Qomolangma 教
Qomolangma 教案 日期：______________
前提测评
测评一
难度系数
得
分
测评目的
2
(2013·高考广东卷
) 若曲线y ＝
ax －ln x 在点(1，a ) 处的切线平行于x 轴，则a ＝________．
测评二
难度系数
得
分
(2013·高考江西卷) 若曲线y ＝x α＋1(α∈R) 在点(1，2) 处的切线经过坐标原点，则α＝________．
测评目的测评三
难度系数
得
分
测评目的2
⎛⎫
(2013·高考全国大纲卷理) 若函数f (x ) ＝x ＋ax ＋ ，＋∞⎪是增函数，则
x ⎝2⎭
1
a 的取
值范围是( )
A ．[－1，0] B ．[－1，＋∞)
C ．[0，3] D ．[3，＋∞)
1. 定义：设函数y =f (x ) 在x =x 0处附近有定义，当自变量在x =x 0处有增量∆x 时，则函数y =f (x ) 相应地
有增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ，如果∆x →0时，∆y 与∆x 的比
∆y ∆y （也叫函数的平均变化率）有极限即∆x ∆x
x =x 0
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y =f (x ) 在x →x 0处的导数，记作y '
，即
f '(x 0) =lim
成
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x →0∆x
在定义式中，设x =x 0+∆x ，则∆x =x -x 0，当∆x 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，导数的定义式可写
f '(x 0) =lim
∆x →o
f (x 0+∆x ) -f (x 0) f (x ) -f (x 0)
=lim . x →x 0∆x x -x 0
2. 导数的几何意义：
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
导数f '(x 0) =lim 是函数y =f (x ) 在点x 0的处瞬时变化率，它反映的函数y =f (x ) 在
∆x →0∆x
点x 0处变化的快慢程度. ．．
它的几何意义是曲线y =f (x ) 上点（x 0, f (x 0) ）处的切线的斜率. 因此，如果y =f (x ) 在点x 0可导，则曲线y =f (x ) 在点（x 0, f (x 0) ）处的切线方程为 y -f (x 0) =f '(x 0)(x -x 0)
3. 导函数(导数):如果函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 内的每点处都有导数，此时对于每一个x ∈(a , b ) ，都对应着一
个确定的导数f '(x ) ，从而构成了一个新的函数f '(x ) , 称这个函数f '(x ) 为函数y =f (x ) 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即f '(x ) ＝y '＝lim
函数y =f (x ) 在x 0处的导数y '函数值，即y '
x =x 0
x =x 0
∆y f (x +∆x ) -f (x )
=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
就是函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) (x ∈(a , b )) 上导数f '(x ) 在x 0处的
＝f '(x 0) . 所以函数y =f (x ) 在x 0处的导数也记作f '(x 0) 4. 可导: 如果函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 内每一点都有导数，则称函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x ) 在点x 0处可导，那么函数y =f (x ) 在点x 0处连续，反之不成立. 函
数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.
6. 求函数y =f (x ) 的导数的一般步骤：(1)求函数的改变量∆y =f (x +∆x ) -f (x )
例题1
考点
难度 信息
类型 系数 来源
已知lim
△x →0
f (x 0-2△x ) -f (x 0)
=1，求f '(x 0)
3△x
例题2
考点类型
难度
系数
h →0
信息
来源
设函数f (x ) 在点x 0处可导，求lim
f (x 0+h ) -f (x 0-h )
2h
考点难度信息
类型 系数 来源
f (x ) 的导函数y =f '(x ) 的图象如图所示，则y =f (x ) 的图象最有可能的是 例题3
7. 几种常见函数的导数：C ' =0(C 为常数) ；(x n )' =nx n -1(n ∈Q ) ；
11
； (loga x ) '=log a e ， (e x ) '=e x ； (a x ) '=a x ln a x x
8. 求导法则：法则1 [u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ．
法则2 [u (x ) v (x )]'=u '(x ) v (x ) +u (x ) v '(x ) , [Cu (x )]'=Cu '(x )
(sinx )' =cos x ； (cosx )' =-sin x ；(lnx ) '=
⎛u ⎫u ' v -uv '
法则3： ⎪=(v ≠0) 2
v ⎝v ⎭
9. 复合函数的导数：设函数u =ϕ(x ) 在点x 处有导数u 'x =ϕ'(x ) ，函数y =f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数
y 'u =f '(u )，则复合函数y =f (ϕ(x )) 在点x 处也有导数，且y ' x =y ' u ⋅u ' x 或f 'x (ϕ(x )) =f '(u ) ⋅ϕ'(x )
10. 复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变
量的导数'
11. 复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代
12. 导数的几何意义是曲线y =f (x ) 在点（x 0, f (x 0) ）处的切线的斜率，即k =f '(x 0) ，
要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切
点.
例题1
考点类型
难度
系数
信息
来源
求下列函数的导数：
y =(1+sin x )
2
y =e x ⋅ln x
y =(x 2-1)⋅sin x +x ⋅cos x
e x +1y =x ；
e -1
例题2
考点类型
难度
系数 信息
来源
13
x +m 的一条切线方程是y =4x -4，则m 的值为 3
428428213 A . B . - C . 或- D . 或-
333333
已知曲线y =
例题3
考点类型
难度
系数 信息
来源
对于R 上可导的任意函数f (x ) ，若满足(x -1)f '(x ) ≥0，则必有
A . f (0)+f (2)2f (1)
1．若函数f(x)＝x －6bx ＋3b 在(0，1) 内有极小值，则实数b 的取值范围是( )
A ．(0，1) B．(－∞，1) C ．(0，＋∞)
3
⎛1⎫D. 0，⎪ ⎝2⎭
13
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元) 与年产量x(单位：万件) 的函数关系式为y ＝－x ＋81x －234，则使
3该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A ．13万件 C ．9万件
B ．11万件 D ．7万件
高考地位：导数是函数知识与方法的精髓，是高考必考的热点．考查导数主要有三个层次：①导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；②导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；
易错点：①求单调区间忽视函数定义域；②单调区间的写法；
③极值点与f ′(x ) ＝0根的关系；④导数与单调性的关系； ⑤求导公式与法则的应用．
综合点：常与函数性质、不等式、方程、解析几何、三角函数等知识综合在一起。
课后作业-每日练习
13
1．(2014·福州模拟) 若曲线f (x ) ＝x －x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的
3
横坐标为( )
A ．2 C ．1
2
B ．±2 D ．－1
x
2．(2014·厦门模拟) 函数y ＝(3－x )e 的单调递增区间是( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞) D ．(－3，1)
C ．(－∞，－3) 和(1，＋∞) 2
3．设函数f (x ) ＝ln x ，则( )
x
1
A ．x ＝为f (x ) 的极大值点
21
B ．x ＝为f (x ) 的极小值点
2C ．x ＝2为f (x ) 的极大值点 D ．x ＝2为f (x ) 的极小值点
4．(2014·荆州市质检) 设函数f (x ) 在R 上可导，其导函数是f ′(x ) ，且函数f (x ) 在x ＝－
2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x ) 的图象可能是(
)
5．设函数f (x ) 在R 上可导，其导函数为f ′(x ) ，且函数y ＝(1－x )·f ′(x ) 的图象如图所
示，则下列结论中一定成立的是( ) A ．函数f (x ) 有极大值f (2)和极小值f (1) B ．函数f (x ) 有极大值f (－2) 和极小值f (1) C ．函数f (x ) 有极大值f (2)和极小值f (－2) D ．函数f (x ) 有极大值f (－2) 和极小值f (2)
6．(2014·郑州市质量检测) 函数f (x ) 的定义域为开区间(a ，b ) ，其导函数f ′(x ) 在(a ，b )
内的图象如图所示，则函数f (x ) 在开区间(a ，b ) 内的极大值点有A ．1个 C ．3个
B ．2个 D ．4个
则实数a 的取( )
7．(2013·高考湖北卷) 已知函数f (x ) ＝x (ln x －ax ) 有两个极值点，值范围是
(
)
A ．(－∞，0) C ．(0，1)
⎛1B. 0， ⎝2⎭
D ．(0，＋∞)
12
8．已知函数f (x ) ＝mx ＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．
2
Qomolangma 教
Qomolangma 教案 日期：______________
前提测评
测评一
难度系数
得
分
测评目的
2
(2013·高考广东卷
) 若曲线y ＝
ax －ln x 在点(1，a ) 处的切线平行于x 轴，则a ＝________．
测评二
难度系数
得
分
(2013·高考江西卷) 若曲线y ＝x α＋1(α∈R) 在点(1，2) 处的切线经过坐标原点，则α＝________．
测评目的测评三
难度系数
得
分
测评目的2
⎛⎫
(2013·高考全国大纲卷理) 若函数f (x ) ＝x ＋ax ＋ ，＋∞⎪是增函数，则
x ⎝2⎭
1
a 的取
值范围是( )
A ．[－1，0] B ．[－1，＋∞)
C ．[0，3] D ．[3，＋∞)
1. 定义：设函数y =f (x ) 在x =x 0处附近有定义，当自变量在x =x 0处有增量∆x 时，则函数y =f (x ) 相应地
有增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ，如果∆x →0时，∆y 与∆x 的比
∆y ∆y （也叫函数的平均变化率）有极限即∆x ∆x
x =x 0
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y =f (x ) 在x →x 0处的导数，记作y '
，即
f '(x 0) =lim
成
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x →0∆x
在定义式中，设x =x 0+∆x ，则∆x =x -x 0，当∆x 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，导数的定义式可写
f '(x 0) =lim
∆x →o
f (x 0+∆x ) -f (x 0) f (x ) -f (x 0)
=lim . x →x 0∆x x -x 0
2. 导数的几何意义：
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
导数f '(x 0) =lim 是函数y =f (x ) 在点x 0的处瞬时变化率，它反映的函数y =f (x ) 在
∆x →0∆x
点x 0处变化的快慢程度. ．．
它的几何意义是曲线y =f (x ) 上点（x 0, f (x 0) ）处的切线的斜率. 因此，如果y =f (x ) 在点x 0可导，则曲线y =f (x ) 在点（x 0, f (x 0) ）处的切线方程为 y -f (x 0) =f '(x 0)(x -x 0)
3. 导函数(导数):如果函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 内的每点处都有导数，此时对于每一个x ∈(a , b ) ，都对应着一
个确定的导数f '(x ) ，从而构成了一个新的函数f '(x ) , 称这个函数f '(x ) 为函数y =f (x ) 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即f '(x ) ＝y '＝lim
函数y =f (x ) 在x 0处的导数y '函数值，即y '
x =x 0
x =x 0
∆y f (x +∆x ) -f (x )
=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
就是函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) (x ∈(a , b )) 上导数f '(x ) 在x 0处的
＝f '(x 0) . 所以函数y =f (x ) 在x 0处的导数也记作f '(x 0) 4. 可导: 如果函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 内每一点都有导数，则称函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x ) 在点x 0处可导，那么函数y =f (x ) 在点x 0处连续，反之不成立. 函
数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.
6. 求函数y =f (x ) 的导数的一般步骤：(1)求函数的改变量∆y =f (x +∆x ) -f (x )
例题1
考点
难度 信息
类型 系数 来源
已知lim
△x →0
f (x 0-2△x ) -f (x 0)
=1，求f '(x 0)
3△x
例题2
考点类型
难度
系数
h →0
信息
来源
设函数f (x ) 在点x 0处可导，求lim
f (x 0+h ) -f (x 0-h )
2h
考点难度信息
类型 系数 来源
f (x ) 的导函数y =f '(x ) 的图象如图所示，则y =f (x ) 的图象最有可能的是 例题3
7. 几种常见函数的导数：C ' =0(C 为常数) ；(x n )' =nx n -1(n ∈Q ) ；
11
； (loga x ) '=log a e ， (e x ) '=e x ； (a x ) '=a x ln a x x
8. 求导法则：法则1 [u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ．
法则2 [u (x ) v (x )]'=u '(x ) v (x ) +u (x ) v '(x ) , [Cu (x )]'=Cu '(x )
(sinx )' =cos x ； (cosx )' =-sin x ；(lnx ) '=
⎛u ⎫u ' v -uv '
法则3： ⎪=(v ≠0) 2
v ⎝v ⎭
9. 复合函数的导数：设函数u =ϕ(x ) 在点x 处有导数u 'x =ϕ'(x ) ，函数y =f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数
y 'u =f '(u )，则复合函数y =f (ϕ(x )) 在点x 处也有导数，且y ' x =y ' u ⋅u ' x 或f 'x (ϕ(x )) =f '(u ) ⋅ϕ'(x )
10. 复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变
量的导数'
11. 复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代
12. 导数的几何意义是曲线y =f (x ) 在点（x 0, f (x 0) ）处的切线的斜率，即k =f '(x 0) ，
要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切
点.
例题1
考点类型
难度
系数
信息
来源
求下列函数的导数：
y =(1+sin x )
2
y =e x ⋅ln x
y =(x 2-1)⋅sin x +x ⋅cos x
e x +1y =x ；
e -1
例题2
考点类型
难度
系数 信息
来源
13
x +m 的一条切线方程是y =4x -4，则m 的值为 3
428428213 A . B . - C . 或- D . 或-
333333
已知曲线y =
例题3
考点类型
难度
系数 信息
来源
对于R 上可导的任意函数f (x ) ，若满足(x -1)f '(x ) ≥0，则必有
A . f (0)+f (2)2f (1)
1．若函数f(x)＝x －6bx ＋3b 在(0，1) 内有极小值，则实数b 的取值范围是( )
A ．(0，1) B．(－∞，1) C ．(0，＋∞)
3
⎛1⎫D. 0，⎪ ⎝2⎭
13
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元) 与年产量x(单位：万件) 的函数关系式为y ＝－x ＋81x －234，则使
3该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A ．13万件 C ．9万件
B ．11万件 D ．7万件
高考地位：导数是函数知识与方法的精髓，是高考必考的热点．考查导数主要有三个层次：①导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；②导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；
易错点：①求单调区间忽视函数定义域；②单调区间的写法；
③极值点与f ′(x ) ＝0根的关系；④导数与单调性的关系； ⑤求导公式与法则的应用．
综合点：常与函数性质、不等式、方程、解析几何、三角函数等知识综合在一起。
课后作业-每日练习
13
1．(2014·福州模拟) 若曲线f (x ) ＝x －x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的
3
横坐标为( )
A ．2 C ．1
2
B ．±2 D ．－1
x
2．(2014·厦门模拟) 函数y ＝(3－x )e 的单调递增区间是( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞) D ．(－3，1)
C ．(－∞，－3) 和(1，＋∞) 2
3．设函数f (x ) ＝ln x ，则( )
x
1
A ．x ＝为f (x ) 的极大值点
21
B ．x ＝为f (x ) 的极小值点
2C ．x ＝2为f (x ) 的极大值点 D ．x ＝2为f (x ) 的极小值点
4．(2014·荆州市质检) 设函数f (x ) 在R 上可导，其导函数是f ′(x ) ，且函数f (x ) 在x ＝－
2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x ) 的图象可能是(
)
5．设函数f (x ) 在R 上可导，其导函数为f ′(x ) ，且函数y ＝(1－x )·f ′(x ) 的图象如图所
示，则下列结论中一定成立的是( ) A ．函数f (x ) 有极大值f (2)和极小值f (1) B ．函数f (x ) 有极大值f (－2) 和极小值f (1) C ．函数f (x ) 有极大值f (2)和极小值f (－2) D ．函数f (x ) 有极大值f (－2) 和极小值f (2)
6．(2014·郑州市质量检测) 函数f (x ) 的定义域为开区间(a ，b ) ，其导函数f ′(x ) 在(a ，b )
内的图象如图所示，则函数f (x ) 在开区间(a ，b ) 内的极大值点有A ．1个 C ．3个
B ．2个 D ．4个
则实数a 的取( )
7．(2013·高考湖北卷) 已知函数f (x ) ＝x (ln x －ax ) 有两个极值点，值范围是
(
)
A ．(－∞，0) C ．(0，1)
⎛1B. 0， ⎝2⎭
D ．(0，＋∞)
12
8．已知函数f (x ) ＝mx ＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．
2