编号:1008-6390(2003) 06-0009-02
单调函数单侧极限存在的判别法
谭伟明
(梧州市教育学院数学系, 广西梧州 543000)
摘 要:由数列极限存在的一个判别定理) ) ) 单调有界原理, 联想到函数极限存在是否也有类似的判别
定理, 于是推出了定理1~定理4. 另外, 在Heine 定理中, 如果函数f (x ) 是单调函数, 那么就有定理6~定理
8. 我们可应用这几个定理把单调函数极限的问题化为数列极限问题来解决, 对我们判别单调函数极限的存在
及计算单调函数的极限都较为方便.
关键词:单调; 函数; 有界; 极限
中图分类号:O 171
1 问题的提出
在许多数学分析教材中[1-3], 关于数列极限存在的判别, 一般都给出三种判别方法:夹逼定理、单调有界原理、柯西收敛准则. 而对函数极限存在的判别, 只给出两种判别方法:夹逼定理、柯西准则. 那么, 关于函数极限的存在性, 是否有与单调有界原理相应的判别法呢? 我们有下面的定理.
定理1 若函数f (x ) 在区间(a, a +D ) 单调增加(减少) 且有下界(上界) , 则函数f (x ) 在点a 存在右极限.
证明 不妨设函数f (x ) 在区间(a, a +D ) 单调增加且有下界, 则数集E ={f (x ) |x I (a, a +D ) }有下确界. 设inf E =b. 下面证明 lim f (x ) =b.
x y a +文献标识码:A
由下确界的定义, P x I (a, a +D ) , 有f (x ) \b , 且P E >0, v c I (a, a +D ) , 使f (c)
所以, P E >0, 取D c =c -a, P x :a 所以 lim f (x ) =b(证毕).
x y a +
同理可以得到下列的定理.
定理2 若函数f (x ) 在区间(a -D , a) 单调增加(减少) 且有上界(下界) , 则函数f (x ) 在点a 存在左极限.
定理3 若函数f (x ) 在区间(-], a) 单调增加(减少) 且有下界(上界) , 则极限lim f (x ) 是存在的. x y -]
x y +]定理4 若函数f (x ) 在区间(a, +]) 单调增加(减少) 且有上界(下界) , 则极限lim f (x ) 是存在的.
上述定理2至定理4可仿照定理1的方法证明, 在此从略.
2 数列极限与函数极限关系的沟通
在极限理论中, 有一个沟通数列极限与函数极限关系的定理) ) ) Heine 定理.
定理5 函数f (x ) 在点a 的极限为A , 当且仅当对任意的数列{x n }:x n y a, x n X a, 有lim f (x n ) =A . n y ][4]
很显然, 对在点a 的左、右极限, 我们也有相应的结论:
定理5c 函数f (x ) 在点a 的右极限为A , 当且仅当对任意的数列{x n }:x n y a , x n X a , 且x n \a, 有lim f (x n ) =A . n y ]
n y ]定理5d 函数f (x ) 在点a 的左极限为A , 当且仅当对任意的数列{x n }:x n y a , x n X a , 且x n [a, 有lim f (x n ) =A .
定理5c 和定理5d 的证明可仿照各数学分析材料中的Heine 定理的证明进行, 此略. 在定理5c 和定理5d 中, 如果函数f (x ) 为单调函数, 那么它们的条件是否可以降低些呢? 我们有下列的定理.
收稿日期:2003-07-29
作者简介:谭伟明(1962) ) , 男, 广西梧州市人, 梧州教育学院数学系, 讲师, 主要从事数学分析和数学教育研究.
定理6 设函数f (x ) 在区间(a, a +D ) 单调, 则函数f (x ) 在点a 的右极限为A , 当且仅当对某个数列{x n }
D ) :x n y a , x n X a , 有lim f (x n ) =A . n y ]
证明 不妨设函数f (x ) 在区间(a, a +D ) 单调增加. 必要性可直接由定理5c 得到. 下面证明充分性.
^ lim f (x n ) =A , _P E >0, v N I N , P n >N , 有|f (x n ) -A |P x I (a, a +D ) , 则x >a, 故lim x n =a N ) , P n >k , 有x n k 时, 有A -E
由E 的任意性, 可知P x I (a, a +D ) , 有f (x ) \A . 可以看到A 是数集E ={f (x ) |x I (a, a +D ) }的下确界. 根据定理1及其证明, 可知函数f (x ) 在点a 的右极限为A . (证毕)
同理我们可以得到下面的定理.
定理6c 设函数f (x ) 在区间(a -D , a) 单调, 则函数f (x ) 在点a 的左极限为A , 当且仅当对某个数列{x n }
综合定理6和定理6c , 我们可以得到下面的定理.
定理7 设函数f (x ) 在点a 的左、右两侧附近分别单调, 则lim f (x ) =A , 当且仅当且对点a 左侧某个数列{x n }及点x y a
a 右侧某个数列{y n }:x n y a, x n X a, y n y a, y n X a, 有 lim f (x n ) =lim f (y n ) =A . n y ]n y ]
定理8 设函数f (x ) 在区间(a, +]) 单调, 则lim f (x ) =A , 当且仅当对某个数列{x n }
x y ]lim f (x n ) =A .
定理8c 设函数f (x ) 在区间(-], a) 单调, 则lim f (x ) =A , 当且仅当对某个数列{x n }
x y ]lim f (x n ) =A .
应用上述各定理的充分性, 可把单调函数极限的问题转化为数列极限的问题来解决.
例1 证明函数y =a x 在R 上连续.
证明 函数f (x ) =a x 在R 上显然是单调的. 取x n =x 0-1/n, y n =x 0+1/n, 则数列{x n }、{y n }满足定理7的条件,
3 把单调函数极限问题转化为数列极限问题在数列极限中已知:lim a =1, 于是, 我们有n y ]
n y ]lim a x n =lim a x 0-=a x 0lim a -=a x 0 ; lim a y n =lim a x 0+=a x 0lim a =a x 0. n y ]n y ]n y ]n y ]n y ]由定理3, 可知 lim a =a 0 . 所以, 函数f (x ) =a 在R 上连续.
x y x 0x x x
例2 求极限lim x .
x y 0+x
解 设f (x ) =x , 则f c (x ) =x (1+1n x ).
令f c (x ) =0得稳定点x =1/e, 且0
从上述两例知, 定理6~定理8提供了一种解决函数极限问题的方法. 用Heine 定理的充分性把函数极限化为数列极x x x 11=lim 限, 需要考察任意满足定理条件的数列; 而用定理6~定理8的充分性把函数极限化为数列极限, 只需考察某一数列即可, 解决问题是比较方便的.
参 考 文 献
[1] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义(上册) [M ].北京:高等教育出版社, 1992.
[2] 吉林大学数学系. 数学分析(中册) [M ]. 北京:人民教育出版社, 1978.
[3] 复旦大学数学系. 数学分析(上册) [M ]. 上海:上海科学技术出版社, 1962.
[4] 梁俊奇, 张庆政. Heine 定理的等价命题及其应用[J]. 高等教育研究, 2002, 5(3) :20.
[责任编辑 曾 静]
第16卷第6期
2003年11月重庆教育学院学报Journal of Chongqing College of Education V ol. 16No. 6N ove. 2003文章编号:1008-6390(2003) 06-0009-02
单调函数单侧极限存在的判别法
谭伟明
(梧州市教育学院数学系, 广西梧州 543000)
摘 要:由数列极限存在的一个判别定理) ) ) 单调有界原理, 联想到函数极限存在是否也有类似的判别
定理, 于是推出了定理1~定理4. 另外, 在Heine 定理中, 如果函数f (x ) 是单调函数, 那么就有定理6~定理
8. 我们可应用这几个定理把单调函数极限的问题化为数列极限问题来解决, 对我们判别单调函数极限的存在
及计算单调函数的极限都较为方便.
关键词:单调; 函数; 有界; 极限
中图分类号:O 171
1 问题的提出
在许多数学分析教材中[1-3], 关于数列极限存在的判别, 一般都给出三种判别方法:夹逼定理、单调有界原理、柯西收敛准则. 而对函数极限存在的判别, 只给出两种判别方法:夹逼定理、柯西准则. 那么, 关于函数极限的存在性, 是否有与单调有界原理相应的判别法呢? 我们有下面的定理.
定理1 若函数f (x ) 在区间(a, a +D ) 单调增加(减少) 且有下界(上界) , 则函数f (x ) 在点a 存在右极限.
证明 不妨设函数f (x ) 在区间(a, a +D ) 单调增加且有下界, 则数集E ={f (x ) |x I (a, a +D ) }有下确界. 设inf E =b. 下面证明 lim f (x ) =b.
x y a +文献标识码:A
由下确界的定义, P x I (a, a +D ) , 有f (x ) \b , 且P E >0, v c I (a, a +D ) , 使f (c)
所以, P E >0, 取D c =c -a, P x :a 所以 lim f (x ) =b(证毕).
x y a +
同理可以得到下列的定理.
定理2 若函数f (x ) 在区间(a -D , a) 单调增加(减少) 且有上界(下界) , 则函数f (x ) 在点a 存在左极限.
定理3 若函数f (x ) 在区间(-], a) 单调增加(减少) 且有下界(上界) , 则极限lim f (x ) 是存在的. x y -]
x y +]定理4 若函数f (x ) 在区间(a, +]) 单调增加(减少) 且有上界(下界) , 则极限lim f (x ) 是存在的.
上述定理2至定理4可仿照定理1的方法证明, 在此从略.
2 数列极限与函数极限关系的沟通
在极限理论中, 有一个沟通数列极限与函数极限关系的定理) ) ) Heine 定理.
定理5 函数f (x ) 在点a 的极限为A , 当且仅当对任意的数列{x n }:x n y a, x n X a, 有lim f (x n ) =A . n y ][4]
很显然, 对在点a 的左、右极限, 我们也有相应的结论:
定理5c 函数f (x ) 在点a 的右极限为A , 当且仅当对任意的数列{x n }:x n y a , x n X a , 且x n \a, 有lim f (x n ) =A . n y ]
n y ]定理5d 函数f (x ) 在点a 的左极限为A , 当且仅当对任意的数列{x n }:x n y a , x n X a , 且x n [a, 有lim f (x n ) =A .
定理5c 和定理5d 的证明可仿照各数学分析材料中的Heine 定理的证明进行, 此略. 在定理5c 和定理5d 中, 如果函数f (x ) 为单调函数, 那么它们的条件是否可以降低些呢? 我们有下列的定理.
收稿日期:2003-07-29
作者简介:谭伟明(1962) ) , 男, 广西梧州市人, 梧州教育学院数学系, 讲师, 主要从事数学分析和数学教育研究.
定理6 设函数f (x ) 在区间(a, a +D ) 单调, 则函数f (x ) 在点a 的右极限为A , 当且仅当对某个数列{x n }
D ) :x n y a , x n X a , 有lim f (x n ) =A . n y ]
证明 不妨设函数f (x ) 在区间(a, a +D ) 单调增加. 必要性可直接由定理5c 得到. 下面证明充分性.
^ lim f (x n ) =A , _P E >0, v N I N , P n >N , 有|f (x n ) -A |P x I (a, a +D ) , 则x >a, 故lim x n =a N ) , P n >k , 有x n k 时, 有A -E
由E 的任意性, 可知P x I (a, a +D ) , 有f (x ) \A . 可以看到A 是数集E ={f (x ) |x I (a, a +D ) }的下确界. 根据定理1及其证明, 可知函数f (x ) 在点a 的右极限为A . (证毕)
同理我们可以得到下面的定理.
定理6c 设函数f (x ) 在区间(a -D , a) 单调, 则函数f (x ) 在点a 的左极限为A , 当且仅当对某个数列{x n }
综合定理6和定理6c , 我们可以得到下面的定理.
定理7 设函数f (x ) 在点a 的左、右两侧附近分别单调, 则lim f (x ) =A , 当且仅当且对点a 左侧某个数列{x n }及点x y a
a 右侧某个数列{y n }:x n y a, x n X a, y n y a, y n X a, 有 lim f (x n ) =lim f (y n ) =A . n y ]n y ]
定理8 设函数f (x ) 在区间(a, +]) 单调, 则lim f (x ) =A , 当且仅当对某个数列{x n }
x y ]lim f (x n ) =A .
定理8c 设函数f (x ) 在区间(-], a) 单调, 则lim f (x ) =A , 当且仅当对某个数列{x n }
x y ]lim f (x n ) =A .
应用上述各定理的充分性, 可把单调函数极限的问题转化为数列极限的问题来解决.
例1 证明函数y =a x 在R 上连续.
证明 函数f (x ) =a x 在R 上显然是单调的. 取x n =x 0-1/n, y n =x 0+1/n, 则数列{x n }、{y n }满足定理7的条件,
3 把单调函数极限问题转化为数列极限问题在数列极限中已知:lim a =1, 于是, 我们有n y ]
n y ]lim a x n =lim a x 0-=a x 0lim a -=a x 0 ; lim a y n =lim a x 0+=a x 0lim a =a x 0. n y ]n y ]n y ]n y ]n y ]由定理3, 可知 lim a =a 0 . 所以, 函数f (x ) =a 在R 上连续.
x y x 0x x x
例2 求极限lim x .
x y 0+x
解 设f (x ) =x , 则f c (x ) =x (1+1n x ).
令f c (x ) =0得稳定点x =1/e, 且0
从上述两例知, 定理6~定理8提供了一种解决函数极限问题的方法. 用Heine 定理的充分性把函数极限化为数列极x x x 11=lim 限, 需要考察任意满足定理条件的数列; 而用定理6~定理8的充分性把函数极限化为数列极限, 只需考察某一数列即可, 解决问题是比较方便的.
参 考 文 献
[1] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义(上册) [M ].北京:高等教育出版社, 1992.
[2] 吉林大学数学系. 数学分析(中册) [M ]. 北京:人民教育出版社, 1978.
[3] 复旦大学数学系. 数学分析(上册) [M ]. 上海:上海科学技术出版社, 1962.
[4] 梁俊奇, 张庆政. Heine 定理的等价命题及其应用[J]. 高等教育研究, 2002, 5(3) :20.
[责任编辑 曾 静]