函数极限存在的条件教案

§3 函数极限存在的条件

重点难点

1. 归结原则也称为海涅定理, 它的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理, 从而我们可以利用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限所有性质.

2. 单调有界定理是判定极限是否存在的一个重要原则, 同时也是求极限的一个有用的方法. 一般情形, 运用单调有界定理研究变量极限时, 需要首先利用单调收敛定理判定极限的存在性, 然后在运用运算法则求这个极限.

3. 柯西准则是函数极限存在的充要条件. 函数极限的柯西准则是以数列的柯西准则为基础的. 该准则在数列极限、极限和广义积分理论中, 占据了重要的地位.因此应当认真理解柯西准则, 并能用柯西准则讨论某些比较简单的问题.

基本内容

在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过判别数列极限存在的“单调有界定理”和“柯西收敛准则”. 我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？

本节的结论只对xx0这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。

首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）。

一、归结原则

定理3.8(归结原则) 设f在U任何含于U

x0;内有定义. lim

n

xx0

fx存在的充要条件是: 对

x0;且以x0为极限的数列xn, 极限limfxn都存在且相等.

分析 充分性的证法:只须证明,若对任意数列xn,且limxnx0,xnx0,有

n

limfxnA,则limfxA.因为在已知条件中,具有这种性质的数列xn是任意的

n

xx0

(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设limfxA,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列

xx0

{xn},limxnx0,xnx0,但是limfxnA,与已知条件相矛盾.于是充分性得到证

n

n

明.

注1 归结原则也可简述为

limfxA对任何xnx0n有limfxnA.

xx0

n

注2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海

涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如

若limf(x)A,limg(x)B(B0), 则lim

xx0

xx0

f(x)g(x)

xx0



xx0

limf(x)limg(x)

.

xx0

证 已知limf(x)A与limg(x)B,根据海涅定理的必要性,对任意数列xn,

xx0

xx0

且limxnx0,xnx0,有limfxnA,limgxnB.由数列极限的四则运算,对任

n

n

n

意数列xn,且limxnx0,xnx0,有lim

n

f(xn)g(xn)

n



AB

.再根据海涅定理的充分性,由

xx0

lim

f(x)g(x)

lim

f(xn)g(xn)

n



AB



xx0

limf(x)limg(x)

.

xx0

注3 海涅定理除上述重要的理论意义外, 它还为证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以x0为极限的数列xn,使limfxn不存在,或找到两个都以

n

)都存在而不相等,则limf(x)不与xn,使limf(x'n)与limf(xnx0为极限的数列xn

n

n

xx0

存在.

例1 证明极限limsin

x0

1x

不存在.

函数ysin

1x

的图象如图3-4所示,由图象可见,当x0时,其

函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.



对于xx0,xx0,x和x为四种类型的单侧极



限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以xx0这种类型为例

阐述如下：

定理3.9 设函数f在点x0的某空心右邻域U(x0)有定

义.limf(x)A的充要条件是：对任何以x0为极限的递减数列xnU(x0),有



xx0



limf(xn)A.

n

n

注5 定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取



min{,xn1x0},以保证所找到的数列xn能递减的趋于x0.

n

二、单调有界定理

相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以

xx0这种类型为例叙述如下：



定理3.10 设f为定义在U(x0)上的单调有界函数,则右极限limf(x)存在.

xx0



注6 (1)设f为定义在U(x0)上的有界函数.若f递增,则f(x00)若f递减,则f(x00)sup

xU(x0)

0

xU(x0)

inf0

f(x);

f(x).

(2) 设f为定义在U(x0)上的递增函数,则

f(x00)

sup

xU(x0)



f(x), f(x00)

xU(x0)

inf0

f(x).

三 函数极限的柯西收敛准则

定理3.11(柯西准则) 设函数f在U(x0;')内有定义.limf(x)存在的充要条件是：

xx0

任给0,存在正数('),使得对任何x',xU(x0;)有f(x')f(x). [分析] 充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁—



—海涅定理来证.分两步：1)对任何以x0为极限的数列xnU(x0;), 数列f(xn)的



极限都存在; 2)证明对任何以x0为极限的数列xnU(x0;),数列f(xn)的极限都相

等.

注7 可以利用柯西准则证明函数极限limf(x)的不存在:

xx0



设函数f在U(x0;')内有定义.limf(x) 不存在的充要条件是：存在 00,对任

xx0



意正数('),存在x',xU(x0;), 有f(x')f(x)0.

如在例1中我们可取0

12

,对任何0,设正整数n

x'

1n

,x

1n

1



,令



2

,

则有x',xU(0;),而sin



1x'

sin

1x

10于是按柯西准则,极限limsin

x0

1x

不存在.

小结

1. 证明函数极限存在或求函数极限的方法.

(1) 用定义证明函数极限的方法且limf(x)A,尤其是分段函数的分段点. (2) 用柯西收敛准则证明函数极限存在.

(3) 用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值. (4) 用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值. (5) 用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.

(6) 对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存在. 2. 证明函数极限不存在的主要方法:

(1) 利用函数极限的定义证明函数极限不存在,

(2) 利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限.特别对分段函数在分段点处的极限.

(3) 利用海涅归结原理证明函数极限不存在.

(4) 利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.

§4 两个重要的极限

重点难点

利用两个重要极限, 可推出一些基本结果:

lim

tanxx

1 lim

arctanx

x

1 lim

1cosx

x

x2

x0x0x0



12

lim1xxe lim

x0

1

ln(1x)

x

x0

1 lim

a1x

x0

lna(a0)

又可利用复合函数极限的方法, 可得

(1) 若lim(t)0, 且当tt0时(t)0, 则lim

tt0

sin(t)

tt0

(t)

1.

(2) 若lim(t), 则lim(1

tt0

tt0

1

(t)

)

(t)

e.

基本内容

一 为什么称为“两个重要极限”?

导数运算是数学分析中最基本最重要的运算, 而导数运算的基础是基本初等函数的导数公式.其中求三角函数ysinx的导数公式必须使用极限lim

1x

1

sinxx

x0

1,求对数函数

ylogax的导数公式必须使用极限lim(1

x

)lim(1y)

y0

xy

e.因为这两个极限在求

这两个初等超越函数的导数时是不能缺少的,所以通常把这两个极限称为重要极限.

二 lim

sinx1的证明 x0

x

函数ysinxx

的图象如图3-5所示.

三 lim

sinx1的应用

x0

x

例1 试求下列极限 1) limsinx

x

x

, 2) lim

1cosx

, 3) limxsin

10

x

2

x0

x

x注1 注意变量的趋向是非常重要的. 四 证明 lim(1

1x

e

x

x

)以后还常用到e的另一种极限形式：

lim0

11

e.

问题: 为什么在推导过程中不直接利用不等式

nxn1

11,(nxn1),

n111x11

n

n

其中令n, 由 lim

1lim

1x

1

nn1

11n1

nne得到lim(1

e?



x

x

)

五 lim(1

1)x

e的应用

x

x

1

例2 求 lim12xx

x0

1

例3 求 lim1xx

x0

结合海涅归结原则以及重要极限,我们可以求一些比较复杂的数列极限.

n

例4 求下列数列极限: 1) lim

n1111

nn2, 2) limnsin.

nn

§5 无穷小量与无穷大量

重点难点

1.比较两个无穷小量的阶, 就是比较它们趋于零的速度, 无穷小量的阶越高,说明它趋于零的速度就越快.

2.利用等价无穷小量是一种计算极限非常有效且简便的方法, 应该熟记常用等价代换公式

.

3.若lim

f(x)g(x)

不存在, 则不能比较f与g的阶.

xx0

基本内容

一 无穷小量、无穷大量、有界量 1. 无穷小量

定义1 设f在某U(x0)内有定义,若limf(x)0,则称f为当xx0时的无穷小

xx0

量.



类似地定义当xx0,xx0,x,x以及x时的无穷小量.

例1 当x0时, x2,sinx与1cosx都是无穷小量.

1x

2

例2 x 是当x1时的无穷小量,

,

sinxx

为x时的无穷小量.

由无穷小量及极限的定义或极限四则运算定理, 可立刻推得如下性质： 1) 两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 问题: 两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？ 2) 极限limf(x)A存在f(x)A是当xa时的无穷小量.

xa

注1 “无穷小量”这个术语, 并不是表达量的大小, 而是表达它的变化状态, 它与“很小的量”或“可以忽略不计”这些术语有本质的区别, 后者皆指一个确定的数值, 而“无穷小量”是一个以零为极限的变量, 因此与自变量的变化过程有关.

2. 无穷大量

定义2 设函数f在某U

xU

O

x0内有定义,若对任给的G

0,存在0,使得当

x0;U0x0时有

fxG, (2)

则称函数f当xx0时有非正常极限,记作 limfx.

xx0

关于函数f在自变量x的其它不同趋向的非正常极限的定义,以及数列an当n时的非正常极限的定义,都可类似地给出.

定义3 对于自变量x的某种趋向(或n),所有以,或为非正常极限的函数(包括数列),都称为无穷大量.

例3 证明lim

1x

2

.

x0

例4 证明：当a1时,lima.

x

x

注2 无穷大量不是很大的数,而是具有非正常极限的函数.如由例3知时的无穷大量,由例4知ax(a1)是当x时的无穷大量.

根据无穷大量的定义,无穷大量有以下性质: 1) 两个(相同类型的)无穷大量之积仍为无穷大量.

1x

2

是当x0

问题: 两个（相同类型的）无穷大量之和、差、商是否仍为无穷大量？ 3) 若函数f(x)(xa)是无穷大量, 函数g(x)在a的某个去心邻域内有界, 则

f(x)g(x)函数为xa时的无穷大量.

3. 有界量



定义4 若函数g在某U(x0)内有界,则称g为当xx0时的有界量.

例如sinx是当x时的有界量,sin

1x

是当x0时的有界量.

关于无穷小量、无穷大量、有界量需注意以下几个问题:

注3 不论是无穷小量、无穷大量还是有界量, 必须注明自变量x的变化趋势. 例如, 当x0时, 是无穷小量, 当x



21x

是无穷大量, 但当x时却是无穷小量; sinx是当x0时

时不是无穷小量, 而只能是有界量.

注4不论是无穷小量、无穷大量还是有界量, 都不是数, 而是具有某种状态(极限为0,具有非正常极限,有界)的函数.

注5 任何无穷小量也必是同一状态下的有界量, 反之不成立. 例如 f(x)sgnx. 任何无穷大量也必是同一状态下的无界函数, 但无界函数不一定是无穷大量. 例如

G

,f(x)xsinx在U()上无界,因对任给的G0,取x2n,这里正整数n

22则有

f(x)(2n



2

)sin(2n



2

)2n



2

G.

但limf(x),因若取数列xn2n(n1,2,),则xn(n),而

x

n

limf(xn)0.

注6 若函数f(x)(xa)是无穷小量, 函数g(x)(xa)为有界量, 则函数

f(x)g(x)为xa时的无穷小量.

1x

例如,当x0时,x2是无穷小量,sin

1x

为有界量,故由性质2即得

limxsin

x0

2

0

函数yxsin

2

1x

的图象如图3-6所示.

注7 无穷大量和无穷小量在一定条件下可以相互转化.

(i) 设f在U(x0)内有定义且不等于0. 若f在xx0

时的无穷小量,则

1f

为xx0时的无穷大量.

(ii) 若g为xx0时的无穷大量,则穷小量.

1g

为xx0时的无

因此, 对无穷大量的研究可归结为对无穷小量的讨论. 二 无穷小量阶的比较

23

我们知道, 当x0时, x,x,x都是无穷小量, 但它们趋近于零的速度是不同的,为了

比较同一变化过程中两个无穷小量趋近于零的速度, 下面给出无穷小量的阶的概念.

1. 无穷小量阶的比较

设当xx0时,f与g均为无穷小量.

f(x)g(x)

1) 若lim

xx0

0, 则称当xx0时f为g的高阶无穷小量, 或称g为f的低阶

无穷小量,记作 f(x)

o(g(x))(xx0).

特别,f为当xx0时的无穷小量记作 f(x)o(1)(xx0). 例如,当x0时,x,x2,,xn(n为正整数)等都是无穷小量,因而有

x

k

o(1)(x0),k1,2,,

而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量,即有

x

1cosxsinx

x2

k1

o(x)(x0).

k

又如,由于lim

x0

limtan

x0

0 故有

1cosxo(sinx)(x0).



2) 若存在正数K和L,使得在某U(x0)上有 K

f(x)g(x)

L,

则称f与g为当xx0时的同阶无穷小量, 特别当 lim

f(x)g(x)

xx0

c0

时,f与g必为同阶无穷小量.

特别地, 若无穷小量f与g满足关系式

fxgx

L,xU

o

x0,则记作

fxOgxxx0

若f在某U

x0内有界,则记为

fxO1xx0

注8 本段中的等式fxogxxx0与fxOgxxx0等,与通常等式的含义是不同的.这里等式左边是一个函数,右边是一个函数类,而中间的等号的含义是“属于”. 例如,前面已经得到

1cosxosinxx0, (1)

其中

fx

osinxflim0,

x0sinx

等式(1)表示函数1cosx属于此函数类.

3) 若lim

fxgx

1, 则称f与g是当xx0时的等价无穷小量,记作

xx0

fx~gxxx0

注9 并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较. 2. 等价无穷小量在求极限问题中的应用. 定理3.12 设函数f,g,h在U

x0内有定义,且有

fx~gxxx0

(i) 若limfxhxA,则limgxhxA；

xx0

xx0

( ii) 若lim

hxfx

xx0

B, 则lim

hxgx

xx0

B.

例5求 lim

arctanxsin4x

.

tanxsinxsinx

3

x0

例6 利用等价无穷小量代换求极限 lim.

x0

注10 在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.如在例2中,若因有 tanx~xx0,sinx~xx0, 而推出

tanxsinxsinx

3

lim

x0

lim

xxsinx

3

x0

0

则得到的是错误的结果

问题: 讨论无穷小有什么意义?

三 曲线的渐近线

引例: 由平面解析几何知道,双曲线

xa

22



yb

22

1有两条渐近线

xa



yb

0(图3—7).

那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？怎样来求一般曲线的渐近线?

一般地,曲线的渐近线定义如下：

定义4 若曲线C上的P沿着曲线无限地远离原点时,点P与某定直线L的距离趋于0,则称直线L为曲线C的渐近线(图3—8).

曲线yfx在什么条件下存在斜渐近线ykxb与垂直渐近线xx0,以及怎样求出渐近线方程.

由 lim

fxx

k, lim

xx

fxkxb确定常数k

与b, 则ykxb就是曲

线yfx的斜渐近线.

若函数f满足 limfx(或limf(x),limf(x)),

xx0

xx0



xx0



则曲线yfx有垂直于x轴的渐近线xx0,称为垂直渐近线.

3

例7 求曲线f(x)

x

2

x2x3

的渐近线.

第三章

由于自变量的变化趋势不同, 所以函数极限有如下不同的类型.

等式性、迫敛性、四则运算法则等.

求极限的方法常见的有以下几种: 归结原则、单侧极限的单调有界定理、柯西准则、两个重要极限等. 在实际求极限过程中, 往往是几种方法并用. 当然以后还会有新的求极限方法(如洛必达法则等).

在本章中还介绍了两类函数——无穷小量和无穷大量, 熟悉此类函数性质及阶的比较有助于了解计算函数极限.

知识结构图:

当x时



函数极限的概念当xx0时



单侧极限

唯一性局部有界性函数极限的性质保不等式性





迫敛性







四则运算法则

普通极限归结原则单侧极限

函数极限极限存在准则单调有界定理

柯西准则



sinx

lim1x0x

两个重要极限lim(11)xexx

定义



高阶无穷小量

无穷小量与无穷大量无穷小量阶的比较同阶无穷小量

等价无穷小量应用(求曲线的渐近线)

§3 函数极限存在的条件

重点难点

1. 归结原则也称为海涅定理, 它的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理, 从而我们可以利用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限所有性质.

2. 单调有界定理是判定极限是否存在的一个重要原则, 同时也是求极限的一个有用的方法. 一般情形, 运用单调有界定理研究变量极限时, 需要首先利用单调收敛定理判定极限的存在性, 然后在运用运算法则求这个极限.

3. 柯西准则是函数极限存在的充要条件. 函数极限的柯西准则是以数列的柯西准则为基础的. 该准则在数列极限、极限和广义积分理论中, 占据了重要的地位.因此应当认真理解柯西准则, 并能用柯西准则讨论某些比较简单的问题.

基本内容

在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过判别数列极限存在的“单调有界定理”和“柯西收敛准则”. 我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？

本节的结论只对xx0这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。

首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）。

一、归结原则

定理3.8(归结原则) 设f在U任何含于U

x0;内有定义. lim

n

xx0

fx存在的充要条件是: 对

x0;且以x0为极限的数列xn, 极限limfxn都存在且相等.

分析 充分性的证法:只须证明,若对任意数列xn,且limxnx0,xnx0,有

n

limfxnA,则limfxA.因为在已知条件中,具有这种性质的数列xn是任意的

n

xx0

(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设limfxA,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列

xx0

{xn},limxnx0,xnx0,但是limfxnA,与已知条件相矛盾.于是充分性得到证

n

n

明.

注1 归结原则也可简述为

limfxA对任何xnx0n有limfxnA.

xx0

n

注2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海

涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如

若limf(x)A,limg(x)B(B0), 则lim

xx0

xx0

f(x)g(x)

xx0



xx0

limf(x)limg(x)

.

xx0

证 已知limf(x)A与limg(x)B,根据海涅定理的必要性,对任意数列xn,

xx0

xx0

且limxnx0,xnx0,有limfxnA,limgxnB.由数列极限的四则运算,对任

n

n

n

意数列xn,且limxnx0,xnx0,有lim

n

f(xn)g(xn)

n



AB

.再根据海涅定理的充分性,由

xx0

lim

f(x)g(x)

lim

f(xn)g(xn)

n



AB



xx0

limf(x)limg(x)

.

xx0

注3 海涅定理除上述重要的理论意义外, 它还为证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以x0为极限的数列xn,使limfxn不存在,或找到两个都以

n

)都存在而不相等,则limf(x)不与xn,使limf(x'n)与limf(xnx0为极限的数列xn

n

n

xx0

存在.

例1 证明极限limsin

x0

1x

不存在.

函数ysin

1x

的图象如图3-4所示,由图象可见,当x0时,其

函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.



对于xx0,xx0,x和x为四种类型的单侧极



限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以xx0这种类型为例

阐述如下：

定理3.9 设函数f在点x0的某空心右邻域U(x0)有定

义.limf(x)A的充要条件是：对任何以x0为极限的递减数列xnU(x0),有



xx0



limf(xn)A.

n

n

注5 定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取



min{,xn1x0},以保证所找到的数列xn能递减的趋于x0.

n

二、单调有界定理

相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以

xx0这种类型为例叙述如下：



定理3.10 设f为定义在U(x0)上的单调有界函数,则右极限limf(x)存在.

xx0



注6 (1)设f为定义在U(x0)上的有界函数.若f递增,则f(x00)若f递减,则f(x00)sup

xU(x0)

0

xU(x0)

inf0

f(x);

f(x).

(2) 设f为定义在U(x0)上的递增函数,则

f(x00)

sup

xU(x0)



f(x), f(x00)

xU(x0)

inf0

f(x).

三 函数极限的柯西收敛准则

定理3.11(柯西准则) 设函数f在U(x0;')内有定义.limf(x)存在的充要条件是：

xx0

任给0,存在正数('),使得对任何x',xU(x0;)有f(x')f(x). [分析] 充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁—



—海涅定理来证.分两步：1)对任何以x0为极限的数列xnU(x0;), 数列f(xn)的



极限都存在; 2)证明对任何以x0为极限的数列xnU(x0;),数列f(xn)的极限都相

等.

注7 可以利用柯西准则证明函数极限limf(x)的不存在:

xx0



设函数f在U(x0;')内有定义.limf(x) 不存在的充要条件是：存在 00,对任

xx0



意正数('),存在x',xU(x0;), 有f(x')f(x)0.

如在例1中我们可取0

12

,对任何0,设正整数n

x'

1n

,x

1n

1



,令



2

,

则有x',xU(0;),而sin



1x'

sin

1x

10于是按柯西准则,极限limsin

x0

1x

不存在.

小结

1. 证明函数极限存在或求函数极限的方法.

(1) 用定义证明函数极限的方法且limf(x)A,尤其是分段函数的分段点. (2) 用柯西收敛准则证明函数极限存在.

(3) 用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值. (4) 用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值. (5) 用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.

(6) 对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存在. 2. 证明函数极限不存在的主要方法:

(1) 利用函数极限的定义证明函数极限不存在,

(2) 利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限.特别对分段函数在分段点处的极限.

(3) 利用海涅归结原理证明函数极限不存在.

(4) 利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.

§4 两个重要的极限

重点难点

利用两个重要极限, 可推出一些基本结果:

lim

tanxx

1 lim

arctanx

x

1 lim

1cosx

x

x2

x0x0x0



12

lim1xxe lim

x0

1

ln(1x)

x

x0

1 lim

a1x

x0

lna(a0)

又可利用复合函数极限的方法, 可得

(1) 若lim(t)0, 且当tt0时(t)0, 则lim

tt0

sin(t)

tt0

(t)

1.

(2) 若lim(t), 则lim(1

tt0

tt0

1

(t)

)

(t)

e.

基本内容

一 为什么称为“两个重要极限”?

导数运算是数学分析中最基本最重要的运算, 而导数运算的基础是基本初等函数的导数公式.其中求三角函数ysinx的导数公式必须使用极限lim

1x

1

sinxx

x0

1,求对数函数

ylogax的导数公式必须使用极限lim(1

x

)lim(1y)

y0

xy

e.因为这两个极限在求

这两个初等超越函数的导数时是不能缺少的,所以通常把这两个极限称为重要极限.

二 lim

sinx1的证明 x0

x

函数ysinxx

的图象如图3-5所示.

三 lim

sinx1的应用

x0

x

例1 试求下列极限 1) limsinx

x

x

, 2) lim

1cosx

, 3) limxsin

10

x

2

x0

x

x注1 注意变量的趋向是非常重要的. 四 证明 lim(1

1x

e

x

x

)以后还常用到e的另一种极限形式：

lim0

11

e.

问题: 为什么在推导过程中不直接利用不等式

nxn1

11,(nxn1),

n111x11

n

n

其中令n, 由 lim

1lim

1x

1

nn1

11n1

nne得到lim(1

e?



x

x

)

五 lim(1

1)x

e的应用

x

x

1

例2 求 lim12xx

x0

1

例3 求 lim1xx

x0

结合海涅归结原则以及重要极限,我们可以求一些比较复杂的数列极限.

n

例4 求下列数列极限: 1) lim

n1111

nn2, 2) limnsin.

nn

§5 无穷小量与无穷大量

重点难点

1.比较两个无穷小量的阶, 就是比较它们趋于零的速度, 无穷小量的阶越高,说明它趋于零的速度就越快.

2.利用等价无穷小量是一种计算极限非常有效且简便的方法, 应该熟记常用等价代换公式

.

3.若lim

f(x)g(x)

不存在, 则不能比较f与g的阶.

xx0

基本内容

一 无穷小量、无穷大量、有界量 1. 无穷小量

定义1 设f在某U(x0)内有定义,若limf(x)0,则称f为当xx0时的无穷小

xx0

量.



类似地定义当xx0,xx0,x,x以及x时的无穷小量.

例1 当x0时, x2,sinx与1cosx都是无穷小量.

1x

2

例2 x 是当x1时的无穷小量,

,

sinxx

为x时的无穷小量.

由无穷小量及极限的定义或极限四则运算定理, 可立刻推得如下性质： 1) 两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 问题: 两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？ 2) 极限limf(x)A存在f(x)A是当xa时的无穷小量.

xa

注1 “无穷小量”这个术语, 并不是表达量的大小, 而是表达它的变化状态, 它与“很小的量”或“可以忽略不计”这些术语有本质的区别, 后者皆指一个确定的数值, 而“无穷小量”是一个以零为极限的变量, 因此与自变量的变化过程有关.

2. 无穷大量

定义2 设函数f在某U

xU

O

x0内有定义,若对任给的G

0,存在0,使得当

x0;U0x0时有

fxG, (2)

则称函数f当xx0时有非正常极限,记作 limfx.

xx0

关于函数f在自变量x的其它不同趋向的非正常极限的定义,以及数列an当n时的非正常极限的定义,都可类似地给出.

定义3 对于自变量x的某种趋向(或n),所有以,或为非正常极限的函数(包括数列),都称为无穷大量.

例3 证明lim

1x

2

.

x0

例4 证明：当a1时,lima.

x

x

注2 无穷大量不是很大的数,而是具有非正常极限的函数.如由例3知时的无穷大量,由例4知ax(a1)是当x时的无穷大量.

根据无穷大量的定义,无穷大量有以下性质: 1) 两个(相同类型的)无穷大量之积仍为无穷大量.

1x

2

是当x0

问题: 两个（相同类型的）无穷大量之和、差、商是否仍为无穷大量？ 3) 若函数f(x)(xa)是无穷大量, 函数g(x)在a的某个去心邻域内有界, 则

f(x)g(x)函数为xa时的无穷大量.

3. 有界量



定义4 若函数g在某U(x0)内有界,则称g为当xx0时的有界量.

例如sinx是当x时的有界量,sin

1x

是当x0时的有界量.

关于无穷小量、无穷大量、有界量需注意以下几个问题:

注3 不论是无穷小量、无穷大量还是有界量, 必须注明自变量x的变化趋势. 例如, 当x0时, 是无穷小量, 当x



21x

是无穷大量, 但当x时却是无穷小量; sinx是当x0时

时不是无穷小量, 而只能是有界量.

注4不论是无穷小量、无穷大量还是有界量, 都不是数, 而是具有某种状态(极限为0,具有非正常极限,有界)的函数.

注5 任何无穷小量也必是同一状态下的有界量, 反之不成立. 例如 f(x)sgnx. 任何无穷大量也必是同一状态下的无界函数, 但无界函数不一定是无穷大量. 例如

G

,f(x)xsinx在U()上无界,因对任给的G0,取x2n,这里正整数n

22则有

f(x)(2n



2

)sin(2n



2

)2n



2

G.

但limf(x),因若取数列xn2n(n1,2,),则xn(n),而

x

n

limf(xn)0.

注6 若函数f(x)(xa)是无穷小量, 函数g(x)(xa)为有界量, 则函数

f(x)g(x)为xa时的无穷小量.

1x

例如,当x0时,x2是无穷小量,sin

1x

为有界量,故由性质2即得

limxsin

x0

2

0

函数yxsin

2

1x

的图象如图3-6所示.

注7 无穷大量和无穷小量在一定条件下可以相互转化.

(i) 设f在U(x0)内有定义且不等于0. 若f在xx0

时的无穷小量,则

1f

为xx0时的无穷大量.

(ii) 若g为xx0时的无穷大量,则穷小量.

1g

为xx0时的无

因此, 对无穷大量的研究可归结为对无穷小量的讨论. 二 无穷小量阶的比较

23

我们知道, 当x0时, x,x,x都是无穷小量, 但它们趋近于零的速度是不同的,为了

比较同一变化过程中两个无穷小量趋近于零的速度, 下面给出无穷小量的阶的概念.

1. 无穷小量阶的比较

设当xx0时,f与g均为无穷小量.

f(x)g(x)

1) 若lim

xx0

0, 则称当xx0时f为g的高阶无穷小量, 或称g为f的低阶

无穷小量,记作 f(x)

o(g(x))(xx0).

特别,f为当xx0时的无穷小量记作 f(x)o(1)(xx0). 例如,当x0时,x,x2,,xn(n为正整数)等都是无穷小量,因而有

x

k

o(1)(x0),k1,2,,

而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量,即有

x

1cosxsinx

x2

k1

o(x)(x0).

k

又如,由于lim

x0

limtan

x0

0 故有

1cosxo(sinx)(x0).



2) 若存在正数K和L,使得在某U(x0)上有 K

f(x)g(x)

L,

则称f与g为当xx0时的同阶无穷小量, 特别当 lim

f(x)g(x)

xx0

c0

时,f与g必为同阶无穷小量.

特别地, 若无穷小量f与g满足关系式

fxgx

L,xU

o

x0,则记作

fxOgxxx0

若f在某U

x0内有界,则记为

fxO1xx0

注8 本段中的等式fxogxxx0与fxOgxxx0等,与通常等式的含义是不同的.这里等式左边是一个函数,右边是一个函数类,而中间的等号的含义是“属于”. 例如,前面已经得到

1cosxosinxx0, (1)

其中

fx

osinxflim0,

x0sinx

等式(1)表示函数1cosx属于此函数类.

3) 若lim

fxgx

1, 则称f与g是当xx0时的等价无穷小量,记作

xx0

fx~gxxx0

注9 并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较. 2. 等价无穷小量在求极限问题中的应用. 定理3.12 设函数f,g,h在U

x0内有定义,且有

fx~gxxx0

(i) 若limfxhxA,则limgxhxA；

xx0

xx0

( ii) 若lim

hxfx

xx0

B, 则lim

hxgx

xx0

B.

例5求 lim

arctanxsin4x

.

tanxsinxsinx

3

x0

例6 利用等价无穷小量代换求极限 lim.

x0

注10 在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.如在例2中,若因有 tanx~xx0,sinx~xx0, 而推出

tanxsinxsinx

3

lim

x0

lim

xxsinx

3

x0

0

则得到的是错误的结果

问题: 讨论无穷小有什么意义?

三 曲线的渐近线

引例: 由平面解析几何知道,双曲线

xa

22



yb

22

1有两条渐近线

xa



yb

0(图3—7).

那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？怎样来求一般曲线的渐近线?

一般地,曲线的渐近线定义如下：

定义4 若曲线C上的P沿着曲线无限地远离原点时,点P与某定直线L的距离趋于0,则称直线L为曲线C的渐近线(图3—8).

曲线yfx在什么条件下存在斜渐近线ykxb与垂直渐近线xx0,以及怎样求出渐近线方程.

由 lim

fxx

k, lim

xx

fxkxb确定常数k

与b, 则ykxb就是曲

线yfx的斜渐近线.

若函数f满足 limfx(或limf(x),limf(x)),

xx0

xx0



xx0



则曲线yfx有垂直于x轴的渐近线xx0,称为垂直渐近线.

3

例7 求曲线f(x)

x

2

x2x3

的渐近线.

第三章

由于自变量的变化趋势不同, 所以函数极限有如下不同的类型.

等式性、迫敛性、四则运算法则等.

求极限的方法常见的有以下几种: 归结原则、单侧极限的单调有界定理、柯西准则、两个重要极限等. 在实际求极限过程中, 往往是几种方法并用. 当然以后还会有新的求极限方法(如洛必达法则等).

在本章中还介绍了两类函数——无穷小量和无穷大量, 熟悉此类函数性质及阶的比较有助于了解计算函数极限.

知识结构图:

当x时



函数极限的概念当xx0时



单侧极限

唯一性局部有界性函数极限的性质保不等式性





迫敛性







四则运算法则

普通极限归结原则单侧极限

函数极限极限存在准则单调有界定理

柯西准则



sinx

lim1x0x

两个重要极限lim(11)xexx

定义



高阶无穷小量

无穷小量与无穷大量无穷小量阶的比较同阶无穷小量

等价无穷小量应用(求曲线的渐近线)